相似三角形性质与判定的综合运用
一、解答题
1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在
点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1;
(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．
2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足
分别是点E、F．
(1)求证：EF=AE?BE．
(2)连接BF，如果AF
BF =DF
AD
，求证：EF=EP．
3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1+∠2的度数．
4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线
段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．
5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3
米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．
6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线
上的两点，且∠ECF=135°．
(1)求证：△ECA∽△CFB；
(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值
范围．
7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=
∠ACB=90°，E为AB的中点，
(1)求证：AC2=AB?AD；
(2)求证：△AFD∽△CFE．
8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，
BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 (1)求证：△ACD∽△BAC； (2)求DC的长； (3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由． 9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC 边上，DE//AC，EF//AB． (1)求证：△BDE∽△EFC． (2)设AF FC =1 2 ， ①若BC=12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平 面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？． 答案和解析 1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90°，∴∠BFC1+∠BC1F=90°，∠AC1G+∠BC1F=90°， ∴∠BFC1=∠AC1G， ∴△BC1F∽△AGC1． (2)∵C1是AB的中点，AB=6， ∴AC1=BC1=3， ∵CF=C1F，∴C1F=BC?BF=9?BF， ∵∠B=90°，∴BF2+BC12=C1F2， 即BF2+32=(9?BF)2，解得BF=4， 由(1)得△AGC1∽△BC1F， ∴AG BC1=AC1 BF ，∴AG 3 =3 4 ， 解得AG=9 4 ． 【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答． (1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题； (2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长． 2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°． ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90°． ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3． 在△ABE和△DAF中， ∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3, AB=DA, ∴△ABE≌△DAF， ∴BE=AF， ∴EF=AE?AF=AE?BE．(2)如图， ∵AF BF =DF AD ，而AF=BE． ∴BE BF =DF AD ， ∴BE DF =BF AD ， ∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3． ∵∠1=∠3， ∴∠4=∠1． ∵∠5=∠1， ∴∠4=∠5． 即BE平分∠FBP，而BE⊥EP， ∴EF=EP． 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． (1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论； (2)利用AF BF =DF AD 和AF=BE得到BE DF =BF AD ，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3， 再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似． 理由：设正方形的边长为a， AC=√a2+a2=√2a， ∵AC CF =√2a a =√2，CG AC = √2a =√2， ∴AC CF =CG AC ， ∵∠ACF=∠ACF， ∴△ACF∽△GCA； (2)∵△ACF∽△GCA， ∴∠1=∠CAF， ∵∠CAF+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°． 【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似； (2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°． 本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等 的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC， ∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC． ∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B， ∴∠AFD=∠C． ∴△ADF∽△DEC． (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8． 由(1)知△ADF∽△DEC， ∴AD DE =AF CD ， ∴DE=AD?CD AF =√3×8 4√3 =12． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2?AD2=6． 【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC； (2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长． 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 5.【答案】解：∵CD//AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴CD AB =DE BE ，即1.7 AB =3 3+BD ①， ∵FG//AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴FG AB =HG HB ，即1.7 AB =4 BD+5+4 ②， 由①②得3 3+BD =4 BD+5+4 ，解得BD=15， ∴1.7 AB =3 15+3 ，解得AB=10.2． 答：路灯A离地面的高度为10.2m． 【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可． 本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°， ∴AC =BC ， ∴∠CAB =∠CBA =45°， ∴∠CAE =180°?45°=135°， 同理∠CBF =135°， ∴∠CAE =∠CBF ， ∵∠ECF =135°，∠ACB =90°， ∴∠ECA +∠BCF =45°， ∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°， ∴∠E =∠BCF ， ∵∠CAE =∠CBF ， ∴△ECA∽△CFB ； (2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ， ∴sin45°= CB x ， ∴CB =√22x =AC ， ∵由(1)知△ECA∽△CFB ， ∴AE CB =AC BF ， ∴3√22x = √22x y ， ∴y =1 6x 2， x 的取值范围是x >0， 即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0． 【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似； (2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案． 本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力． 7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC=AC：AB， ∴AC2=AB?AD； (2)证明：∵E为AB的中点， ∴CE=BE=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAB， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE//AD， ∴△AFD∽△CFE． 【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； (2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题； 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 8.【答案】(1)证明：∵CD//AB， ∴∠BAC=∠DCA 又AC⊥BC，∠ACB=90°， ∴∠D=∠ACB=90°， ∴△ACD∽△BAC； (2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2?BC2=8， 由(1)知，△ACD∽△BAC， ∴DC AC =AC BA ， 即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ， △EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况： ①当 BF =BE 时，10?2t =t ，解得t = 103秒． ②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足 为G ， 则BG =12BF =12(10?2t).此时△BEG∽△BAC ∴BE AB =BG BC ，即 t 10=12(10?2t)6， 解得：t = 25 8； ③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂 足为H 则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC ∴BF AB =BH BC ，即 10?2t 10=12t 6， 解得：t =6017 综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或60 17秒． 【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论； (2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =AC BA ，即可得出结论； (3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论． 此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ， ∴∠DEB =∠FCE ， ∵EF//AB， ∴∠DBE=∠FEC， ∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB， ∴BE EC =AF FC =1 2 ， ∵EC=BC?BE=12?BE， ∴BE 12?BE =1 2 ， 解得：BE=4； ②∵AF FC =1 2 ， ∴FC AC =2 3 ， ∵EF//AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴S△EFC S△ABC =(FC AC )2=(2 3 )2=4 9 ， ∴S△ABC=9 4S△EFC=9 4 ×20=45． 【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论； (2)①由平行线的性质得出BE EC =AF FC =1 2 ，即可得出结果； ②先求出FC AC =2 3 ，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可 得出结果． 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10.【答案】解：根据题意可得： ∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴AB CD =AE CE ， ∴AB 1.6=21 2.5 ， ∴AB=13.44(米)． 答：教学大楼的高度AB是13.44米． 【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
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