2021年高二下学期第二次月考数学（理）试题
一、选择题（共10个小题，每题5分，共50分）
1．设复数，若为纯虚数，则实数（）
A． B. C． D．
2．设全集，则右图中
阴影部分表示的集合为 ( )
A． B． C． D．
3．等差数列中，是其前项和，，，则的值为（）
A．B．C．D．
4．已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，
输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果
为S＝n，则m＋n的值为（）
A．12 B．30 C．24 D．20
5．若变量满足，，当取最小值
时，二项式展开式中的常数项为（）
A．B．C．D．
6．函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为（）
题
主视图
左视图
第13题 A ． B ． C ． D ．
7．已知圆O ：；直线过点（0，3），倾斜角为，在区间（0，π）内随机取值，与圆O 相交于A 、B 两点，则|AB|≤的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．若f (x )是定义在R 上周期为的奇函数，且满足f (1)=1，f (2)=2，则f (xx)- f (4)的值是（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．1 9．已知函数，关于的零点的结论正确的是（ ）
A ．有三个零点，且所有零点之积大于
B ．有三个零点，且所有零点之积小于
C ．有四个零点，且所有零点之积大于
D ．有四个零点，且所有零点之积小于 10．已知直线与双曲线，有如下信息：联立方程组消 去后得到方程，分类讨论：（1）当时，该 方程恒有一解；（2）当时，恒成立。在满足
所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．若某几何体的三视图（单位：）如图，则其体积是 ．
12．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，34件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第413．如右图，在直角梯形中，，， ，，点是梯形内（包括边界）的
一个动点，点是边的中点，则 的最大值是______
14．下列有关命题的说法：
①命题“若x=y ，则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 ②命题“存在x ∈R ，使得x 2+x+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1<0 ” ③若是的必要条件，则是的充分条件； ④“”是“”的充分不必要条件
⑤函数的图像向左平移个单位,得到一个偶函数的图像
其中正确的是___________.
三、选做题（共5分，只能从下面两小题中选做一题，两题全做的，只计第一小题得分） 15．A ．(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线的参数方程为（为参数）， 直线的方程为，则曲线上的动点到直线距离的最大值为 ． B ．（不等式选讲选做题）若存在实数满足不等式，则实数的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数。
（1）若方程在上有解，求的取值范围；
（2）在中，分别是所对的边，当（1）中的取最大值，且时，求的最小值。
17．（本小题满分12分）为丰富高二理科学生的课余生活，提升班级的凝聚力，学校高二年级6个理科班（4个实验班和2个平行班）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．
求：（1）两个平行班恰好在前两位出场的概率；
（2）比赛中两个平行班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望．
19．如图，在直三棱柱中，，为的中点，且， （1）当时，求证：；
（2）当为何值时，直线与平面所成的角 的正弦值为，并求此时二面角的余弦值。
20．在平面直角坐标系中，已知12(2,0),2,0),(,),(,1),(,2)A A P x y M x N x -，若实数使得（为坐标原点）
（1）求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型；
（2）当时，若过点的直线与（1）中点的轨迹交于不同的两点（在之间），试求与面积
之比的取值范围。
21．（本小题满分14分）已知函数
（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围； （2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：对大于的任意正整数，都有。
参考答案
DDDDA AAAAD
11． 12． 1080 13． 6 14.①⑤ 15．A ． B ．
16．解：（1），在内有解…3 …5 （2）
3,()2sin(2)216
m f A A π
=∴=+
-=-，
1sin(2),226
266
A A k π
ππ
π∴+
=
∴+=+或 (7)
，当且仅当时有最大值1。 (9)
22222cos ()343a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-， (10)
有最小值
1，此时 (12)
17．解：（1）设“两个平行班恰好在前两位出场”为事件，则
所以两个平行班恰好在前两位出场的概率为………………………………4分 （2）随机变量的可能取值为. ， ， ，
………………10分 随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
因此14121401234315515153
EX =?+?
+?+?+?=， 即随机变量的数学期望为. …………………………12分
19．解：（1）设,如图建系，则
11122
(,(1,0,0),(0,1,0)22P A B C , ,
…．．．4 A
x
y
z
（2）设则，
易知面的法向量设直线与平面所成角为， 则，，， ， , ．．．8
设面的法向量 则， ．．．．．．9 设面的法向量则 ， 设二面角的大小为则 二面角的余弦值为 ．．．12 20．（1
）12(,1),(,2),(2,),()OM x ON x A P x y A P x y ==-=+=-
化简得：．．．．．．2
○1．时方程为 轨迹为一条直线．．．．．．3 ③．时方程为轨迹为圆．．．．．．4 ③．时方程为轨迹为椭圆 ．．．．．．．5 ④．时方程为轨迹为双曲线。 ．．．．6 （2）点轨迹方程为，
1211
2,222
OBE OBF S x S x ??∴=
??=?? ．．．．．．7 设直线直线方程为，联立方程可得：。
2222121222
122112()64364162,,(4,)6(12)26(12)31
(,1)(1,3)3
x x x x k k k x x k x x k x x +∴==++>∴∈?++∴
∈?．10
由题意可知：，所以 ．．．．．13
21．解：（1）∵ ∴ ．．．．．．1 ∵ 函数在上为增函数 ∴ 对恒成立 对恒成立，即对恒成立∴ 4分 （2），
当时，对恒成立，的增区间为 ．．．．．．5 当时，，
的增区间为，减区间为（）．．．．．．6
wDh R 21754 54FA 哺F31577 7B59 筙~27112 69E8 槨27196 6A3C 樼zlO