2016-2017学年第二学期期末质量监测试题
高一数学
本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是
正确的． 1. 与60-
角的终边相同的角是
A. 300
B. 240
C. 120
D. 60
2. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的
A. 左上方
B. 左下方
C. 右上方
D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是
A. 45-
B. 43
C. 35-
D. 35 4. 不等式2
3100x x -->的解集是
A ．{}|25x x -≤≤
B ．{}|5,2x x x ≥≤-或
C ．{}|25x x -<<
D ．{}|5,2x x x ><-或
5. 若3sin ,5αα=-
是第四象限角，则cos 4πα??
+ ???
的值是
Ａ．
45
B ．10 Ｃ．10
Ｄ．
1
7
6. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是
A ．若||a b >，则2
2
a b > B ．若||a b >，则2
2
a b > C ．若||a b ≠，则2
2
a b ≠ D ．若a b >，则0a b -<
7. 要得到函数3sin(2)5
y x π
=+
图象，只需把函数3sin 2y x =图象
A ．向左平移
5π个单位 B ．向右平移5π
个单位 C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10
π
个单位
8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则
PA PB PC PD +++
等于
A. 4PM
B. 3PM
C. 2PM
D. PM
9. 若3cos 25
α=，则44
sin cos αα+的值是
A. 1725 B ．45 Ｃ．65 D ． 3325
10. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是
A. 4
B.
C. 2
D. 11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为
A ．36
B ．36-
C ．6
D ．6-
12. 若钝角ABC ?的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值
范围是
A ．1,2（）
B ．2+∞（，）
C ．[3,)+∞
D ．(3,)+∞
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．
14. 若关于x 的方程2
0x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．
15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤??
+≤??≥-?
则2z x y =+的最大值是 ．
16.
设
2()sin cos f x x x x =，则()f x 的单调递减区间是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)
1n n a q S q
-=-．
18．（本小题满分12分）
已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．
（1）若a 与b 的夹角120θ=
，求||+a b 的值；
（2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.
19.（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；
（2）若2a =，b c =，求ABC ?的面积．
D
A
20．（本小题满分12分）
已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12
n n n a S n
++=
(1,2,3,)n = ． （1）证明：数列n S n ??
?
???
是等比数列； （2）设21
1
2n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21.(本小题满分12分)
某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地
距离.
km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得
∠75ACB = ，45BCD ∠= ，30ADC ∠= ，45ADB ∠=
（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B
准备多长的电线？
22.(本小题满分12分)
已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，
sin ,sin sin A B C =（）
a ，(1,2)=-
b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.
2016-2017学年第二学期期末质量监测
高一数学参考答案与评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题
填空题 13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+,12
12k k k π
πππ?
?
+
∈?
??
?
Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)
1n n a q S q
-=-．
证法1：（错位相减法）因为1
1n n a a q -=， …………………………………2分
所以1111n n
S a a q a q -=+++ …………………………………4分 211111n n n qS a q a q a q a q -=++++ …………………………………6分
所以11(1)n n
q S a a q -=- …………………………………8分
当1q ≠时，有1(1)
1n n a q S q
-=-． …………………………………10分
证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，
所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L …………………………………2分
所以112
)1(a q a a -=-，
223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分 相加得n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分 所以当q ≠1时，111(1)
11n n n a a a q S q q
+--==
--. …………………………………10分 证法3：（拆项法）当q ≠1时，
11111111a a q q
a a q q q
-=?
=----， …………………………………2分 2
11211111a q a q q a a q q q q -=?=-
---，……， 11111111n n
n n a q a q q a a q q q q
---=?=-
---， …………………………………8分 以上n 个式子相加得
q
q a q q a q a S n n n --=
---=1)
1(11111. …………………………………10分
18．（本小题满分12分）
已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．
（1）若a 与b 的夹角120θ=
，求||+a b 的值；
（2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.
题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）
解：（1）1|||cos1201212??
=??-
=- ???
a b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++
a a
b b …………………………………3分 2
2|2|=++ a |a b b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，
所以2||+a b 2
2|2|1243=++=-+= a |a b b |，…………………………………5分
所以||+=
a b . …………………………………6分 （2）因为()()k k +⊥-a b a b ， 所以()()0k k +-= a b a b ， …………………………………7分
即222
0k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，
所以2
40k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分
19.（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；
（2）若2a =，b c =，求ABC ?的面积．
（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得
sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分 在ABC ?中，C A B π=--，所以
sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分
由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分 又(0,)A π∈，所以4
A π
=
． …………………………………6分
解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得
222
sin 2a c b c a b A ac
+-=?+， …………………………………2分
即222
2sin b c a bc A +-=， …………………………………3分
由余弦定理得222
2cos b c a bc A +-=
由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分
又(0,)A π∈，所以4A π
=
． …………………………………6分
（2）ABC ?的面积1sin 2S bc A ==， …………………………………7分
由2a =，及余弦定理得
222242cos b c bc B b c =+-=+， …………………………………8分