2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：
()(1)
k k n k
n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5,7}A =，{3,4,5}B =，则()()A B = U U 痧 （A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7} （2）在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22
(2)(1)3x y ++-= （C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22
(2)(1)3x y ++-=
（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 （5）()5
23x -的展开式中2
x 的系数为
（A ）－2160 （B ）－1080 （C ）1080 （D ）2160
（6）设函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2
，则
1()y f x -=的图像必过
（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2
（C ）(1,0) （D ）(0,1)
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数。若AB AC = ，则AB 与AC
的
夹角为
（A ）24arccos()25-
（B ）2π或24
arccos 25 （C ）24arccos 25 （D ）2
π或24
arccos 25π-
（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演
出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040
（10）若,(0,
)2
π
αβ∈，cos()2
2
β
α-
=
,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于
（A ） （B ）12- （C ）12 （D
（11）设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆
22
1259
x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 （A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
（12）若,,0a b c >且2
22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是
（A ） （B ）3 （C ）2 （D 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）已知sin α=
2π
απ≤≤，则tan α= 。 （14）在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。
（15）设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的
解集为 。
（16）已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤??
+-≥??-≤?
。若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为
16、13、1
2
。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分13分）
设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π。 （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36
ππ
-
a 的值； （19）（本小题满分12分）
设函数3
2
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。 （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。 （20）（本小题满分12分） 如图，在增四棱柱1
111A B C D
A B C D
-中
，11,1A B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点。
平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值； （21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围； （22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线
24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n n B s t 。 （Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以
n A 与n B 为切点的两条切线的交点。试证：
112221n n n FC FC FC -++++=-+ ；
2006年普通高等学校招生全国统一考试
（重庆卷）数学（文史类）
参考答案
（1）—（12）DDCDB CCDBB AA
(13) -2 (14) 2n – 1 (15)1
2162
a +∞>
（，）（） 三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，
设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、1
2
。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为：3
3
3
1111()()().6
3
2
6
p =++= （Ⅱ）这是n=3，p=
1
6
的独立重复试验，故所求概率为： 2233
155(2)()().6672
P C ==
（18）（本小题满分13分）设函数2()sin cos f x x x x a ωωω++
（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π
。 （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
a 的值；
解：（I ）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=
++=+ 依题意得 1
26
3
2
2
π
π
π
ωω?
+
=
?=
．
（II ）由（I ）知，()sin()3
f x x π
α=+
+．又当5[,]36x ππ∈-时，
7[0,
]3
6x π
π+
∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36??
-????
，
12a =-
+，故a =
（19）（本小题满分12分）
设函数32
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。 （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。
解：（Ⅰ）求导得'
2
()363f x x ax b =-+。
由于 ()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，
所以'
(1)11,(1)12f f =-=-，即：
1-3a+3b = -11 解得: 1,3a b ==-． 3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由1,3a b ==-得：'22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+- 令f ′（x ）＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f ′（x ）< 0，解得 -1＜x ＜3.
故当x ∈（-∞, -1）时，f (x )是增函数，当 x ∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数， 但当x ∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
11,1AB BB =，E 为1BB 上使11B E =的点。 平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
解法一：（Ⅰ）由111//AD DG C GD ∠知为异面直线
AD 与1C G 所成角．（如图1）
连接1C F ．因为ＡＥ和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 1和与平面AEC G 的交线，
所以AE//1C F ,由此得111
D F BF FDG FDA DG ==???= 116
Rt C D G π
?∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）作11D H C G ⊥于H,由三垂线定理知
11,FH C G D HF ⊥∠11故为二面角F-C G-D
即二面角11A C G A --的平面角.
116
Rt HD G H D H π
?∠=
=
11在中,由D GD 得.
从而111tan 2D F
D HF D H
=
==. 解法二：（Ⅰ）由111//AD DG C GD ∠知为异面直线
AD 与1C G 所成角．（如图2） 因为1EC 和AF 是平行平面11BB C D 111C 与平面AA D 与平面AEC G 的交线， 所以1//EC AF ,
由此得1111
11,14
AGA EC B AG AA D G π
∠=∠=
?==?= 116
Rt C D G π
?∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）11114
6
AC G AC G π
π
?∠∠∠1111在中,由C A G=
,A GC =
知为钝角。
作111A H GC GC ⊥交的延长线于H,连接AH ，由三垂线定理知
1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A 的平面角.
111
1,6
2
Rt A HG H H π
?∠=
=
11在中,由A GA 得A .
从而111tan 22
A A
A HA A H
=
==.
解法三：（Ⅰ）以1A 为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图3
所示的空间直角坐标系，于是，11),(1,1,0),(0,11),(1,0,1),A C D E
1(0,1,0),(0,1,1).AD EC ==-
因为1EC 和AF 是平行平面
11BB C D 111C 和AA D 与平面AEC G 的交线，所以1//EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则
11(0,,1//AG y EC AG y =-?= 由,
于是1y .
故1(0,1(1G C G =-
.设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则:
11c o s 2A D C G A D C G
θ?==
?
,从而 .6πθ= （Ⅱ）作11A H C G ⊥ H,由三垂线定理知1,GH AH A
HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A
的平面角. 设H （a,b,0）,则:11(,,0),(1,1,0)A H a b C H a b ==--
.由11A H C G ⊥得
: 110,C H C G ?=
由此得……①
又由1111,,//,1a H C G C H C G -?=
- 共线得于是
1)0.b +-= ……②
联立①②得
:a b H =
=故,
由11112
A H A A ===
得
:
111tan 2A A
A HA A H
=
==.
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，
求k 的取值范围；
解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以()f x =0，即1
11201()22
x
x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1
112
2 2.41
a a a -
-=-?=++
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211
()22221
x x x
f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式14120.3
k k ?=+
解法二：由（Ⅰ）知1
12()22
x
x f x +-=+．又由题设条件得：
2
2
222221
21
1212022
22
t t
t k
t t t k ---+-+--=
<++，
即 ：2
2
2
2
21
221
2(22)(12)(22)(12)0t
k t
t
t
t t
k
-+--+-+-++-<，
整理得 2
3221,t
t k
-->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3
k k ?=+
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线2
4x y =上的点， 过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t 。
（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。
试证：11222
1n
n n FC FC FC -++++=-+ ；
证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）,所以可设直线n n A B 的方程为 1,n y k x -=将它与抛物线方程24x y =联立得:
2440n x k x --=,由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥．
（Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线2
4x y =在n A 处
的切线的斜率,2n n
A x k =
故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2
n n n x
y y x x -=-，……①
类似地，可求得2
4x y =在n B 处的切线的方程为： ()2
n
n n s y t x s -=-，……②
由②－①得：2222
2244n n n n n n
n n x s x s x s y t x ---=-+=-，
22
,242
n n n n n n x s x s x s
x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2
n n
x s +-． 由两点间的距离公式得：22
2
2()42244
n n n n n
x s x s FC +=+=++
2
22422
2(),422n n n n n n n
x x x FC x x x =++=+?=+
． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
12121221121111
()2()
21111
(222)2()(21)(22)22 1.2222
n n n
n n n n n n FC FC FC x x x x x x --++++=+++++++=+++++++=-+-=-+
2006年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi ）
参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：
()(1)
k k n k
n n P k C p p -=-
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题
给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5,7},B ={3,4,5},则()()A B = U U 痧（ D ）
（A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7} 解：()()A B = U U 痧｛1，3，6｝?｛1，2，6，7｝＝｛1，2，3，6，7｝故选D （2）在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为( D )
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 解：a 3a 7＝a 52＝64，又0n a >，所以5a 的值为8，故选D
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( C )
（A ）2
2
(2)(1)3x y -++= （B ）2
2
(2)(1)3x y ++-= （C ）2
2
(2)(1)9x y -++= （D ）2
2
(2)(1)3x y ++-=
解：r
＝3，故选C
（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( D )
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D
（5）()5
23x -的展开式中2
x 的系数为( B )
（A ）－2160 （B ）－1080 （C ）1080 （D ）2160
解：5551552332r r r r r r r
r T C x C x ?－－－＋＝（）（－）＝（－），由5－r ＝2解得r ＝3，故所求系数为322
5
32C ??（－）＝－1080故选B （6）设函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2
，
则1
()y f
x -=的图像必过( C )1
2
（A ）1(,1)2 （B ）1
(1,)2 （C ）(1,0) （D ）(0,1)
解：当x ＝12
时，2x －1＝0，即y ＝f （x ）的图象过点（0，1），所以1
()y f x -=的图
像必过（1，0）故选C
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店
有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( C )
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
解：各层次之比为：30:75:195＝2:5:13，所抽取的中型商店数是5，故选C （8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数。
若AB AC = ，则AB 与AC
的夹角为 ( D )
（A ）24arccos()25-
（B ）2π或24
arccos 25 （C ）24arccos 25 （D ）2
π或24
arccos 25π-
解：由AB AC = 解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB 与AC 的夹角为2
π
，当k ＝6
时，AB 与AC 的夹角为24
arccos 25
π-，故选D
（9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目
的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )
（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040
解：不同排法的种数为52
56A A ＝3600，故选B
（10）若,(
0,)2
π
αβ∈，cos()2
2
β
α-
=
,1sin()22αβ-=-，则c o s ()αβ+的值等于( B )
（A ） （B ）12- （C ）12 （D 解：由,(0,
)2
π
αβ∈，则242β
ππα∈－
（－，），224
αππ
β∈－（－，），又
cos()2
β
α-
=
，1sin()22αβ-=-，所以26βπα±－＝，26απβ－＝－
解得3π
αβ＝＝
，所以 cos()αβ+＝1
2
-
，故选B （11）设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆
22
1259
x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是 “128x x +=”的( A ) （A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
解：a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝
45，F （4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－4
5
x 1， |BF|＝5－45×4＝95，|CF|＝5－45x 2，故,,AF BF CF 成等差数列?（5－4
5
x 1）
＋（5－45x 2）＝2×9
5
?128x x +=故选A
（12）若,,0a b c >且2
22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是( A )
（A ） （B ）3 （C ）2 （D 解：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2≥12，当且仅当b
＝c 时取等号，故选A
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。
把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）已知sin 5
α=
2π
απ≤≤，则tan α= -2 。
解：由sin 5α=
，2παπ≤≤?cos α
＝－5
tan α=－2 （14）在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。 解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以
n a =2n －1
（15）设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，
则不等式log (1)0a x ->
解：由0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a >1，所以 不等式log (1)0a x ->可化为x －1>1，即x >2.
（16）已知变量x ，y 满足约束条件230
33010x y x y y +-≤??
+-≥??-≤?
。若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)
处取得最大值，则a 解：画出可行域如图所示，其中B （3，0），
C （1，1），
D （0，1），若目标函数z ax =+得最大值，必在B ，C ，D 三点处取得，故有 3a >a ＋1且3a >1，解得a >1
2
：
三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，
设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、1
2
。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；
（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为：3
3
3
1111()()().6
3
2
6
p =++= （Ⅱ）这是n=3，p=
1
6
的独立重复试验，故所求概率为： 2233
155(2)()().6672
P C ==
（18）（本小题满分13分）设函数2()sin cos f x x x x a ωωω++
（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π
。 （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
a 的值；
解：（I ）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=
++=+ 依题意得 1
26
3
2
2
π
π
π
ωω?
+
=
?=
．
（II ）由（I ）知，()sin()3
f x x π
α=+
+．又当5[,]36x ππ∈-时，
7[0,
]3
6x π
π+
∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36??
-????
，
12a =-
+，故a =
（19）（本小题满分12分）
设函数32
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。 （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。
解：（Ⅰ）求导得'
2
()363f x x ax b =-+。
由于 ()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，
所以'
(1)11,(1)12f f =-=-，即：
1-3a+3b = -11 解得: 1,3a b ==-． 3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由1,3a b ==-得：'22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+- 令f ′（x ）＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f ′（x ）< 0，解得 -1＜x ＜3.
故当x ∈（-∞, -1）时，f (x )是增函数，当 x ∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数， 但当x ∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数.
（20）（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，
11,1AB BB =，E 为1BB 上使11B E =的点。 平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
解法一：（Ⅰ）由111//AD DG C GD ∠知为异面直线
AD 与1C G 所成角．（如图1）
连接1C F ．因为ＡＥ和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 1和与平面AEC G 的交线，
所以AE//1C F ,由此得111
D F BF FDG FDA DG ==???= 116
Rt C D G π
?∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）作11D H C G ⊥于H,由三垂线定理知
11,FH C G D HF ⊥∠11故为二面角F-C G-D
即二面角11A C G A --的平面角.
116
Rt HD G H D H π
?∠=
=
11在中,由D GD 得.
从而111tan 2D F
D HF D H
=
==. 解法二：（Ⅰ）由111//AD DG C GD ∠知为异面直线
AD 与1C G 所成角．（如图2） 因为1EC 和AF 是平行平面11BB C D 111C 与平面AA D 与平面AEC G 的交线， 所以1//EC AF ,
由此得1111
11,14
AGA EC B AG AA D G π
∠=∠=
?==?= 116
Rt C D G π
?∠=
1111在中,由C D =1得C GD
（Ⅱ）11114
6
AC G AC G π
π
?∠∠∠1111在中,由C A G=
,A GC =
知为钝角。
作111A H GC GC ⊥交的延长线于H,连接AH ，由三垂线定理知
1,GH AH A HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A 的平面角.
111
1,6
2
Rt A HG H H π
?∠=
=
11在中,由A GA 得A .
从而111tan 22
A A
A HA A H
=
==.
解法三：（Ⅰ）以1A 为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图3
所示的空间直角坐标系，于是，11),(1,1,0),(0,11),(1,0,1),A C D E
1(0,1,0),(0,1,1).AD EC ==-
因为1EC 和AF 是平行平面
11BB C D 111C 和AA D 与平面AEC G 的交线，所以1//EC AF ．设Ｇ（0,y,0）,则
11(0,,1//AG y EC AG y =-?= 由,
于是1y .
故1(0,1(1G C G =-
.设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则:
11c o s 2A D C G A D C G
θ?==
?
,从而 .6πθ= （Ⅱ）作11A H C G ⊥ H,由三垂线定理知1,GH AH A
HA ⊥∠11故为二面角A-C G-A
的平面角. 设H （a,b,0）,则:11(,,0),(1,1,0)A H a b C H a b ==--
.由11A H C G ⊥得
: 110,C H C G ?=
由此得……①
又由1111,,//,1a H C G C H C G -?=
- 共线得于是
1)0.b +-= ……②
联立①②得
:a b H =
=故,
由11112
A H A A ===
得
:
111tan 2A A
A HA A H
=
==.
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，
求k 的取值范围；
解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即1
11201()22
x
x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知1
112
2 2.41
a a a -
-=-?=++
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知11211
()22221
x x x
f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。又因()f x 是奇函数，从而不等式： 22
(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222
(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，
从而判别式14120.3
k k ?=+
解法二：由（Ⅰ）知1
12()22
x
x f x +-=+．又由题设条件得：
2
2
222221
21
1212022
22
t t
t k
t t t k ---+-+--=
<++，
即 ：2
2
2
2
21
221
2(22)(12)(22)(12)0t
k t
t
t
t t
k
-+--+-+-++-<，
整理得 2
3221,t
t k
-->因底数2>1,故:2320t t k -->
上式对一切t R ∈均成立，从而判别式14120.3
k k ?=+
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线2
4x y =上的点， 过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t 。 （Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。
试证：11222
1n
n n FC FC FC -++++=-+ ；
证明：（Ⅰ）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0,1）,所以可设直线n n A B 的方程为 1,n y k x -=将它与抛物线方程24x y =联立得:
2440n x k x --=,由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥．
（Ⅱ）对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处
的切线的斜率,2n n
A x k =
故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2
n n n x
y y x x -=-，……①
类似地，可求得2
4x y =在n B 处的切线的方程为： ()2
n
n n s y t x s -=
-，……② 由②－①得：2222
2244n n n n n n
n n x s x s x s y t x ---=-+=-，
22
,242
n n n n n n x s x s x s
x x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2
n n
x s +-． 由两点间的距离公式得：22
2
2()42244
n n n n n
x s x s FC +=+=++
2
22422
2(),422n n n n n n n
x x x FC x x x =++=+?=+
． 现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
12121221121111
()2()
21111
(222)2()(21)(22)22 1.2222
n n n
n n n n n n FC FC FC x x x x x x --++++=+++++++=+++++++=-+-=-+
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（） A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=?C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R 2．（5分）（2017?新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（） A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差 C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数 3．（5分）（2017?新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i） 4．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A．B．C．D． 5．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 6．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）
A．B．C． D． 7．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（5分）（2017?新课标Ⅰ）函数y=的部分图象大致为（） A．B．C． D． 9．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 10．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）
2010年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I 卷） 第I 卷 一、选择题 （1）cos300°＝ （A ） （B ）12- （C ）12 （D （2）设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5），则N ?（C ，M ） （A ）（1，3） （B ）（1，5） （C ）（3，5） （D ）（4，5） （3）若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤??+≥??--≤? 则z ＝x-2y 的最大值为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 (4)已知各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6= （A ） (B)7 (C)6 (5)(1－x )2(1 )3的展开式中x 2的系数是 (A)－6 (B ）－3 (C)0 (D)3 (6)直三棱柱ABC －A １B 1C 1中，若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 （A ）30° (B)45° (C)60° (D)90° (7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是 （A ）（1，+∞） （B ）[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞) (8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则 1PF ·2PF ＝ （A ）2 (B)4 (C)6 (D)8 (9)正方体ABCD －A 1BCD 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 (A) 3 (B) 3 (C) 23 (D) 3 (10)设a =log 3，2，b =ln2，c =1 25 -,则 （A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a (11)已知圆O 的半径为１，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA u u u r ·PB u u u r 的 最小值为 （A ）－ （B ）－ （C ）－ （D ）－
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)
（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设z=，则|z|=（） A. 2 B. C. D. 1 2.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩?U A= （） A. B. C. D. 6， 3.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（） A. B. C. D. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂 维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿 长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( ) A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm 5.函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（） A. B. C. D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生
7.tan255°=（） A. B. C. D. 8.已知非零向量满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（） A. B. C. D. 9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A. B. C. D. 10.双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率 为（） A. B. C. D. 11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A-b sin B=4c sin C，cos A=-， 则=（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ，，则C的方程为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.曲线y＝3（x2＋x）e x在点（0，0）处的切线方程为________． 14.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=，则S4=______． 15.函数f（x）=sin（2x+）-3cos x的最小值为______． 16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离 均为，那么P到平面ABC的距离为______．
普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学（文史类） 一．选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选 项中， 只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） A ．12 y x =- B ．12 y x = C ．2y x =- D ．2y x = 2．已知,02x π??∈- ??? ， 54cos =x ， 则2tg x = （ ） A ．24 7 B ．247- C ．7 24 D ．7 24- 3．抛物线2 y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ） A ． 1 8 B ．1 8 - C ．8 D ．8- 4．等差数列{}n a 中， 已知1251 ,4,33,3 n a a a a n =+==则为（ ） A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 5．双曲线虚轴的一个端点为M ， 两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=?， 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 6．设函数?????-=-2112)(x x f x 00>≤x x ， 若1)(0>x f ， 则0x 的取值范围是 （ ） A ．（1-， 1） B ．（1-， ∞+） C ．（∞-， 2-）?（0， ∞+） D ．（∞-， 1-） ?（1， ∞+） 7．已知5 ()lg ,(2)f x x f ==则（ ） A ．lg 2 B ．lg32 C ．1 lg 32 D ．1lg 25
8．函数sin()(0)y x R ??π?=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） A ．0 B ． 4 π C ． 2 π D ．π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ） A B ．2 C 1 D 1 10．已知圆锥的底面半径为R ， 高为3R ， 它的内接圆柱的底面半径为3 4 R ， 该圆柱的全面积为（ ） A ．2 2R π B ．24 9R π C ．238 R π D ．252R π 11．已知长方形的四个顶点A （0， 0）， B （2， 0）， C （2， 1）和D （0， 1）， 一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后， 依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合， 则tg θ= （ ） A ．3 1 B ． 5 2 C ． 2 1 D ．1 12．一个四面体的所有棱长都为2， 四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C ．π33 D ．π6 普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二．填空题：本大题共4小题， 每小题4分， 共16分把答案填在题中横线上 13x <的解集是____________________． 14．92)21(x x -的展开式中9 x 系数是 ________ ． 15．在平面几何里， 有勾股定理：“设22,,ABC AB AC AB AC BC +=V 的两边互相垂直则”
全国高考文科全国卷数学 试题及答案 The document was prepared on January 2, 2021
年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学卷3 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数(2) =-+的点位于 z i i A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 4 sin cos 3 αα -=，则sin2α= A． 7 9 - B． 2 9 -C． 2 9 D． 7 9 5．设,x y满足约束条件 3260 x y x y +-≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? ，则z x y =-的取值范围是 A．[-3，0] B．[-3，2] C．[0，2] D．[0，3] 6．函数 1 ()sin()cos() 536 f x x x ππ =++-的最大值为 A．6 5 B．1 C． 3 5 D． 1 5
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 C.{1,2} ( ) 5.若某群里中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（） A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 A.π 4B.π 2 C.π D.2π 8.直线x+y+2=0分别于x轴，y轴交于A,B两点，则?ABP的面积的取值范围是（）A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2] A.π 2B.π 3 C.π 4 D.π 6 A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3 14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是。
19.如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是弧CD 上异于C,D 的点。 （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）在线段上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由。 20. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于,A B 两点，线段AB 的中点()1,(0)M m m >. （1）证明：1;2 k <- （2）设F 为C 右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r ，证明：2.FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） 文科数学(必修+选修) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)cos300?= (A)2- 12 (C)12 (D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1 cos300cos 36060cos 602 ?=?-?=?= (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5
高考文科数学真题全国 卷 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|-1＜x ＜3｝，N=｛x|-2＜x ＜1｝则M ∩N=（ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则 A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α （3）设i i z ++=11，则=||z A. 2 1 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 （4）已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 （6）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则 =+FC EB A. AD B. AD 21 C. BC D. BC 2 1 (7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ， ③)62cos(π+=x y ,④)4 2tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ （8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事 一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题45 排列组合（学生版） 一．选择题（共20小题） 1．（2009?全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种2．（2010?广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是() A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒3．（2007?全国卷Ⅱ）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有() A．10种B．20种C．25种D．32种4．（2006?湖南）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是() A．6B．12C．24D．18 5．（2009?陕西）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为() A．432B．288C．216D．108 6．（2014?辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144B．120C．72D．24 7．（2012?浙江）若从1，2，3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种8．（2012?北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位
高考文科数学真题及答 案全国卷 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. ?1?1 2i B ．1 1+i 2 - C ．1+1 2i D ．1?1 2i 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，
文科数学 I、考核目标与要求 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 1、了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 2、理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判别，初步应用等。 3、掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 1。空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i 1i +(-) ＝( )． A. ?1?12i B ．11+i 2 - C ．1+12i D ．1?12i 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．1 6 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ． y =±14x B ．y =±13x C ．12 y x =± D ．y =±x 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵e = c a =2254 c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12 b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，
参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D)
2019年高考文科数学真题及答案全国卷I 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．(2019课标全国Ⅰ， 文2) 2 12i 1i +(-) ＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 2．(2019课标全国Ⅰ， 文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{x |x ＝n 2 ， n ∈A }， 则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 3．(2019课标全国Ⅰ， 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数， 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2019课标全国Ⅰ， 文4)已知双曲线C ：22 22=1x y a b -(a ＞0， b ＞0)5 则 C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2019课标全国Ⅰ， 文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ， x 3 ＝1－x 2 ， 则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2019课标全国Ⅰ， 文6)设首项为1， 公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2019课标全国Ⅰ， 文7)执行下面的程序框图， 如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2019课标全国Ⅰ， 文8)O 为坐标原点， F 为抛物线C ：y 2 ＝2x 的焦点， P 为C 上一点， 若|PF |＝42 则△POF 的面积为( )． A ．2 B ．22．3．4 9．(2019课标全国Ⅰ， 文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π， π]的图像大致为( )．
4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷） 数学 注意事项: 1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分. 1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=. 2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z= 2 3 cA 『炉3 3. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G- 0 1 c 2 （ y=5 x. J J C2=? 4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=? 5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=. 6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为. 7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为 8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献
血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为. 10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f 2 （x） +" （x）的最大值为. 11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结 2015 X 果用数值表示）. 12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2, 3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）. 13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔V X2
2015·新课标Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC → ＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) 5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1 2 ，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与 E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 7．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) C ．10 D ．12 8.
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为
x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=