2020年中考一轮复习之二次函数(二)
考点一:二次函数与商品最大利润
【例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系1623
=-
m x
⑴请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式,并求出自
变量的取值范围
⑵试问当x取何值时,该商场销售这种商品可获得最大利润?
考点二:二次函数与喷泉问题
【例2】如图所示,为一自动喷灌设备,设水管OB高出地面1.5米,在B处有一个自动旋转的喷头,一瞬间,喷头的水流呈抛物线状,喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45?角,水流的最高点C 比喷头B高出2米,在所建的坐标系中,求水流的落地点离A点的距离是多少米?
【例3】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()0,3A ,与x 轴分别交于()1,0B ,()5,0C 两点.
⑴求此抛物线的解析式;
⑵若点D 为线段OA 的三等分点,求直线DC 的解析式;
⑶若一个动点P 自OA 的中点M 出发,先到达x 轴上得某点(设为点E ),再到达抛物线的对称轴上得某点(设为F ),最后沿直线运动到点A .求使得点P 运动的总路径最短的点E F 、的坐标,并求出这个最短总路径的长
.
【例4】已知:如图,抛物线)0(22
≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点(04)C ,,与x 轴交于点A 、B ,点A
的坐标为(40),
⑴求该抛物线的解析式;
⑵若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ,与直线AC 交于点F ,点D 的坐标为(20),。问:是否存在这样的直线l ,使得ODF ?是等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
考点五:二次函数与直角三角形
?考点说明:二次函数与直角三角形问题,常结合的知识点有:勾股定理,相似三角形,圆 【例5
】如图,在平面直角坐标系中,直线y =-x 轴交于点A ,与y 轴交于点C
,抛物线
2y ax c =+(0a ≠)经过A 、B 、C 三点. ⑴求过A 、B 、C 三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;
⑵在抛物线上是否存在点P ,使ABP ?为直角三角形,若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由;
【例6】已知抛物线2
=++经过点(50)
y ax bx c
,和原点.
B-
A,、(66)
⑴求抛物线的函数关系式;
⑵若过点B的直线'
,,过点C作平行于x轴的直线交y轴于点
C m
y kx b
=+与抛物线相交于点(2)
D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y 轴交x轴于点F,交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED如图),是否存在点P,使得OCD
?与CPE
?相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【例7
】如图,已知抛物线(1)2)0
y a x a
=-+≠经过点(2)
A-,0,抛物线的顶点为D,过O作射线OM AD
∥.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.
⑴求该抛物线的解析式;
⑵若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为()
t s.问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
⑶若OC OB
=,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t()s,连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.
考点八:二次函数与梯形
【例8】如图,平面直角坐标系中,己知(24)A --,,2OB =,抛物线2y ax bx c =++经过A 、O 、B 三点
⑴求抛物线的函数表达式;
⑵在此抛物线上,是否存在一点P ,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形,若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
考点九:二次函数与圆
【例9】如图,已知点A 的坐标是(10)-,,点B 的坐标是(90),,以AB 为直径作'O e ,交y 轴的负半轴于
点C ,连接AC 、BC ,过A 、B 、C 三点作抛物线 ⑴求抛物线的解析式
⑵点E 是AC 延长线上一点,BCE ∠的平分线CD 交'O e 于点D ,连接BD ,求直线BD 的解析式
⑶在⑵的条件下,抛物线上是否存在点P ,使得PDB CBD ∠=∠?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由
考点十:二次函数与面积
【例10】如图,已知抛物线2
y x bx c =++经过点(15)-,和(24)-,
⑴求这条抛物线的解析式.
⑵设此抛物线与直线y x =相交于点A 、B (点B 在点A 的右侧),平行于y 轴的直线x m =(04m <<)与抛物线交于点M ,与直线y x =交于点N ,交x 轴于点P ,求线段MN 的长
(用含m 的代数式表示).
⑶在条件⑵的情况下,连接OM 、BM 是否存在m 的值,使BOM ?的面积S 最大?若存在,请求出m 的值,若不存在,请说明理由.
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;
故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
一元二次函数综合练习题 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,对称轴是直线1x =,则下列四 个结论错误.. 的是A .0c > B .20a b += C .2 40b ac -> D .0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论:①0a b c ++<;② 1a b c -+>;③0abc >;④420a b c -+<;⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是 ( ) A .①② B . ①③④ C .①②③⑤ D .①②③④⑤ 第2题 第3题 第题 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图,下列判断错误的是( ) A .0 专题10二次函数的应用一.解读考点 知识点 二次函(1)利润问题 数应用(2)几何问题 类型(3)抛物线型问题 名师点晴 利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是: (1)建模(最重要的 就是可以读懂题意),然 二次后求二次函数的解析式,解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出;认真审题,理解题意,建 应用(2)求x= ﹣b 2a 的值;立二次函数的数学模型, 的解(3)判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在,即相当于求顶点处 函数的最大值或最小值 ②不在,可画草图根据二 范围. 次函数的增减性来解答. 二.考点归纳 归纳1:利润问题 基础知识归纳: ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=(售价—进价)×销售量 ③商品的总利润=总收入-总支出 ④商品的利润率== 例1.(2017湖北十堰)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱.设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围; (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 【答案】(1)y=60+10x(1≤x≤12,且x为整数); (2)超市定价为33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元. 【解析】 试题分析:(1)根据题意,得:y=60+10x,由36?x≥24得x ≤12, ∴1≤x≤12,且x为整数; (2)设所获利润为W, 则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810, ∴当x=3时,W取得最大值,最大值为810, 答:超市定价为33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元. 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得: 25.(2018 14分)如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C,D. (1)求直线和抛物线的表达式; (2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t 为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值; (3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由. 25.(13分)(2017烟台)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值; (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 25.(2016 12分)如图1,已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6),点B在y轴上,且AD∥BC∥x轴,过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,2),点F(m,6)是线段AD上一动点,直线OF 交BC于点E. (1)求抛物线的表达式; (2)设四边形ABEF的面积为S,请求出S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (3)如图2,过点F作FM∥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN∥y轴,垂足为N,连接MN,直线AC分别交x轴,y轴于点H,G,试求线段MN的最小值,并直接写出此时m的值. 24.(2015 本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1,0),(0,-2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式; (2)若点P是x轴上的一个动点,试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使⊿QCM是等腰三角形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0. 2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存 二次函数与实际问题 类型一用二次函数解决“抛物线型”问题 方法技巧:利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种:拱桥问题、导弹问题、投抛 球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系,通过建立图象模型,构造二次函数关系式解决实际问题。 1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边 AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是 11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的解析式; (2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时) 的变化满足函数关系h=-1/128(t-19)2+8(0?t?40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行? 2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒 类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题 方法技巧:方案最优化问题实际就是求函数的最大(小)值,如利润最大,效益最好, 材料最省,根据题意列出二次函数关系式,通过配方转化为顶点式后,求最值。 1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政 策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500. (1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元? (2)设张刚获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? (3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润 不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元? 2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时,求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时,以 A , E , 顶点的四边形是矩形?求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下,以点 E 为圆心,EH 长为半径作圆,点 M 为O E 上一动点,求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点,与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD : Sz\ABD =k ,求 k 的值; (3)当厶BCD 是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 1.如图,抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点,直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点,过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ,H 为 AM+CM 它 顶点为D . 3.如图,直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点,设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式,并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动,点 F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动,同时动点 N 从 点O 出发,以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动,当 N 点到达A 点时,M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时,四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时,△ BOQ 能否为等腰三角形?若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1 中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质: 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 一元二次函数综合练习题 2 1、二次函数y=ax +bx+c(a^O)的图象如图所示,对称轴是直线x=1 ,则下列四个结论错误.的是 A. C . 0 B . 2a b=0 C . b -4ac 0 D . a -b c 0 2、已知二次函数y = ax2 bx - C的图象如图所示,有以下结论:① a b ^::0 :②a—b?c 1 :③ abc 0 :④4a -2b c < 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是() A .①②B.①③④C.①②③⑤ D .①②③④⑤ 2 3、二次函数y =ax bx c(a = 0)的图象如图,下列判断错误的是() 2 A. a ::: 0 B . b :: 0 c. C :: 0 D . b -4ac :: 0 4、二次函数y =ax2 bx C的图象如图所示,则下列关系式中错误的是() A . a v 0 B . c>0 C . b2-4ac > 0 D . abc > 0 5、某校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高丁;:与水平的距离 、1 2 5 - :■'■' ■,则该运动员的成绩是() ]匚—?3 A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m […“” 6、抛物线y = ax2+ bx+ C上部分点的横坐标X,纵坐标y的对应值如表所示.给出下列说法:①抛物线与y轴的交点为(0 , 6);②抛物线的对称轴是在y轴的右侧;③抛物线一定经过点(3 , 0); ④在对 称轴左侧,y随X增大而减小. A. 1个B . 2个 C . 3个D . 4个 2 7、抛物线y = x -2x 3与坐标轴交点为( X—3—2—101 y—60466 A.二个交点B . 一个交点C .无交点D .三个交点 8、二次函数y = x2的图象向下平移2个单位,得到新图象的二次函数表达式是 ( ) 2 2—2 2 A . y = X —2 B . y = (X —2) C . y= X + 2 D . y = (X + 2) 9、若二次函数y = 2x2—2mx+ 2n i—2的图象的顶点在y轴上,则m的值是 ( ) A.0 B. ± 1 C. ± 2 D. ± V 2 10、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则关于此二次函数的下列四 第2题 一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ; 《二次函数》中考题型归类 二次函数是初中数学的核心知识之一,也是中考的必考考点.考查的主要知识点有:二次函数的概念,二次函数解析式的三种表达形式,二次函数的图象及其性质,二次函数与一元二次方程和不等式的关系,用二次函数解决实际问题.为方便同学们学习,及时理解二次函数在中考中的地位,现以中考试题为例,对二次函数的典型题型进行展示与解析. 一、二次函数的概念 例1 若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为. 分析:题目中没有说明函数的类型,由于a 是变化的,因此这个函数可能是二次函数,也可能是一次函数,前者的条件是1a ≠,后者的条件是1a =,所以需要进行分类讨论. 解:①当1a ≠时,函数2(1)42y a x x a =--+是二次函数,由它的图象与x 轴有且只有一个交点,得2(4)4(1)20a a =--?-?=V . 整理,得220a a --=. 解得122,1a a ==-. ②当1a =时,函数2(1)4242y a x x a x =--+=-+是一次函数,其图象与x 轴的交点为1(,0),满足“图象与x 轴有且只有一个交点”的要求,因此1a =满足要求. 综上所述,a 的值为1或2或-1. 评注:形如2y ax bx c =++(,,a b c 为常数,0a ≠)的函数叫做二次函数.这里有两个要素:一是0a ≠,二是x 的最高次数为2,两者缺一不可.不能误认为2y ax bx c =++就一定是二次函数,当0,0a b =≠时,它是一次函数;当0,0a b ==时,它是平行(或重合)于x 轴的一条直线.因此,对于这类含字母系数的函数问题,要弄清它是否一定为二次函数,注意进行分类讨论.中考时,命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识. 二、二次函数的图象与性质 例2 (1)(2017?金华)对于二次函数2(1)2y x =--+的图象与性质,下列说法正确的是() A.对称轴是直线1x =,最小值是2 B.对称轴是直线1x =,最大值是2 C.对称轴是直线1x =-,最小值是2 D.对称轴是直线1x =-,最大值是2 (2)(2017?宁波)抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0中考专项复习:二次函数的应用题型总结解析版
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