三角恒等变换练习题一
一、选择题
1．(2014年太原模拟)已知5
3
)2sin(=+θπ
,则=-)2(cos θπ( ) A.
2512 B ．2512- C ．25
7
- D. 257 2．若54cos -=α,且α在第二象限内，则)4
2cos(π
α+为( ) A ．50231-
B. 50231 C ．50217- D. 50
217 3．(2013年高考浙江卷)已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 34 B. 43 C ．34- D ．4
3
-
4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin ( ) A ．1- B ．22-
C. 2
2
D ．1 5．(2014年云南模拟)已知53
)4sin(=-πx ,则x 2sin 的值为( )
A ．25
7
-
B. 257
C. 259
D. 2516
6．计算??-??13sin 43cos 13cos 43sin 的结果等于( )
A. 21
B.33
C.22
D.2
3
7．函数)sin (cos sin )(x x x x f -=的最小正周期是( ) A.
4π B. 2
π
C ．π
D ．π2 8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos 3)4(sin 2)(2π
ππ≤≤-+=x x x x f 的最大值为( )
A ．2
B ． 3
C ．32+
D ．32-
9.（2010理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像( )
A. 向左平移4π个长度单位
B. 向右平移4
π
个长度单位
C. 向左平移
2π个长度单位 D. 向右平移2
π
个长度单位 10．函数x x x y 2cos 32sin
)2sin(sin π
π++=的最大值和最小正周期分别为( ) A ．π,1 B ．π2,2 C. π2,2 D.
π,2
3
1+ 11．函数2
3
cos 32sin 212-+=x x y 的最小正周期等于( )
A ．π
B ．π2 C.
4
π
D.
2
π 12．若0)2
cos(3)3cos(=+--π
πx x ,则)4tan(π+x 等于( )
A ．21-
B ．2- C. 2
1
D ．2
13．(2013年高考湖北卷)将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.
12π B. 6π C. 3π D. 6
5π 14．(2014年山西大学附中模拟)若31)6
sin(
=
-απ
，则=+)23
2cos(
απ
( ) A ．97- B ．31- C. 31 D. 9
7
15．若2
cos 2sin 12sin 2tan 2)(2
x x x
x x f --=，则)12(πf 的值为( ) A ．33
4
-
B ．8
C ．34
D ．34- 16．(2014年太原模拟)已知51
cos sin ),,2(-=+∈ααππα,则)4tan(πα+等于( )
A ．7
B ．7- C. 71 D ．7
1
- 17．(2014年郑州模拟)若5
4
2sin ,532cos
-==θθ
，则角θ的终边所在的直线为( ) A ．0247=+y x B ．0247=-y x C ．0724=+y x D ．0724=-y x 18．(2014年南阳一模)已知锐角α的终边上一点)40cos 1,40(sin ?+?P ,则锐角=α( )
A ．?80
B ．?70
C ．?20
D ．?10 19．已知10
10
sin ,55sin =
=
βα,且βα,都是锐角,则=+βα( ) A ．?30 B ．?45 C ．?45或?135 D ． ?135
20．已知21)4tan(=+π
α,且02<<-απ,则
=-+)4
cos(2sin sin 22παα
α( ) A ．552-
B ．1053-
C ．10103- D. 5
5
2 21．(2014年合肥模拟)已知5
3
4sin )6(cos =+-ααπ,则)67sin(πα+的值是( ) A ．532-
B. 5
3
2 C. 54 D ．54-
22．已知25
24
sin -
=α,则2tan α等于( )
A ．43-
B ．34-
C ．43-或3
4- D. 43或34
23．已知)0,(,2sin cos πααα-∈=-,则=αtan ( ) A ．1- B ．22- C. 2
2
D ．1 24．(2014年嘉兴一模)
?
?
-?70sin 20sin 10cos 2的值是( )
A. 21
B. 2
3
C. 3
D. 2
25．(2014年六盘水模拟)已知31)cos(,31cos -=+=βαα,且)2
,0(,π
βα∈,则)cos(βα-的值等
于( )
A ．21- B. 21 C ．3
1- D. 2723
26．函数x x x f sin 2cos 6)(-=取得最大值时x 的可能取值是( ) A ．π- B ．2
π
- C ．6
π
-
D ．π2
二、填空题
1．为了得到函数1)cos sin 3(cos 2)(+-=x x x x f 的图象,需将函数x y 2sin 2=的图象向右平
移)0(>??个单位，则?的最小值为 ． 2．函数x x x x f 2cos 3cos sin )(-=的值域为 ．
3．化简
=?
?-
?80cos 10cos 21
35sin 2 . 4. (2013年高考江西卷)函数x x y 2sin 322sin +=的最小正周期T 为 ． 5．(2014年济南模拟)已知0cos 3sin =-αα,则=-α
αα
22sin cos 2sin .
6．(2014年南昌模拟)已知点)4
3cos ,43(sin ππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则)
3
t a n (π
θ+的值为 .
7．(2013年高考四川卷)设),2(,sin 2sin ππ
ααα∈-=，则α2tan 的值是 .
8．(2014年成都模拟)已知3
2
cos sin =
+αα,则α2sin 的值为 . 9．化简
=?
?-
?80cos 10cos 21
35sin 2 . 10．(2014年东营模拟)已知)2,0(π
α∈,且0cos 3cos sin sin 222=-?-αααα,则
=+++1
2cos 2sin )
4(sin ααπ
α ．
11．函数x x x x f 2cos 3cos sin )(-=的值域为 ． 12．已知2)12
(tan =-π
α，则)3
tan(π
α-
的值为 ．
三、解答题
1．已知函数x x x f 2sin 2)4
2cos(2)(++=π
.
(1)求函数)(x f 的最小正周期；
(2)设23
)62(,21)42(],2,0[,=-=+∈πβπαπβαf f ，求)2(βα+f 的值． 2. (2013年高考山东卷)设函数)0(cos sin sin 32
3
)(2>--=
ωωωωx x x x f ,且)(x f y =图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
4
π.
(1)求ω的值； (2)求)(x f 在区间]2
3,
[π
π上的最大值和最小值． 3．(2013年高考安徽卷)已知函数)0)(4
sin(cos 4)(>+=ωπ
ωωx x x f 的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论)(x f 在区间]2
,0[π
上的单调性．
4．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ωωω(其中0>ω)，且函数)(x f 的周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数)(x f y =的图象向右平移4
π
个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的
21倍(纵坐标不变)得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]24
,6[π
π-上的单调区间． 5．已知函数)6
2cos(6
sin
)12
cos()12
sin(3
sin 2)(π
π
π
π
π
+
-+
+
=x x x x f ,求函数)(x f 的最小正周期
与单调递减区间.
6．(2014年北京东城模拟)已知函数2)cos sin 3(2)(x x x f --=.
(1)求)4(π
f 的值和)(x f 的最小正周期；
(2)求函数)(x f 在区间]3
,6[π
π-
上的最大值和最小值． 7. (2014年北京东城模拟)已知函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(. (1)求)(x f 的最小正周期及单调递减区间； (2)若)(x f 在区间]3
,6[π
π-
上的最大值与最小值的和为23
，求a 的值．
8．(2013年高考辽宁卷)设向量]2
,0[),sin ,(cos ),sin ,sin 3(π
∈==x x x b x x a .
(1)若||||b a =，求x 的值； (2)设函数b a x f ?=)(，求)(x f 的最大值．
9．(2013年高考陕西卷)已知向量R x x x b x a ∈=-=),2cos ,sin 3(),2
1
,(cos ,设函数
b a x f ?=)(.
(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2
,0[π
上的最大值和最小值．
10．(2014年合肥模拟)将函数x y sin =的图象向右平移
3
π
个单位，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数)(x f 的图象，若
3c o s )()(+=x x f x g .
(1)将函数)(x g 化成B x A ++)sin(?ω(其中]3
,2[,0,π
π?ω-∈>A )的形式；
(2)若函数)(x g 在区间],12
[0θπ
-
上的最大值为2，试求0θ的最小值．
11．(2014年济宁模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点
)3,3(-P ．
(1)求ααtan 2sin -的值；
(2)若函数ααααsin )sin(cos )cos()(---=x x x f ，求函数)(2)22(32x f x f y --=π
在区
间]2,0[π
上的值域．
12．已知ααcos 21sin +=
,且)2
,0(π
α∈,求)
4
sin(2cos π
αα-的值．
13．已知)2
,4(,53)4sin(),4,0(,553cos sin π
πβπβπααα∈=-∈=
+. (1)求α2sin 和α2tan 的值；(2)求)2cos(βα+的值． 14．(2014年合肥模拟)已知函数x m x m x f cos 12sin )(-+=. (1)若3)(,2==αf m ,求αcos ;
(2)若)(x f 的最小值为2-,求)(x f 在]6,[π
π-上的值域．
15．(能力提升)(2014年深圳调研)已知函数)50)(3
6
sin(2)(≤≤+=x x x f π
π,点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点． (1)求点B A ,的坐标以及OB OA ?的值；
(2)设点B A ,分别在角βα,的终边上,求)2tan(
βα-的值．
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
三角恒等变换练习题一 一、选择题 1．(2014年太原模拟)已知53 )2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ( ) A. 2512 B ．2512- C ．25 7 - D. 257 2．若54cos -=α,且α在第二象限内，则)4 2cos(π α+为( ) A ．50231- B. 50231 C ．50217- D. 50 217 3．(2013年高考浙江卷)已知2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 34 B. 43 C ．34- D ．4 3 - 4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin ( ) A ．1- B ．22- C. 2 2 D ．1 5．(2014年云南模拟)已知53 )4sin(=-πx ,则x 2sin 的值为( ) A ．25 7 - B. 257 C. 259 D. 2516 6．计算??-??13sin 43cos 13cos 43sin 的结果等于( ) A. 2 1 B.33 C.22 D.23 7．函数)sin (cos sin )(x x x x f -=的最小正周期是( ) A. 4π B. 2 π C ．π D ．π2 8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos 3)4(sin 2)(2π ππ≤≤-+=x x x x f 的最大值为( ) A ．2 B ． 3 C ．32+ D ．32- 9.（2010理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( ) A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4 π 个长度单位
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
三角恒等变换测试题 第I 卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C
三角恒等变换专题复习 一、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±= 练习：1、sin15______o =；1tan15______1tan15 o o +=- 1tan 751tan 75+- ＝ 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－21 B.21 C.－ 2 3 D. 2 3 （一）特殊技巧 （1）平方相加 ①ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______． ②已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-_______． (2)表示分子 ①求值0000 tan35tan 25tan 25+? ②求(1tan 22)(1tan 23)_______o o ++=。 ③求 (1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o ++++= （二）知值求值，知值求角 ①设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13 ，且0＜α＜2 π，0＜β＜2 π，求cos （α+β） ②已知 α∈(4π，43π )，β∈(0，4π),cos (α－4 π)＝5 3，sin(4 π ＋β)＝13 5，求sin(α＋β)的值． ③已知?? ? ??∈π,π4 3 βα、，5 3)sin(-=+βα，13 124πsin =??? ? ?-β，则?? ? ? ?+4πcos α的值 ④若sinA= 5 5 ，sinB= 10 10，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。 ⑤已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π ，π2 3π<<β，求α ＋β 的值 二、二倍角公式； ⑴ sin 2__________θ=__________= ①已知3sin(),4 5 x π -=则sin 2x 的值为（ ） ②若 ，且，则=（ ） ③已知),2,23( ππα∈化简ααsin 1sin 1-++2cos 2 α -__________= ④已知cos 23 θ= 44sin cos θθ+的值为（）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1- ⑵ cos 2__________α= __________= __________= __________= 降次公式： 2cos _______α=， 2sin _________α= ①求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ. ②已知sin 2 α=35,cos 2α= -45 ,则角α终边所在的象限是 ③证明， 1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθ θθθ+-=++ ④已知 1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 ⑤函数2 21tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是__________= （3）tan 2____________θ= ①在△ABC 中，cos A =35 ,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。 ②若1tan 2008,1tan αα+=-则1 tan 2cos 2αα += 。
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q
4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
专题五《三角恒等变换》综合检测 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）
A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．
锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。
三角函数与三角恒等变换(A) 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 ，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合 的实数m的取值范围是_________. 5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 的最小正值为___________. 8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.
9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________. 11. 函数 的递减区间是___________. 12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么 __________. 13. 若函数y＝sin(x＋ )＋cos(x＋ )是偶函数，则满足条件的 为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知 ，求
的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间 上的图象. 17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6( )的值域. 18. (本小题满分16分)已知函数 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间. 19. (本小题满分16分)设函数
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ