高一数学函数的基本性质
（定义域、值域、单调性、奇偶性）
一. 求函数的解析式
1、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 方法一、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=
，试求()f x 。 解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。故得：
2
()1,1f x x x x =-+≠。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
方法二、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2. （1）已知21
()2()345
f x f x x x +=++，试求()f x ；
（2）已知
2
()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111
()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去
1f x ??
?
??，则得：
()222845
333x f x x x x =+--+
。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2
()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：
()25
43f x x x =-+
。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：
（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；
（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；
（3）已知x x x x x f 1
1)1(2
2++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【思路分析】
【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
（2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。 （3）设
x
x 1
+为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。
（4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个方程就行了。 【解题过程】⑴设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ， 由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得2
3,21-==b a 。 故所求函数的解析式为22
3
21)(2+-=
x x x f 。 （2）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ，
又)1(1)(,11,02≥-=∴≥+≥x x x f x x 。
（3）设
1,11
,1≠-==+t t x t x x 则， 则1)1()1(11
1111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x x
x x x x x f t f 所以)1(1)(2≠+-=x x x x f 。
（4）因为3)(2)(3+=-+x x f x f ①
用x -代替x 得3)(2)(3+-=+-x x f x f ②
解①②式得5
3
)(+=x x f 。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式
)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点式k h x a y +-=2)(和标根式))((21x x x x a y --=的选择；
（2）已知)]([x g f 求)(x f 的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；
（3）函数方程问题，需建立关于)(x f 的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现)(x f ，)1
(x
f ，则一般将式中的x 用
x
1
代替，构造另一方程。 特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。
函数解析式及定义课后练习
一、选择题
1.下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.已知函数，那么的表达式是 （ ）
、
、
、
、
3.若
，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.下面四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
5.下列各项表示相等函数的是（）
A. B.
C. D.
6.设函数,则（）
A． B．3 C． D．
7.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2},则函数的图象可能是 ( )
8.已知函数，则的解析式是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
9.若函数，则时的值为
10.设＝_________。
三、解答题
11.根据下列条件，分别求下列函数的解析式：
⑴已知；
⑵若为一次函数，且满足.
12.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
（1）求f(x)的解析式；
（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的取值范围。
13.已知函数，满足且方程有唯一解。（1）求的解析式；
（2）若，求函数的值域。
试卷答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.D
7.B
8.D
9.10.
11.（1）方法1:
方法2令
（2）设（），则 , 所以
解得所以或
12.
13.解：（1）有唯一解即有唯一解有唯一解
解得又所以解得
（2）由（1）知，设，则
，
即上为增函数
所以函数的值域为
二、求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
类型一、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例3.
求
34
x y x +=-的定义域。
解：由题意知：204
x x +>???
≠??，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：
{x|x>－2且x ≠±4}。 例2. 求下列函数的定义域： （1）3
5)(--=
x x
x f ； （2）x x x f -+-=11)( 【思路分析】 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。
【解题过程】（1）要使函数有意义，则???±≠≤?
??≠-≥-35
,0305x x x x 即，在数轴上标出，即
53,33,3≤<<<-- {}5x 3,33,3≤<<<--<或或x x x 。 （2）要使函数有意义，则1,11 ,0101=? ??≤≥?? ?≥-≥-x x x x x 所以即，从而函数的定义域为{}1x |x =。 【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义 域为解各限制条件所得的x 的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“ ”连接。 类型二、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例 解：{1，2，3，4，5，6}。 类型三、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （u ）的定义域可以确定内函数g （x ）的范围，从而解得x ∈I 1，又由g （x ）定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。 ()()(())f x g x y f g x == =例8 已知求的定义域. 解： ()3()33f x x g x =≥?≥? ≥* 由 又由于x 2－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得： 1399|1344x x x x x ≤<<≤?-+?≤<<≤?????或故所求定义域为或 例9. 若函数f （2x ）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。 解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－1，2］，故log 2x ∈［2－ 1，2］， 4x ≤ ，故定义域为? ?。 三：求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法 例11. 求函数 23 1x y x += +的值域。 解： ()211231 2111x x y x x x +++= ==+ +++，因为101x ≠+，故y ≠2，所以值域为{y|y ≠2}。 说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。 2、配方法 例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。 解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y ≥－2}。 说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。 3、判别式法 例13. 求函数22 23 456x x y x x ++=++的值域。 解：22 23456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0 可解得：2626,7171y ?-+∈???。 说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域 一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。 4、换元法 例15. 求函数2y x =+ 解：令0t =，则y ＝－2t 2＋4t ＋2＝－（t －1）2＋4，t ≥0，故所求值域为{y|y ≤4}。 例3. 求下列函数的值域： （1）{}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+= x y （3）2 2 11x x y +-= （4）)25(,322-≤≤-+--=x x x y 【思路分析】 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数)(x f y =，其值域就是指集合{}A x ),x (f y y C ∈==；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。 【解题过程】 （1）将，1x 2y 5,4,3,2,1x 中计算分别代入+==得出函数的值域为{}1,19,5,73，。 （2）11,0≥+∴≥x x ，即所求函数的值域为),1[+∞或用换元法，令)0(1),0(≥+=≥= t t y t x t 的 值域为),1[+∞。 （3）<方法一>∴++-=+-=,12 1112 22x x x y 函数的定义域为R 。 ]1,1(y ,2x 12 0,1x 12 2-∈∴≤+< ∴≥+∴。 <方法二>y x y x yx y x x y -=+?-=+?+-=1)1(1112 222 2 ]1,1(,0112-∈≥+-=?y y y x 得到。 故所求函数的值域为（－1，1]。 （4）<构造法>114,25,4)1(322 2 -≤+≤-∴-≤≤-++-=+--=x x x x x y .3)1(412,16)1(122≤+-≤-∴≤+≤∴x x 所以函数的值域为[－12，3]。 【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。 【模拟试题】(答题时间：30分钟) 一. 选择题 1、函数y ＝f （x ）的值域是［－2，2］，则函数y ＝f （x ＋1）的值域是（ ） A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］ 2、已知函数f （x ）＝x 2－2x ，则函数f （x ）在区间［－2，2］上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是（ ） A. y ＝20－2x （x ≤10） B. y ＝20－2x （x<10） C. y ＝20－2x （4≤x<10） D. y ＝20－2x （5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］（a A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］ 5、函数y ＝f （x ＋2）的定义域是［3，4］，则函数y ＝f （x ＋5）的定义域是（ ） A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 6、函数 22 234x y x x +=+的值域是（ ） 317317 317317.[,].,317317317317 .(, ][,).(,)(,)A B C D ??---+---+ ? ???---+---+-∞?+∞-∞?+∞ 7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ） 333 .1(02).1(02)2223 .1(02).11(02) 2A y x x B y x x C y x x D y x x = -≤≤=--≤≤=--≤≤=--≤≤ 二. 填空题 8、若f （x ）＝（x ＋a ）3对任意x ∈R 都有f （1＋x ）＝－f （1－x ），则f （2）＋f （－2）＝ ； 9、若函数2()2f x x = -的值域为1,3??-∞- ?? ?，则其定义域为 ； 三. 解答题 10、求函数 534 2x x y x -+= +的定义域。 11、已知221,2(),2x x x f x x x ?-+≤?=? ->??，若f （a ）＝3，求a 的值。 12、已知函数f （x ）满足2f （x ）－f （－x ）＝－x 2＋4x ，试求f （x ）的表达式。 三、函数单调性与最值 （一）、函数单调性 1. 增函数与减函数 一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。 注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。 2. 函数的单调性的定义 如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。 3. 判断函数单调性的方法和步骤 利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）； ⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。 （二）函数最大（小）值的定义 1. 最大值与最小值 一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M 那么，称M 是函数y ＝f （x ）的最大值。 一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≥M ； （2）存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M 那么，称M 是函数y ＝f （x ）的最小值。 注意： ①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M ； ②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （f （x ）≥M ）。 2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法 ①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值 ③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值 如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y ＝f （x ）在x ＝b 处有最大值f （b ）； 如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y ＝f （x ）在x ＝b 处有最小值f （b ）。 知识点一：函数的单调性的判断 1、利用定义： 例1：判断函数4 ()f x x x =+ 在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。 思路分析： 1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性 2）解题思路：按照用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤去做即可。 解答过程：4 ()f x x x =+ 在区间(0,2)上单调递减。 设1202x x <<<，则12()()f x f x -＝1212 44 x x x x +-- ＝2112124()x x x x x x --+＝12 2112 4()x x x x x x --。 已知1202x x <<<，所以210x x ->，1240x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即原函数在(0,2)上单调递减。 解题后的思考：用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）。 2、利用分析法： 例、试判断函数423 1 x y x -=+的单调性 知识点2：利用单调性求函数最值 例1：已知104x <≤，求函数222 ()x x f x x -+=的最值。 思路分析： 1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值； 2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。 解答过程：已知函数式可化为2()2f x x x =+-，先判断函数()f x 在1 04 x <≤上的增减性。 设121 04 x x <<≤ ，则 1212 12121212 ()(2)22 ()()(2)(2)x x x x f x f x x x x x x x ---=+--+-=， 121 04 x x <<≤，1212020x x x x ∴-<-<，。 12()()0f x f x ∴->，即函数()f x 在1 04x <≤上是减函数。 125 ()44 f x f ??∴= ???≥。故所求函数的最小值为254，无最大值。 解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转 化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。 例2. 求函数2 3y x -= +，x ∈［4，5］的值域。 解：由于函数23y x -=+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝2 5；当x ＝5时，y max ＝5 13，所以函数的值域为513,25??????。 知识点三：函数单调性求解不等式 例1、已知函数 在上减函数，若 1 ()(1)f f x >，求的取值范围 例2、已知函数 在 上增函数，若2 ()(23)f x f x >+，求的取值范围 例3、已知函数()f x 是增函数，定义域为(0)+，∞，且(4)2f =，()()()f xy f x f y =+，求满足 ()(3)2f x f x +-≤的x 的取值范围。 思路分析： 1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围。 2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果[]()(3)(3)f x f x f x x +-=-，则必须0x >，30x ->，且(3)0x x ->。 解答过程：由题意，得030(3)0()(3)[(3)]2x x x x f x f x f x x >??->? ?->??+-=-?≤，，，， 解得 34x <≤。所以x 的取值范围是34x <≤。 解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0)+，∞这一隐含条件。 函数单调性课后作业 1.（5分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．y=ln|x| B ． y=x|x| C ． y=-x 2 D ． y=10|x| 2.（5分）函数f （x ）=的单调递增区间为（） A ． B ．（] C ． D ． 3.（5分）奇函数f （x ）在区间上单调递减，且f （x ）＞0，（0＜a ＜b ），那么|f （x ）|在区间上是（） A ． 单调递增 B ． 单调递减 C ． 不增也不减 D ． 无法判断 4.已知函 数 在上减函数， 若 ，则的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D ． 5.设函数 是 上的减函数，则有 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.函数 f(x)=x2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . B . [0,2] C .( D. [2,4] 7.函数 的单调减区间是 （ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ，则 的单调递减区间为（ ） A 、[0，1） B 、（-∞，0） C 、 D 、（-∞，1）和（1，+∞） 二、填空题 9.（4分）函数f （x ）=2x 2 +3x ﹣1的单调递增区间为 10.（5分）用max{a ，b}表示a ，b 两数中的最大值，若f （x ）=max{|x|，|x+2|}，则f （x ）的最小值为 ． 11.若函数，在上是减函数，则的取值范围是 三、解答题 12.（本小题满分14分）一次函数是上的增函数，，已知．（1）求； （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，有最大值，求实数的值． 13.（12分）已知函数 ⑴ 判断函数的单调性，并证明； ⑵ 求函数的最大值和最小值． 试卷答案 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.D 9略 10.1 11. 12. 13. 四、奇偶性知识要点 1、奇偶函数定义： （1）偶函数 一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么f （x ）就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么f （x ）就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。 ③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． ④奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f = 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 4、判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f （－x ）与f （x ）的关系； 作出相应结论： 若f （－x ） = f （x ） 或 f （－x ）－f （x ） = 0，则f （x ）是偶函数； 若f （－x ） =－f （x ） 或 f （－x ）＋f （x ） = 0，则f （x ）是奇函数． 5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内， （1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． （2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． （3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． （4） 函数f （x ）与()x f 1 同奇或同偶． 【典型例题】 一、判断函数的奇偶性 例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误 （1）因忽视定义域的特征致错 1、① ()() 11--= x x x x f ；②f （x ）=x 2+（x +1）0 错解：①()()x x x x x f =--=11，∴ f （x ）是奇函数 ②∵ f （－x ）=（－x ）2+（－x +1）0=x 2+（x +1）0=f （x ） ∴ f （x ）是偶函数． 分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x ）是非奇非偶函数． ②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x ）为非奇非偶函数． （2）因缺乏变形意识或方法致错． 2、判断 ()21 151+ -= x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x －1≠0，∴ x ≠0． f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称． ∵ ()21 51521151+ -=+-=-x x x x f ， ∴ f （－x ）≠f （x ），f （－x ）≠－f （x ）， ∴ f （x ）是非奇非偶函数． 分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形． 正解： ()() 1521 521151-+= +-=x x x x f ，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称． ()()()() ()x f x f x x x x x x -=-+-=-+=-+=--1521 55125115215 ∴ f （x ）是奇函数． （3） 因忽视f （x ）=0致错． 3、判断函数()2 244x x x f -+-=的奇偶性． 错解：由 ?????≥-≥-040422x x 得x =±2， ∴ f （x ）的定义域为{－2，2}，关于原点对称． ()()()()x f x x x x x f =-+-=--+ --=-222 24444， ∴ f （x ）为偶函数 正解：f （x ）的定义域为{－2，2}，此时，f （x ）=0，∴ f （x ）既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f （x ）=0 （x ≠0）是f （x ）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x ）=0 （x ≠0）函数的定义域． （4）因分段函数意义不清致错 二、函数的奇偶性与单调性的关系 例3、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数， 证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数。 ∴12()()f x f x ->-，又()f x 在R 上是奇函数。 ∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 规律： 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 例4、()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()231f x x x =-++，当x<0时，求()f x 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--， 又0x ->，由已知有2 2()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()00 2310x x x f x x x x x ?-++>?==??+- 例5、（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1 2()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性。 （2）函数()f x 的定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性。 解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1 2()()f x f x x += ① 令①式中x 为1x 得： 11 2()()f f x x x += ② 解①②得 221 ()3x f x x -= ， ∵定义域为{|0}x x ≠关于原点对称 又∵ 222()121 ()3()3x x f x x x ----==- -()f x =- ∴ 221()3x f x x -= 是奇函数。 （2）∵定义域关于原点对称， 又∵令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+则(0)0f =， 再令y x =-得(0)()()f f x f x =+-， ∴()()f x f x -=- 所以，原函数为奇函数。 【奇偶性模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题 1、已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=－f （x ），则，f （6）的值为 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2、若奇函数f （x ）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在[－7，－3]上是（ ） A. 增函数且最小值为－5 B. 增函数且最大值为－5 C. 减函数且最小值为－5 D. 减函数且最大值为－5 3、y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f （x ）的图象上的是（ ） A. （a ，－f （a ）） B. （－a ，f （a ）） C. （－a ，－f （－a ）） D. （－a ，－f （a ）） 4、已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x （1＋x ），当x ＜0时，f （x ）等于 [ ] A. －x （1－x ） B. x （1－x ） C. －x （1＋x ） D. x （1＋x ） *5、函数y=f （x ）与y=g （x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）·g （x ）的图象可能为（ ） **6、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ） A 、()()f x f x -是奇函数； B 、()()f x f x -是奇函数； C 、()()f x f x +-是偶函数； D 、()()f x f x --是偶函数 二、填空题 7、设函数()()() x a x x x f ++= 1为奇函数，则实数=a 。 **8、已知函数y =f （x ）满足f （x +y ）+f （x －y ）=2f （x ） f （y ） （x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，那么f （x ）是__________函数（填奇、偶）． *9、已知函数 53 ()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，则(2)f 的值为 。 三、解答题 10、已知()f x 是奇函数，且当0x >时，2()23f x x x =++，求当0x <时()f x 的解析式。 11、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数， 证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 12、已知函数 ()),0(2R a x x a x x f ∈≠+ =； （1）判断函数()x f 的奇偶性； （2）若()x f 在区间[)+∞,2上是增函数，求实数a 的取值范围。 一、选择题： 1、B 解：根据题目所给的条件：f （x+2）=－f （x ）； f （6）=－f （4）=f （2）=－f （0） 又f （x ）是奇函数，因此f （0）=－f （0），f （0）=0 ，因此f （6）=－f （0）=0 2、B 3、B 解：当x=－a 时，f （－a ）=f （a ）（∵y=f （x ）为偶函数），∴点（－a ，f （a ））在y=f （x ）的图象上．∴选（B ）． 4、B 解：当x ＜0时，f （x ）=－f （－x ）=－（－x ）（1－x ）=x （1－x ）．∴选（B ）． 5、A 6、C 解：A 中：()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数；B 中：()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-，此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数 ()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定；D 中：()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数 ()()()F x f x f x =--为奇函数；C 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案C 二、填空题 7、－1 8、偶 9、－26 三、解答题 10、证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数。 ∴12()()f x f x ->-，又()f x 在R 上是奇函数。 ∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。 11、解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--， 又0x ->，由已知有2 2 ()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为 222310()00 2310x x x f x x x x x ?-++>?==??+- 12、解：（1）当0=a 时，()2 x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ， ()()22 212121x a x x a x x f x f - -+ =-()[]a x x x x x x x x -+-=21212 121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x ；要使()x f 在区间[)+∞,2上是增函数只需 ()()021<-x f x f ，即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 函数的性质综合练习 一、选择题 1. 已知函数)127()2()1()(2 2 +-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. )2()1()2 3(f f f <-<- B. )2()2 3()1(f f f <-<- C. )23()1()2(-<- D. )1()2 3 ()2(-<- 3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A. 增函数且最小值是5- B. 增函数且最大值是5- C. 减函数且最大值是5- D. 减函数且最小值是5- 4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 5. 下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1 = D. 42+-=x y 6. 函数)11()(+--=x x x x f （ ） A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数 二、填空题 7. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如下图，则不等式()0f x <的解是 。 8. 已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 。 9. 若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 。 10. 下列四个命题 （1）()f x （2）函数是其定义域到值域的映射； （3）函数2()y x x N =∈的图象是一条直线； （4）函数22,0 ,0 x x y x x ?≥?=?- 11. 函数2y x =________________。 三、解答题 13. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件： （1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减； （3）2 (1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围 14. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域。 15. 已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-。 （1）当1a =-时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。 一、选择题 1. B 奇次项系数为0,20,2m m -==。 2. D 3 (2)(2),212 f f =--<- <-。 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性。 4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=-。 5. A 3y x =-在R 上递减，1 y x = 在(0,)+∞上递减，24y x =-+在(0,)+∞上递减。 6. A ()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=- 为奇函数，而2 2 2,12,01 (),2,102,1x x x x f x x x x x -≥??-≤ 为减函数。 二、填空题 7. (](2,0) 2,5- 奇函数关于原点对称，补足左边的图象。 8. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小自变量最大时，函数值最大。 9. [)0,+∞ 210,1,()3k k f x x -===-+。 10. 1 （1）21x x ≥≤且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两条不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。 11. [)2,-+∞ 1,x y ≥-是增函数。 三、解答题 13. 解：22 (1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<--? ， ∴01a << 14. 解：1210,2x x +≥≥- ，显然y 是x 的增函数，12x =-，min 1,2 y =- 1 [,)2 y ∴∈-+∞ 15. 解：（1）2 1,()22,a f x x x =-∴=-+对称轴min 1,()(1)1,x f x f ===max ()f x = (5)37f -= ∴max m ()37,()1in f x f x == 数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 解析：选A.????? x －1>04－x ≥0 ，解得1 新课标高一数学------函数的基本性质 一、典型选择题 1．在区间上为增函数的是（） A． B． C． D． （考点：基本初等函数单调性） 2．函数是单调函数时，的取值范围（） A． B． C ． D． （考点：二次函数单调性） 3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（） A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D．没有最小值 （考点：函数最值） 4．函数，是（） A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关 （考点：函数奇偶性） 5．函数在和都是增函数，若，且那么（） A． B． C． D．无法确定 （考点：抽象函数单调性） 6．函数在区间是增函数，则的递增区间是（） A． B． C． D． （考点：复合函数单调性） 7．函数在实数集上是增函数，则（） A．B．C． D． （考点：函数单调性） 8．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（） A． B． C．D． （考点：函数奇偶、单调性综合） 9．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（） A． B． C． D． （考点：抽象函数单调性） 二、典型填空题 1．函数在R上为奇函数，且，则当， . （考点：利用函数奇偶性求解析式） 2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 . （考点：函数单调性，最值） 三、典型解答题 1．（12分）已知，求函数得单调递减区间. （考点：复合函数单调区间求法） 2．（12分）已知，，求. （考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想） 3．（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为 （单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数及其边际利润函数； ②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义. （考点：函数解析式，二次函数最值） 4．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数. （考点：复合函数解析式，单调性定义法） 高一数学《函数的性质》知识点总结 二．函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法： 任取x1，x2∈D，且x12； 作差f－f； 变形； 定号； 下结论． 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. ．函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，那么f就叫做偶函数． ．奇函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=—f，那么f就叫做奇函数． 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f与f的关系； 作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若 f=－f或f＋f=0，则f是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0．函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f； 如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f； 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 高一数学必修1 函数及其表示练习题 1、判断下列对应:f A B →是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数： （１）{} ,0,:,:;A R B x R x f x x f A B ==∈>→→ （２）*,,:1,:.A N B N f x x f A B ==→-→ （３）{} 2 0,,:,:.A x R x B R f x x f A B =∈>=→→ 2、已知函数()()()3,10, ,85,10,x x f x x N f f f x x -≥??=∈=? +? ==-?????? 函数的基本性质--综合训练B 组 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =- C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．( -∞C ．(-∞3．函数A ．(∞-C ．[,24 则实数a A ．a ≤ 5． )x 是增函数； (2)23x --的 A ．0 6. 在下图中是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时， ()f x = . 3．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 2(6)(3)f f -+-=__________。 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。 1][]2,6 2()f b ，且当 0x >时，()y f x =是 奇函数。 3．设函数,且 ()(f x g + 4．设a 为实数，函数1||)(2 +-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 4．下列函数中,在区间 (0,1)上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -3= C ．x y 1= D ．4+-=2x y 6．若一次函数y=kx ＋b 在集合Ｒ上单调递减，则点（k ，b ）在直角坐标系中的 ( ) Ａ．第一或二象限 Ｂ．第二或三象限 Ｃ．第一或四象限 Ｄ．第三或四象限 7. 函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递 减． （1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5; (4) f(x)=x 2,x ()∞+,0∈; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x 1; 6．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3-,7-上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 7 ． 已知函数()f x 对一切R y x ∈,，都有)(+)(=)+(y f x f y x f ， 求证：（1）()f x 是奇函数；（2）若a f =-3)(，用a 表示(12)f ． 答案:1.C 2.C 3.B 4.A 5.+∞,0[) 6.B 7.C 8.(0,2 1) 答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.(1)(5)(6) 6.A 7.(1)证明:令x=y=0,)0(f = )0(f +)0(f =2)0(f ,∴)0(f =0. 令y= -x, =)+(y x f )0(f =(+)(f x f -)x , 即(+)(f x f -)x =0, ∴(f -)x =)(x f , ∴)(x f 为奇函数. (2) -4a 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高一数学函数练习题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高一数学第二章函数练习题 一、选择题 1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素 n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为2733 1<≤x ，则x 的取值范围 （A ）321<≤- x （B ）32 1 <≤x （C ）R （D ） 31 21<≤x 3、函数1 1 2 -=x y 在定义域上的单调性为 （A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数 （B ）减函数 （C ）在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数 （D ）增函数 4、函数x x x f -+= 11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则 （A ）B B A = （B ）B A ? （C ）B B A = （D ）B A = 5、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 6、下列式子或表格 ①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x ②x y 2=，其中}3,2,1,0{∈x ,}4,2,0{∈y ③122=+y x ④)0(122≥=+y y x ⑤ 其中表示y 是x 的函数的是 （A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、已知函数)(x f y =的反函数)(1 x f -的定义域为]1,0[，那么函数 ))((R m m x f y ∈+=的值域是 （A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R 8、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤a ，且1≠a )的图象必经过点 (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为()∞+， 0的是 (A) x y -=21 5 (B) x y -? ? ? ??=131 (C) 121-?? ? ??=x y (D) x y 21-= 12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各 函数的基本性质 1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．x y -=3 C ．x y 1= D ．42+-=x y 2．下列函数中,是偶函数的是（ ） A ．-y x = B ．x y -=3 C ．x y 1= D ．y 11x x =--+ 3．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3 ()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 高中数学必修一函数试题（一） 一、选择题： 1 、若()f x = (3)f = （ ） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = 与()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0 ()f x x =与01()g x x = ；④2 ()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数2 45y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为 （ ） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） （1） （2） （3） （4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、 () 1() f x f x =-- 9、如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） A 、12a > B 、12a < C 、12a ≥ D 、12 a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（ ） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） （1） （2） （3） （4） 函数的概念与性质专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象 C 、Y 可以是空集 D 、以上结论都不对 2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与 B 、2 lg lg 2x y x y ==与 C 、23) 3)(2(+=--+= x y x x x y 与 D 、10 ==y x y 与 3、函数1+=x y 的定义域是 A 、( ,+) B 、[1,+ ） C 、[0,+] D 、(1,+) 4、若函数y f x =()的图象过点(0，1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点 A 、（4，—1） B 、（—4，1） C 、（1，—4） D 、（1，4） 5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x 且与函数的图像有可能是 A B C D 6、函数241x y --=的单调递减区间是 A 、 ?? ? ? ?∞-2 1, B 、 ?? ????+∞,21 C 、 ?? ? ???- 0,21 D 、 ?? ????2 1,0 7、函数f(x)()R x ∈是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是 A 、())(,a f a - B 、())(,a f a -- C 、())(,a f a --- D 、())(,a f a -- 8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 x y O x y O x y O x y O 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 函数的基本性质练习题 一、选择题 1 已知函数)127()2()1()(2 2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A )2()1()2 3(f f f <-<- B )2()2 3 ()1(f f f <-<- C )23()1()2(-<-高一数学函数练习题及答案
对数函数及其性质练习题及答案解析
新课标高一数学——函数的基本性质练习题(精华)
高一数学《函数的性质》知识点总结
高一数学函数习题(练习题以及答案
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
高一数学必修1_函数及其表示练习题
高一数学函数的基本性质综合训练
高一数学函数的性质练习题
高中数学必修1函数的基本性质
高一数学函数练习题
高一数学必修一函数的基本性质基础练习
(推荐)高一数学必修一函数练习习题及答案
(推荐)高中数学会考专题集锦-函数的概念与性质专题训练
高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质
2020-2021年高一数学反函数一 新课标 人教版
高一数学函数基本性质练习题
相关主题
文本预览