博士研究生入学考试大纲
考试科目名称：现代数字信号处理
一、考试要求：
要求考生全面系统地掌握现代数字信号处理的理论、算法及实现方法，并且能够综合应用所学的知识分析和解决问题的能力。
二、考试内容：
1）离散时间信号与系统基础理论
a: 线性移不变系统的线性移不变和时域因果稳定性的判定；
b：z正变换和其反变换的计算方法；
c：z变换的收敛域及z变换的性质；
d: DFT的定义、重要性质及应用；
e: 基-2 DIT—FFT和基-2 DIF—FFT算法的基本思想及特点（算法思想，运算量，运算流图，结构规则等）。
2) 数字滤波器的基本结构及设计方法
a：用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；
b：FIR 数字滤波器窗函数的设计方法及特点，窗长对频谱的影响。
3) 平稳随机信号
a: 平稳随机信号定义及其特征描述；
b: 均值、自相关函数计算及平稳性的判断；
c: 平稳随机信号通过线性系统输出估计（包括自相关函数和功率譜等）；
d: 平稳随机信号的各态遍历性的相关知识。
4) 功率譜估计
a: 自相关函数的估计方法；
b: 经典功率譜估计的基本方法；
c: 直接法和间接法估计的质量；
d: 平稳随机信号的参数模型；
e: AR模型的正则方程与参数计算；
三、试卷结构：
题型结构
a: 定理、概念应用及基本计算题
b: 综合计算、分析题
四、参考书目
程佩青，数字信号处理教程（第二版），清华大学出版社，2001
胡广书，数字信号处理-理论、算法与实现（第二版）下篇，清华大学出版
社，2003
现代数字信号处理
沈阳工业大学2009年博士招生（二） 一、填空（每空1分，共15分）
1、 单位脉冲响应分别为)(1n h 和)(2n h 的两线性系统相串联，其等效系统函数时
域
及
频域
表达
式
分别
是
)
(n h =
)
(*)(21n h n h ，
)(ωj e H =[])()()(*)(2121ωωj j e H e H n h n h DTFT ?=。
2、 两个有限长序列)(1n x 和)(2n x 长度分别是1N 和2N ，在做线性卷积后结果
长度是121-+N N 。
3、 若系统有一个移变的增益，则此系统一定是移变系统。
4、 一个因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在z 平面的单位圆内。
5、 滤波器的信号流图表示中，输入节点又称为源节点。
6、 FFT 算法可以分为两大类，即按时间抽选法和按频率抽选法。
7、 设计FIR 滤波器时，对窗函数要求窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带；
尽量减少窗谱最大边瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。
8、 对随机信号θ估计的偏差为[]{}{}θθθθθ
-=-=???E E bia ；若[]0?=θbia ，则称θ?为θ的无偏估计；如有[
]0?lim =∞
→θbia N ，则称θ?为θ的渐近无偏估计。 9、 随机信号的功率谱表现的是信号功率随频率ω的变换情况。对平稳随机信号
X(n)，它的自功率谱是平稳随机信号X(n)自相关函数的傅里叶变换。 二、简答题（每题2分，共20分） 1、 什么是周期序列，并判断()???
??-=87
3cos ππ
n A n x 的周期性。
答：周期序列的定义是：对于一个正整数N ，如果序列()n x 满足
()()mN n x n x -=，其中m 为任意整数，则我们称序列()n x 为周期序列，满足
该式的最小正整数N 即称序列()n x 的周期。根据周期序列的定义可以判断，序列()???
??-=87
3cos ππ
n A n x 是周期序列，其周期大小为14。
2、 用DFT 计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题，试述减小频谱泄露的
方法。 答：减小频谱泄露的方法是提高频谱的物理分辨率，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT 计算的点数，使DFT 相邻谱线间隔计算的有效点数
采样频率DFT ==
?L f f s 尽可能的小。 3、 说明傅里叶变换与拉普拉斯变换，以及傅里叶变换与z 变换之间的关系。 答： 连续时间信号)(t x 的拉普拉斯变换的定义式是：()[]?∞
∞--==dt e t x t x L s X st )()(，
（其中拉普拉斯算子s 是复数，Ω+=j s σ，Ω代表的物理含义为模拟角频率）；而)(t x 的傅里叶变换的定义式是：
()[]?∞
∞
-Ω-==dt e t x t x F s X t j )()(，可以看出，连续时间信号)(t x 的傅里叶变换
是其拉普拉斯变换在s 平面虚轴0=σ上的特例，它表明信号)(t x 各种频率分量（包括幅度和相位）随角频率Ω的分布情况。而对于离散时间序列()n x 而言，其z 变换的定义式是：()[]∑∞
∞
--=
=n
z
n x n x Z z X )()(，（其中算子z 是复数，
ωj re z =，ω代表的物理含义为数字角频率）；而)(n x 的傅里叶变换的定义式是：
()[]∑∞
∞
--==n
j j e
n x n x DTFT e
X ωω
)()(，可以看出，序列)(n x 的傅里叶变换是其
z 变换在z 平面单位圆1=z 上的特例，它表明信号)(n x 各种频率分量（包括幅度和相位）随角频率ω的分布情况。
4、 如果IIR 滤波器的有理系统函数表示为)
()
(1)(1
z X z Y z a z
b z H N k k
k M
k k
k =
-=
∑∑=-=-，则用直接I 型结构和直接II 型结构分别需要多少级延时单元？
答：用直接I 型结构需要M+N 级延时单元，用直接II 型结构需要max{M ，N}
级延时单元。
5、 说明频域抽样不失真的条件。
答：对于M 点的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样点数N 要大于等于M ，即：N ≥M 。
6、 FIR 滤波器具有线性相位的条件是什么？
答：FIR 滤波器的单位脉冲响应)(n h 的长度若为N ，则其具有线性相位特征的条件是：（1）I 类线性相位FIR 滤波器：)1()(n N h n h --=；或（2）II 类线性相位FIR 滤波器：)1()(n N h n h ---=。
7、 说明无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的特点。
答：（1）单位脉冲响应)(n h 无限长；（2）系统函数)(z H 具有非0极点；（3）系统具有递归结构；（4）一般都具有非线性相位特性；（5）相同阶数的IIR 滤波器比FIR 滤波器具有更窄的过渡带；（6）在相同的设计指标要求下，IIR 滤波器比FIR 滤波器阶数要低。
8、 什么是宽平稳随机信号？
答：对随机信号X(n)，若其均值E{X(n)}为常数a ，其方差E{|X(n)-a|2}亦为常数σ2
，同时其自相关函数E{X(n1) X *(n2)}与n1、n2的选取无关，而仅与n1、n2之差有关，则称X(n)是宽平稳的随机信号。
平稳信号满足三个条件：1. 均值为与时间无关的常数，2. 均方有界，3. 自相关函数与信号时间的起始点无关，只和时间差有关。宽平稳信号的方差和均方也是与时间无关的。
9、 简述维纳-欣钦定理。
答：功率信号x （n ）的自相关函数R x （m ）与其功率谱密度函数P x （ω）互为傅里叶正反变换关系，即[]∑∞
-∞
=-=
=m m j X
X X e m R
m R DTFT P ωω)()()(。
10、 对信号自然截短时，其自相关函数会发生什么变化？ 答：
三、（15分）求下列序列的z 变换及收敛域 1、()()n u a n x n
=
答：
∞≤<--z a ROC az :111
2、()()()n u n n x 0cos ω=
答：
∞≤<+-----z ROC z z z 1:cos 21cos 12
010
1ωω
3、()()3)(--=n u n u n x 答：∞≤≤++--z ROC z z 0:12
1
四、（15分）有一频谱分析用的FFT 处理器，其抽样点数必须是2的整数次幂，
假设没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力≤10Hz ，信号最高频率≤4kHz ，确定以下参量： 1、 最小记录长度0T
答：()s f T Hz f 1.010
1
1100==?≥∴≤?频率分辨力
2、 抽样点间的最大时间间隔T 答：根据Nyquist 采样定理：()s kHz
f T H μ12542121=?=≤ 3、 在一个记录中最少点数N 答：()点80010
1251.0601=?=≥
-T T N ，由 抽样点数必须是2的整数次幂，()点1024
=∴N 五、（10分）画出下列系统函数的信号流图：
1、()()()()()
2
1
1
2
1
1
5.0125.01264.524.14379.02------+--+--=
z z z z z z z H
2、321
5.18.20.29
6.0)(---+++=z z z
z H
六、（15分）分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR 低通滤波器，
要求如下：
()
???≤=-其它
,
0,c
j j d e e
H ωωωαω
，()()[]()
αωαωπω--?=
n n n h c c c d sin ，其中α=12s ，c ω=1rad （已知汉宁窗函数为()()n R n N n w N ?
?
?
??
???? ?
?--=12cos 121π）
七、（10分）已知平稳信号X(n)的自相关函数()1,<=a a m r m
x ，求其功率谱。
沈阳工业大学2010年博士招生（一） 一、填空（每空1分，共15分）
1. 单位脉冲响应分别为)(1n h 和)(2n h 的两线性系统相串联，其等效系统函数
时域及频域表达式分别是
)(1n h =)(*)(21n h n h ，
)(ωj e H =[])()()(*)(2121ωωj j e H e H n h n h DTFT ?=。
2. 两个有限长序列)(1n x 和)(2n x 长度分别是1N 和2N ，在做线性卷积后结果
长度是121-+N N 。
3. 线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是单位采样响应h （n ）=0（n<0）。
4. 对于第m 级运算，一个DIT 蝶形运算的两节点的距离为（共有L 级蝶形运
算）1
2
-m 。
5. N 阶线性相位FIR 滤波器的对称中心为N/2。
6. 设序列()n n x δ=)(，其z 变换的收敛域为∞≤≤z 0。
7. 1=z 上的z 变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换。 8. 离散的非周期信号的频谱具有周期性和连续性。
9. 设计FIR 滤波器时，对窗函数要求窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带；
尽量减少窗谱最大边瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。
10. 随机信号的功率谱表现的是信号功率随 的变换情况。对平稳随机信号
X(n)，它的功率谱是 的傅里叶变换。 二、简答题（每题2分，共20分） 1、 简述系统的频率响应的意义。
2、 用DFT 计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题，试述减小频谱泄露的
方法。 答：减小频谱泄露的方法是提高频谱的频率分辨力，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT 计算的点数，使
计算的有效点数
采样频率DFT ==
?L f f s 尽可能的小。 3、 试述线性卷积与圆周卷积的关系。
4、 如果IIR 滤波器的有理系统函数表示为()()()
z X z Y z a z
b z H N k k
k M
k k
k =
-=
∑∑=-=-1
01，则用直接I 型结构和直接II 型结构分别需要多少级延时单元？ 5、 分别说明信号时域和频域抽样能够不失真恢复的条件。 6、 FIR 滤波器具有线性相位的条件是什么？ 答：
7、 说明无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的特点。 答：
8、 什么是宽平稳随机信号？
答：对随机信号X(n)，若其均值E{X(n)}为常数a ，其方差E{|X(n)-a|2}亦为常数σ2
，同时其自相关函数E{X(n1) X *(n2)}与n1、n2的选取无关，而仅与n1、n2之差有关，则称X(n)是宽平稳的随机信号。 9、 简述维纳-欣钦定理。
答：功率信号x （n ）的自相关函数R x （m ）与其功率谱密度函数P x （ω）互为傅里叶正反变换关系，即[]∑∞
-∞
=-==m m
j X
X X e m R
m R DTFT P ωω)()()(。 10、
解释随机信号的各态历经性或遍历性。
三、（10分）已知线性移不变系统的输入为()n x ，系统的单位抽样响应为()n h ，
试求系统输出()n y 。
1、()()2-=n n x δ，()()n R n h n 35.0=
2、()()12--=n u n x n
，()()n u n h n
5.0=
四、（10分）已知()n x 是N 点有限长序列，()()[]n x DFT k X =。现将长度变成
rN 点的有限长序列()n y ，()()??
?-≤≤-≤≤=1,
01
0,rN n N N n n x n y ，试求rN 点
[])(n y DFT 与)(k X 的关系。
五、（10分）有一频谱分析用的FFT 处理器，其抽样点数必须是2的整数次幂，
假设没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力≤10Hz ，信
号最高频率≤4kHz ，确定以下参量： 1、 最小记录长度0T
2、 抽样点间的最大时间间隔T
3、 在一个记录中最少点数N
六、（10分）根据幅度平方函数()(
)
(
)(
)
2
22
22
16492536Ω+Ω+Ω-=ΩA ，确定系统函数
()s H a 。
七、（15分）分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR 低通滤波器，
要求如下：
()
???≤=-其它
,
0,c
j j d e e
H ωωωαω
，()()[]()
αωαωπω--?=
n n n h c c c d sin ，其中α=12s ，c ω=1rad （已知汉宁窗函数为()()n R n N n w N ?
?
?
??
???? ?
?--=12cos 121π）
八、（10分）讨论乘法调制信号：()()()θω+=t t X t Y 0cos ，其中，()t X 是实
广义平稳信号，0ω是确定量，相位θ在[]ππ,-均匀分布，θ与()t X 统计独立。试讨论()t Y 的广义平稳性。
沈阳工业大学2010年博士研究生招生（二）
一、填空（每空1分，共15分）
1. 线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是单位采样响应h （n ）=0（n<0）。
2. 若系统有一个移变的增益，则此系统一定是移变系统。
3. 在滤波器结构中，能够准确实现滤波器零极点的滤波器是 型，能够限制误
差传播的滤波器结构是 型。
4. 设)(n x 的z 变换为()?
?
? ??++??? ??+-=----2122
83451411411z z z z z X ，如果)(n x 为右
边序列，其收敛域为 。
5. FIR 滤波器具有线性相位的条件是相位函数 或 。
6. 如果IIR 滤波器的有理系统函数表示为()()()
z X z Y z a z
b z H N k k
k M
k k
k =
-=
∑∑=-=-1
01，则用直接I 型结构需要 级延时单元，直接II 型结构需要 级延时单元。 7. 由N 个 组成的向量X ，{}T
N X X X X ,,,21 =称为随机向量。
8. 对于随机信号)(n X ，若其 为常数， 为有限值且为常数， 和1n ，2
n 的选取与起点无关，只与1n ，2n 之差有关，则称()n X 为宽平稳随机信号。 二、简答题（每题2分，共10分）
1、 用DFT 计算连续时间信号时可能出现的问题。
答：用DFT 计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题。减小频谱泄露的方法是提高频谱的频率分辨力，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT 计算的点数，使
计算的有效点数
采样频率DFT ==
?L f f s 尽可能的小。 2、 说明无限长单位冲激响应滤波器的特点。 答：
3、 窗口函数对滤波器理想特性的影响有哪些？
1.Hd(w)在截止频率的间断点变成了连续的曲线，使得H(w)出现了一个过渡带，它的宽度等于窗函数的主瓣的宽度。由此可见，如果窗函数的主瓣越宽，过渡带就越宽。
2.由于窗函数旁瓣的影响，使得滤波器的幅度频率特性出现了波动，波动的幅度取决于旁瓣的相对幅度.旁瓣范围的面积越大，通带波动和阻带的波动就越大，换句话说，阻带的衰减减小。而波动的多少，取决于旁瓣的多少。
3.增加窗函数的长度，只能减少窗函数的幅度频率特性w(w)的主瓣宽度，而不能减少主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。换句话说，增加截取函数的长度N 只能相应的减小过渡带，而不能改变滤波器的波动程度。
随着N 的加大，振荡变密，主瓣变窄；主瓣与旁瓣的幅度亦有所加大，但主 瓣与旁瓣的相对比例不变（吉布斯现象）。
归纳起来：
（1）调整窗口长度N 可以控制过渡带的宽度，但不能减小尖峰的大小； （2）改变窗的形状可以减小带内波动和加大阻带衰减。
为了满足工程上的需要，可以通过改变窗函数的形状来改善滤波器的频率特性，而窗函数的选择原则是:
a.具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度。
b.旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻带的衰减。 c 主瓣的宽度要窄，这样可以得到比较窄的过渡带。
通常上述的几点难以同时满足。当选用主瓣宽度较窄时，虽然能够得到比较陡峭的幅度频率响应，但是通带和阻带的波动明显增加;当选用比较小的旁瓣幅度时，虽然能够得到比较平坦和匀滑的幅度频率响应，但是过渡带将加宽。因此，实际中选用的窗函数往往是它们的折衷。在保证主瓣的宽度达到一定要求的条件下，适当地牺牲主瓣的宽度来换取旁瓣的波动减小。 以上是从幅度频率特性设计方面对窗函数提出的要求，实际中设计FIR 滤波器往往要求是线性相位的，因此要求w (n)满足线性相位的条件，即要求w(n)满足：W(n)=W (N 一1一n)
4、 简述各态历经性信号的数字特征的物理意义。
5、 试说明对信号自然截短时，其自相互函数会发生什么变化。 答：
三、（10分）判断下列每个序列是否为周期性的序列，如果是周期的，确定其周
期。 1、()???
??-=87
3cos ππ
n A n x
2、()??
?
??=n A n x 3
13sin π 3、()??
? ??-=ππ6j e
n x
四、 （10分）求下列序列的z 变换及收敛域 1、()()()n u n n x 0cos ω= 2、()()3)(--=n u n u n x
五、（10分）设有两序列
()()??
?≤≤=其它0
50n n x n x ，
()()()?
?
?≤≤==其它014
0n y n n y n x ，各作15点的DFT ，然后将两个DFT 相乘，再求乘积的IDFT ，设所得结果为f(n)，问f(n)的那些点对应于x(n)*y(n)
线性卷积应得到的点。
六、（10分）序列x(n)={14,12,10,8,6,10}是周期为6的周期性序列，求其一个周
期的傅里叶级数的系数。
七、（15分）一个线性时不变因果系统由下面的差分方程描述
()())1(2
1
)1(41-+=-+
n x n x n y n y 。 1、 求系统函数及其收敛域；
2、 求该系统的单位取样响应；
3、 求该系统的频率响应。
八、（10分）设模拟滤波器的系统函数为()3
42
2++=
s s s H a ，用冲激响应不
变法，设计IIR 数字滤波器的系统函数（()z H ）和频率响应（()ω
j e
H ）
，（令T=1）。
九、（10分）一个简单的两点差分器可用下式来描述：
()()[])2(2
1
--=
n x n x n Y ，它可以用来近似计算信号的斜率，设()n X 为一零均值，方差为2
σ的白噪声信号，试求输出Y(n)的自相关函数和功率谱。
沈阳工业大学2011年博士招生 一、（20分）填空（每空2分）
1. 矩形
2. 对
3. 设
4. 在
5. FIR
6. 下图
7. 若
8. 对
9. 经典
10. 在工程实际中所遇到的功率谱中，既有峰点又有谷点的谱，被称为
ARMA 谱。 二、（10分）已知()()??
?
??+=792sin ππ
n n x n y ，判断：
（1）该系统是否为线性系统，为什么？
（2）该系统是否为移不变系统，为什么？
三、（10分）求下列序列的Z 变换，并求出对应的零极点和收敛域。 （1）();1,<=a a n x n
解：()[]()a
z z
az az z a z
a z
n x n x Z z X n n n n n
n n n
-+
-=
+=
=
=∑∑∑∞
=---∞
=--∞
-∞
=-1)(0
1
ROC ：;1
a
z a <
（2）()()00,0,sin ωω≥=n n n n x 为常数。 解 ： 设 ()()() n u n n y ?=0s i n ω则有 ()[]()()()2 01010 0c o s 21s i n s i n )(---∞ =-+-=?==∑z z z z n n y Z z Y n n ωωω ROCY ：;1∞≤ ()()()() n u n n n y n n x ??=?=0sin ω∴ ()()() ()()[ ] 2 2 01021cos 21sin 1----+--=?-=z z z z z Y dz d z z X ωω ROCX=ROCY ：;1∞≤ ωωj j e z e z -==zeros ：;;0;1;1∞==-==z z z z 四、（15分）若(){ }1,1,11=n x 的3点序列，(){}5,4,3,2,12=n x 的5点序列，如 下图2所示： 画出：（1）()()();211n x n x n y *= 答：()()(){};5,9,12,9,6,3,1211=*=n x n x n y （2）()()n x n y 11=○5();2n x 答：()()n x n y 11=○5(){}; 12,9,6,8,102=n x （3）()()n x n y 12=○8();2 n x 答：()()n x n y 12=○8(){};0,5,9,12,9,6,3,12 =n x 五、（15分）用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，要求截止频率 Hz f p 200=，阻带起始频率Hz f st 300=，通带最大衰减dB p 3=α，阻带 最小衰减dB s 20=α，抽样频率Hz F s 800=。 解：已知：Hz F s 800=，dB p 3=α，故若以Butterworth 滤波器为AF 原型， 则Hz f f c p 200== （1） 预畸变：()sample rad F f s p c p /5.0800 200 22πππωω=?= ?= = ()sample rad F f s st st /75.0800 300 22πππω=?=?= 在采用双线性变换法时有：?? ? ??=??? ??=Ω2tan 22tan 2ωωs F T ∴ AF 的 3dB 截 止 频 率 ()o n d r a d F p s p c s e c /160 025.0t a n 80022t a n 2=??? ????=? ?? ? ??=Ω=Ωπω 阻 带 起 始 频 率 ()ond rad F st s st sec /83tan 1600275.0tan 80022tan 2?? ? ??=??? ????=??? ??=Ωππω （2） 设计AF （Butterworth ） 2.609583tan 16001600lg 2110110lg lg 2110110lg 201.031.01.01.0=?? ???? ???????????? ? ???? ?????? ??--=?? ???????? ??ΩΩ? ??? ??--≥??πααs p s p N 故AF （Butterworth ）阶数N=3 dB 3截止频率() () ()ond rad N p sec /3.60111 10 1600 1 10 6 13 .021p c =-= -Ω= Ωα 由此得归一化的3阶AF （Butterworth ）的系统函数1 221 )(23+++=s s s s H 反归一化得 3 阶 AF （Butterworth ）的系统函数 322 3 3 22)()(c c c c s s a s s s s H s H c Ω+Ω+Ω+Ω==Ω= （3） 双线性变换： ∵1 111 111600160080022211----+-?=∴=?===+-? =z z s F T c z z c s s () () ()( )()() () () 3 213 1 3 1 2 11 1 2 13 13 1 1122 113 113 3 1122 113 1131120001.03333.00015.0111669.01106.4112053.8111987.81096.41106.41601 1116003.160121116003.160121116003.16013 .160111160021116002111600)()(1 1-----------------------+-?=++++= +++-++-+-+= +??? ? ??+-??+???? ??+-??+???? ??+-?=ΩΩ+??? ? ??+-?Ω+???? ??+-?Ω+???? ??+-?Ω= =--z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z s H z H c c c c c z z s a （20分）设X(t)是一个平稳随机信号，()τX r ，()ΩX P 分别为X(t)的自相关函数及功率谱密度，Ф是在()ππ,-内均匀分布的随机变量。令 ()()()Φ+Ω=t t X t Y 0cos ，0Ω为常数，X 与Ф相互独立。求： （1）()t Y 的均值： 答：()[]()[][]()[]Φ+Ω?=Φ+Ω?=t E t X E t t X E t Y E 00cos )(cos )( []()[]00)(21 cos )(0=?=Φ? Φ+Ω?=?-t X E d t t X E π π π （2）()t Y 的自相关函数： 答 ： ()[]()()()()[] Φ+Ω+Ω+?Φ+Ω=+?=+ττττ000c c )(),(t t X t t X E t Y t Y E t t r Y ()[]()()[] ()()()[]()()[]{()()()()()()()()ττττπτττττττττττππ0000000000000cos 2 1 cos 2 1 2122cos 21cos 21cos 22cos 2 1 cos 22cos 21cos cos )(Ω?=+Ω?==Φ?Φ+Ω+Ω?+Ω?=+Φ+Ω+Ω?=??????Ω+Φ+Ω+Ω?=Φ+Ω+Ω?Φ+Ω?+?=?-X X X X X X r r d t r r t E r t E r t t E t X t X E （3）分析()t Y 是宽平稳的吗？ 答：()[]()[]{}(){}() [][]()[][] 2 2 2 2 02 2 )(cos )(cos )(0)(t X E t E t X E t t X E t Y E t Y E t Y E t Y D ≤Φ+Ω?=Φ+Ω?=-=-= ∵X(t)平稳，∴[]2 )(t X E 有界，故()[]t Y D 亦有界，又∵[]0)(=t Y E 为常数且 )(),(ττY Y r t t r =+与时间起点无关，∴()t Y 是宽平稳的。 （4）()t Y 的功率谱密度()ΩY P 。 答：根据维纳-欣钦定理： ()[]()()()()[]()[]()[]ττπτττττ000cos 41cos 21cos 21)(Ω*=Ω=?? ????Ω==ΩF r F r F r F r F P X X X Y Y ()()()[]()()[]00004 1 41Ω-Ω+Ω+Ω=Ω-Ω+Ω+Ω*Ω= X X X P P P δδππ 六、（10分）用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器， () ()? ??-≤≤≤≤-=--c c j j d e e H ωπωπ ωωπαπωω 0,0,，其中πω5.0=c ，N=51，汉宁窗 函数为()()n R n N n w N ????? ???? ??--= 12cos 121π。 求：h （n ）的表达式。 解：由() ()? ??-≤≤≤≤-=--c c j j d e e H ωπωπωωπαπωω 0,0,可知，理想线性相位高通滤波器 的 单 位 采 样 响 应 ()()[] ()()()()()()()()()()()()()[] ()()() []()() ()() [ ] ()[]()()[]π αωωαπαωαπαπαπαπωπωωπ ωωπωπ παωωαωωαππααωωπαππαπαωωπααωπαπωπαωπωπαωπαωπωπαωπαπωπαωπαωππαωπαπωπωαπωωππωαπωπ πω ωω -??-= --?=--?=----=??????-=?? ?????=???????+?=?? ? ????+?=?==+---+---+----+ +--+----+----+----- ??????n )1(n sin 222221212121n n c c n c n j n j j n j j n n j n j j n j n j j n j j n j j n j j n j j n j j n j j n j j d j d d Sa n e e e n j e e e e n j e e e n j e n j e e d e e d e e d e e d e e d e e d e e H e H IDTFT n h c c c c c c c c c c c c c c c c c c 汉宁窗函数为()()()n R n n R n N n w N 5125cos 12112cos 121??? ?? ???? ??-=????????? ??--= ππ ()()[]25n 5.05.0)1(n 252 1 -??-=?=-= παSa h N n d 则汉宁窗高通数字滤波器的单位采样响应： ()()()()[]() ()[]() n R n Sa n R n Sa n w h h n n d 515125cos 125n 5.025.0)1(25cos 12125n 5.05.0)1(n n ??? ?? ???? ??-?-??-=??? ?????? ??-?-??-=?=ππππ 沈阳工业大学2012年博士招生 一、（8分）填空（每空2分） 1. 经典谱估计的间接法中，本功率谱是通过 间接得到的。 2. 矩形序列()n N R 与单位阶跃序列()n u 之间的关系为 。 3. 若一FIR 低通滤波器()n h 的长度为M ，当M 增大时，通带内出现波纹， M 继续增大时，这些波纹并不消失，只是最大的上冲越来越接近于间断点c ω，则这种现象称作吉布斯效应。 4. 对平稳信号()n X 而言，若他的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二 阶统计特性和单一样本在长时间内的统计特性一致，则称()n X 为遍历 （各态历经性）信号。 二、（12分）简答题（每小题3分） 1. 简述LSI 系统的因果性？ 2. 窗函数的使用对经典谱估的影响？ 3. 在使用DFT 时，频谱的分辨能力与信号长度的关系？ 4. 自相关函数的估计方法通常有哪两种？ 三、（10分） 四、（10分） 五、（10分） 六、（10分） 七、（ 10 分 ） 令 ()()()(){}{} 1,1,12,1,0h ==h h h n ， ()()()()()(){}{}5,4,3,2,14,3,2,1,0==x x x x x n x ，求()n x 和()n h 的线性卷积。 八、（10分）若()n x 、()n h 为3点序列，()()()(){}{}1,1,12,1,0==x x x n x ， ()()()(){}{} 1,2,22,1,0==h h h n h ，其线性卷积结果 ()()()()()(){}{}1,4,7,6,24,3,2,1,0==y y y y y n y ，试用循环卷积来计算该线 性卷积。 答： 九、（10分）试用双线性Z 变换法设计一个数字低通滤波器，给定技术指标为： Hz f p 100=， Hz f st 300=， dB p 3=α， dB s 20=α，抽样频率 Hz F s 1000=。 解：已知：Hz f p 100=，Hz f st 300=，Hz F s 1000=，dB p 3=α，dB s 20=α， 故若以Butterworth 滤波器为AF 原型，则Hz f f c p 100== （1） 预畸变：()sample rad F f s p c p /2.01000 100 22πππωω=?= ?= = ()sample rad F f s st st /6.01000 300 22πππω=?=?= 在采用双线性变换法时有：?? ? ??=??? ??=Ω2tan 22tan 2ωωs F T ∴ AF 的 通 带 截 止 频 率 ()ond rad F p s p sec /649.839422.0tan 100022tan 2=??? ????=? ?? ? ??=Ωπω 阻 带 起 始 频 率 ()ond rad F st s st sec /8.2752 26.0tan 100022tan 2=??? ????=?? ? ??=Ωπω （2） 设计AF （Butterworth ） 1.59318.27528394.649lg 2110110lg lg 2110110lg 201.031.01.01.0=??? ?????? ? ????? ??--=?? ???????? ??ΩΩ? ?? ? ??--≥??s p s p N αα 故AF （Butterworth ）阶数N=2 dB 3截止频率() () ()ond rad N p sec /650.6114 1 10 8394 .6491 10 4 13 .021p c =-= -Ω= Ωα 由此得归一化的3阶AF （Butterworth ）的系统函数1 21 )(2 ++=s s s H 反归一化得 3 阶 AF （Butterworth ）的系统函数 2 2 2 2)()(c c c s s a s s s H s H c Ω+Ω+Ω= =Ω= （3） 双线性变换： ∵1 111 1120002000100022211----+-?=∴=?===+-? =z z s F T c z z c s s 实验6 数字滤波器的网络结构 一、实验目的： 1、加深对数字滤波器分类与结构的了解。 2、明确数字滤波器的基本结构及其相互间的转换方法。 3、掌握用MA TLAB 语言进行数字滤波器结构间相互转换的子函数及程序编写方法。 二、实验原理： 1、数字滤波器的分类 离散LSI 系统对信号的响应过程实际上就是对信号进行滤波的过程。因此，离散LSI 系统又称为数字滤波器。 数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、带阻以及全通滤波器；根据单位脉冲响应的特性，又可以分为有限长单位脉冲响应滤波器（FIR ）和无限长单位脉冲响应滤波器（IIR ）。 一个离散LSI 系统可以用系统函数来表示： M -m -1-2-m m m=0 012m N -1-2-k -k 12k k k=1 b z b +b z +b z ++b z Y(z)b(z)H(z)=== =X(z)a(z) 1+a z +a z ++a z 1+a z ∑∑ 也可以用差分方程来表示： N M k m k=1 m=0 y(n)+a y(n-k)=b x(n-m)∑∑ 以上两个公式中，当a k 至少有一个不为0时，则在有限Z 平面上存在极点，表达的是以一个IIR 数字滤波器；当a k 全都为0时，系统不存在极点，表达的是一个FIR 数字滤波器。FIR 数字滤波器可以看成是IIR 数字滤波器的a k 全都为0时的一个特例。 IIR 数字滤波器的基本结构分为直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、直接Ⅲ型、级联型和并联型。 FIR 数字滤波器的基本结构分为横截型（又称直接型或卷积型）、级联型、线性相位型及频率采样型等。本实验对线性相位型及频率采样型不做讨论，见实验10、12。 另外，滤波器的一种新型结构——格型结构也逐步投入应用，有全零点FIR 系统格型结构、全极点IIR 系统格型结构以及全零极点IIR 系统格型结构。 2、IIR 数字滤波器的基本结构与实现 （1）直接型与级联型、并联型的转换 例6-1 已知一个系统的传递函数为 -1-2-3 -1-2-3 8-4z +11z -2z H(z)=1-1.25z +0.75z -0.125z 将其从直接型（其信号流图如图6-1所示）转换为级联型和并联型。 1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字信号。 2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。 3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。 4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性 卷积。 5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是 ()n h n ∞ =-∞ <∞∑ 6、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要（N 2）16*16＝256_次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32 次复乘法。 7、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型_和 并联型_四种。 8、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并联型的运算速度最高。 9、数字信号处理的三种基本运算是：延时、乘法、加法 10、两个有限长序列 和 长度分别是 和 ，在做线性卷积后结果长度是 __N 1＋N 2－1_。 11、N=2M 点基2FFT ，共有 M 列蝶形，每列有N/2 个蝶形。 12、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对 13、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法 14、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。 16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。 17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。 18、单位脉冲响应分别为 和 的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表 达式分别是h(n)=h1(n)*h2(n), =H1(ej ω)×H2(ej ω)。 19、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域包括 单位圆 。 20、对于M 点的有限长序列x(n)，频域采样不失真的条件是 频域采样点数N 要大于时域采样点数M 。 现代数字信号处理仿真作业 1.仿真题3.17 仿真结果及图形： 图 1 基于FFT的自相关函数计算 图 3 周期图法和BT 法估计信号的功率谱 图 2 基于式3.1.2的自相关函数的计算 图 4 利用LD迭代对16阶AR模型的功率谱估计16阶AR模型的系数为： a1=-0.402637623107952-0.919787323662670i; a2=-0.013530139693503+0.024214641171318i; a3=-0.074241889634714-0.088834852915013i; a4=0.027881022353997-0.040734794506749i; a5=0.042128517350786+0.068932699075038i; a6=-0.0042799971761507 + 0.028686095385146i; a7=-0.048427890183189 - 0.019713457742372i; a8=0.0028768633718672 - 0.047990801912420i a9=0.023971346213842+ 0.046436389191530i; a10=0.026025963987732 + 0.046882756497113i; a11= -0.033929397784767 - 0.0053437929619510i; a12=0.0082735406293574 - 0.016133618316269i; a13=0.031893903622978 - 0.013709547028453i ; a14=0.0099274520678052 + 0.022233240051564i; a15=-0.0064643069578642 + 0.014130696335881i; a16=-0.061704614407581- 0.077423818476583i. 仿真程序（3_17）: clear all clc %% 产生噪声序列 N=32; %基于FFT的样本长度 数字信号处理作业 DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~1k X 确定)(~2k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000) ()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 数字信号处理模拟试题一 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信号最高截止频率Ωc应满足关系（A ） A.Ωs>2Ωc B.Ωs>Ωc C.Ωs<Ωc D.Ωs<2Ωc 2.下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？（D） A.y(n)=y(n-1)x(n) B.y(n)=x(n)/x(n+1) C.y(n)=x(n)+1 D.y(n)=x(n)-x(n-1) 3.已知某序列Z变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为（D ） A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 4.实偶序列傅里叶变换是（A ） A.实偶序列 B.实奇序列 C.虚偶序列 D.虚奇序列 5.已知x(n)=δ(n)，其N点的DFT［x(n)］=X(k)，则X(N-1)=（B） A.N-1 B.1 C.0 D.-N+1 6.设两有限长序列的长度分别是M与N，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取（B ） A.M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N) 7.下面说法中正确的是（C） A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B.连续周期信号的频谱为周期连续函数 C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数 D.离散周期信号的频谱为周期连续函数 8.下列各种滤波器的结构中哪种不是IIR滤波器的基本结构？（C ） A.直接型 B.级联型 C.频率抽样型 D.并联型 9.下列关于FIR滤波器的说法中正确的是（C） A.FIR滤波器容易设计成线性相位特性 现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0 数字信号处理期末试卷(含答案) 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在括号内。 1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。 A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 2．下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( ) A.y(n)=x 3(n) B.y(n)=x(n)x(n+2) C.y(n)=x(n)+2 D.y(n)=x(n 2) 3.．设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取( )。 A ．M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N) 4.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混 叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )。 A.N ≥M B.N ≤M C.N ≤2M D.N ≥2M 5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正比。 A.N B.N 2 C.N 3 D.Nlog 2N 6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。 A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型 7.第二种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( )： A 关于0=w 、π、π2偶对称 B 关于0=w 、π、π2奇对称 C 关于0=w 、π2偶对称 关于=w π奇对称 D 关于0=w 、π2奇对称 关于=w π偶对称 8.适合带阻滤波器设计的是： （ ） A )n N (h )n (h ---=1 N 为偶数 B )n N (h )n (h ---=1 N 为奇数 C )n N (h )n (h --=1 N 为偶数 数字信号处理上机作业 学院：电子工程学院 班级：021215 组员： 实验一：信号、系统及系统响应 1、实验目的 (1) 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。 (2) 熟悉时域离散系统的时域特性。 (3) 利用卷积方法观察分析系统的时域特性。 (4) 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。 2、实验原理与方法 (1) 时域采样。 (2) LTI系统的输入输出关系。 3、实验内容及步骤 (1) 认真复习采样理论、离散信号与系统、线性卷积、序列的傅里叶变换及性质等有关内容，阅读本实验原理与方法。 (2) 编制实验用主程序及相应子程序。 ①信号产生子程序，用于产生实验中要用到的下列信号序列： a. xa(t)=A*e^-at *sin(Ω0t)u(t) b. 单位脉冲序列：xb(n)=δ(n) c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10 ②系统单位脉冲响应序列产生子程序。本实验要用到两种FIR系统。 a. ha(n)=R10(n); b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3) ③有限长序列线性卷积子程序 用于完成两个给定长度的序列的卷积。可以直接调用MATLAB语言中的卷积函数conv。 conv 用于两个有限长度序列的卷积，它假定两个序列都从n=0 开始。调用格式如下： y=conv (x, h) 4、实验结果分析 ①分析采样序列的特性。 a. 取采样频率fs=1 kHz,，即T=1 ms。 b. 改变采样频率，fs=300 Hz，观察|X(e^jω)|的变化，并做记录(打印曲线)；进一步降低采样频率，fs=200 Hz，观察频谱混叠是否明显存在，说明原因，并记录(打印)这时的|X(e^j ω)|曲线。 程序代码如下： close all;clear all;clc; A=50; a=50*sqrt(2)*pi; m=50*sqrt(2)*pi; fs1=1000; fs2=300; fs3=200; T1=1/fs1; T2=1/fs2; T3=1/fs3; N=100; 一、选择题 2、对于x(n)=n 21??? ??u(n)的Z 变换，( )。 A. 零点为z=21，极点为z=0 B. 零点为z=2 1 ，极点为z=2 C. 零点为z=21，极点为z=1 D. 零点为z=0，极点为z=21 3、()?? ? ??=n A n x π513sin 是一个以( )为周期的序列。 A. 16 B. 10 C. 14 D. 以上都不对，是一个非周期序列 6、序列()1+n δ的波形图为( )。 C B A 7、s 平面的虚轴对应z 平面的( )。 A. 单位圆内 B. 单位圆外 C. 正实轴 D. 单位圆上 8、关于快速傅里叶变换，下述叙述中错误的是( )。 A.相对离散傅里叶变换来说，它不是一种全新的算法 B.nk N W 具有对称、周期和可约性 C.每个蝶形运算的两个输出值仍放回到两个输入所在的存储器中，能够节 省存储单元 D.就运算量来说，FFT 相对DFT 并没有任何减少 9、下列关于FIR 滤波器的说法中正确的是( )。 A. FIR 滤波器不能设计成线性相位 B. 线性相位FIR 滤波器的约束条件是针对()h n C. FIR 滤波器的单位冲激响应是无限长的 D.不管加哪一种窗，对于FIR 滤波器的性能都是一样的 10、幅度量化、时间离散的的信号是( )。 A. 连续时间信号 B. 离散时间信号 C. 数字信号 D. 模拟信号 11、幅值连续、时间为离散变量的信号是（ ）。 A. 连续时间信号 B. 离散时间信号 C. 数字信号 D. 模拟信号 12、右面的波形图代表序列（ ）。 A. ()34-n R B. ()25+n R C. ()25-n R D. ()24-n R 13、序列()??? ??-=ππ6183cos n A n x 的周期为（ ）。 A. 16 B. 10 C. 14 D. 以上都不对，是一个非周期序列 14、从奈奎斯特采样定理得出，要使信号采样后能够不失真还原，采样频率f 与信号最高频率 f h 关系为：（ ）。 A. f ≤2f h B. f ≥2f h C. f ≥f h D. f ≤f h 16、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的结构是（ ）型的。 A. 非递归 B. 无反馈 C. 递归 D. 不确定 17、已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为（ ）。 A.有限长序列 B. 左边序列 C. 右边序列 D.双边序列 18、下面说法中正确的是（ ）。 A. 连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B. 连续周期信号的频谱为周期连续函数 C. 离散周期信号的频谱为周期连续函数 D. 离散非周期信号的频谱为周期连续函数 19、利用矩形窗函数法设计FIR 滤波器时，在理想频率特性的不连续点附近形 成的过滤带的宽度近似等于（ ）。 数字信号处理作业 哈尔滨工业大学 2006.10 DFT 习题 1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~ 2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列 )(~n w 定义为)()()(~ ~~n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k X 的周期也是N 。类似地， 由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~ n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~ k X 和)(~ k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 一、 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ω j e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ω j e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ，其幅度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 二、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列 )1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A. a Z < B. a Z ≤ C. a Z > D. a Z ≥ 3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()(Λ=?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)(Λ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，) ()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 数字信号处理作业-答案 数字信号处理作业 DFT 习题 1. 如果)(~ n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~ n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~ 1 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~ n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2 k X 表示)(~ n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~ 1 k X 是周期性的，周期为N ，而)(~ 2 k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~ 1k X 确定)(~ 2 k X 。（76-4） 2. 研究两个周期序列)(~ n x 和)(~ n y 。)(~ n x 具有周期N ,而)(~ n y 具有周期M 。序列)(~ n w 定义为)()()(~~ ~ n y n x n w +=。 a. 证明)(~ n w 是周期性的，周期为MN 。 b. 由于)(~ n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地，由于)(~ n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~ k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~ k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~ k W 。（76-5） 3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）: a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=0 0)()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7） 4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10） 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 答案： 1.10 2.交换律，结合律、分配律 3. 4 11,01z z z --->- 4. k N j e Z π2= 5.{0，3，1，-2; n=0,1,2,3} 6.()()()y n x n h n =* 7. x(0) 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ a ） A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ c ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ b ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ d ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完 全不失真恢复原信号 （ a ） A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ b ） A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ c ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴 1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法： 《数字信号处理Ⅰ》作业 姓名： 学号： 学院： 2012 年春季学期 第一章 时域离散信号和时域离散系统 月 日 一 、判断： 1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。（ ） 2、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为模拟信号。（ ） 3、如果信号的取值和自变量都离散，则称其为数字信号。（ ） 4、时域离散信号就是数字信号。（ ） 5、正弦序列都是周期的。（ ） 6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时，则)n (h )n (x *的长度为N+M 。（ ） 7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和，则该系统稳定。（ ） 8、若满足采样定理，则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω（采样频率）为周期进行周期延拓的结果。（ ） 9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和，则)n (h )n (x *有（1n n 21-+）个元素。（ ） 二、选择 1、R N (n)和u(n)的关系为（ ）： A. R N (n)=u(n)-u(n-N) B. R N (n)=u(n)+u(n-N) C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1) D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1) 2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ，则f(n)*h(n)的长度为 （ ）： A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+1 3、若模拟信号的频率范围为[0，1kHz],对其采样，则奈奎斯特速率为（ ）： A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz 4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的（ ）： A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积 5、线性系统需满足的条件是（ ）： A.因果性 B.稳定性 C.齐次性和叠加性 D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是（ ）： A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统 数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16 “现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？ 数字信号处理第三章作业 1．(第三章习题3)在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期性序列，确定这个两个序列的周期卷积的结果3()x n ，并画出草图。 2．(第三章习题5)如果()x n 是一个具有周期为N 的周期性序列，它也是具有周期为2N 的周期性序列。令~1()X k 表示当()x n 看做是具有周期为N 的周期性序列的DFS 系数。而~2()X k 表示当()x n 看作是具有周期为2N 的周期性序列的DFS 系数。当然~1()X k 是具有周期为N 的周期性序列，而~2()X k 是具有周期为2N 的周期性序列，试根据~1()X k 确定~2()X k 。 3．(第三章习题6) （a ）试证明下面列出的周期性序列离散傅里叶级数的对称特性。在证明中，可以利用离散傅里叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质③时可以利用性质①和②。 序列 离散傅里叶级数 ① *()x n ~*()X k - ②*()x n - ~*()X k ③Re ()x n ???? ~ e ()X k ④Im ()j x n ???? ~()o X k （b ）根据已在（a ）部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅里叶级数的下列对称性质成立。 ①~~Re ()Re ()X k X k ????=-???????? ②~~Im ()Im ()X k X k ????=--???????? ③~~()()X k X k =- ④~~arg ()arg ()X k X k ????=--???????? 4．(第三章习题7)求下列序列的DFT (a) {}11 1-，，，-1 (b) {}1 j 1j -，，，- (c) ()cn 0n 1x n N =≤≤-， (d) 2n ()sin 0n 1x n N N π??=≤≤- ??? ， 5．(第三章习题8)计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长度为N ） 1 0)()(0) ()()() ()()(00-≤≤=<<-==N n a n x c N n n n n x b n n x a n δδ 6．(第三章习题9)在图P3-4中表示了一有限长序列)(n x ，画出序列)(1n x 和)(2n x 的草图。（注意：)(1n x 是)(n x 圆周移位两个点） )())(()() ())2(()(442441n R n x n x n R n x n x -=-= 一. 填空题 1)一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入 为2x（n）时，输出为2y（n）；输入为x（n-3）时，输出为y（n-3）。 2)从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原， 采样频率f与信号最高频率f s关系为：f大于等于2f s。 3)若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 4)序列x(n-2)可以通过x(n)__右____移两位得到 5)根据采样定理，若采样频率小于信号的2倍最高频率，则采样后 信号的频率会产生______混叠________。 6)若已知x(n)的z变换为X(Z)，x(n-m)的z变换为_ Z -m X(Z)______。 二．选择填空题 1 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f与信号最高频 率f s关系为： A 。 A. f≥2f s B. f≤2f s C. f≥f s D. f≤f s 2 序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是，5点 圆周卷积的长度是 B 。 A. 5, 5 B. 6, 5 C. 6, 6 D. 7, 5 3 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是__B____型的 A. 非反馈 B. 反馈 C. 不确定 4 若正弦序列x(n)=sin(60nπ/120)是周期的,则周期是N= C 。 A. 2π B. 4π C. 4 D. 8 5 一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为 A ；输入为x（n-3）时，输出为。 A. 2y（n），y（n-3） B. 2y（n），y（n+3） C. y（n），y（n-3） D. y（n），y（n+3） 6 在N=32的时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到X(k)需 B 级蝶形运算 过程。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 7 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ） A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠0 8 若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( C )。 A.R3(n) B.R2(n) C.R3(n)+R3(n-1) D.R2(n)+R2(n-1) 9 .下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A.h(n)=δ(n) B.h(n)=u(n) C.h(n)=u(n)-u(n-1) D.h(n)=u(n)-u(n+1) 10.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。 A.单位圆 B.原点 C.实轴 D.虚轴 11.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜<1，则该序列为( C )。 A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 三，判断题 1．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。（对） 2、x(n)=cos（w0n)所代表的序列一定是周期的。（错） 3、y(n)=x2(n)+3所代表的系统是线性系统。（错） 4、一个线性时不变离散系统是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在圆内。（错） 5、y(n)=cos[x(n)]所代表的系统是线性系统。（错） 6、x(n) ,y(n)的线性卷积的长度与x(n) ,y(n)的长度无关。（错）数字信号处理实验作业
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