勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。
勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是三角形。（且∠ =90°）
2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数。
常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；…这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值）
3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。
一、分类讨论思想
1．在△ABC中，AB=6，BC=10.要使这个三角形是直角三角形，则AC的长是多少？
2.已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边长的平方。
3.已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，求△ABC的周长为_________
二、方程思想
1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.
B
A E
2.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km 处？
3、已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
三、数形结合思想
1.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
勾股定理与梯子问题
如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．
勾股定理与折叠问题
如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将该矩形沿对角线BD 折叠，则图中阴影部分的面积是多少？
勾股定理与树高问题
有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了___米（用含根号的式子表示）
勾股定理与面积
在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．
l 321S 4S 3S 2S 1
勾股定理的实际应用:最短路线问题
立体图形中线路最短问题,通常把立体图形的表面____,得到____图形后,运用勾股定理或逆定理解决. 例1、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m ，则他所买的竹竿最大长度是多少？
C D
例2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是
____________________．
勾股定理与旋转
例1.如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。求证：DE 2=AD 2+BE 2。
E
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸， A B
勾股定理在实际生活中的应用 学习目标 1通过本科的学习，掌握利用勾股定理理解：决实际问题的方法分析———画图———解答。 2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。 3在互助学习中进一步了解数学源于生活，有服务于生活的道理。 教学重点 如何利用勾股地理解决实际问题。 教学难点 将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。 教学手段 多媒体课件 教学准备 课件五个生准备门框框架 教学方式 互助学习 教学过程 —，温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读了非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 一、温故知新 （一）出示课件一 生齐读勾股定理 （二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮助呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。 师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用 师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2. 二、互助学习 （一）出示课件2、3结合课件小组进行互助学习。师友互学，教师巡视指导。 生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。 生2讲解例2，师友展示例2解答过程。 （二）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？ 教师板书:分析---------画图---------解答 （RTΔ）（勾股定理） 三、探究提升 （一）出示课件4（思考题）
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145
勾股定理应用的教学设计教学目标 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究，会运用勾股定理解释生活中的实际问题。 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究，研究勾股定理在实际中的应用 一、复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 (1)勾股定理： （2）求出下列直角三角形中未知的边． A C B 二、合作探究 通过四个问题，让学生明白勾股定理在实际生活中的应用，以及如何去使用勾股定理。 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为多少米.？ 5 m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，问旗杆折断前 如下图，要将楼梯铺上地毯，则需要米长的地毯. 5米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为3米． ①球梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下滑1米至C，请同学们猜一猜，底端B也将滑动1米吗？ 算一算，底端滑动的距离。（结果保留1位小数）． 6 1 A C B 2 30° C B 2 2
三．深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴 岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 四、课堂小结 本节课你有什么收获？你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么？ 五、运用新知 1校园里有两棵树，相距15米，一棵树高10米，另一棵树高18米，一只小鸟从一棵树的顶 端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米。 2如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是。 4、一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。 3、小东拿着一根长竹竿进一个宽为三米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城 门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米。 六、课后反思 我学到了什么—————— 还想知道什么——————
１．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为2 2 2 ()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于 直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90 C ∠=?，则c =，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边. ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>， 时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图
勾股定理 学习目标 掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。 导学过程 一、 忆一忆 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若D 为斜边中点，则斜边中线是 （3）若∠B=30°，则∠B 二、学一学 1、（1）、画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC 问题：你是否发现23+24与25，25+212和213 命题1：如果直角三角形的两直角边分 么 。 三、合作探究： 方法1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 求证： 222a b c += 证明：4S △+S 小正=S 大正 根据的等量关系：由此我们得出勾股定理 的内容是 b b
方法2、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 根据如图所示，利用面积法证明勾 股定理 四、练一练： 1、在Rt △ABC ，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c 。（2）已知a=1,c=2, 求b 。（3）已知c=17,b=8, 求a 。 ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 2、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为 。 3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________． 4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32 6、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. b c c a A E B 3m 4m 20m
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三 角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面 积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三： 1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠= ?，则c = b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量 关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长 边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
勾股定理的实际运用 一.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的_______等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么_____. (2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为_____,较长的直角边称为________,斜边称为______. 二.直角三角形的判别条件 1.直角三角形的判别条件（也称为勾股定理的逆定理） 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）.如图所示，在△ABC中，如果AC2+BC2=AB2.那么△ABC就是以∠C为直角的直角三角形. 2.判断直角三角形的步骤 （1）确定最长边. (2)算出最长边的平方与另两边的平方和.（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等,若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形. 3.直角三角形的判别条件与勾股定理的联系和区别 （1）联系 都是和直角三角形有关的内容，都和三角形的三边有关系，都渗透了数形结合的思想. (2)区别 勾股定理是由形到数，即由直角三角形得到三边之间的数量关系，是直角三角形的一个性质；而直角三角形的判别条件是由数到形，即由三边关系得到三角形的形状—直角三角形，是直角三角形的一种判别方法.
知识点一.确定几何体表面上的最短路线 1.解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：（1）把立体图形展开成平面图形；（2）确定最短路线；（3）确定直角三角形；（4）根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解 2.求立体图形表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题： （1）圆柱形物体表面上两点之间的最短路线长，主要涉及如下问题：（1）圆 柱形污图表面两点之间的最短路线长；（2）长方体表面两点之间的最短路线长；（3）台阶表面两点之间的最短路线长. 例题1：如图所示，有一个圆柱形油罐，要从点A处环绕油罐建梯子，正好到 点A的正上方点B,问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m,高AB 是5m） 知识点二.利用直角三角形的判别条件判断垂直 利用直角三角形的判别条件判断三角形是直角三角形也是判断垂直的一种方法.在实际生活中常常需要判断两直线是否垂直，解决此类问题的一般方法是将实 际问题转化为数学问题.首先，结合题意画出符合要求的三角形，再利用直角三角形的判别条件判断垂直. 例题2.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你能否检验∠P是不是直角?简述你的作法,并说明理由.
勾股定理总结 _________________________ 勾股定理做题方法总结 一、求边长类题目。 1、牢记勾股定理公式，并记住几组够股数，知道够股数同时乘以或者除以一个数，够股数仍然成立，填 空选择题可以直接通过这个定理写出答案。 2、当遇到跟“底、高”有关的题目时，联想到三角形面积公式：（低×高）÷2 3、选题题、填空题要求求第三条边时，一定要看清楚已知的两条边是不是直角边，若题目中没有说明， 一定要考虑多种可能性。 4、学会画简图，并且能够准确的在图上标出已知数据。 5、做辅助线的时候，切记不要将已知的直角分割，尽量保留已知角。 6、题目中出现30度、60度角时马上联想到30度角对应的直角边等于斜边的一半。 7、遇到45度角的时候，马上想到两条直角边相等 二、求面积、周长类题目。 1、知道两条直角边相乘再÷2就可以求出RT三角形的面积。 2、牢记圆的面积公式和周长公式。 3、在做比较难的题目时，一定要将题目中所有已知数据的关系式列出来（经常用到勾股定理公式、面积 公式、周长公式……） 4、了解等边三角形、等腰三角形的一些特性，比如角平分线同时也是高，同时也是底边中线。 5、要学会设x，因为x除了表示自身外还要用来表示其他边，所以x设的越简练越容易计算越好。 6、看到正方形对角线，就要想到对角线把正方形分割成两个等腰三角形，从而获得两个相同的直角边。 三、判断类题目。 1、考虑周全每一种情况。 2、必要的时候可以带入具体数字尝试计算验证。 3、一定要自己读题，判断类题目很喜欢玩文字游戏。 4、判断类题目实际上就是求边长、求面积、应用题还有一些公式、理论的综合应用问题。 四、应用类题目。 1、学会分析题目，多思考，学会画出草图并且标出已知量。 2、牢记一些常见题目的草图应该怎么画，比如航海方向问题，比如数断裂问题，比如梯子（杆子）斜靠 在墙上的问题等等。 3、应用题实际上就是求边长、面积、周长的题目加上了一些语言上的修饰，所以说要学会提炼出对自己 有用的信息，变成数学语言会简单很多。 几组常见的勾股数 若 a b c为勾股数则 an bn cn 同为勾股数（n＞0） 其他常用公式 （a+b）2= （a-b）2= （a+b）(a-b)= 圆的面积公式= 圆的周长公式= 三角形面积公式= 路程= 学子成托管辅导学校专业一对一辅导
解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一直角三角形中，利用面积求斜边上的高 1．(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则C点到AB的距离为【方法1】() A. 5 36 B. 36 5 C. 33 4 D. 12 25 2．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在网格点上，则AB 边上的高为() A. 35 5 B. 25 5 C. 35 10 D. 32 2 第2题图第6题图 ◆类型二结合乘法公式巧求面积或周长 3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为() A．96 B．49 C．24 D．48 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm ◆类型三巧妙分割求面积 5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
◆类型四“勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算 6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为() A.14cm B．4cm C.15cm D．3cm 7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为() A．4 B．36 C．16 D．55 第7题图第8题图 8．(青海中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S9的值为() A.???? 1 2 6 B.???? 1 2 7 C.???? 2 2 6 D.???? 2 2 7 ◆类型五“赵爽弦图”中有关面积的计算 9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 第9题图第10题图 10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是() A．①②B．①②③ C．①②④D．①②③④
三角形勾股定理公式 勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。 在平面一个直角三角形上用直线a的平方+直线B的平方=斜线C的平方 这就是勾股定理 经典证明方法细讲 方法一： 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED， ∵∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴∠BED + ∠GEF = 90°， ∴∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD. ∴∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°
又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2 方法二 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°,
17.1 勾股定理 技巧1利用勾股定理计算线段的长 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3． (1)求DE 的长； (2)求AB 的长及△ADB 的面积． 解析：(1)根据角平分线的性质得出CD ＝DE ，从而DE ＝3； (2)首先利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积． 解：(1)∵ AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴ CD ＝DE ． ∵ CD ＝3，∴ DE ＝3． (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB 10， ∴ △ADB 的面积为 S △ADB ＝12AB DE ＝1103152 ××＝． 技巧2利用勾股定理解决折叠问题 如图所示，将长方形ABCD 沿着BD 折叠，使点C 落在 C'处，BC'交AD 于点E ，若AD ＝8．AB ＝4． (1)求△BDE 的周长； (2)求△BDE 的面积． 解析：(1)由将长方形ABCD 沿BD 折叠，知C'D ＝CD ， ∠C ＝∠C'，∠1＝∠2，可证BE ＝DE ，即AE ＋BE ＝AD ．在Rt △ABE 和Rt △BCD 中，利用勾股定理求出BE ，BD 的长，进而求出△BDE 的周长； (2)由题意，知C'＝90°，即DC'⊥BC'，则S △BDE ＝ 12 BD ·C'D ． 解：(l )∵ 将长方形ABCD 沿着BD 折叠， ∴ CD ＝C'D ，∠C ＝∠C'，∠1＝∠2． 又∵ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ BE ＝DE ． 设BE ＝DE ＝x ，则AE ＝8－x ． 在Rt △ABE 中，BE 2－AE 2＝AB 2， 即x 2一(8一x )2＝42， 解得x ＝5，即BE ＝DE ＝5． 在Rt △BCD 中， BD ∴ △BDE 的周长为BE ＋DE ＋BD ＝10＋ (2)∵ ∠C'＝90°，∴ DC'⊥BC'．
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2． 已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积. 题型三： 【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是 ； 【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？ 【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ B 169 25 C B A
【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？ 【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能结合这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？ 【借题发挥】 1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形， C
（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。 6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长 为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？ 题型四：两点间距离公式 【例14】求下列两点间的距离： （1）()2,8A -和()3,4B - （2）( ) 2,1C 和() 2,3D - （3）( ) 3,2P -和()23,1Q （4）( )5,2M -和() 2,5N
勾股定理实际应用（讲义） ? 课前预习 1. 常用的6组勾股数：___________；__________；___________；___________； __________；___________． 2. 请你画出圆柱的侧面展开图． 3. 读一读，做一做 小聪郊游时发现了一个有趣的问题：有一只蚂蚁从易拉罐底部爬向易拉罐顶部的罐口处喝饮料，在侧面留下了其爬行的轨迹．小聪观察后发现，蚂蚁爬行的路径是一条曲线，小聪想知道蚂蚁具体爬行了多长，于是邀请小明一起来研究这个问题．经过一番讨论，小聪和小明分别准备尝试用两种方法来进行测量． 的长度来估计爬行的路程，如图1． 方案二：小明准备将易拉罐侧面剪开，然后用尺子直接测量蚂蚁爬行的路程．小明剪开易拉罐侧面，将其展开后发现，蚂蚁爬行的路径竟然是一条笔直的线段，如图2． 请你选一张长方形纸片，画出他的对角线，然后卷成一个圆柱，的方法，动手测量一下这条线的长度． ? 知识点睛
蚂蚁爬最短路问题处理思路： （1）________________________； （2）找点，连线； （3）构造__________，利用__________进行计算． ?精讲精练 1.有这样一个有趣的问题：如图所示，圆柱的高等于8 cm，底面半径等于2 cm．在 圆柱的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱的侧面爬行的最短路程是__________．（π取整数3） 2.如图，一根藤蔓一晚上生长的长度是沿树干爬一圈后由点A上升到点B，已知 AB=5 cm，树干的直径为4 cm．你能计算出藤蔓一晚上生长的最短长度吗？（π取整数3） 3.如图所示，有一根高为2 m的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气 氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正
《勾股定理》方法学习 【例1】 在△ABC 中，已知∠B=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=5，b=12，求c 2． 【分析】 由∠B=90°,知b 才是斜边（如图） ，所以a 2＋c 2= b 2,注意不要受思维定势（勾 股定理的表达式：）的影响而误认为c 是斜边 【解答】 由∠B=90°,则知b 是Rt △ABC 的斜边， 由勾股定理，得c 2=2 2 b a -=22 125-=119． 【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解． 【例2】如图，在△ABC 中，AB = 25，AC = 30，BC 边上的高AD = 24，求BC 的长. 【分析】本例不能直接求出BC 的长，但通过观察图形可以发现BC 边上的高AD 把△ABC 分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD 、DC 的长，从而救出BC 的长。 【解答】在直角三角形ABD 中，由勾股定理，得 BD 2=AB 2－AD 2=252－242=49，所以BD=7 ； 在直角三角形ADC 中，由勾股定理，得 CD 2=AC 2－AD 2=302－242=324，所以CD=18. 所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25. 【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边，要注意发现题 目中的直角三角形，从而找到解题的思路。 【例1】用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称 例1图 例2图 直角三角形中有关边的计算 数形结合 例1图
为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的． 观察，你能验证222c a b =+吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流． 【分析】仔细观察图形，可以看出图中以c 为边的正方形面积有两种不同表示形式：即可以利用边长为C 来表示也可以用四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积来表示。 【解答】由图可知 S 正方形 =21 4()2 ab b a ?+- =222222ab b a ab a b ++-=+． S 正方形 =2c ，所以222a b c +=． 【总结】本例通过拼图来验证勾股定理，体现了“数形结合”的思想，需要对图形进行细致观察、分析，如图形中小正方形的边长为()b a -． 【例2】如图如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…己知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为n Sn S S (,32 为正整数），那么第8个正方形的面积8S = 【分析】求解这类题目的关键策略是：从特殊到一般，即先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得到一般规律，再利用其一般规律求解所要解决的问题． 2212223411,24,8 S S AC S AE S HE ======== 照此规律可知：16425==S 观察数1、2、4、8、16得4 3 2 1 216,28,24,22,21=====于是可得12-=n n S 因此128227188===-S 【解答】填：128. 【总结】本题利用了正方形是由两个全等的等腰直角三角形构成这个特点，在解题时要注意分析图形的构成。 【例1】在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而 例2图 勾股定理的综合应用