第5讲 对数与对数函数
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[知识梳理]
1．对数的概念
如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作 log a N ＝b ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数．
2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a ＞0且a ≠1, M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝ log a M ＋log a N ； ②log a M
N ＝ log a M －log a N ；
③log a M n ＝ n log a M (n ∈R )；
④log am M n ＝
n
m log a
M (m ，n ∈R ，且m ≠0) . (2)对数的性质
①a log a N ＝ N ；②log a a N ＝ N (a ＞0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式： log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝ log a d .
3．对数函数的图象与性质
指数函数y ＝a x 与对数函数 y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．
[知识感悟]
1．辨明三个易误点
(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1. (2)对公式要熟记，防止混用．
(3)对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0＜a ＜1和a ＞1分类讨论，否则易出错．
2．对数函数图象的两个基本点
(1)当a ＞1时，对数函数的图象“上升”； 当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．
(2)对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，????1
a ，－1，函数图象只在第一、四象限．
[知识自测]
1．(log 29)·(log 34)等于( ) A.1
4 B.1
2 C ．2
D ．4
[解析] 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2
lg 2·lg 3＝4.
法二：原式＝2log 23·log 24
log 23＝2×2＝4.
[答案] D
2．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M
N
最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073
D ．1093
[解析] 设M N ＝x ＝33611080，两边取对数，lg x ＝lg 3361
1080＝lg 3361－lg 1080＝361×lg 3－80＝
93.28，所以x ＝1093.28，即M
N
最接近1093，故选D.
[答案] D
3．(2018·成都模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为 ________ . [解析] 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3＞0，得3
4＜x ≤1.
[答案] ????
34，1
题型一 对数的基本运 (基础保分题，自主练透)
(1)
(log 23)2－4log 23＋4＋log 21
3
＝
( )
A ．2
B ．2－2log 23
C ．－2
D ．2log 23－2
(2)1
2lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是______． (3)已知2x ＝12，log 21
3
＝y ，则x ＋y 的值为______．
(4)(2017·课标Ⅰ)设x 、y 、z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x
D ．3y ＜2x ＜5z
[解析] (1)(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2 ＝2－log 23，
又log 21
3＝－log 23，两者相加即为B.
(2)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－1
2.
(3)∵2x ＝12，∴x ＝log 212， ∴x ＋y ＝log 212＋log 21
3＝log 24＝2.
(4)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k ＞1)， 则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8＞1，则2x ＞3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32＜1， 则2x ＜5z ，故选D.
[答案] (1)B (2)－1
2
(3)2 (4)D
方法感悟 对数运算的一般思路
1．首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
3．a b ＝N ?b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
【针对补偿】 1．(3＋2)2log (3－
2)
5＝(
)
A ．1 B.1
2
C.14
D.15
[解析] 原式＝(3＋2)log(3－2)5 ＝(3＋2)log(3＋2)15＝15.
[答案] D
2.(lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2
＝ ________ .
[解析] 原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1????32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)
＝(1－lg 3)·3
2
(lg 3＋2lg 2－1)
(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1) ＝－32.
[答案] －3
2
3．若log 147＝a,14b ＝5，则用a ，b 表示log 3528＝ ________ . [解析] ∵14b ＝5，∴log 145＝b ，又log 147＝a ， ∴log 3528＝log 1428
log 1435＝log 14
1427log 145＋log 147＝2－a a ＋b .
[答案]
2－a
a ＋b
4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m ＝ ________ .
[解析] ∵2a ＝5b ＝m ＞0，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m 2＝10，∴m ＝10. [答案]
10
题型二 对数函数的图象及应用(重点保分题，共同探讨)
(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常
数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A ．a ＞1，c ＞1
B ．a ＞1,0＜c ＜1
C ．0＜a ＜1，c ＞1
D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1
[解析] 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a ＜1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.
[答案] D
(2)(2018·合肥月考)当0＜x ≤1
2时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )
A.?
??
?0，
22 B.??
?
?
22，1
C ．(1，2)
D ．(2，2)
[解析] 法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在????0，12上的图象，可知，f ????12＜g ???
?1
2， 即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为????2
2，1.
法二：∵0＜x ≤1
2，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，
∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝1
2
，
则有412＝2，log 121
2＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.
[答案] B
方法感悟
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、
值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【针对补偿】
5．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是
( )
A ．0＜a －
1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －
1＜a ＜1 D ．0＜a －
1＜b －
1＜1
[解析] 由函数图象可知，f (x )在R 上递增，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1＜log a b ＜0，解得1a ＜b ＜1.综上有0＜1
a
＜b ＜1.
[答案] A
6．(2018·成都一诊)设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a ＜b )，则( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＞1 C ．2a ＋b ＞0
D ．2a ＋b ＞1
[解析] 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，
由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.所以0＝ab ＋a ＋b ＜(a ＋b )2
4＋a
＋b ，
即(a ＋b )(a ＋b ＋4)＞0， 显然－1＜a ＜0，b ＞0， ∴a ＋b ＋4＞0.∴a ＋b ＞0.故选A. [答案] A
题型三 对数函数的性质及应用(高频考点题，多角突破) 考向一 求函数的定义域
1．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6
x －3的定义域为( )
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)∪(3,4]
D ．(－1,3)∪(3,6]
[解析] 由?????
4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3
＞0，得?????
－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
[答案] C 考向二 比较大小
2．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
[解析] 因为f (x )是奇函数且在R 上是增函数，所以在x ＞0时，f (x )＞0，从而g (x )＝xf (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)，20.8＜2，又4
＜5.1＜8，则2＜log 2 5.1＜3，所以即0＜20.8＜log 2 5.1＜3，g (20.8)＜g (log 2 5.1)＜g (3)，所以b ＜a ＜c ，故选C.
[答案] C
考向三 简单的对数不等式的解法
3．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )＞g (1)时，x 的取值范围是______．
[解析] 当g (lg x )＞g (1)时，f (|lg x |)＞f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |＞1，从而lg x ＞1或lg x ＜－1，解得0＜x ＜1
10
或x ＞10.
[答案] ???
?0，1
10∪(10，＋∞) 考向四 由对数的单调性求参数或自变量的取值范围
4．(2018·中山模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为______．
[解析] 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1 3 . 当01恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且0 ?1，8 3 方法感悟 应用对数函数性质的常见题型与求解策略： 7．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)设a ＝log 54，b ＝log 23，c ＝(log 0.23)2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c [解析] ∵a ＝log 54∈(0,1)，b ＝log 23＞1，c ＝(log 0.23)2＝(log 53)2＜log 53＜log 54，∴b ＞a ＞c .故选D. [答案] D 8．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) [解析] 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在 (－∞，1]上递减，则有????? g (1)＞0，a ≥1，即????? 2－a ＞0，a ≥1， 解得1≤a ＜2，即a ∈[1,2)． [答案] A ◆牛刀小试·成功靠岸◆ 课堂达标(八) [A 基础巩固练] 1．(2018·武汉调研)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) [解析] 若函数y ＝a |x |(a ＞0， 且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的图象如图所示．故选B. [答案] B 2．已知a ＝2log 34.1，b ＝2log 32.7，c ＝???? 12log 30.1，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b [解析] c ＝????12log 30.1＝2log 310，由于函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且log 310>log 34.1>log 32.7故c >a >b . [答案] D 3．对于任意实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[1]＝1，[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，则[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋[log 24]＋…＋[log 232]＝( ) A ．103 B ．104 C ．128 D ．129 [解析] [log 21]＝0，[log 22]＝[log 23]＝1，[log 24]＝[log 25]＝…＝[log 27]＝2，[log 28]＝[log 29]＝…＝[log 215]＝3，[log 216]＝[log 217]＝…＝[log 231]＝4，[log 232]＝5，当原式＝0＋2×1＋4×2＋8×3＋16×4＋5＝103. [答案] A 4．设f (x )＝lg ? ????x －a 1－x 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x 1－x ，定义域为(－1,1)． 由f (x )＜0，可得0＜1＋x 1－x ＜1，∴－1＜x ＜0.故选A. [答案] A 5．若实数，c 满足log a 2＜log b 2＜log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b [解析] 由log a 2＜log b 2＜log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1＜c ＜b ＜a ；②0＜a ＜1＜c ＜b ； ③0＜b ＜a ＜1＜c ；④0＜c ＜b ＜a ＜1.对照选项可知A 中关系不可能成立． [答案] A 6．(2018·东北三校联考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝?? ? ?22x －1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.????14，1 B ．(1,4) C ．(1,8) D ．(8，＋∞) [解析] 依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知， 要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有? ???? a ＞1log a (6＋2)＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，故选D. [答案] D 7．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为 ________ . [解析] 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝????log 2x ＋122－14≥－1 4，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12 时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－1 4. [答案] －1 4 8．(2018·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是 ________ . [解析] 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ????a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1， 化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－????a －122＋1 4， 又0＜a ＜b ＜1， 所以0＜a ＜1 2， 故0＜－????a －122＋14＜14. [答案] ??? ?0，14 9．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间???? 12，23上恒有f (x )＞0，则实数a 的取值范围是 ________ . [解析] 当0＜a ＜1时，函数f (x )在区间????12，23上是减函数，所以log a ????4 3－a ＞0，即0＜4 3 －a ＜1， 解得13＜a ＜43，故1 3 ＜a ＜1； 当a ＞1时，函数f (x )在区间????12，23上是增函数， 所以log a (1－a )＞0，即1－a ＞1， 解得a ＜0，此时无解． 综上所述，实数a 的取值范围是????13，1. [答案] ????13，1 10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间????0，3 2上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2. 由? ??? ? 1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 函数f (x )在????0，3 2上的最大值是f (1)＝log 24＝2. [B 能力提升练] 1．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞) [解析] 函数f (x )＝|lg x |的大致图象如图所示． 由题意结合图知0＜a ＜1，b ＞1. ∵f (a )＝|lg a |＝－lg a ＝lg 1 a ＝f ( b )＝|lg b |＝lg b ， ∴b ＝1a .∴a ＋2b ＝a ＋2a . 令g (a )＝a ＋2 a ，则易知g (a )在(0，2)上为减函数， ∴当0＜a ＜1时，g (a )＝a ＋2 a ＞g (1)＝1＋2＝3.故选C. [答案] C 2．(2018·黄冈模拟)若函数f (x )＝log 1 2(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增， 则实数m 的取值范围为( ) A.????43，3 B.???? 43，2 C.????43，2 D.????43，＋∞ [解析] 先保证对数有意义，即－x 2＋4x ＋5＞0， 解得－1＜x ＜5.又可得二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝－4 2×(－1)＝2，由复合 函数单调性可得函数f (x )＝log 1 2 (－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)， 要使函数f (x )＝log 1 2(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需 ???? ? 3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2， 解得4 3 ≤m ＜2.故选C. [答案] C 3．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝______. [解析] 根据已知函数f (x )＝|log 2x |的图象知，0＜m ＜1＜n ，所以0＜m 2＜m ＜1，根据函数图象易知，当x ＝m 2时取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0＜m ＜1，解得m ＝1 2.再 结合f (m )＝f (n )求得n ＝2，所以n ＋m ＝5 2 . [答案] 5 2 4．已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0 [解析] 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ??? ?a 1－a ·b 1－b ＝0， 从而a 1－a ·b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1， 故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－????a －122＋14. 又0 2 ， 故0<－????a －122＋14<1 4，即ab ∈????0，14. [答案] ??? ?0，14 5．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1 (a ＞0，a ≠1)是奇 函数． (1)求实数m 的值； (2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明； (3)当x ∈(n ，a －2)时，函数f (x )的值域是(1，＋∞)，求实数a 与n 的值． [解] (1)∵函数f (x )＝log a 1－mx x －1 (a ＞0，a ≠1)是奇函数． ∴f (－x )＋f (x )＝0解得m ＝－1. (2)由(1)及题设知：f (x )＝log a x ＋1 x －1， 设t ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1， ∴当x 1＞x 2＞1时，t 1－t 2＝2x 1－1－2x 2－1 ＝ 2(x 2－x 1) (x 1－1)(x 2－1) ∴t 1＜t 2.当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 同理当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)由题设知：函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)，∴①当n ＜a －2≤－1时，有0＜a ＜1.由(1)及(2)题设知：f (x )在为增函数，由其值域为(1，＋∞)知????? log a 1＋n n －1＝1a －2＝－1 (无解)； ②当1≤n ＜a －2时，有a ＞3.由(1)及(2)题设知：f (x )在(n ，a －2)为减函数，由其值域为(1，＋∞)知???? ? n ＝1log a a －1 a －3 ＝1得a ＝2＋3，n ＝1. [C 尖子生专练] 已知函数f (x )＝ln x ＋1 x －1 . (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m (x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)由x ＋1 x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞1， ∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f(－x)＝ln －x＋1 －x－1 ＝ln x－1 x＋1＝－ln x＋1 x－1＝－f(x)， ∴f(x)＝ln x＋1 x－1是奇函数．(2)由x∈[2,6]时， f(x)＝ln x＋1 x－1＞ln m (x－1)(7－x) 恒成立． ∴x＋1 x－1＞ m (x－1)(7－x) ＞0， ∵x∈[2,6]， ∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上成立． 令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]， 由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，x ∈[2,6]时， g(x)min＝g(6)＝7，∴0＜m＜7. 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 | 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47) a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 对数极对数函数题型总结 例题讲解 一、利用对数恒等式化简求值 1．求值： 2．求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 二、积、商、幂的对数 3．求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 4．已知3a=5b=c，，求c的值. 5．设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 6．已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 三、换底公式的运用 7．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 8．求值：(1)；(2)；(3). 9． 10． 11．四、对数运算法则的应用 12．9．求值 13．(1) log89·log2732 14．(2) 15．(3) 16．(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 17． 18．10．求值： 19． 11．已知：log23=a，log37=b，求：log4256=? 五、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 12. 求下列函数的定义域. (1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a11，k?R). 13．函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 六、函数图象问题 七、14．作出下列函数的图象： 八、(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx. 九、 七、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值. 15．已知则（） A．B．C．D． 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 对数与对数函数-知识点与题型归纳 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数 (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2 3 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a == 指数函数和对数函数 知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．正数的分数指数幂，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> （1）r a ·s r r a a += ；（2）rs s r a a =)( ；（3） s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明： ○1 注意底数的限制0>a ，且a x N a =?log ；③注意对数的书 写格式． N a log 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2、对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且 1≠c ；0>b ） ． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． 3、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量， 高考指数函数和对数函数 一.基础知识 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方 根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)] b (f ),a (f [ 或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对 指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2log =a ，6log 7=b ，8.0log 2=c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<<a 且1≠a ），则()f x 一定过点（ ） A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时，函数()32-=-x a x f 必过定点（ ） 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点（ ） 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点（ ） 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2，则a =（ ） 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点，则b a ,分别为（ ） A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点总结(供参考)
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
对数函数典型例题
对数极对数函数题型总结
高一数学必修一对数及对数函数知识点总结
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数与对数函数-知识点与题型归纳
指数函数和对数函数 知识点总结
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高三总复习-指对数函数题型总结归纳
对数函数知识点总结