二次函数与相似的结合
题型一：动点在线段上
如图，平面直角坐标系xOy中，己知3(-1,0), —次函数y = -x + 5的图像与兀轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y二一兀2+bx + c的图像经过点A、点B；
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P是该二次函数图像的顶点，求△APC的面积；
(3)如果点Q在线段AC上，且AABC与厶人。?相似，求点Q的坐标；
如图，抛物线y = ^2+2^ + c(6/>0)与兀轴交于A(—3,0)、B两点(A在B的左侧)，与丿轴交于点
C(0,-3),抛物线的顶点为
(1) 求a、c的值；
(2) 求tan AM AC的值；
(3) 若点P是线段4C上一个动点，联结问是否存在点P,使得以点0、C、P为顶点的三角形
与AABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
C
如图，己知抛物线y = ax 2-x + c 的对称轴为直线x=l,与x 轴的一个交点为0）, 顶点为B.点C （5, m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E. （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标；
（2） 联结AB,求ZB 的正切值；
【参考答案】24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5 分）
解：（1） V 抛物线y = ax 2
的対称轴为直线x=l,
?，抛物线与X 轴的-个交点为
???抛物线的表达式为y =
???顶点B （1, -2） ............................................................................................. （1分）
?.?点C （5, m ）在抛物线上，???加=6. ...C 点坐标为（5, 6）.
设直线
BC 的表达式为y=kx+b （心0）,
:.E (2, 0) ..... .............................................................................................. (2)作CH 丄x 轴，垂足为H,作BP 丄x 轴，垂足为P, VC (5, 6), A (-1, 0), :,CH=6=AH. :.ZCAH=A5°. VB (1, -2), A (-1, 0),
BP=2=AP.:.ZBAP=45°.
:.ZCAB=90°. .............................................................................................. ...................... (1 分) ..................... (1 分) 7 CH=6=AH, CH 丄x 轴，A AC = 6y/2.
T BP=2二AP, BP 丄x 轴,?: AB = 2V2.
（2分）
6 = 5k + b -2 = k + b k = 2,
b = -4.
即BC 的表达式为y=2x4
:.tan ZB = ------ = 3.
AB
(3) TZCAB 二90°, :. ZB+ZACB=90°.
TGM 丄 BC,?*. ZCGM+ZACB=90°.：. ZCGM=ZB. ............................................... (1 分) ?.?△CGM 与ZVIBE 相似，??? ZBAE^ZCMG 或ZBAE 二上MCG.
情况1：当ZBAE=ZCMG 时，
VZB/4E=45°, ???ZCMG=45°. TG M 丄 BC,二 ZMCE=45°????上MCE 二 ZEAB.
?： ZAEB 二ZCEM, :.HABE S HCME. ......................................................................... (1 分)
情况2：当ZBAE=ZMCG 时，
ZBAE=ZCAM, :. ZMCG=ZCAM.：. MC=MA. ....................................................... (1 分)
设 M (x, 0), VC (5, 6), A (-1, 0), A (x + l)2 = (x-5)2 + 62. Ax=5.
:.M (5, 0) . ....................................................................................................................... (1 分)
题型二：动点在线段的延长线上
如图7,己知抛物线y = -x 2+/?x+3与兀轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴 交于点C,且OB = OC ，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。
（1） 求点￡＞的坐标；
（2） 联结CD 、BC,求ZDBC 的余切值；
（3） 设点M 在线段C4延长线上，如果△EBM 和△ABC 相似，求点M 的坐标。
【答案】（1） D （l,4） Q ）3 （3）（一牙厂彳）
（2分）
■ BE
.而
3
= ^^.：.EM=5. :.M (7,
3V5
（i 分）
J J
【解析】(1)???抛物线y = —F+加+ 3与轴的交于点4和点B (点4在点B的左侧) 与y 轴交于点C , C(0,3)，且OB = OC, B(3,0)
???-9 + 3/7 + 3 = 0,解得1?二2
y ——f + 2兀 + 3;.二D (1,4)
(2) ?/OB = OC ??? ZOCB = ZOBC = 45° ZDCy=45°；
??? ZDCB = 180°一2><45。=90。；
cotZDBC^ —= = 3
DC V2
⑶由y = -x2+2x + 3,可得，在AOC和BCD中，——=——=3, ?AO CD
ZAOC = ZDCB = 90°??? \AOC^\BCD ,
又??? ZACO = ZCBD; ZACB = ZACO + OCB = ZE + ZCBD
??? ZE = ZOCB = 45°;
当AEBM和AABC相似时，可知ZE = ZCBA；
又点在线段的延长线上，ZACB = ZEBA，可得ZEMB = ZACB;
???MB = BC = 3近;
由题意，得直线的表达式为y = 3兀+ 3；设M(x,3兀+ 3).
/.(x-3) + (3x + 3)2 =18,解得旺=0 (舍去)
5 -
???点M的坐标是
5 5
题型三：动点在对称轴上
如图，抛物线y = -x1^bx + c经过点B(3,O),C(O,3), D为抛物线的顶点。
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点C关于抛物线y = -x2+bx+c的对称点为E点，联结BC, BE,求ZCBE的正
切值；
(3)点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和5BCE相似，求点M的坐标。
【解析】(1) V 抛物线y = —F+bx+c 经过点B(3,0), C(0,3)
f-9 + 3Z? + c = 0
z ‘ 0 = 2
???{ c
可解得 c
[c = 3
[c = 3
???y =—〒+ 2x+3 顶点坐标D(l,4) (2)过点E 作EH 垂直于BC 交于点H
???点C 与点E 关于对称轴兀=1对称
???E(2,3), CE = 2, CE 平行于兀轴
???0C = 0B = 3
:.ZOBC = ZECB = 45°, BC = 3近
在等腰直角三角形ECH 屮，CE = 2
:.CH = EH =42
在直角三角形EHB 中，BH = BC-CH = 2迈,
EH = ^2
tan AC BE = ZCBE 的正切值为-
2
(3)设抛物线对称轴兀=1交兀轴与点F
???在直角三角形DFB 中，DF = 4, BF = 2
BF 1
:.tan ZBDF = — = - , ZBDF = ZCBE
DF 2
???点M 在点D 的下方
【答案】(1) y = —x 2
+ 2x +3 ； 0(14) (2)
￡
2 (3)
???当\DMB与ABCEffli以时，有下列两种情况：
①当—时，即绊=華可解得DM =6
DB BE2V5 V10
???M(l,—2)
“DM BE 点niI DM VlO “10
②勻--- 二--- 时，即—产=—尸可解待DM =—
DB BC2V5 3V2 3
(2)
:.M 1- I 3丿
(n A
综上所述：M(l,—2)或M 1二
\ 3丿
2)动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中，点A(4,0)是抛物线y = o?+2x + c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位以后经过点B(0,2),平移后的新抛物线的顶点记为C,新抛物线的对称轴和线段AB的交点记为P。
(1) 求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C的坐标；
(2) 求ZCAB的正切值；
(3) 如果点0是新抛物线对称轴上的一点，且△BC0和AACP相似，试求点0的坐标。
9 1 5
【答案】(1)〉=一/+2兀+ 2； C(l,3)(2) tanZCAfi = - (3) Q(l,-)或!22(1，-1)
【解析】
(1) ：?点A(4,0)是抛物线y = cuc2 +2% + c上的一点，代入得：16a + 8 + c = 0①
又???抛物线向下平移6个单位以后经过点3(0,2),平移后的抛物线解析式为: °
y = ax^ + 2x + c — 6。
代入得：c — 6 = 2,c = 8②，由①②得：a = -\,c = 8
平移后得到的新抛物线的表达式：y = -F + 2兀+2,顶点C(l,3)
(2) ??? A(4,0)、3(0,2)、C(l,3),易得CB =屁CA = 3迥,BA = 2嶺
由勾股定理逆定理得AABC是直角三角形，tanZCAB = —=-
CA 3
(3)设抛物线对称轴与兀轴相交于点H
sUBO、PH=-AH=~, CP = -
2 2 2
易得ZBCP = ZACP = 45\ CB =近,CA = 3近,CP = >
2
???点!2只能在对称轴点C的下方，△BC0和△4CP相似，有以下两种情况:
①治寻晋希C吨'。囲)
②蚩召,?| =X，04皿-1)
2
综上，2,(1,|)或02(1，-1)
题型四：动点在某直线上
如图，己知抛物线y = ax2-2x + c经过44BC的三个顶点，其中点
A(0,l),点3(9,10), AC// x轴.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求tanZABC 的值;
(3)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点, 当4CDE与
AABC相彳以时，求点E的坐标.
【参考答案】24.解：⑴ ???抛物线y = ajr-2x^c经过点4(0,1)和点3(9,1贾"题图)
c = 1
81a — 18 + c = 10
_丄
解得< a~3 ......................................................................................... 2分
c = 1
???这条抛物线的解析式为y =丄/ _2兀+ 1 ....................................... 1分(2)过点B作丄AC,垂足为H
v AC//, A(O,1), B(9,10) AW(9,1)
??? BH = AH =9 乂??? ZBHA = 90°
???△HAB是等腰直角三角形
:.ZHAB = 45° ............................................................................. 1 分
???AC〃兀车由，A(0,l)，点C也在该抛物线上
??? C(6,l)
过点C作CG丄AB,垂足为点G
??? CG = ACLsin 45° = 3^2 ....................................................... 1分
AG = ACttos45o = 3>/2
又???在RtAABH 屮，AB= BH =9^2
sin 45°
??? BG = 942-3^2= 6A/2 ................................................................. 1分
???在RtA BCG中，tan ZABC = — = - ..................................... 2分
BG 2
(3)过点D作DK丄AC,垂足为K
???点D是抛物线y = * F — 2x +1的顶点???D(3, —2) ...... 1分???K(3,l)
???CK = DK = 3乂???ZCKD = 90° ACDK是等腰直角三角形???ZDCK = 45°
又???ABAC = 45°
???ZDCK = ZBAC ...................................................................... 1分???当ACDE与AABC相似时，存在以下两种情况：
I ----- —? ?—l-------- 产? ? EC—2 ? ? E(4,1) .............. 1分
AB CD 9>/2 3V2
AC DC . 6 3>/2 . .厂/ ° 1、“八2° = ----------- …一 = ------ .? EC-9 ? >￡(-3,1) ............... 1 分AB EC 9>/2 EC
题型五：动点在兀轴上
如图9,在平面直角坐标系兀oy中，顶点为M的抛物线y = or2 + bx(a > 0)经过点A和x 轴正半轴上的点B, AO = OB=2, ZAOB = 120°.
(1) 求这条抛物线的表达式；
(2) 联结OM,求ZAOM的大小；
(3) 如果点C在x轴上，且ZXABC与AAOM相似，求点C的坐标.
24 解：⑴???O/< = OB = ZZ/fOB=l20 ■作/F 丄x 轴.
/. ZAOF = 60 >可得到点*(一1?方)?〃(2.0) 代入p
= 4bx(a?0)中?■"以m
n(-ir +(-l)& = VJ
2-/> + 2Z> = 0
(L -2*+ 1)- T=T(r-ir-T
il A/ ft A/p 丄 jr 紬.则 A/y = g.Op = L lan 二QOH =瞠=竺
3 ( ” 丿 3 ? ?ZQOM=JO QO” = I20 +30 =ISO
⑶联纺 48. v ZLAOB = 120 t .\￡AOF = 60
乂??? OA = OH .：? ZO 占B 二厶BO = 30 :. ^ABx = 150
ZJftr ?150 ■ ZAOM
???点CA 〃点的厶憾?设点C(uO) VA.4O.W KIIUTA^flC ?分曲种悄况讨论 ①ZCB 土 340?即 ￡^ABC s ZMO.W
如二如/Rj&BC x-2 加
BC OM
3
代入WJ 存：迫=亠="46(4?0)
一 2 2万
3
② ZCAB > 厶 WO ?即△ ?4fT s AA/OJ
2017年青浦一模24】己知，如图8,在平面直角坐标系中，抛物线y = ax 2-4ax-^\与兀轴 正半
轴交于点4和点B,与）'，轴交于点C, ROB = 3OC ，点P 是第一彖限内的点，联结
BC, /\PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形. （1） 求这个抛物线的表达式； （2） 求点P 的坐标；
（3）点Q 在x 轴上，若以Q 、0、P 为顶点的三角形与以点C 、人、〃为顶点的三角形相
似，求点Q 的坐标.
化皿山—2五
BC 0.4
BC
所以右啊艸怙况，戍C 学杯为CH.O ）或口&S
1 0 4
【答案】（1）???〉，= —F —— x + 1 ???P（2,2）m点Q坐标为（一2,0）或（-4,0）
3 3 （2）
【解析】（1）由题意可得C（0,l）
??? OB = 3OC = 3 ??? B(3,0)
9 1
代入—俶+1得r
1 . 4 〔
二y = — x^——x + 1 3 3
(2)过点P作PE丄y轴,PF丄x轴??? \PBC
为等腰直角三角形
??? PC = PB ??? ZEPC + 乙CPF二ZFPB +
ZCPF = 90°??? ZEPC = ZFPB ??? Rt\PCE 9
RtAPFB(AAS) /. EC = BF
可证四边形PEOF为正方形??? EC + OC = OB — BF v OC = \,OB = 3
A EC+ 1 = 3-BF，解得EC = BF = 1 /. OE = OF = 2?/ P在第一象限内 /. P(2,2)
(3) AC = 42, AB = 2 v C(0J), A(hO) A OC = OA,可得\AOC为等腰直角三角形??? ZOAC =45° ??? ZCAB = 135。，则点Q在y 轴左侧
LAQQPsACAB
OQ、=CA
~OP~~AB
OQ = OP ?牛芈x 2“ = 2 ???Q、(-2,0)
AB 2
ii. "00 s ACAB
OP = CA ~OQ I~^B
0Q.=0P- —= 2^2x42=4
- AC
??? Q 2 (-4,0)
若点Q 在丿轴右侧，不存在
综上所述：点Q 坐标为(-2,0)或(-4,0)
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-〒+bx+c 与x 轴相交点A(-1,0)和点B ，与y 轴相 交于点C(0,3),抛物线的顶点为点D,联结AC,BC,DB DC 。
(1) 求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标； (2) 求证：ACO^\DBC
(3)
如果点E 在无轴上，且在点B 的右侧，ZBCE = ZACO f 求点E 的坐标。
D
【答案】(1) y = -x 2 + 2x + 3. D (1, 4) (2)略(3)E(6,0) 【解析】⑴I 抛物线过点A(-l,0)和点C(03),
???将两点坐标代入解析式可得：
y = -x 2 + 2x + 3
根据顶点公式可得D (1, 4)
7
(2)代入0至ijy = ?(兀.1)~+4求得兀［二?1, x 2 = 3 ,所以有3(3,0)
—1 — b + c =
c = 3
可以求得：0A = \f0C=3 AC = Vl2+32 =Vio,
CD = ^(4 - 3)2+(l- 0)2 = A/2 BC 二J32+32 =3迈
BD = J(4? 0『+(2? 4『=720,
在QAC O和ODBC中，^ — = — = — = y/2f
AO OC AC
ACOs^DBC
(3)在OC上取一点F使得OF=OA,
由(2)得B⑶0), C(0,3), /. OB=OC, r. ZOBC=45° , /. ZCBE=135°
v OA=OF, ZAFO=45° , /. ZAFC=135° , /. ZAFC=ZCBE,又v ZBCE=ZACO, /. AAFC^ABCE
.CF - AF
??? BE = 3,/. OE = OB + BE = 6
???E(6,0)
D
题型六：动点在抛物线上
如图1,已知抛物线的方程C1：>，= _丄（兀+ 2）（兀-肋（m>0）与x轴交于点B、C,与y轴
交
? m
于点E，且点3在点C的左侧.
（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值;
（4）在第四彖限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与 △BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）将M （2, 2）代入y = 一~ （兀+ 2）（兀-加）,得2 = x4（2 —加）.解得m=4.
m tn
（4）①如图3,过点3作EC 的平行线交抛物线于F,过点F 作FF 丄x 轴于F.
由于ZBCE=ZFBC,所以当￡￡ =些，B|J BC 2 = CE?
0寸，△BCEs&BC. CB BF
设点F 的坐标为（兀，一丄（兀+2）（—加）），由乞=
竺,得 m
由于ZEBC=ZCBF,所以竺=竺，即 B C ，= BE ?BFR 寸，/\BCEs/\BFC. BC BF 在RtABFF z 中，由FF = BF',得丄（兀+2）（兀一加）=兀+2? m 解得x=2m ?所以 r (2m,0)-所以 BF' = 2m + 2, BF = V2(2m + 2). 由 BC 2=BE BF ,得(m + 2)2=2>/2xV2(2m + 2)-解得加=2±2血?
—(X+2)(X-7/7) 9 m ______ 2
x + 2
CO BF‘
所以5 + 2,。）.由7肝
得/ 一加+ 4 所以
\Jm 2
+4 BF
m
解.
②如图4，作ZCBF=45°交抛物线于F,过点F 作FF 丄x 轴于F,
综合①、②，符合题意的m 为2 + 2^2 .
2）动点在直线下方的抛物线
24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =
+ c 的图像与兀轴交于A 、B 两
点,
3点的坐标为（3,0）,与y 轴交于点C （0, - 3）,点P 是直线BC 下方抛物线上的任
意一 点；
（1）求这个二次函数y = x 2+bx + c 的解析式;
（2） 联结po 、PC ,并将、poc 沿丁轴对折，得到四边形
POPC ,如果四边形POPC 为菱形，求点P 的坐标；
（3） 如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的 三角形与ZOC
相似，请求出此吋点P 的坐标； 【正确答案】
24.解:⑴由题意，得严力
???此二次函数的解析式为严疋-2” 3?
（2〉如图?四边形POP'C 为菱形，联结PF 交CO 于点E.
??四边形POP'C 为菱形，
APC= PO ?且 PE1.CO.
（1 分〉
???OE 二EC 二号，即P 点的纵坐标为-齐
（1分）
由F -2x-3= -号?得
（1分）
（3>根据题意，可得在RtAAOC 中MO 二1?OC=3?ZAOC=90°? to 果厶PB5AAOC 时，那么只可能Z BC P = 90c 或Z （i ） 当ZMP = 90°时,崙二* ■可得P 点坐标是（1,一4）? （1分） （ii ） 当ZCPB = 90°Ht.^ = y 或器詁，均不存在? （1分） 「?综上所述?点P 的理标是仃；?I Q 二&?心二乙乎久不合題意?舍去） 二存在这样的点?此时P 点的坐标为（2十丿i° （2 分） （ （1 分） （ （1 分） 3）动点在直线上方的抛物线 如图11所示，已知抛物线y = x2-l与兀轴交于人、B两点,与y轴交于点C. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点人作AP//CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. (3)在X轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG丄兀轴于 点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与APCA相似. 若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由. 【解析：】(1)令)，=0,得X2-1 = O 解得兀=±1 令兀=0 ,得y = _1 ???人(_1,0) 8(1,0) c(0,—1) ??…(2 分) (2) V OA=OB=OC= 1??? Z BAC= Z ACO= Z BCO= 45° \*AP//CB f:. Z PAB= 45° 过点P作PE丄兀轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令O E=a ,贝Ijp&d + l ???P(d,d + l) ???点p在抛物线y = F—l上???Q +1 =/—1 解得q=2, a2=-\ (不合题意，舍去) PE= 3 ............................................................................................................. 4 分)???四边形ACBP的面积S =-AB*OC+-AB^PE 2 2 二丄x2xl + 丄x2x3 = 4 .............................................. 6分) 2 2 ⑶.假设存在 *??Z PAB= Z BAC = 45°???PA丄AC VMG丄X轴于点G, ???Zl\/lGA=ZP4C = 9()° 在Rt30C 中,OA=OC= 1 .I AC= 在RtAP^E 中,4E=PE=3 ?*.AP= 3>/2 设M点的横坐标为加，则M (m,m2 -1) ①点M在y轴左侧吋，则m <-l (i)当4AMG s^pcA 时，有—PA CA ???AG—1, MG=/722 -1 7分) 第28题图2
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