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多元微分机考题

多元微分机考题
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微分方程习题及答案

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. (1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 (2)?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数.) (1)1) (22=++y C x ; (2)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 (1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 (2)曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,,PQ 为y 轴平分。 (3)曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,0)。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解 (1)2211y y x -='-; (2)0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ; (3)23xy xy dx dy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ; (2)21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程 (1)2)(y x y +='; (2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11 +-='y x y

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理

(整理)多元函数微分习题

第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A

微分方程例题选解

微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解:原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+, 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =,23=y ,得1=C ,所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解:令ux y =,u x u y '+=',原方程化为 2 u u u x u -='+, 分离变量得 dx x u du 1 2 =-, 积分得 C x u +=ln 1 , 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解:此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x , 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=, 得 0)2(4 224=--y y x x d , 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注:此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解:设y p '=,则dx dp y ='',原方程化为 21p dx dp +=, 分离变量得 dx p dp =+2 1,积分得 1arctan C x p +=, 于是 )tan(1C x p y +==', 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解:特征方程为 0222 =--r r ,特征根为 i r ±=1, 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。

多元函数微分学习题

6 .函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3.设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定,则当 u y u 2 v 2 4.设 f (x, y)是一二元函数, (x 0,y 0) 是其定义域的一点, 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续,则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在,则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在,则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微,则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答:D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答:A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 .设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36,中等题 37—87,难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ,则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答:C (D) 与 斜交。 (A) 连续,偏导数存在 (B) (C) 不连续,偏导数存在 (D) 答:C 连续,偏导数不存在 不连续,偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答:B y uv 2.二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5.函数 f(x,y,z) x ( )

微分方程(习题及解答)

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中,不是微分方程的是( ) . (A)2xy y '=; (B)222x y C +=; (C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( ). (A)1; (B)2; (C)3; (D)4; 答(C). 3. 下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( ). (A)1cos y C x =; (B)2sin y C x =; (C)cos sin y x C x =+; (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中,可分离变量的方程是( ). (A)x y y e +'=; (B)xy y x '+=; (C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(A). 5. 下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( ). (A)x y y e +'=; 2(B)xy y x '+=; (C)0y xy x '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(D). 二、填空题 1.函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 . 答:是 . 2.微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 . 答:2225x y +=. 3.微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 . 答:32 52 x x y C =++. 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 . 答: Cx y e =. 5'=的通解是 . 答:arcsin arcsin y x C =+. 6.微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是. 答: Cx y e x =. 三、解答题 1.求下列微分方程的通解. (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=; (2) 2()y xy a y y '''-=+; 解: 解: (3) d 10d x y y x +=; (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

高等数学多元函数微分法

第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容: 一、 区域 1. 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点,δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即 ),(0δP U =}{0δδ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。 2. 区域 设E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点。如果存在点P 的某一邻域E P U ?)(,则称P 为E 的内点。显然,E 的内点属于E 。 如果E 的点都是内点,则称E 为开集。例如,集合 }41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点,因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中,E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如,}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 h r V 2 π=。 这里,当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时,V 的对应值就随之确定。

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?=

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A

第八章多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容: 一、区域 1.邻域 设P o(x°,y。)是xoy平面上的一个点,是某一正数。与点P o(X o,y°)距离小于:的 点p(x,y)的全体,称为点p的「?邻域,记为U(P0,、),即 U(P°,、)= {P PPo < }, 也就是 U (P o,、)= {(X, y)丨..(X -X。)2(y - y o)2、}。 在几何上,U(P o「J就是xoy平面上以点p o(x o,y。)为中心、:-0为半径的圆内部 的点P(x,y)的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P) E, 则称P为E的内点。显然,E的内点属于E。 如果E的点都是内点,则称E为开集。例如,集合E, ={(x, y)1 vx2+ y2£4}中每个点都是E,的内点,因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也可以不属于E ),则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中,E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o

设D是点集。如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于 D,则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如,{(x, y) x + y a 0}及{( x, y)d 0}及{(x, y) | 1< x y <4} 都是闭区域。 对于平面点集E ,如果存在某一正数r,使得 E U(0,r), 其中0是原点坐标,则称E为有界点集,否则称为无界点集。例如,{(x,y) | K x2 y2< 4}是有界闭区域,{(x, y) | x y>0}是无界开区域。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 V =二r2h 。 这里,当r、h在集合{(r,h) r 0,h 0}内取定一对值(r,h)时,V的对应值就随之确定。 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 RT P =— V 其中R为常数。这里,当V、T在集合{(V,T) V >0,T >T0}内取定一对值(V,T)时,p的 对应值就随之确定。 定义1设D是平面上的一个点集。称映射 f : D》R为定义在D上的二元函数,通 常记为 z 二f(x, y) , (x, y) D (或z 二f(P) , P D )。 其中点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z称为因变量。数集

多元函数微分习题

多元函数微分学 1.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 2.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连 续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 3.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答:A 4.函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全 微分的( )。 (A).充分条件 (B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答C 5.对于二元函数z f x y =(,),下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是 ( )。 (A).偏导数不连续,则全微分必不存在 (B).偏导数连续,则全微分必存在 (C).全微分存在,则偏导数必连续 (D).全微分存在,而偏导数不一定存在 答B 6.二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系( )。 (A).可微(指全微分存在)? 可导(指偏导数存在)?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续,但可导不一定连续 (D).可导?连续,但可导不一定可微 答C

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1.已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?,且x x f =)0,(,求出),(y x f 的表达式。 2.(1)讨论极限y x xy y x +→→00lim 时,下列算法是否正确?解法1:0111lim 00=+=→→x y y x 原式;解法2:令kx y =,01lim 0=+=→k k x x 原式;解法3:令θcos r x =,θsin r y =,0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 (2)证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3.证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围,使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ,讨论 (1)),(y x f 在)0,0(处是否连续? (2)),(y x f 在)0,0(处是否可微? 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ,求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=,)ln(y x t +=,求x u ??,y x u ???2。 8. 设)(u f z =,方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数,其中)(),(u u f ?可微,)(),(u t p ?'连续,且 1)(≠'u ?,求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=,uv y 2=,v u z ln 2=,求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定: 2=-xy e xy ,dt t t e z x x ?-=0sin ,求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '=',证明:),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念

①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时,()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限,比如:极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等(见例2) 例1证明:2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0()的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点,可考虑选择路径 2x ky =。 证明: 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++, k ∴不同,极限值就不同,故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

微分方程习题及解答

第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中,不是微分方程的是( ) . (A)2xy y '=; (B)222x y C +=; (C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( ). (A)1; (B)2; (C)3; (D)4; 答(C). 3. 下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( ). (A)1cos y C x =; (B)2sin y C x =; (C)cos sin y x C x =+; (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中,可分离变量的方程是( ). (A)x y y e +'=; (B)xy y x '+=; (C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(A). 5. 下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( ). (A)x y y e +'=; 2(B)xy y x '+=; (C)0y xy x '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(D). 二、填空题 1.函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 . 答:是 . 2.微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 . 答:2225x y +=. 3.微分方程23550x x y '+-=的通解是. 答:32 52 x x y C =++. 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 . 答: Cx y e =. 5'的通解是 . 答:arcsin arcsin y x C =+. 6.微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是 . 答:Cx y e x =. 三、解答题 1.求下列微分方程的通解. (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=; (2) 2()y xy a y y '''-=+; 解: 解: (3) d 10d x y y x +=; (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解: 解: 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) 20,0x y x y e y -='==; (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==; 解: 解: (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==; (4) d 10d x y y x +=. 解: 解:

多元函数微分学习题

第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为: 平面方程:0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程: 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程:()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程:2 22R y x =+ 椭球面方程:()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>, 椭圆抛物面方程:22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程:22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程:122 2222=-+c z b y a x (a ,b ,c >0) 双叶双曲面方程:222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程:222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义:在某一过程中,若对变化范围D 的每一对值(,)x y ,在变域M 中存在z 值,按一定对应法则f 进行对应,有唯一确定的值,则称f 为集合D 上的二元函数, 记为 ,x y 称为自变量,D 称为定义域,z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ,称为函数 值,函数值的集合称为值域。 多元函数的极限:设函数(,)f x y 在开区间(或闭区间)D 内有定义,000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ,总存在正数d ,使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?,都有

多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用 (讲授法18学时) 上册研究了一元函数微分法,利用这些知识,我们可以求直线上质点运动的速度和加速度,也可以求曲线的切线的斜率,可以判断函数的单调性和极值、最值等,但这远远不够,因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说,研究自然现象总离不开时间和空间,确定空间的点需要三个坐标,所以一般的物理量常常依赖于四个变量,在有些问题中还需要考虑更多的变量,这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广,所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方,但也有许多不同的地方,学生在学习这部分内容时,应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性,了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配: 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点: 重点: 1.多元函数的极限与连续; 2.偏导数的定义;全微分的定义 3.多元复合函数的求导法则;隐函数的求导法则 4.方向导数与梯度的定义 5.多元函数的极值与最值的求法 难点: 1.多元函数微分学的几个概念,即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系; 2.多元复合函数的求导法则中,抽象函数的高阶导数; 3.由方程组确定的隐函数的求导法则; 4.梯度的模及方向的意义; 5.条件极值的求法

多元函数微分习题.doc

一、选择题 1. z = In ^x~ - y 的定义域是 ( A ) A. {(x 9y)lx 2 {(x,y)|x 2 > j} ; C. {(x, y)\x 2 o ) △.VT O A. lim 心 TO A X C lim + E %)一 '(尤0,光) Av->0 Ar 3.如果/(x, y)具有二阶连续偏导数, 心 D. 1血/(*。见+颂)一'"。,光) Ay->0 则 3"(x ,y) = dxdy Ax A. 0 R 32 /(x,y) 0: B - IF - y/g) D. 4. A. C. 5. dydx 函数z = f(x, y)在点(x 0, y 0)处连续是函数在该点处nj 微分的 充分但不必要条件; B.必要但不充分条件; 必要且充分条件; D.既不充分也不必要条件. 设z= . 1 则下列结论中正确的是 Jl-f 之 在xoy 平面上连续; 在圆周%*" + y 2 = 1上间断; B.在xoy 平面上,只有(0,1)、(1,0)为间断点; D.在工2 + y2 < 1内连续. A. C. 二、计算题 1. 已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-l) f(u + 2v,uv). 解:因为 f(x, y) = x y + 2xy i 7 所以 /(2-l) = 2-1 +2x2x(—1) = — -4 = -- f(u + 2v, wv) = (" + 2v)HV + 2(w + 2v) ? uv 2. 求下列极限: ⑴lim 业4 11 V 2 y->0 】 r* 解:lim^2 = 11 V )—0 J J_ ⑵ lim(l-2xy)3. 10 y->0 「 xsin(xj ,2) hm / 八 sin(xjr) limx - lim —7_TT — = 1 勇)S') 1 解:lim(l-2刈)方 XT O ),T O y- ?0 limj[(l + (-2刈))巨7 > XT O ⑶ lim,"3 持 Jxy + i -2 解:lim\件3 = Rm "-4 =脸(而*一2)(应T + 2) 拦i 而+ 1 -2 而+ 1 -2捋 y/xy + 1-2

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=(或0 lim (,)P P f x y A →=)的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法: (1)令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ,若极限值与k 有关,则可断言 函数极限不存在; (2)找两种不同趋近方式,若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在,但两者不相等, 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商, 等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似: 例1.用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2(03年期末考试 三、1,5分)当0,0→→x y 时,函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在?证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ,讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在? 例4(07年期末考试 一、2,3分)设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ,讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在?

例5.求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1. 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在(0,0)处的连续性。 例2. (06年期末考试 十一,4分)试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。 例3.求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 .(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义) 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在,则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? (相当于把y 看成常数!所以求偏导数本质是求一元函数的导数。)

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