12.类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型

模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数

1．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．

(1)已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；

(2)设∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE ，并证明．

模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O .若∠BOC ＝120°，则∠A ＝

_____.

3．如图，△ABC 中，点P 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点．

(1)若∠A ＝80°，求∠BPC 的度数． (2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC ＝

90°＋12∠A 的规律，你认为正确吗？请给出

理由．

模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数

4．如图，在△ABC 中，BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，BA 1，CA 1相交于点A 1.

(1)求证：∠A 1＝1

2

∠A ；

(2)如图，继续作∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；作∠A 2BC 和∠A 2CD 的平分线交于点A 3，得∠A 3……依此得到∠A 2017，若∠A ＝α，则∠A 2017＝

_____________.

模型4：求两外角平分线的夹角的度数

【方法5】

5．(1)如图，BO平分△ABC的外角

∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则

∠BOC与∠A的关系为____________；

(2)请就(1)中的结论进行证明．

参考答案与解析

1．解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－

60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝

1

2∠BAC ＝1

2×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD

＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.

(2)∠DAE ＝1

2(β－α)，证明如下：∵∠B

＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝1

2∠BAC

＝90°－1

2(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°

－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－????90°－12（α＋β）＝1

2

(β－α)． 2．60°

3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝

1

2(180°－∠A )＝

1

2

×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.

(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝1

2(∠ABC ＋

∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－1

2∠A ，

∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－????90°－12∠A ＝90°＋1

2

∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．又

∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝1

2(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分

∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴1

2∠ABC ＋

∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝1

2

∠A .

(2)α2

2017 5．(1)∠BOC ＝90°－1

2

∠A

(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝1

2∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－1

2∠A .

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形： 在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理 （ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边 所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也 成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几 何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所 在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与 三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三 角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是 外接圆半径） 余弦定理 内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边 的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定 理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用 阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍. 具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)(22222BD AD AC AB +=+. 证明 如图1,作BC 边上的高AH . 由勾股定理,得 222DH AH AD +=,2 2 2BH AH AB +=, 2 2 2 CH AH AC +=. 所以222222CH BH AH AC AB ++=+. 由 CD BD =, 可 得 )(2)()(2 2 2 2 2 2 DH BD DH BD DH BD CH BH +=-++=+. 所以)(2)(22222222BD AD BD DH AH AC AB +=++=+. 该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用. 1.直接使用 当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题. 例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC =,b CA =,c AB =,则 = ++2 2 2 CF BE AD ______. (2005年山东省初中数学竞赛) 分析 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算. 解 如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得 ?? ? ??+=+222 2 412BC AD AC AB . 代入已知数据,变形得2 2 2 24 12 121a b c AD - + =. 同 理 2 2 2 2 4 12 12 1b a c BE - + = ,2 2 2 2 4 12 12 1c b a CF - + = . 故()2 2 2 2 224 3c b a CF BE AD ++= ++. 例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ,并且 点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG =,2=AB ,2>BC .那么,当BC 、CA 为何值 D C B E A 图2 F A B 图1

几何证明角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级) 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 100=∠C ，求证：CD AD AB +=。 例2、如图，已知在ABC ?中，ο 60=∠B ，ABC ?的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。 E O B 例3、如图，BD 平分ABC ∠，?=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠. A B C D 例4、已知，如图ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，求证：BD AC DC AB ?=?．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。 A B C N M P D E F 例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，?=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、 AE ，若?=∠60ACB ，?=∠50EBC ，求EAC ∠的度数． B C E 例7、已知：ABC ?中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ． （1）如图1，若?=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3= +；

（2）如图2，若?=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． A C 【提升训练】 1、在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． B 2、如图，在ABC ?中，A ∠等于ο 60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。 3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

三角形中位线定理 知识讲解

三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

三角形边长的计算公式

解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

相似三角形典型模型及例题

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行）（不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C（蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： （五）一线三直角型： 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似， 这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 （六）双垂型： 二：相似三角形判定的变化模型 一线三等角的变形

. 一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题 （1）母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB 3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证：EB·DF=AE·DB 4.在?ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。 求证：∠=?GBM 90 5 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． （2）双垂型 A C D E B D E

三角形中线长公式引发的思考

三角形中线长公式引发的思考 南京市第三高级中学 张永安 2006年是江苏省全面使用新课程教学的第二年，工作十一年，参加过许多教材教法培训，但是06年8月参加的南京市教研室组织的新教材培训，感触很深。随后通过近半年的新课程教学实践，我深刻体会到新课程改革从理念、内容到实施的变化。而要实现教学改革目标，教师是关键。教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源研发的重要力量。 教师对新教材的认识、体会与钻研程度，对教师如何使用教材，运用科学的教学方法与手段去引导，组织学生参与到学习活动中尤为重要，作为教师就必须对课本中每个问题要认真钻研，体会其作用。苏教版课本必修5第16页例６三角形中线长公式课堂教学之后，回味无穷，此题对于高一、高二、高三学生均有学习价值。 题目是这样的：例６ 如图１-２-４，ＡＭ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的中线，求证： ＡＭ ＝ 2 1222)(2BC AC AB -+． 证法一：作AH ⊥BC ，垂足为H ， 在RT △ＡHC 与RT △ＡHB 中，利用勾股定理： ＡＣ２＝ＡH ２＋H Ｃ２＝ＡH ２＋（MC －MH ）２ ＡＢ２＝ＡH ２＋ＢH ２＝ＡH ２＋（MB ＋MH ）２ ∵M 是BC 中点 ∴MB ＝MC ＝ 2 1 ＢＣ ∴ＡＢ２ ＋ＡＣ２ ＝2（ＡH ２ ＋MH 2）＋2 1 ＢＣ2 即：ＡＢ２ ＋ＡＣ２ ＝２ＡＭ２ ＋2 1ＢＣ２ ， 因此，ＡＭ ＝ 2 1 222)(2BC AC AB -+． 点评：此题证法通过作三角形底边上的高，化斜（三角形）为直（三角形），构造出三个RT 三角形，再利用RT 三角形勾股定理，证出结果。此种证法学生只需要掌握平面几何知识，即可证明。 证法二：以M 为坐标原点，BC 为X 轴，建立如图所示坐标系XOY ， ＡＢ２ ＝（a ＋c ）2＋b 2 ＡＣ２ ＝（a －c ）2＋b 2 ＡＭ2＝a 2＋b 2，ＢＣ２ ＝4 c 2 ∵ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝2（a 2＋b 2＋c 2） ２ＡＭ２ ＋ 2 1ＢＣ２ ＝2（a 2＋b 2＋c 2） ∴ＡＢ２＋ＡＣ２＝２ＡＭ２＋2 1ＢＣ２ ， 因此，ＡＭ ＝2 1 222)(2BC AC AB -+． M H C B A X 图１-２-４

角平分线常用模型

每日一题：三角形中角平分线的基本模型 武穴市百汇学校徐国纲 在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。 【模型一】角平分线+垂直一边 若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形； 【模型二】角平分线+斜线 若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线 若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形； 【模型四】角平分线+平行线 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。 【模型五】角平分线+对角互补 若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD． 【模型六】夹角模型 ①BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+1 2 ∠A． ②BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=1 2 ∠A．

BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-1 2 ∠B．

三角形边长公式

三角形边长公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由 A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC满足，则∠ABC=90°。 [3]射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=BD·BC (2)AC2;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S

(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理

知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.

类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。

角平分线模型的构造

支付宝首页搜索“ 933314”领红包，每 天都能领。付款前记得用红包 第二讲角平分线模型的构造 3月 角平分线 (l)定义：如图2-1，如果∠AOB ＝∠BOC ，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，像OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P 是∠MON 平分线上一点， (l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． (a) O (b) (2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对 折看，对称以后关系现”． (3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”． (c) O (d) O (4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是（ ）cm. 图2-3 （a ） (2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC ． 图2-3（b ）

三角形的角及倒角模型

三角形的角及倒角模 型 Revised on November 25, 2020

第二讲三角形的角及倒角模型 1、如图1，求证：AB＋AE＞BC＋CD＋DE 1 2、如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O，求证：AC＋BD＞ 2（AB＋BC＋CD＋AD）。 3、如图3，⊿ADE和⊿ABC中，∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°又有∠BAD＝∠BCF， （1）求∠ECF＋∠DAC＋∠ECA的度数； （2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、求∠a的度数。 5、如图5，∠A＝30°，求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。 6、将图6-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A、∠B、∠C、∠D、∠E（∠AED）之间有什么关系 7、如图7，在⊿ABC中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，试说明：AB＋AC＞BE＋EC。 8、如图8，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，则∠C ＝。 9、如图9所示，点E和点D分别在⊿ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系：。

10、如图10，⊿ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线上一点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°，∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。 11、如图11，在⊿ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，ED⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF ＝。 12、如图12-1，BP、CP是任意⊿ABC的∠B、∠C的角平分线。 （1）探求∠BPC与∠A的数量关系。 （2）∠BPC能等于90度吗说明理由。 （3）当∠A为多少度时，∠BPC＝2∠A （4）把图12-1中的⊿ABC变成图12-2中的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠B、∠C的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系（只写出猜想结果，不写说理过程）。 13、如图13，在⊿ABC中，∠ABC的两个外角平分线交于点F，探索∠F和∠A的关系。 14、如图14，在⊿ABC中，∠ABC的平分线与∠ABC的外角平分线交于点A 1 ，若∠A＝ 40°，则∠A 1为度；同样的方法作出∠A 2 ，则∠A 2 的度数是度；依次下 去，当作出∠A n 时，它的度数是度。 15、如图15，由图15-1的⊿ABC沿DE折叠得到图15-2；图3；图4。（1）如图2，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （2）如图3，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由； （3）如图4，猜想∠BDA＋CEA与∠A的关系，并说明理由；

第二节 与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角一、课标导航 二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角； ②证明角之间的关系． 2．三角形的外角 (1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． (2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 360 (3)三角形外角和定理：三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③利用它作为中间关系式证明两个角相等； ④利用它证明角的不等关系． 3．几何模型

4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想， 本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）． 三、全能突破 基 础 演 练 1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )． 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )． 36.A 72.B 108.C 144.D 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角 为( )． 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D

三角形的角及倒角模型

第二讲 三角形的角及倒角模型 1、 如图1，求证：AB ＋AE ＞BC ＋CD ＋DE 2、 如图2，AC 、BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 、BD 相交于点O ，求证：AC ＋BD ＞2 1（AB ＋BC ＋CD ＋AD ）。 3、 如图3，⊿ADE 和⊿ABC 中，∠EAD ＝∠AED ＝∠BAC ＝∠BCA ＝45°又有∠BAD ＝∠BCF ， （1） 求∠ECF ＋∠DAC ＋∠ECA 的度数； （2） 判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明。 4、 求∠a 的度数。 5、如图5，∠A ＝30°，求∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。 6、将图6-1中线段AD 上一点E （点A 、D 除外）向下拖动，依次可得图6-2、图6-3、图6-4，分别探究图6-2、图6-3、图6-4中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E （∠AED ）之间有什么关系？ 7、如图7，在⊿ABC 中D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点，试说明：AB ＋AC ＞BE ＋EC 。 8、如图8，已知DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，则∠C ＝ 。 9、如图9所示，点E 和点D 分别在⊿ABC 的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分∠ACB 和∠AED ，试探索∠F 与∠B ，∠D 的关系： 。 10、如图10，⊿ABC 的一条外角平分线是CE ，F 是CA 延长线上一点，FG ∥EC 交AB 于点G ，已知∠DCE ＝50°，∠ABC ＝40°，求∠FGA 的度数。 11、如图11，在⊿ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，ED ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF

角平分线模型的构造

第二讲角平分线模型的构造3月 角平分线 (I)定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/ A0C=2 / AOB=2 / BOC，像OB 这样，从一个角的 顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫 作这个角的角平分线. ⑷若过P点作PQ// ON交OM于点Q,如图2-2(d)， 可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 十平行线，等腰三角形必呈现” ? 例1 (1)如图2-3(a),在厶ABC 中，/ C=90。，AD 平分 / CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D 到直线AB的距离是( )cm. (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等. (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个 角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的 四大基本模型， 已知P是/ MON平分线上一点， (I)若PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作 PB丄ON于点B，贝U PB=PA.可记为“图中有角平 分线，可向两边作垂线” 图2-3 (a) ⑵如图2-3(b)，已知：/仁/2，Z 3=Z4, 求 证：AP平分/ BAC . ⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△ OPB OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”. ⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP 交ON于点B，构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合 、亠、亠K ” (b)

三角形的四大模型

三角形的四大模型 令狐采学 一、三角形的重要概念和性质 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、三角形角平分线（角分线）中线（分面积等）高（直角三角形两锐角互余） 二、八字模型： 证明结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D 三、飞镖模型： 证明结论：1．∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C 四、角分线模型： 如图，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D， 试探索∠A与∠D之间的数量关系，并证明你的结论． 如图，△ABC两个外角（∠CAD、∠ACE）的平分线相交于点P． 探索∠P与∠B有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型一、三角形性质等应用

1．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了米数是（） A．120 B．150 C．240 D．360 2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF． 如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为cm2． 3．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点， 且S△ABC=4cm2，则S阴影=cm2． 4．A、B、C是线段A1B，B1C，C1A的中点，S△ABC的面积是1，则S△A1B1C1的面积． 5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别说出内角和和外角和变化情况．6．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

直角三角形的边角关系--知识点

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角 函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ， 即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A＝1 3)商的关系：t an A＝sinA cosA ，c ot A＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值

5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用， 解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念： (1)仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示， 即i=h l (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=h l (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.

奥数几何 三角形五大模型带解析

三角形五大模型 【专题知识点概述】 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论（“鸟头定理”） D C B A b a s 2 s 1

如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=1 6 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 (1)相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A S 4 S 3s 2 s 1 b a

初中数学常见模型之角平分线四大模型

角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C

模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 A B D C P P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D