2020
年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大
附中）高考数学三模试卷（理科）
题号一
二三
总分得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）
1. 设集合A={x∈Z|x2≤1，} B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）
A. {-1 ，1}
B. {0}
C. {-1 ，0，1}
D. [-1 ，1]
2. 命题“ ?x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）
A. ?x∈R，x3-x2+1≥0
B. ?x∈R，x3-x2+1>0
C. ?x∈R，x3-x2+1≤O
D. ?x∈R，x3- x2+1> 0
3. 已知向量，的夹角为60 °，| |=2，| |=4，则（- ）=（）
A. -16
B. -13
C. -12
D. -10
4. 已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的离心率为2，则 C 的渐近线方程为（）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=±2x
D. y=± x
5. 等比数列{ a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）
A. 14
B. 21
C. 28
D. 63
6. 某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取
500
袋样本，X 表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X 的数学期望约为（）参考数据：若X 服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ 0.9545，P （μ-3σ A. 171 B. 239 C. 341 D. 477 7. 在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设| |=r，以射线Ox 为 始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+isin θ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1 （ cos θ 1+isin θ1），z2= r 2（cos θ2+isin θ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+isin θ）] n=r n（cosnθ+isinnθ），则（）5=（） 8. 运行程序框图，如果输入某个正数n 后，输出的s∈（20，50），那么n的 值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 1 页，共16 页 9. 已知四面体ABCD 中，平面ABD⊥平面BCD ，△ABD 为边长 2 的等边三角形，BD=DC， BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为（） A. 10. 一项针对都市熟男（三线以上城市30～50 岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980 年及以后出生（80后）被调查者、1980 全体被调查者80 后被调查者80 前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5% 服装23.0%24.9%21.2% 手表14.3%19.4%9.7% 运动、户外用品10.4%11.1%9.7% 珠宝首饰8.6%10.8% 6.5% 箱包8.1%11.3% 5.1% 个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2% 以上皆无25.3%17.9%32.1% 根据表格中数据判断，以下分析错误的是（） A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品 B. 从整体上看，80 后购买高价商品的意愿高于80 前 C. 80 前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品 D. 被调查的都市熟男中80后人数与80 前人数的比例大约为2：1 11. 椭圆+y2=1 上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0 对称，若O 为坐标原点，则| |=（） A. 1 B. C. D. 12. 如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE 沿 AE 翻折成四棱锥D′-ABCE，则点 C 到平面ABD′距离的最大值为（） A. 二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0分） 13. 已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______ 14. 函数y=sin（ωx+ ）（ω∈N * ）的一条对称轴为x= ，则ω的最小值为____ ． 15. 若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是 ____ ． 16. 已知f（x）= +b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c> 0，则下列判断正确的是 _______ ．（写出 所有正确结论的序号） ①f（x）关于点（0，b）成中心对称 ②f（x）在（0，+∞）上单调递增 ③存在M>0，使|f（x）| ≤M ④若g（x）有零点，则b=0 ⑤g（x）=0 的解集可能为{1，-1，2，-2} 三、解答题（本大题共7 小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，2sinA?sinB（1-tanA?tanB）=tanA?tanB． （Ⅰ ）求∠C 的大小； （Ⅱ）求sinA-cosB 的取值范围． 18. 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD，△ACD是边长为 2 的 等边三角形，且AB=BC= ，PA=2，点M 是棱PC上的动 点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD ； （Ⅱ ）当线段MB 最小时，求直线MB 与平面PBD所成角的正弦 值． 19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160 分钟的连续鼠标点击 游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180 次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG ）等指标． （Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下： 实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376 实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361 完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？ （Ⅱ ）实验过程中测得时间t（分）与10 名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG ）的中位数y （Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程； （Ⅲ ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？ 参考数据：（t i ）（y i ）=-1800 参考公式：回归方程= t+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 20. 抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若 A 为抛物线上第一象限 的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M， N 两点． （Ⅰ ）求证：直线AB 与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM ⊥AN ，求此时点 A 的坐标． 21. 已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e 为自然对数的底数） Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k 的最大值； Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln >2（x- ） 22. 已知曲线 C 的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P 为曲线 C 上的一动点． （Ⅰ ）求动点P 对应的参数从变动到时，线段AP 所扫过的图形面积； （Ⅱ ）若直线AP与曲线 C 的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ 的中点？ 若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由． 23. 已知函数f（x）=|3x+2|． （Ⅰ）解不等式f（x）< 4-|x-1|； （Ⅱ）已知m>0，n>0，m+n=1，若对任意的x∈R，m>0，n>0不等式|x-a|-f（x）≤（a > 0）恒成立，求正数 a 的取值范围． 由双曲线的渐近线方程可得答案． 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为： 其焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y=± x ， 又由其离心率 e= =2，则 c=2a ， 则 b= = a ，即 = ， 则其渐近线方程 y=± x ； 1.答案： C 答案与解析 解析： 解： ∵集合 A={x ∈Z|x 2≤1}={-1，0，1} ， B={-1 ，0，1，2}， ∴A ∩B={-1 ，0，1} ． 故选： C ． 利用交集定义直接求解． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.答案： B 解析： 解：将量词否定，结论否定，可得 ?x ∈R ， x 3-x 2+1>0 故选： B ． 将量词否定，结论否定，可得结论． 本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 3. 答案： C 解析： 解：向量 的夹角为 60°， | |=2， | |=4， 则（ - ） = = =-12 ． 故选： C ． 直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 解析： 【分析】 本题考查双曲线的几何性质， 注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置， 属于基础题． 确定双曲线的渐近线方程， 根据题意，由双曲线的离心率 e=2 可得 c=2a ，由双曲线的几何性质可得 = 即
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