第十二章全等三角形
章末复习课第一课时
一、思维导图
（梳理本章知识点，形成有逻辑性的图.按章写，使用框图.）
二、3道典型例题讲解.
例1如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝_____
【知识点】全等三角形的性质
【思路点拨】因为△ABC≌△DEF，所以EF=BC=20，即x=20．
【解题过程】略
【答案】20
例2 已知：如图,D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
【知识点】全等三角形的性质和判定.
【思路点拨】考虑证BC和AE所在边的两个三角形全等.
【解题过程】证明：因为DE∥AB，所以∠CAB=∠EDA.
在△ABC和△DAE中，∠CAB=∠EDA，AB=DA，∠B=∠DAE，
所以△ABC≌△DAE.
所以BC=AE．
例3如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，BE平分∠ABC，求证：BD=2EC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【思路点拨】延长BA交CE的延长线于F，证明△BCE≌△BFE，由全等可证CE=EF，再证△ACF≌△ABD，可得BD=CF
【数学思想】截长补短.
【解答过程】
证明：延长BA交CE的延长线于F，
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，
∴△BCE≌△BFE，
∴CE=EF，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，CE⊥BE，
∴∠FCA=∠ABD，
又∵ AB=AC ∠FAC=∠BAD
∴△ACF≌△ABD，
∴BD=CF，
∴BD=2CE.
D
E
C A
B F
三、章末检测题
一、选择题 （每题4分，共48分）
1.如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( )
A.∠A =∠D
B.BC =EF
C.∠ACB =∠F
D.AC =DF
【知识点】三角形全等的判定
【思路点拨】已知有一条边和相邻的一个角对应相等，可以添∠A =∠D （依据ASA ）或∠ACB =∠F (依据AAS )，也可以添边BC =EF (依据SAS)
【解答过程】选项A 的依据为ASA ； 选项B 的依据为SAS ；选项C 的依据为AAS ；选项D 不能判断两个三角形全等.
【答案】D
2.下列说法正确的是（ ）
A.周长相等的两个三角形全等；
B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
C.面积相等的两个三角形全等；
D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
【知识点】三角形全等的判定和性质.
【思路点拨】三角形全等的判定方法有：SSS ；SAS ；AAS ；ASA ；HL.
【解答过程】选项A 周长相等不能判断三角形全等；选项B 两边和一个角对应相等，只能是两边和两边的夹角对应相等才能判定三角形全等；选项C 面积相等的两个三角形不一定全等；选项D 对，依据为
AAS.
【答案】D
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①②③去
【知识点】三角形全等的判定.
【思路点拨】①和②不能确定唯一一个三角形.
【解答过程】①中已知一个角不能确定一个三角形；②延长所在的两边的一部分也只能得到一个角，也不能确定一个三角形；③已知一个三角形的两角和一边能够确定唯一一个三角形，依据是ASA.
【答案】C
4.如图，△ABC的边与角如图所示，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
【知识点】三角形全等的判定定理.
【思路点拨】根据三角形全等的判定方法去判定，边与角是有位置关系的. 【解答过程】选项A中有两边对应相等，但是夹角不一定相等；选项B正确，依据为SAS；选项C中有两边对应相等，但是夹角不相等；选项D中有两个角对应相等，但是两角所夹的边不相等.
【答案】B
5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD =CD ，AB =CB .汤姆在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC ⊥BD ;②AO =CO ;③△ABD ≌△CBD .其中正确的结论有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【知识点】三角形全等的判定定理和性质定理.
【思路点拨】由AD =CD ，AB =CB ，BD=BD ,可得△ABD ≌△CBD ，再由全等可得∠ADO =∠CDO ,∠ABO =∠CBO ，由此可得△ADO ≌△CDO 和△ABO ≌△CBO ，可得AO =CO ,∠AOD =∠COD ,由此可得∠AOD =∠COD =900
【解答过程】∵AD =CD ，AB =CB ，BD=BD ,
∴△ABD ≌△CBD ，
∴∠ABO =∠CBO ，
又∵OB =OB ，
∴△ABO ≌△CBO ，
∴AO =CO ,∠AOB =∠COB ,
∵∠AOB +∠COB =1800,
∴∠AOB =900,即AC ⊥BD .
【答案】D
6.如图，在CD 上求一点P ，使它到OA ，OB 的距离相等，则P 点是（ ）
A. 线段CD 的中点
B. OA 与OB 的中垂线的交点
C. OA 与CD 的中垂线的交点
D. CD 与∠AOB 的平分线的交点
图 11
B D
O
C A
【知识点】角平分线的判定定理.
【思路点拨】使它到OA，OB的距离相等，则P点在∠AOB的平分线上.
【解答过程】因为P它到OA，OB的距离相等，所以P点在∠AOB的平分线上，又因为P在CD上，所以P点是CD与∠AOB的平分线的交点，所以选D.
【答案】D
7．△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为（） A．3 B．4 C．5 D．3或4或5
【知识点】三角形全等的性质；三角形三边的关系.
【思路点拨】由△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，可得DE=2,DF=4, 在△DEF中DE=2,DF=4,可以求出：2＜EF＜6,再因为△DEF的周长为偶数，则EF的值为4. 【解答过程】∵△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，
∴AB=DE=2，AC=DF=4,
在△DEF中DE=2,DF=4,
∴4-2＜EF＜4+2即2＜EF＜6
∵△DEF的周长为偶数，
∴EF的长也是偶数，
∴EF=4.
【答案】B
8.如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC
【知识点】全等三角形的性质．
【思路点拨】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答过程】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B 、∵△ABD ≌△CDB ，
∴△ABD 和△CDB 的周长相等，故本选项错误；
C 、∵△AB
D ≌△CDB ，
∴∠A =∠C ，∠ABD =∠CDB ，
∴∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ≠∠C +∠CBD ，故本选项正确；
D 、∵△ABD ≌△CDB ，
∴AD =BC ，∠ADB =∠CBD ，
∴AD ∥BC ，故本选项错误；
【答案】C ．
9．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF =600，
那么∠FEC 等于（ ）
A ．150
B ．300
C ．450
D ．600
【知识点】三角形全等的性质；直角三角形两锐角互余.
【思路点拨】由已知可得△ADE ≌△AFE ,则∠DAE =∠FAE ,再由∠BAF =600，可得∠DAE =∠FAE =150，所以∠DEA =∠FEA =750,所以∠FEC=300 【解答过程】解：∵长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处 ∴△ADE ≌△AFE ,
∴∠DAE =∠FAE ,
∵∠BAF =600，
∴∠DAE =∠FAE =150
,
在Rt △ADE 和Rt △AFE 中，∠DEA =∠FEA =900-150=750
∵∠DEA +∠FEA +∠FEC =1800
∴∠FEC =300
【答案】B
10．如图，DAC △和EBC △均是等边三角形，AE BD ，分别与CD CE ，交于点
M N ，，有如下结论：①ACE DCB △≌△；②CM CN =；③AC DN =.其中，正确结论的个数是（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
【知识点】三角形全等的判定和性质.
【思路点拨】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案. 【解答过程】解：∵DAC △和EBC △均是等边三角形，
∴AC =DC ,CE =CB ,∠ACE =∠DCB =1200
∴△ACE ≌△DCB ,
∴∠CAM =∠CDN ,
∵∠ACM =∠DCN ,AC =DC ,
∴△ACM ≌△DCN ,
∴CM =CN
AC =DN 无法证明
∴①和②正确.
【答案】B
11．如图所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，
若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）
A ．80°
B ．100°
C ．60°
D ．45°
【知识点】三角形全等的性质；三角形内角和定理.
B E
C
D A N M
【思路点拨】根据三角形内角和求得∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，由三角形全等的性质可得∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠1=∠BAE=140°，再由三角形内角和定理可求∠α=80°
【解题过程】解：∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，
∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
28x+5x+3x=180°，
解得x=5，
故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠1=∠BAE=140°，
∴∠EAC=360°-∠1-∠BAE=800，
∵∠α+∠E+∠DPE=180°,∠DCA+∠PAC+∠APC=180°,∠DPE=∠APC
∴∠α=80°
【答案】A．
12.AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（）
A.AD＞1
B.AD＜5
C.1＜AD＜5
D.2＜AD＜10
【知识点】三角形全等的判定和性质；三角形三边的关系.
【思路点拨】构造相等线段BD和DC所在的两个三角形全等，通过全等把已知和要求的线段转移到一个三角形中.
【解答过程】解：延长AD到E，使DE=AD，连接EC,
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
∵DE=AD,∠ADB=∠EDC
∴△ABD≌△ECD
∴AB=EC=4
在△ACE中，AC=6,EC=4
∴6-4＜AE＜6+4即2＜AE＜10
∴1＜AD＜5
【答案】C D A B
C
E
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ′＝24°，
则∠B = °.
【知识点】三角形全等的性质；三角形内角和定理.
【思路点拨】由△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠C ′＝24°可得∠C ＝24°，所以∠B =180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=1200
【解答过程】解：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′，
∴∠C ＝∠C ′＝24°
∵∠A+∠B+∠C=1800
∠A ＝36°
∴∠B =180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=1200
【答案】1200
14．如图BC =EF ，AC =DF ，要证明△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件：
（1）若以“ ”为依据，需添加的条件是 ；
（2）若以“ ”为依据，需添加的条件是 ．
【知识点】全等三角形的判定．
【思路点拨】（1）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可；
（2）全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件填上即可．
【解答过程】解：（1）根据定理SSS，添加条件为AB=DE，
故答案为：SSS，AB=DE；
（2）根据SAS，添加条件为∠ACB=∠F，
【答案】SAS，∠ACB=∠F．
15.如图，△ABC≌△ADE，∠B=70°，∠C=26°，∠DAC=30°，则∠EAC的度数为．
【知识点】全等三角形的性质．
【思路点拨】首先利用三角形内角和计算出∠BAC，再计算出∠BAD的度数，然后再根据全等三角形的性质可得答案．
【解答过程】解：∵∠B=70°，∠C=26°，
∴∠BAC=180°﹣70°﹣26°=84°，
∵∠DAC=30°，
∴∠BAD=84°﹣30°=54°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠EAC=∠BAD=54°，
【答案】54°．
16.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中有对全等三角形．
【知识点】全等三角形的判定；角平分线的性质．
【思路点拨】根据三角形全等的判定方法，有3对全等三角形，分别是△AOP≌△BOP，△EOP≌△FOP，△AEP≌△BFP
【解答过程】因为平分，根据角平分线的性质有，且，，所以，在与中，因为
，所以；
在与中，
因为
，
所以；因为，所以，
在与中，因为
，
所以。
故共有对全等三角形。
故本题正确答案为3。
17. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=10，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是．
【知识点】角平分线的性质．
【思路点拨】首先由线段的比求得CD=4，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离等于CD．
【解答过程】解：∵BC=10，BD：DC=3：2
∴CD=4
∵∠C=90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=4．
【答案】4．
18.如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP= ．
【知识点】全等三角形的性质．
【数学思想】分类讨论．
【思路点拨】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=12，P、C重合．
【解答过程】解：①当AP=CB时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
AP CB AB QP
=
?
?
=
?
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP =BC =6；
②当P 运动到与C 点重合时，AP =AC ，
在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC
QP
AB =??=?，
∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），
即AP =AC =12，
∴当点P 与点C 重合时，Rt △QAP ≌Rt △BCA ．
综上所述，AP =6或12．
【答案】6或12．
三、解答题（每题8分，共16分）
19．如图，AB =AE ，∠1=∠2，∠C =∠D ．
求证：△ABC ≌△AED ．
【知识点】全等三角形的判定．
【思路点拨】首先根据∠1=∠2可得∠BAC =∠EAD ，再加上条件AB =AE ，∠C =∠D
可证明△ABC ≌△AED ．
【解题过程】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC ，
即∠BAC =∠EAD ，
∵在△ABC 和△AED 中，
D C
BAC EAD
AB AE
∠=∠??∠=∠??=?，
∴△ABC ≌△AED （AAS ）．
20．如图，AC =AE ，∠1=∠2，AB =AD ．求证：BC =DE ．
【知识点】全等三角形的判定与性质．
【思路点拨】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答过程】
证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AC AE
CAB DAE AB AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
四、解答题（每题10分，共40分）
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【思路点拨】求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA 推出△ABC≌△DEF即可．
【解题过程】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B =∠E ，∠ACB =∠DFE ，
∵在△ABC 和△DEF 中，
E B BC EF
ACB DEF ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ABC ≌△DEF （ASA ），
∴AC =DF ．
22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =90°，∠DAE =90°，B ，C ，D 在同一条直线上．求证：BD =CE ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【思路点拨】求出AD =AE ，AB =AC ，∠DAB =∠EAC ，根据SAS 证出△ADB ≌△AEC 即可．
【解答过程】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形
∴AD =AE ，AB =AC ，
又∵∠EAC =90°+∠CAD ，∠DAB =90°+∠CAD ，
∴∠DAB =∠EAC ，
∵在△ADB 和△AEC 中
AB AC BAD CAE
AD AE =??∠=∠??=?
∴△ADB ≌△AEC （SAS ），
∴BD =CE ．
23．如图，已知：正方形ABCD ，由顶点A 引两条射线分别交BC 、CD 于E 、F ，且∠EAF =45°，求证：BE +DF =EF ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【思路点拨】延长CD 到G ，使DG =BE ，利用“边角边”证明△ABE 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG =AE ，全等三角形对应角相等可得∠DAG =∠BAE ，然后求出∠EAF =∠GAF ，再利用“边角边”证明△AEF 和△AGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF =GF ，然后结合图形整理即可得证．
【数学思想】截长补短.
【解答过程】证明：如图，延长CD 到G ，使DG =BE ，
在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，
∴∠ADG =∠B ，
在△ABE 和△ADG 中，
AB AD ADG B
DG BE =??∠=∠??=?
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴AG =AE ，∠DAG =∠BAE ，
∵∠EAF =45°，
∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD ﹣∠EAF =90°﹣45°=45°， ∴∠EAF =∠GAF ，
在△AEF 和△AGF 中，
AG AE EAF GAF
AF AF =??∠=∠??=?
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴EF =GF ，
∵GF =DG +DF =BE +DF ，
∴BE +DF =EF ．
24．如图，在△ABC 中，∠ABC =2∠C ，AD 平分∠BAC ，求证：AB +BD =AC ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【思路点拨】在AC 上截取AE =AB ，利用“边角边”证明△ABD 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE =BD ，全等三角形对应角相等可得∠AED =∠ABC ，然后求出∠C =∠CDE ，根据等角对等边可得CE =DE ，然后结合图形整理即可得证．
【数学思想】截长补短.
【解答过程】证明：如图，在AC 上截取AE =AB ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD =∠BAD ，
在△ABD 和△AED 中，
AB AB CAD BAD
AD AD =??∠=∠??=?
∴△ABD ≌△AED （SAS ），
∴DE =BD ，∠AED =∠ABC ，
∵∠AED =∠C +∠CDE ，∠ABC =2∠C ，
∴∠CDE =∠C ，
∴CE =DE ，
∵AE +CE =AC ，
∴AB +BD =AC ．
五、解答题（第25题10分，第26题12分，共22分）
25．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD =CD ，BD 平分∠ABC ，
求证：∠A +∠C =180°．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【思路点拨】首先过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，由BD 平分∠ABC ，根据角平分线的性质，即可得DE =DF ，又由AD =CD ，即可判定Rt △CDE ≌Rt △ADF ，则可证得：∠A +∠C =180°．
【数学思想】数形结合
【解答过程】证明：过点D 作DE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ， ∵BD 平分∠ABC ，
∴DE =DF ，∠DEC =∠F =90°，
在RtCDE 和Rt △ADF 中，
CD AD DE DF
=??=?
∴Rt △CDE ≌Rt △ADF （HL ），
∴∠FAD =∠C ，
∴∠BAD +∠C =∠BAD +∠FAD =180°．
26．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【思路点拨】首先根据角之间的关系推出∠EAC=∠BAF．再根据边角边定理，证明△EAC≌△BAF．最后根据全等三角形的性质定理，得知EC=BF．根据角的转换可求出EC⊥BF
【解答过程】
证明：(1)因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠EAB=90°=∠FAC，
所以∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC.
又因为∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC.
所以∠EAC=∠BAF.
在△EAC与△BAF中，
AE AB
EAC BAF
AF AC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
所以△EAC≌△BAF. 所以EC=BF.
(2)根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°
A
E
B
M
C
F