当前位置：文档之家› 2012届高三数学一轮复习：数列练习题1

2012届高三数学一轮复习：数列练习题1

第6章第1节

一、选择题

1．(2010·重庆文，2)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

[答案] A

[解析] 由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.

2．(文)若数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝log3(n ＋1)，则a5等于( )

A ．log56

B ．log365

C ．log36

D ．log35 [答案] B

[解析] a5＝S5－S4＝log36－log35＝log365.

(理)(2010·常德市检测)已知数列{an}的前n 项的和Sn 满足Sn ＝2n －1(n ∈N*)，则数列{an2}的前n 项的和为( )

A ．4n －1

B.13(4n －1)

C.43(4n －1)

D ．(2n －1)2 [答案] B

[解析] n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，

又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an ＝2n －1(n ∈N*)．

设bn ＝an2，则bn ＝(2n －1)2＝4n －1，

∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n 项和Tn ＝1×4n －14－1

＝13(4n －1)．

3．(2009·广东湛江模拟)已知数列{an}的通项an ＝na nb ＋c

(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则an 与an ＋1的大小关系是( )

A ．an>an ＋1

B ．an

C ．an ＝an ＋1

D ．不能确定

[答案] B

[解析] an ＝na nb ＋c ＝a b ＋c n

， ∵y ＝c n 是单调减函数，

∴an ＝a b ＋c n

为递增数列，

因此an

4．设an ＝－3n2＋8n －1，则数列{an}中的最大项的值是( )

A.133

B ．4

C ．3

D.163 [答案] B

[解析] ∵an ＝－3(n －43)2＋133，且n ∈Z ，∴当n ＝1时，an 取最大值，即最大值为a1＝4.

5．数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋2n ＋1，则{an}的通项公式为( )

A ．an ＝2n －1

B ．an ＝2n ＋1

C ．an ＝?

???? 4 n ＝12n －1 n≥2 D ．an ＝?????

4 n ＝12n ＋1 n≥2 [答案] D

[解析] a1＝S1＝4，n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1，

∴an ＝?????

4 n ＝12n ＋1 n≥2. 6．如果f(a ＋b)＝f(a)·f(b)(a ，b ∈R)且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2010f 2009等于( )

A ．2007

B ．2009

C ．2008

D ．2010

[答案] D

[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，

∴f n ＋1f n ＝f(1)＝2，

∴f 2f 1＋…＋f 2010f 2009＝2×1005＝2010.

7．(2010·山东济南)设数列{an}满足：a1＝2，an ＋1＝1－1an ，记数列{an}的前n 项之积为Πn ，

则Π2010的值为( )

A ．－12

B ．－1 C.12 D ．1

[答案] D

[解析] ∵an ＋2＝1－1an ＋1＝1－11－1an

＝1－an an －1＝11－an ，an ＋3＝1－1an ＋2

＝1－111－an ＝1－(1－an)＝an ，

∴{an}是周期为3的周期数列，又a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝11－a1

＝－1，从而Π3＝－1， ∴Π2010＝(－1)670＝1，故选D.

8．(09·湖北)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x]，令{x}＝x －[x]，则??

????5＋12，??????5＋12，5＋12( )

A ．是等差数列但不是等比数列

B ．是等比数列但不是等差数列

C ．既是等差数列又是等比数列

D ．既不是等差数列也不是等比数列

[答案] B

[解析] ∵??

????5＋12＝1， ∴????

??5＋12＝5＋12－1＝5－12. 一方面：5－12＋5＋12＝5≠1×2，

∴不成等差数列．另一方面：5＋12×5－12＝5－1

4＝1＝12，

∴三者成等比数列．

故选B.

9．(文)将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )

A ．34950

B ．35000

C ．35010

D ．35050

[答案] A

[解析] 在按“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为

1的等差数列，前99组数的个数共有1＋99992

＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.

(理)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行

有n 个数且两端的数均为1n (n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋

16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )

12 12

13 16 13

14 112 112 14

15 120 130 120 15

…

A.11260

B.1840

C.1504

D.1360

[答案] B

[解析] 设第n 行第m 个数为a(n ，m)，则由题意知a(7,1)＝17，a(8,1)＝18，a(9,1)＝19，a(10,1)

＝110，

故a(10,2)＝a(9,1)－a(10,1)＝19－110＝190；

a(8,2)＝a(7,1)－a(8,1)＝17－18＝156；

a(9,2)＝a(8,1)－a(9,1)＝172；

a(10,3)＝a(9,2)－a(10,2)＝1360；

a(9,3)＝a(8,2)－a(9,2)＝1252；

a(10,4)＝a(9,3)－a(10,3)＝1840.

[点评] 依据“莱布尼兹调和三角形”的规则可知a(n ，m)＝a(n ＋1，m)＋a(n ＋1，m ＋1)．

10．(2010·鞍山市检测)函数f(x)满足：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，且对任意正数x ，y 都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}满足f(an ＋1)－f(a n)＝f(3)，n ∈N ＋，a3＝27，则a1的值为( )

A ．1

B ．3

C ．6

D ．9

[答案] B

[解析] 当x ＝y ＝1时，f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，

∴f(x·1x )＝f(x)＋f(1x ) (x>0)，

即f(1x )＝－f(x)，

∴对任意正数x 、y 都有f(x)－f(y)＝f(x)＋f(1y )＝f(x y )，∴由f(an ＋1)－f(an)＝f(3)得f(an ＋1an )＝f(3)，

∵函数f(x)满足，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，

∴an ＋1an ＝3，

∵a3＝27，∴a1＝3.

二、填空题

11．(2010·金华十校)数列{an}满足：log2an ＋1＝1＋log2an ，若a3＝10，则a8＝________.

[答案] 320

[解析] 由log2an ＋1＝1＋log2an 得，

an ＋1an ＝2，∴{an}是等比数列，∴a8＝a3×25＝320.

12．(2010·安师大附中)观察下图：

2 3 4

34567

45678910

……

则第________行的各数之和等于20092.

[答案]1005

[解析]通过观察题图可发现规律：第n行的第一个数为n，且第n行共有2n－1个连续的

正整数，故有(2n－1)n＋2n－12n－2

2×1＝(2n－1)2＝20092，∴n＝1005.

13．已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：

记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(21,12)＝________.

a2a3a4

a5a6a7a8a9

… … … … … … … … … …

[答案]412

[解析]由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行

有Sn＝n[1＋2n－1]

2＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第一个数

为401，第12个数为412，即A(21,12)＝412.

14．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.

[答案]n2－2n＋21

[解析]∵an＋1－an＝2n－1，

∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，

an－an－1＝2n－3，n≥2.

∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

＝n－12n－2

2＝(n－1)2.

∴an＝20＋(n－1)2＝n2－2n＋21.

三、解答题

15．(文)已知等差数列{an}中，d>0，a3a7＝－16，a2＋a8＝0，设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.

求：

(1){an}的通项公式an ；

(2)求Tn.

[解析] (1)设{an}的公差为d ，则

???? a1＋2d a1＋6d ＝－16a1＋d ＋a1＋7d ＝0， ∴?

???? a1＋8da1＋12d2＝－16a1＝－4d ，解得????? a1＝－8d ＝2或?????

a1＝8d ＝－2(舍去) ∴an ＝2n －10.

(2)当1≤n≤5时，

Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)

＝－－8＋2n －102

·n ＝9n －n2. 当n≥6时，

Tn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋a6＋a7＋…＋an

＝－2(a1＋a2＋…＋a5)＋a1＋a2＋…＋an

＝－2×－8＋0×52＋－8＋2n －102

·n ＝n2－9n ＋40.

综上，Tn ＝????? 9n －n2 1≤n≤5n2－9n ＋40 n≥6.

(理)(2010·湖北黄冈)已知数列{an}中，a1＝1，an ＝an －1·3n －1(n≥2，n ∈N*)，数列{bn}的前

n 项和Sn ＝log3???

?an 9n (n ∈N*)． (1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{|bn|}的前n 项和．

[解析] (1)log3an ＝log3(an －1·3n －1)

＝log3an －1＋(n －1)，

∴log3an －log3a1＝(log3a2－log3a1)＋(log3a3－log3a2)＋…＋(log3an －log3an －1) ＝1＋2＋…＋(n －1)＝n n －12，

∴log3an ＝n n －12，

∴Sn ＝log3????an 9n ＝n2－5n 2(n ∈N)*

∴b1＝S1＝－2，当n≥2时，bn ＝Sn －Sn －1＝n －3，

∴数列{bn}的通项公式bn ＝n －3(n ∈N*)．

(2)设数列{|bn|}的前n 项和为Tn ，

当bn ＝n －3≤0即n≤3时，Tn ＝－Sn ＝5n －n22；

当n>3时，Tn ＝Sn －2S3＝n2－5n ＋122.

∴Tn ＝????? 5n －n22 n≤3

n2－5n ＋122 n>3.

16．(2010·北京东城区)设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＝1，Sn ＝nan －n(n －1)

(n ＝1,2,3，…)．

(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an 关于n 的表达式；

(2)若数列{1

anan ＋1}前n 项和为Tn ，问满足Tn>100209的最小正整数n 是多少？

[解析] (1)当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1

＝nan －(n －1)an －1－2(n －1)，

得an －an －1＝2(n ＝2,3,4，…)．

∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列。

∴an ＝2n －1.

(2)Tn ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1

an －1an

＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1

2n －12n ＋1

＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12????1－1

2n ＋1＝n

2n ＋1

由Tn ＝n

2n ＋1>100209得n>1009，满足Tn>100209的最小正整数为12.

17．(文)已知数列{an}和{bn}满足a1＝m ，an ＋1＝λan ＋n ，

bn ＝an －2n 3＋49.

(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．

(2)当λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．

[解析] (1)证明：当m ＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{an}是等差数列，

由a1＋a3＝2a2得，λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，

即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．

故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．

(2)当λ＝－12时，an ＋1＝－12an ＋n ，bn ＝an －2n 3＋49.

bn ＋1＝an ＋1－2n ＋13

＋49 ＝???

?－12an ＋n －2n ＋13＋49 ＝－12an ＋n 3－29

＝－12???

?an －2n 3＋49＝－12bn. 又b1＝m －23＋49＝m －29，

∴当m≠29时，数列{bn}是以m －29为首项，－12为公比的等比数列；

当m ＝29时，数列{bn}不是等比数列．

(理)(2010·重庆中学)设数列{an}的各项均为正数，前n 项和为Sn ，已知4Sn ＝an2＋2an ＋1(n ∈N*)．

(1)证明{an}是等差数列，并求an ；

(2)设m 、k 、p ∈N*，m ＋p ＝2k ，求证：1Sm ＋1Sp ≥2Sk ；

(3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

[解析] (1)∵4Sn ＝an2＋2an ＋1，

∴4Sn －1＝an －12＋2an －1＋1(n ≥2)．

两式相减得4an ＝an2－an －12＋2an －2an －1.

整理得(an ＋an －1)(an －an －1－2)＝0，

∵an ＋an －1≠0，∴an －an －1＝2(常数)．

∴{an}是以2为公差的等差数列．

又4S1＝a12＋2a1＋1，即a12－2a1＋1＝0，解得a1＝1，

∴an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.

(2)由(1)知Sn ＝n 1＋2n －12

＝n2，∴Sm ＝m2，Sp ＝p2，Sk ＝k2. 由1Sm ＋1Sp －2Sk ＝1m2＋1p2－2k2＝k2m2＋p2－2m2p2m2p2k2

≥m ＋p 22·2mp －2m2p2m2p2k2≥mp·2mp －2m2p2m2p2k2

＝0，即1Sm ＋1Sp ≥2Sk . (3)结论成立，证明如下：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，则Sn ＝na1＋n n －12d ＝n a1＋an 2

， ∵Sm ＋Sp －2Sk ＝ma1＋m m －12d ＋pa1＋p p －12

d －[2ka1＋k(k －1)d] ＝(m ＋p)a1＋m2＋p2－m ＋p 2

d －[2ka1＋(k2－k)d]，把m ＋p ＝2k 代入上式化简得

Sm ＋Sp －2Sk ＝m －p 2d 4

≥0， ∴Sm ＋Sp≥2Sk.

又Sm·Sp ＝mp a1＋am a1＋ap 4

＝mp[a12＋a1am ＋ap ＋am·ap]4

≤???

?m ＋p 22[a12＋2a1·ak ＋am ＋ap 22]4

＝k2a12＋2a1ak ＋ak24＝k2a1＋ak 24

＝Sk2， ∴1Sm ＋1Sp ＝Sm ＋Sp SmSp ≥2Sk Sk2＝2Sk .

故原不等式得证．

求数列通项专题高三数学复习教学设计

假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计海南华侨中学邓建书课题名称求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时）科目高三数学年级高三（5）班教学时间 2009年4月10日学习者分析数列通项是高考的重点内容必须调动学生的积极让他们掌握！教学目标一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究体会从特殊到一般又到特殊的认识事物规律培养学生主动探索勇于发现的求知精神二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下渗透函数、方程的思想教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足若不满足必须写成分段函数形式；若满足

则应统一成一个式子. 教学资源多媒体幻灯教学过程教学活动1 复习导入第一组问题：数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件求数列的通项公式（1）；（2）；解题方法：观察递推关系的结构特征可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项（3）解题方法：观察递推关系的结构特征联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列从而间接求出通项教学活动2 变式探究变式1：数列中求思路：设由待定系数法解出常数

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ，所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

2011届高三数学一轮巩固与练习：数列

巩固 1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1 k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1 n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1 k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2a n ＋3，则a 5＝( ) A ．108 B.1 108 C ．161 D.1 161 解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝ a 3 2a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161 . 3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，从而有a n ＝a n －1＋ln n n －1

a n －1＝a n －2＋ln n －1 n －2 ? ? a 2＝a 1＋ln2 累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2) 1) ＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A. 4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)．答案：n (n －1) 5．数列53，108，17 a ＋ b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是 ________．解析：从上面的规律可以看出????? a ＋ b ＝15 a － b ＝26 ，解上式得????? a ＝412 b ＝－11 2. 答案：(412，－11 2) 6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)．解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，归纳通项公式为a n ＝(n －1)2.