知识梳理
1.形如
A
B
(A 、B 是 ,且B 中含有 ,B ≠0)的式子,叫做分式. 2.分式有、无意义的条件:当分母 时,分式有意义;当分母 时,分式无意义.
3.分式值为零的条件:当分式的分子 ,分母 时,分式的值为零. 4.分式的基本性质是:分式的分子与分母都 (或 )同一个 的整式,分式的值 .
5.分式的乘除法:分式乘分式,用分子的积作为积的 ,分母的积作为积的 ;分式除以分式,把除式的分子、分母 后,与被除式 .
6.分式的乘方:分式乘方,把分子、分母 .
7.同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母 ,把分子 ;异分母分式的加减法法则:异分母的分式相加减,先 ,变为同分母的分式,然后再 .
8.分母中含有 的方程叫做分式方程. 9.解分式方程的步骤:
(1)分式方程两边都乘以各分式的最简公分母,约去分母,转化为 方程; (2)解这个 方程;
(3)检验,把 方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值 ,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,它是原方程的增根,应当舍去.
10.我们规定:任何不等于零的数的零次幂都等于 ,即0a = (a ≠0). 11.一般地,当n 是正整数时,n a -= (a ≠0).即任何不等于零的数的n -(n 是正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的 .
12.一般地,绝对值小于1的数可以表示成10n a ?的形式,其中110a ≤<,即a 是整数位数只有 位的数;n 是一个 整数.
考点呈现
考点1 分式值为0的条件 例1 (2013年)若分式
4
3
+-x x 的值为0,则x 的值是( ) A .x =3 B .x =0 C .x =-3 D .x =-4 解析:因为分式
4
3
+-x x 的值为0,所以x -3=0,x +4≠0,所以x =3.故选A . 点评:分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0,这两个条件缺一不可. 考点2 分式的基本性质
例2 (2013年)下列运算中错误的是( )
A.2
2
)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=
+- 解析:2
2
22)
()()()(b a b a a b b a --=--=1,A 选项正确;b a b a b a b a b a b a ++-=++-=+--)(=-1,B 选项正确;
b
a b
a b a b a b a b a 3210510)3.02.0(10)5.0(3.02.05.0-+=?-?+=-+,C 选项正确;
a
b a
b a b a b b a b a +--
=+--=+-)(,D 选项错误.故选D. 点评:解“判断下列运算(或说法)错误(或正确)”类型的选择题,除了采用逐一验证四个选项进行求解之外,还可以利用排除法选出符合题意的答案. 考点3 分式的运算
例3 (2013年凉山州)化简:)1(111+??
? ??+-m m 的结果为 .
解析:)1(111+??? ??+-m m =)1(1111+??
? ??+-++m m m m =
)1(1+?+m m m =m .故填m. 例4 (2013年)化简分式
??
? ??++-÷-1112
122x x x 的结果是( ) A .2 B .
12+x C .1
2-x D .-2 解析:??? ??++-÷-1112122x x x =()()()()221111x x x x x x ??-÷+??---??
+1+1 =
()()211x x x x ÷--+1+1=()2
11
x x ?--=2.故选A .
点评:分式的混合运算,要注意运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算
括号里面的;最后结果要化成最简分式或整式. 考点4 分式的化简求值
例5 (2013年)先化简,再求值:4442122
+--÷??? ??---+x x x x x x
x ,其中x 是不等式173>+x 的负整数解.
解:4
44
2122
+--÷???
?
?---+x x x x x x x =4
4
4)2()1()2)(2(2-+-?---+-x x x x x x x x x
=4)2()2(42
22--?-+--x x x x x x x
=4)2()2(42--?--x x x x x =x
x 2
-.
由173>+x ,解得2->x . 又x 为负整数,所以1-=x . 当1-=x 时,原式=
31
2
1=---. 点评:分式的化简求值,要根据所给式子的特点,按照分式化简的步骤化简,最后代值计算.
考点5 科学记数法
例6(2013年)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm(0.000 002 5 m )的颗粒物,含有大量有毒、有害物质,也称可入肺颗粒物.将0.000 002 5用科学记数法表示为( ) A .25×10-7
B .2.5×10-6
C .0.25×10-5
D .2.5×106
解析:0.000 002 5=2.5×10-6
.故选B.
点评:把一个数写成a ×10n
的形式(其中1≤a <10,n 为整数),称为科学记数法.
当原数的绝对值≥10时,n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n 为负整数,n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数(含整数位数上的0). 考点6 解分式方程 例7(2013年资阳)解方程
2
4x x -+22x +=1
2
x -. 解:方程两边乘(x +2)(x -2),得x +2(x -2)=x +2. 解得x =3.
检验:当x =3时,(x +2)(x -2)≠0. 所以,原分式方程的解为x =3.
点评:解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”,解分式方程后一定要注意检验.
考点7 根据方程的解确定字母的值或取值围 例8 (2013年)已知关于x 的方程
21
23=++x n
x 的解是负数,
则n 的取值围为 . 解析:化简方程
21
23=++x n
x ,得x=n -2.
根据题意,得x<0且2x+1≠0,所以n -2<0且2(n -2)+1≠0,解得2 3≠ n . 点评:解含有字母系数的分式方程时,通常先化为整式方程,把未知数用其他字母表示,进而求解.要注意分式方程增根的存在. 考点8 列分式方程解应用题 例9 (2013年湘西)城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动,一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走,半小时后,其余学生沿319国道乘汽车前往,结果他们同时到达(两条道路路程相同),已知汽车速度是自行车速度的2倍,求骑自行车学生的速度. 解:设骑自行车学生的速度为x km/h ,则汽车的速度为2x km/h. 根据题意,得2 1 22020=-x x . 解得x =20. 经检验,x =20是原方程的解,且符合题意. 答:骑自行车学生的速度为20 km/h . 点评:分析题意,弄清楚已知量与未知量之间的关系,得到等量关系式,进而引进未知数,列方程解决问题. 误区点拨 易错点1 分式的基本性质理解不深 例1 若A ,B 为不等于0的整式,则下列各式成立的是( ) A. E B E A B A ??= (E 为整式) B.E B E A B A ++=(E 为整式) C.()() 1 122+?+?=x B x A B A D. ()() 22 11+?+?=x B x A B A 错解:选A 或D. 剖析:分式的基本性质是分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分 式的值不变.所以B 选项明显不正确;A 选项和D 选项中E 和 2 )1+x (均可能为零,所以A ,D 选项错误;C 选项中112≥+x ,C 选项正确. 正解:选C. 易错点2 忽视分母不为0的条件 例2 若方程 08 24 2=---x x x ,则=x . 错解:填±4. 剖析:若分式的值为0,则分子为0且分母不为0,所以04=-x ,且0822≠--x x , 则4-=x .错解未考虑分式的分母不为0. 正解:填-4. 易错点3 轻易约分 例3 x 取何值时,分式 ()() 2 23x x x +++有意义? 错解:原式1 3x =+.由03≠+x ,得3-≠x .所以当3-≠x 时,分式()() 223x x x +++有 意义. 剖析:错解约去分母中的2+x ,但无法确定2+x 不为零,使得未知数x 的取值围 扩大,导致漏解. 正解:由(x+2)(x+3)023x x ≠≠-≠-,得且.所以当32-≠-≠x x 且时,分式 ()() 2 23x x x +++有意义. 易错点4 分式的运算顺序错误 例4 计算()()2 22111x x x x x ÷ +-+. 错解:原式= 1 2 1122 -=+÷-x x x x x . 剖析:分式的乘除运算是同一级运算,应按照从左向右的顺序依次计算,不可因为计 算简便而颠倒顺序,导致结果出现错误. 正解:原式=()()()2 2 22 1212242 1111 x x x x x x x x x x +++++= =---. 易错点5 分式的增根认识不清 例5 若关于x 的方程 011 1 =--+x ax 有增根,则a 的值为________. 错解:原方程两边乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0.解得x=1 2 --a . 因为原分式方程有增根,所以x-1≠0,即x≠1. 所以 11 2 ≠--a ,解得a≠-1. 剖析:分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值,即x=1而不是x≠1. 正解:原方程两边乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0.解得x=1 2 --a . 因为原分式方程有增根,所以x-1=0,即x=1. 所以 2 11 a -=-,解得a=-1. 跟踪训练 1.(2013年)若分式21 1 x x -+的值为0,则实数x 的值为______. 2.(2013年永州)钓鱼岛列岛是我国固有领土,共由8个岛屿组成,其中最大的岛是钓鱼岛,面积约为4.3平方公里,最小的岛是飞濑岛,面积约为0.000 8平方公里,请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里. 3.(2013年)化简:x +1-1 22++x x x =___________. 4.(2013年德阳)已知关于x 的方程232 x m x +=-的解是正数,则m 的取值围是__________. 5.(2013年)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球,他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟,乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍.设骑自行车的速度为 x 千米/时,根据题意列方程为____________. 6.(2013年回族自治区)解方程13 26-+=-x x x . 7.(2013年普洱)先化简,再求值:2222211 a a a a a a a +++÷-+,其中a=2013. 8.(2013年)兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T 恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元? (2)老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫,当第二批T 恤衫售出4 5时,出现了滞 销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价-进价) 分式小结与复习 知识梳理:略. 跟踪训练:1. 1 2. 4810-? 3. 11+x 4. m>﹣6且m≠﹣4 5. 6 1 255=-x x 6. 解:方程两边乘(x -2)(x+3),得)3)(2()2()3(6+---=+x x x x x . 解得x=3 4 - . 检验:当x=3 4 - 时,(x -2)(x+3)≠0. 所以,原分式方程的解为x=3 4 -. 7. 解:22 22211 a a a a a a a +++÷-+=222(1)(1)1a a a a a a +?-++=211a a a a -++ = 21a a a -+=1 a a +. 当a=2013时,原式= 201320131+=20132014 . 8. 解:(1)设第一批T 恤衫每件进价x 元. 根据题意,得 45004950 9 x x = +. 解得90x =. 经检验,90x =是原方程的解,且符合题意. 答:第一批T 恤衫每件进价是90元. (2)由(1)知,第二批购进T 恤衫 4950 5099 =(件). 设剩余的T 恤衫每件售价y 元,根据题意,得 41 1205050495065055 y ??+??-≥. 解得y ≥80. 答:剩余的T恤衫每件售价至少要80元. 人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1.全等三角形的性质:全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)、两角和它们的夹边(ASA)、两角和其中一角的对边对应相等(AAS)、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。 3.角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等 4.角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6.第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) 点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y) 9.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。 10.等腰三角形的判定:等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等,等于60°, 12.等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作。0的算术平方根为0;从定 一、七年级上册教材章节分析 第一章《有理数》 1.本章的主要内容: 对正、负数的认识;有理数的概念及分类;相反数与绝对值的概念及求法;数轴的概念、画法及其与相反数与绝对值的关系;比较两个有理数大小的方法;有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及相关运算律;科学计数法、近似数的概念及求法。 重点:有理数加、减、乘、除、乘方运算 难点:混合运算的运算顺序,对结果符号的确定及对科学计数法、近似数的理解。 2.本章的地位及作用: 本章的知识是本册教材乃至整个初中数学知识体系的基础,它一方面是算术到代数的过渡,另一方面是学好初中数学及与之相关学科的关键,尤其有理数的运算在整个数学及相关学科中占有极为重要的地位,可以说这一章内容是构建“数学大厦”的地基。 3.本章涉及到的主要数学思想及方法: a.分类讨论的思想:主要体现在有理数的分类及绝对值一节课的教学中。 b.数形结合的思想:主要体现在数轴一节课的学习上,用数字表示数轴(图形)的形态,反过来用数轴(图形)反映数字的具体意义,达到数字与图形微观与宏观的统一,具体与抽象的结合,即用数说明图形的形象,用图形说明数字的具体,尤其利用数轴比较有理数的大小,理解相反数与绝对值的几何意义,更是形象直观。 c.化归转化的思想:主要体现在有理数的减法转化为有理数的加法,有理数的乘法转化为有理数的除法。 d.类比法:对于有理数加、减、乘、除、乘方运算可类比小学学过的加、减、乘、除、混合运算等内容学习,总的来说计算方法不变,只是把数字的范围扩大了,增加了负数。在学习过程中要时时考虑符号问题。用类比的方法去学习会对新知识有“似曾相识”之感,不会觉得陌生,学起来自然会轻松的多。 4.教法建议(仅供参考) a.在学完数轴一节课后,把利用数轴比较有理数的大小补充进来,提前讲解,在讲完绝对值后,在利用绝对值比较两个负数的大小,这样做既可以体会到数轴的用途,也可以避免两种方法放在一起给学生造成的混乱,而利用绝对值比较有理数的大小,写法上学生一般情况下掌握不好,这样可以着重训练学生的写法,分散难点。 b.注重联系实际:这本教材的编排更注重了知识来源于生活,反过来又应用到生活中去的思想。充分体现了生活中处处有数学,人人都学有用的数学的理念。因此,在每课的“创设情境”这一环节中,要充分注意这一点,充分利用生活实例引入新知识,使学生充分体现到学好数学是有用的,因而提高学生学习数学的兴趣。 第一章:有理数总复习 一、有理数的基本概念 1.正数:大于0的数叫做正数;负数:小于0的数叫做负数。 备注:在正数前面加“-”的数是负数;“0”既不是正数,也不是负数。 2.有理数:整数和分数统称有理数。 3.数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线。 性质:(1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;(3)所有有理数都可以用数轴上的点表示。 4.相反数 :只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数。 性质:(1)数a 的相反数是-a(a 是任意一个有理数);(2)0的相反数是0;(3)若a 、b 互为相反数,则a+b=0;若a、b 互为相反数且a 、b都不等于零,则1-=b a ; 5.倒数 :乘积是1的两个数互为倒数 。 性质:(1)a 的倒数是(a ≠0); (2)0没有倒数 ;(3)若a 与b 互为倒数,则ab=1;若a 与b 互为负倒数,则ab=-1。 倒数与相反数的区别和联系: (1)a 与-a 互为相反数;a 与a 1(a ≠ 0)互为倒数;(2)符号上:互为相反数(除0外)的两数的符号相反;互为倒数的两数符号相同;(3)a 、b互为相反数 →→ a+b =0;a 、b 互为倒数 →→ a b=1;(4)相反数是本身的数是0,倒数是本身的数是±1。 6.绝对值:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。 性质:(1)数a 的绝对值记作︱a ︱;(2)若a>0,则︱a ︱= a ;若a <0,则︱a︱= -a;若a =0,则︱a ︱=0;(3) 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0. 7.有理数大小的比较:(1)可通过数轴比较:在数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。即:若a<0,b<0,且︱a ︱>︱b︱,则a < b. 8.科学记数法:把一个绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式,其中a 是整数数位只有一 位的数,这种记数法叫做科学记数法。其中1≤|a|<10,n为正整数, n=原数的整数位数-1。 二、有理数的运算 1、运算法则: (1)有理数加法法则:① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数相加得0; ③ 一个数同0相加,仍得这个数。 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 第十一章三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边. 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对 角线. 11.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用 多边形覆盖平面, 13.公式与性质: ⑴三角形的内角和:三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式:n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和:多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数:①从n边形的一个顶点出发可以引(3) 线,把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1.基本定义: ⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质: ⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 3.全等三角形的判定定理: ⑴边边边(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边(AAS ):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线: ⑴画法: ⑵性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法: ⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系) 七年级上册各章知识点 第一章《有理数》 一、正数与负数 1.正数与负数表示具有相反意义的量。问:收入+10元与支出-10元意义相反吗? 2.有理数的概念与分类 ①整数和分数统称有理数,能写成两个整数之比的数就是有理数 。判断:有理数可分为正有理数和负有理数( 错,还有0) ②零既不是正数,也不是负数。判断:0是最小的正整数(错 ),正整数负整数统称整数(错,还有0 ),正分数负分数统称分数(对 ) ③有限小数和无限循环小数因都能化成分数,故都是有理数。判断:0是最小的有理数(错 ) ④无限不循环小数因为不能化成两个整数之比,固称为无理数,如π,π/2等。判断:整数和小数统称有理数(错,整数和分数统称有理数 )。 二、数轴 1.数轴三要素:原点、正方向、单位长度 (另:数轴是一条有向直线) 2.作用:1)描点:数形结合;2)比较大小:沿着数轴正方向数在逐渐变大;3)直观反映互为相反数的两个点的位置关系;4)绝对值的几何意义;5)有理数都在数轴上,但数轴上的数并非都是有理数。 3.数轴上点的移动规律:“正加负减”向数轴正方向(或负方向)则对应的数应加(或减) 4.数轴上以数a 和数b 为端点的线段中点为a 与b 和的一半(如何用代数式表示?) 三、相反数 1.定义:若a+b=0,则a 与b 互为相反数 特例:因为0+0=0,所以0的相反数是0 2.性质: ①若a 与b 互为相反数,则a+b= 0 ②-a 不一定表示负数,但一定表示a 的相反数(仅仅相差一个负号) ③若a 与b 互为相反数且都不为零,a b = -1 ④除0以外,互为相反数的两个数总是成双成对的分布在原点两侧且到原点的距离相等。 ⑤互为相反数的两个数绝对值相等,平方也相等。即:a =a -,()2 2a a =- 设计者:方礼花 使用班级:初二一班 姓名: 寄语: 同学们一定要努力,争取期末取得优异的成绩 ! 第十一章 三角形 (共5页,每页61份) 一、知识框架: 二、知识概念: 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.(可以判断三边是否能够成三角形) 3.三角形的分类:按角可以分为三类:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形。按边可以分为两类:不等边三角形和等腰三角形。 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. (锐角三角形的高交于三角形内部一点,直角三角形交于直角顶点处,钝角三角形交于外部一点) 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.(三角形的中线将三角形的面积平均分成相等的两份) 其交点称为重心。 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性.(在生活中运用于未安装好的窗户加一条木条) 7.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 11.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.公式与性质: ⑴三角形的内角和:三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(经常用于角度计算中) 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(经常用于证明两个角度比较大小) ⑶多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和:多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数:①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线,把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. (6)正多边形每个内角度数:用(2)n -·180°除以n,每个外角度数:360°除以n 。 第一章有理数及其运算 1. 有理数包括 和 ;整数包含: 、 、 ;分数包含: 、 。 正整数和正分数通称为正有理数,负整数和负分数通称为负有理数。 2. 正数都比0大,负数都比0小, 既不是正数也不是负数。 3. 正数和负数经常用来表示 的量。 4. 数轴有三要素: 、 、 。数轴上的两个点表示的数, 边的总比 边的大。 5. 相反数:只有 不同的两个数互为相反数,a a 和-互为相反数,0的相反数是0。 在任意的数前面添上“ ”号,就表示原来的数的相反数。 6. 绝对值:数轴上表示一个数的点与原点的 叫做该数的绝对值,用“|a|”表示。 正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。 当a 是正数时,a a =;当a 是负数时,a a =-;当a =0时,0a = 7. 两个负数比较大小, 大的反而小。 8. 有理数加法法则: ·同号两个数相加,取 的符号,并把绝对值相加。 ·异号的两个数相加,绝对值不等时,取绝 的符号,并用 减去 。互为相反数的两数相加得 . ·一个数同0相加仍得这个数 加法交换律:a b b a +=+ 加法结合律:()()a b c a b c ++=++ 9. 有理数减法法则:减去一个数等于 这个数的 。 10. 有理数乘法法则:两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把绝对值相乘。任何数与0 相乘积仍得 。 11. 倒数:乘积是1的两个数互为 。一般地,数a 的倒数是 (a )0≠. 12. 乘法交换律:ab ba = 乘法结合律:()()ab c a bc = 乘法分配律:()a b c ac bc +?=+ 13. 有理数除法法则: ·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的 。 ·两个有理数相除,同号得 ,异号得 ,并把 相除。0除以任何数都得0,且0不能作除数。 14. 有理数的乘方:求n 个 因数a 的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。即 a n a a =ΛΛ,在n a 中a 叫做底数,n 叫做指数,n a 读 作a 的n 次幂(或a 的n 次方)。 15. 乘方的正负:正数的任何次幂都是 , 负数的奇次幂是 ,负数的偶次幂 是 。 16. 混合运算顺序: · 先算乘方,再乘除,后加减; · 同级运算,从左到右进行; · 如有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 n 个a 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?人教版八年级上册数学知识点汇总
七年级上册数学章节分析
人教版七年级数学上册各章知识点总结
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版七年级数学上册各章知识点总结及对应章节经典练习
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新人教版数学七年级上册各章节知识点总结
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