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圆中三角函数综合例题及练习

圆中的三角函数

解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：

一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， AC =BC =1，那么sin ∠ABD 的值是．

解析：在⊙O 中，∠ACD =∠ABD ；

又由于AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，则∠ACD =∠ABC . Rt △ABC 中，AB =

22BC AC +=221)22(+=3,

从而sin ∠ABD =AB

AC =32

评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想

的巧妙运用。

二、用直径与所对圆周角构造直角三角形

例2(烟台市)已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB =α，等于

A ．sinα

B ．COSα

C ．tanα

D ．1

tan α

解析：连结BD ,由于AB 为直径,则∠ADB =90°, 于是,在Rt △PBD 中,有COSα

, 而点C 和点A 在圆周上，所以∠A =∠C ，又∠APB =∠CPD ，则△APB ∽△CPD

，从而

CD AB =PB PD ，所以CD

=COSα，故选B 。评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。

三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形

例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 (1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。

解析：（1）证明：如图5,连结OD 、CD ，

因为BC 是直径，所以CD ⊥AB ，而AC =BC ，则D 是AB 的中点又因为O 是CB 的中点，所以OD //AC

由于DF ⊥AC ，则OD ⊥EF ，于是EF 是⊙O 的切线.

（2）连结BG ，因为BC 是直径，所以∠BGC =90° 图 B 图1

在Rt △BCD 中，CD =

22AD AC -=22610-=8

而AB ·CD =2ABC S ?= AC ·BG , 则有BG =

AC CD AB ?=10

812?=548

. 在Rt △BCG 中，CG =2

BG BC -=22

)548(

10-=5

14; 又因为BG ⊥AC ， DF ⊥AC ，所以BG //EF ,

则∠E =∠CBG ,从而sin ∠E =sin ∠CBG =BC CG =10514

=25

评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.

例4.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,

以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。 (1)求⊙O 的半径。

(2)求sin ∠BOC 的值。

证：(1)：连OE,OD ，证四边形OECD 为正方形，设半径为R ，

R =44R

-, R=34；

(2)

3，作CM ⊥AB 于M ，易求AB=25．AB · CM=BC ·AC ， ∴CM=

554,易求OC=R 2=324,∴sin ∠BOC=OC

CM =1010

例5.如图，等腰△ABC 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。

(1)求证：DE 为⊙O 的切线：

(2)若BC=45，AE=1，求cos

∠AEO 的值。

图5

解：(1)连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴ ∠ODE=∠DEC =90° (2) ∠AEO=∠DOE, cos ∠AEO= cos ∠DOE=

，连DA.证CD=BD =25，证△CDE∽△CDA,C D 2

=CE ·CA=CE · (CE+1) ∴CE =4, DE=2

CE CD -=2, OD=

21AC=2

5，OE=2

2OD DE +=241,

∴cos ∠AEO== cos ∠DOE=

OD =4141

●专练

1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC.

(l)求证： ∠E=∠ACB:

(2)若AD=1, tan ∠DAC=2

，求BC 的长．

2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。

(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论 (2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。

D D

A B 3．如图，在△ABC 中．AB=BC,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过D 作DF ⊥BC,交AB 的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE 是⊙O 的切线；

(2) 当AB=5，AC=8时，求cos ∠E 的值．

4．如图，Rt△ABC 中， ∠C=90°，BD 平分 ∠ABC ，以AB 上一点0为圆心，过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点E EF ⊥AC (1)求证：⊙O 与AC 相切：

(2)若EF=2，BC =4，求tan ∠A 的值。

5．如图， △ABP 中，∠ABP=90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，在弧AC 上取一点F ，使弧CF=弧CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D 。

(1)求证：CD 为⊙O 的切线。

(2)连BF 交AP 于B 若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE 。

6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是 BC

的中点，DP AC ⊥,垂足为点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线.

（2）若AC =6, cosA=3

，求PD 的长.

7．如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC 的延长线于点E .连接BC ．

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；

（2）如果CD =6，tan ∠BCD=2

，求⊙O 的直径的长．

8．如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，

连结AD 、BE ，若1

sin 2

A =

，∠BED =30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；

（2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．

9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠BAC=，求的值．

三角函数综合练习题

三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M +

三角函数的图像与性质练习题

. 三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或解析 :如图 :

由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )

必修四三角函数综合习题

三角函数习题训练一．选择题 1.已知角α终边上一点()3,4--P ，则( )=αtan A 43 B 43- C 34 D 3 4- 2.已知sin 0θ<且tan 0θ<则α是（） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角 3.下列选项中错误的是（） A 0585si n 0< B ( )0675tan 0 >- C ( )0690 cos 0 <- D 01010 tan 0 < 5.下列各三角函数之中，为负值的是（） A 53sin π B 45tan π C 32cos π D ?? ? ??-6cos π 6.已知0cos sin >?αα ，则角α为（） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角 7.是，则已知ααtan 2=（） A 正值 B 负值 C 大于等于0 D 不能确定 8.已知角α为第二象限角，则2 sin α 为（） A 正值 B 负值 C 可正可负 D 不能确定 9．已知sin α=5 4 ，且α是第二象限角，那么tan α的值为（） A ．34 - B ．4 3- C ．43 D ．34 10．已知α的终边经过P （ππ6 5 cos ,65sin ），则α可能是（） A ．π65 B ．6π C ．3π- D ．3 π

11．函数| tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=的值域是（） A ．{1} B ．{1，3} C ．{-1} D ．{-1，3} 12．函数x x y cos sin -+=的定义域是（） A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈ B ．])12(,2 2[ππ π++k k ，Z k ∈ C ．])1(,2 [ππ π++ k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 13．),0(,5 4cos παα∈=，则αcot 的值等于（） A ．3 4 B ． 4 3 C ．3 4 ± D ． 4 3± 14．若2 1 cos sin =?θθ，则下列结论中一定成立的是（） A ．2 2sin =θ B ．2 2sin - =θ C ．1cos sin =+θθ D ．0cos sin =-θθ 15．若2cos sin 2cos sin =-+α αα α，则=αtan （） A ．1 B ． - 1 C ． 4 3 D ．34- 16.已知sin(π+α)=4 5 ,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是（） (A)－ 53 (B)53 (C)±53 (D)5 4 17.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为（） (A)－2 1k k - (B)21k k - (C)21k k + (D)－2 1k k + 18.化简4cos 4sin 21-的结果是（） A 、4cos 4sin + B 、4cos 4sin - C 、4sin 4cos - D 、4cos 4sin -- 19? ? +450sin 300tan 的值为（） A 、31+ B 、31- C 、31-- D 、31+- 20.已知函数))(2 sin()(R x x x f ∈- =π ，下面结论错误．．的是（） A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2 π ］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数

高中三角函数综合题及答案

三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围．三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B