第十二章数项级数
1 讨论几何级数∑∞
=0n n q 的敛散性.
解当1|| 110 ∞→-→--==∑=n q q q q S n n k k n . 级数收敛; 当1||>q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0n n q 当且仅当1|| q -11 ( 注意n 从0开始 ). 2 讨论级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的敛散性. 解用链锁消去法求. 3 讨论级数∑∞ =12 n n n 的敛散性. 解设∑=-+-++++== n k n n k n n n k S 1 1 322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n n n , 1322 212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 1 2 2 1121 1211 →--? ?? ? ?-=+n n n , ) (∞→n . ?n S →2, ) (∞→n . 因此, 该级数收敛. 4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明 2-p 级数∑∞ =12 1 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令21 n u n = , 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. (验证0→ /n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11 n n 发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性. 解1 43 4132lim lim 1<=++=∞→+∞→n n u u n n n n ?∑+∞<. 10、讨论级数∑>-) 0( 1 x nx n 的敛散性. 解因为) ( , 1 )1(1 1∞→→+?+=-+n x n n x nx x n u u n n n n . 因此, 当10< ∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散. 11、判断级数∑+n n n n ! 21的敛散性 . 注:对正项级数 ∑n u ，若仅有 11<+n n u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1 和 ∑2 1 n , 均有11<+n n u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数 ∑-+n n 2) 1 (3的敛散性 . 解12 1 2)1(3lim lim <=-+=∞→∞→n n n n n n u ?∑+∞<. 13、判断级数∑?? ? ??+2 1n n n 和∑?? ? ??+2 1n n n 的敛散性 . 解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 14、讨论-p 级数 ∑∞ =11n p n 的敛散性. 解考虑函数>=p x x f p ,1 )(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分 ?+∞ 1 )(dx x f 当1>p 时收敛, 10≤ ∑∞ =1 1 n p n 当1>p 时收敛,当10≤ 01 →/p n , 级数发散. 综上,-p 级数 ∑∞ =11 n p n 当且仅当1>p 时收敛. 15、判别级数∑∞ =>-1)0( ) 1 (n n n x n x 的敛散性. 解当10≤ 收敛; 当1>x 时, 通项0→/, ∑ 发散. 16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛. 证++??? ??-+=?? ? ??+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=????? ? --++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+= +n k x x n kx 1 2 sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数 ∑kx cos 的部分和有界. 由 Dirichlet 判别法推得级数 ∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 . 17、若∑∞ =1 n n a 收敛，证明 ∑∞ =12 n n n a 也收敛。 证明：由于∑∞ =1 n n a 收敛，因而，{}n a 收敛于0，故，存在N ，使得n>N 时， ||1n a ￡， 因而，n>N 时， 2 21n n a n ≤， 故，由比较判别法得：∑ ∞ =12 n n n a 收敛。 18、证明：若∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛。 证明：由于∑∞ =--1 1||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0e > ，存在N ， 当n>N 时，对任意的正整数p ，成立 11||||n n n p n p a a a a e +++--++- 因而， 11||||||n p n n n n p n p a a a a a a e ++++--?++- 再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛。 19、若∑∞ =1 n n a 收敛，则∑ ∞ =+1| |11 n n a 发散。 分析证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。 证明：由于∑∞ =1n n a 收敛，故 lim 0n n a ? ? =， 因而， lim (1||)1n n a ? ? +=， 故，∑ ∞ =+1| |11 n n a 发散。 20、判断下列具体级数的敛散性 1、0 , 111>+∑∞ =a a n n ； 2、0, ][ln 1 1 >∑∞ =p n n p ； 3、∑∞ =-1!!)!12(n n n ； 4、∑∞=??? ??+112n n n n ； 5、∑∞ =+110)!1(n n n ； 6、∑∞=12 2 n n n 。 分析对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在 通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为 1 1p n n ￥ =? 、1 n n q ￥ =?，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n 幂次或n ！形式的级数常用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法，更复杂的题 目则需选用更精细的判别法。 解、1）、]1,0(∈a ，}11 {n a +不收敛于0，此时，级数发散； 1>a 时，n n a a 1 11<+，由比较判别法得收敛。 2、分析结构，发现对比级数为1 1k n n ￥ =? 的形式，只需比较通项收敛于0的速 度。 由于对任意的p >0, (ln )lim 0p n n n ??=, 故，由比较判别法可知：11 [ln ] p n n ￥ =?发散。 3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。 记(21)!!!n n u n -=，则 121lim lim 211n n n n u n u n +?ギ+?+==>+， 故，该级数发散。 4）、由通项结构为n 幂次形式，采用Cauchy 判别法。 记( )21 n n n u n =+，则 1 lim lim 1212 n n n n ? +?==<+， 故，由Cauchy 判别法知该级数收敛。 5）、由通项结构可知用D ’Alembert 判别法。 记(1)!10 n n n u +=，则 12lim lim 10n n n n u n u +?ギ+?+==+?， 故，该级数发散。 6）、用Cauchy 判别法。 记2 2 n n n u =，则 1lim 2 n ??=， 故，该级数收敛。 21、判断下列具体级数的敛散性。 1）、 2(1)2 1 s i n n n n x dx x p p ￥ +=?ò 2） 、∑?∞ =-1 1 1n n dx x x 3）、∑?∞=+1 1 )1l n (n n dx x 分析通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法： 1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式 } { , 0)( , )(1 n a a n a x f dx x f u n n >=? +递增趋于∞+。 2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。 3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式?=n a n dx x f u 0)(， 其中}{n a 单减趋于0。在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。 解：1）、从类型看，适用于第一种方法。此级数与广义积分?∞ +π dx x x 2 2sin 具相同的敛散性，由于 21dx x p +? ò 收敛，因而由比较方法，?∞+π dx x x 22sin 收敛，故，该级数也收敛。 2）、典型的第3种方法处理的题型。由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于0→x 时， x x x ~1-，因而， ? ? -=n n n n dx x dx x x u 1 2 310 1~ ~1， 故此级数应收敛。 上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选 择，下面的方法属于直接比较法。 对充分大的n ，当n x 1 0< <时， 211≤-x ，故 2 310 13420n dx x u n n = ≤≤? ， 且级数 31 2 1n n +?=? 收敛，因而，原级数收敛。 当然，用比较方法的极限形式更直接，如 由于 30 2 2 lim n n t u n t ? ギ -= 02 2332 t t ?==， 因而，原级数收敛。 注、我们选择 31 2 1n n +?=? 作为对比级数，是由于结构特征分析为选择判断标准提供 了依据，而数列极限的连续化处理使得我们能够利用高级的极限计算方法如L ’Hospital 法则。 3）、与2）类似，当n 充分大时，??=+=n n n n xdx dx x u 10 2 1021~)1ln(，故收敛。或者计算方法 21 111)11(~1|)1ln()1(n n n n n x x u n n =-+- ++= 或者2 12)1ln(lim )1ln(lim 1 )1ln(lim 02 02 1 =+=+=++ →+ →+∞ →??t t t dx x n dx x t t t n n ， 都可以得到级数的收敛性。 22、判断敛散性 1）、∑∞ =3ln ln ln 1n n n n 2）、∑∞ =2 1 s i n ln 1 n n n 分析典型的积分判别法处理的题型结构。 解：1）、由于 +∞→=∞ ++∞?33|ln ln ln ln ln ln 1x dx x x x ， 因此，由积分判别法，该级数发散。 2）、分析结构特点，n n n n n n ln 1 1ln 1~1sin ln 1= ，由积分判别法 ∑∞ =1ln 1 n n n 发散，故原级数发散。 事实上，由于 11 sin ln lim 111 ln n n n n n ??=， 故，∑ ∞ =21sin ln 1n n n 和21 ln n n n ￥ =?具有相同的敛散性，由于 22 1ln ln |ln dx x x x +? +?=?? ò ， 因而，由积分判别法，原级数发散。 24、判断敛散性 1）、∑∞ =-11)c o s (2 n n n e π ； 2）、∑∞ =+-1)1 ln 1(n n n n ； 3）、∑∞ =++++ -1 )]! 1 !21!111([n n e 。 分析这类题目较难，因为所用到的是分析学中最难的“阶”的比较或函数展 开理论。注意，展开过程中选择适当的展开项。 解：1）、先作“阶”的分析。由于 2 122221111cos [1()][1()()]2n e o o n n n n n p p -=++--+ 222 111 ()~ C o n n n =+ 故级数应该收敛。 验证这个事实：由于 2 21 2 02 cos cos lim lim 1 n x n x e e x n x n p p ? ギ --= 2 2 02sin lim 122 x x xe x x p p p ?+==+ ， 且 2 1 1n n ￥ =? 收敛，故原级数收敛。 2）、类似，由于 21211 1lim )1ln(lim 1)11ln(1lim 02 02=+- =+-=+-→→+∞→x x x x x n n n x x n ， 故，该级数收敛。 3）、利用函数展开则 10 , )! 1(!1!21!111<<++++++=ξξ n e n e 故， 1110(1)1!2!!(1)! e e n n <-++++?+L ， 因而，该级数收敛。 25、设2()[0,)f x C ??，且()1f +?，()0f x ￠ 3，()0f x ⅱ<，证明1()n f n ￥ =￠?收敛。 分析这是一个正项级数，从所给条件看，需借助Taylor 展开研究函数的性质， 利用展开式得 200001 ()()()()()()2 f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+ - 我们试着从上式中分析()f n ￠ 的性质，显然 000()() ()()f x f x f x x x ￠?-， 估计0()f x ￠，则 平均数问题 求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。 平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。 解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。 一、算术平均数 例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？ 分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。 解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米） 答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。 例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？ 分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。 解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分） ②语文： 89-10=79（分） ③政治：86×2-89＝83（分） ④数学： 91.5×2-83＝100（分） ⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分） 答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。 二、加权平均数 例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？ 分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解：①什锦糖的总价： 4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元） ②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克） ③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元） 答：混合后的什锦糖每千克5.74元。 我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。 例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？ 分析此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。 解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？ （203-185）×5=90（斤） ②乙棉田有几亩？ 90÷（185-170）=6（亩） 答：乙棉田有6亩。 三、连续数平均问题 我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。 例5已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。 机械能守恒定律及其应用·典型例题精析 链，则当铁链刚挂直时速度多大？ [思路点拨] 以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N 不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒．铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算．选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解． [解题过程] 初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能 mv2，又有重力势能 根据机械能守恒定律有E1＝E2．所以E p1＋E p2＝E k2＋E p2，故 [小结] (1)应用机械能守恒定律解题的基本步骤由本题可见一斑．①根据题意，选取研究对象．②明确研究对象在运动过程中受力情况，并弄清各力做功情况，分析是否满足机械能守恒条件．③恰当地选取重力势能的零势能参考平面，确定研究对象在过程的始、末状态机械能转化情况．④应用机械能守恒定律列方程、求解． (2)本题也可从线性变力求平均力做功的角度，应用动能定理求解，也可应用F－h图线(示功图)揭示的功能关系求解，请同学们尽可发挥练习． [例题2] 如图8－54所示，长l的细绳一端系质量m的小球，另一端固定于O点，细绳所能承受拉力的最大值是7mg．现将小球拉至水平并由静止释放，又知图中O′点有一小钉，为使小球可绕O′点做竖直面内的圆周运动．试求OO′的长度d与θ角的关系(设绳与小钉O′相互作用中无能量损失)． [思路点拨] 本题所涉及问题层面较多．除涉及机械能守恒定律之外，还涉及圆周运动向心力公式．另外还应特别注意两个临界条件：①要保证小球能绕O′完成圆周运动，圆周半径就不得太长，即OO′不得太短；②还必须保证细绳不会被拉断，故圆周半径又不能太短，也就是OO′不能太长．本题的研究中应以两个特殊点即最高点D和最低点C入手，依上述两临界条件，按机械能守恒和圆运动向心力公式列方程求解． [解题过程] 设小球能绕O′点完成圆周运动，如图8－54所示．其最高点为D，最低点为C．对于D点，依向心力公式有 (1) 其中v D为D点速度，v D可由机械能守恒定律求知，取O点为重力势能的零势能位置，则 (2) 将(1)式与(2)式联立，解之可得 1、某村居民整体进行搬迁移民，现安排载客（不含司机）20人辆的中巴车和30人/辆的大巴车运载所有村民到搬迁地实地考察。如安排12辆中巴车，则大巴车需要18辆，且除一辆大巴车载6人以外，其他车全部载满。现本着安排车辆数最少的原则派车，问最少要安排多少辆大巴车? A 、20 B 、22 C 、24 D 、26 解：很容易算出来人数为756，该题的难点在于最后一句话，“车辆数最少”指的是中巴+大巴数最少，“最少要安排多少辆大巴”，要少，所以大巴要尽量多，所以先算756÷30=25···6， 由表格，很明显的26-24（总）车辆数都是26，变成23时，总车辆数变成了27，变多了，所以答案是24，选C 2、某种糖果的进价为12元千克，现购进这种糖果若干千克，每天销售10千克，且从第二天起每天都比前一天降价2元千克。已知以6元千克的价格销售的那天正好卖完最后10千克，且总销售额是总进货成本的2倍。问总共进了多少千克这种糖果? A 、180 B 、190 C 、160 D 、170 解：总销售额是总进货成本的2倍，因为卖完了，所以平均售价是进价的2倍，即12×2=24元/kg 。平均售价=2最后一天售价）（第一天售价+，即24=2 6）（第一天售价+，即第一天售价为42元/kg 。an=a1+（n -1）d ，即6=42-2（n -1），n=19，所以选B 3、丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的距离是与乙地之间距离的一半。A 、B 两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎面相遇的位置距离丙地500米。两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎面相遇，问第二次相遇的位置一定∶ A 、距离甲地1500米 B 、距离乙地1500米 B 、距离丙地1500米 D 、距离乙、丙中点1500米 解：该题有2大难点。 第一个很明显，就是相遇的位置到底是在甲丙之间还是在乙丙之间。如果在甲丙之间，则B 的速度一定大于A 的两倍，则第二次相遇的时候，一定是A 还没有行驶到乙地，就被B 车从后面追上了。则不符合题目中所说的“迎面相遇”。所以，相遇的位置一定是在乙丙之间。 接下来就是开始设未知数求解了。设甲丙之间距离为x ，则乙丙之间距离为2x 。 攻克顽疾 层层突破1 【顽疾一】转动偏转最大角度，何时速度最大 1． 如图所示，在水平向右的的匀强电场中，长为l 的绝缘轻杆可绕固定轴O 在竖直面内无摩擦转 动，两个小球A 、B 固定于杆的两端，A 、B 的质量分别为m 和2m ，A 带负电，电量为q ，B 带正电，电量也为q 。若杆在水平位置，由静止开始转动，杆能转过的最大角度为60°，则匀强电场的场强E v =__________。 2.（12分）如图所示，一质量为m 、带电量为-q 的小球A ，用长为L 的绝缘轻杆与固定转动轴O 相连接，绝缘轻杆可绕轴O 无摩擦转动。整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度E =q mg 2， 现将轻杆从图中的竖直位置由静止释放。 （1）轻杆转过90°时，小球A 的速度为多大？ （2）轻杆转过多大角度时小球A 的速度最大？ （3）小球A 转过的最大角度为多少？ （1）动能定理：qEL + (-mg L ) =22 1 v m -0， 解出v =gL 2 （1分） （2）轻杆转动过程中，合力矩为零时，小球A 的速度最大 （1分） 即mgL sin α=qEL cos α （2分） 得到tan α=2，解出α=arctan2=63.43° （1分） （3）设小球A 的速度减为零时轻杆与水平方向的夹角为β， 动能定理：qEL cos β+［-mg(L +L sin β)］=0-0 （2分） 得到2cos β=1+sin β， 解出sin β=0.6（舍去sin β=-1），β=37° （2分） 因此，小球A 转过的最大角度为90°+37°=127° 【顽疾二】整体动能定理，系统内机械能守恒，系统内能量守恒 1.如图所示，绝缘杆两端固定着带电量分别为q A 、q B 的小球A 和B ，轻杆处于匀强电场中，不考 虑两球之间的相互作用。最初杆与电场线垂直，将杆右移的同时使其顺时针转过900 ，发现A 、B 两球电势能之和不变。根据图示位置关系，下列说法正确的是（ ） A ．因为A 、B 两球电势能之和不变，所以电场力对A 球或B 球都不做功； 08广东： 6.一项任务甲做要半小时完成，乙做要45 分钟完成，两人合作需要多少分钟完成？ A.12 B.15 C.18 D.20 解：直接设90的总量，两人每分钟分别是3和2。所以90/（3+2）=18。 7. 22008 + 32008的尾数是( ) A.1 B.3 C.5 D.7 解：求尾数的题目，底数留个位，指数除以4留余数（余数为0看为4）， 比如20683847 就是留底数个位8，3847除以4得数是余3，取3，就变成求8的3次方尾数； 因此在这个题目中2008除以4余数为0，取4； 所以等于变成2的4次方+3的4次方，尾数是7。 8.若在边长20 厘米的正立方体表面上挖一个边长为10 厘米的正方体洞，问其表面积增加多少平方厘米？A.100 B.400 C.500 D.600 解：实际增加了边长10厘米的4个面面积，所以4*10*10=400。 9.甲乙同时从A 地步行出发往B 地，甲60 米/分钟，乙90 米/分钟，乙到达B 地折返 与甲相遇时，甲还需再走3 分钟才到达B 地，求AB 两地距离？ A.1350 B.1080 C.900 D.750 解：甲需要多走3分钟到B地，3*60=180米， 速度比是2：3，所以路程比也是2：3， 设全长X米，则（X-180）/X+180=2/3，求出X=900， 实际也是选个180倍数的选项，排除AD。 10. 2 年前甲年龄是乙年龄的2 倍，5 年前乙年龄是丙年龄的1/3，丙今年11 岁，问甲 今年几岁？A.12 B.10 C.9 D.8 解：五年前乙是（11-5）/3=2岁，所以今年是7岁，两年前是5岁。所以2年前甲是10岁，今年是12岁，选A。 11.某人工作一年的报酬是18000 元和一台洗衣机，他干了7 个月不干了，得到9500 元和一台洗衣机，这台洗衣机价值多少钱？A.8500 B.2400 C.2000 D.1500 解：7个月得到9500元和一台洗衣机，所以选项加上9500后能被7整除的只有2400，选B。 12.每次加同样多的水，第一次加水浓度15%，第二次加浓度12%，第三次加浓度为多 物理经典习题错题——功能关系 1．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A 点，弹簧处于原长h 。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑过程中 ( ) A ．圆环机械能守恒 B ．弹簧的弹性势能先增大后减小 C ．弹簧的弹性势能变化了mgh D ．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大 2.如图所示，a 、b 两物块质量分别为m 、2m ，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦.开始时，a 、b 两物块距离地面高度相同，用手托住物块b ，然后突然由静止释放，直到a 、b 物块间高度差为h.在此过程中，下列说法正确的是 A.物块a 的机械能逐渐增加 B.物块b 机械能减少了2/3mgh C.物块b 重力势能的减少量等于细绳拉力对它所做的功 D.物块a 重力势能的增加量小于其动能增加 3．质量为50kg 的某人沿一竖直悬绳匀速向上爬，在爬高3 m 的过程中，手与绳子之间均无相对滑动， 重力加速度g 取10m/s 2，则下列说法正确的是 A ．绳子对人的静摩擦力做功等于人的重力势能的增加 B ．绳子对人的静摩擦力做功等于人的机械能的增加 C ．绳子对人的静摩擦力做功为1500 J D ．人克服自身重力做功使其重力势能增加1500 J 4. 如图所示，一个小物体在足够长的斜面上以一定初速度开始沿斜面向上运动，斜面各处粗糙程度相同，则物体以后在斜面上运动的过程中 A ．动能一定一直减小 B ．机械能一直减小 C ．如果某段时间内摩擦力做功与物体动能的改变量相同，则此后物体动能将不断增大 D ．如果某两段时间内摩擦力做功相同，则这两段时间内摩擦力做功功率一定相等 5.如图所示，在倾角为θ的光滑斜劈P 的斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块A 、B ，C 为一垂直固定在斜面上的挡板。Ａ、Ｂ质量均为m ，弹簧的劲度系数为k ，系统静止于光滑水平面。现开始用一水平力F 从零开始缓慢增大作用于Ｐ，（物块Ａ一直没离开斜面，重力加速度g ）下列说法正确的是（ ） A.力F 较小时A 相对于斜面静止，F 增加到某一值，A 相对于斜面向上滑行 B.力F 从零开始增加时，A 相对斜面就开始向上滑行 C.B 离开C 后A B 和弹簧组成的系统机械能守恒 D.B 离开挡板C 时，弹簧处于原长状态 6．用水平力F 拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，t 1时刻撤去拉力F ，物体做匀减速直线运动，到t 2时刻停止．其速度—时间图象如图所示，且α＞β，若拉力F 做的功为W 1，平均功率为P 1；物体克服摩擦阻力F f 做的功为W 2，平均功率为P 2，则下列选项正确的是 A ．W 1＞W 2；F ＝2F f B ．W 1= W 2 F ＞2F f C ．P 1＞P 2; F=2F f D ．P 1＝P 2; F ＝2F f 7．如图，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上， 上面放一质量为m 的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向下压至某位置静止。现撤去F ，使小球沿竖直方向运动，在小球由静止到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W 1和W 2，小球离开弹簧时的速度为v ，不计空气阻力，则上述过程中 A ．小球的重力势能增加－W 1 B ．小球的电势能减少W 2 C ．小球的机械能增加2121W mv + D ．小球与弹簧组成的系统机械能守恒 8．如图所示为竖直平面内的直角坐标系．一质量为m 的质点，在恒力F 和重力的作用下，沿直线ON 斜 向下运动，直线ON 与y 轴负方向成θ角(θ<90°)，不计空气阻力，则以下说法正确的是 A ．当F =m gtan θ时，拉力F 最小 B ．当F =mgsin θ时，拉力F 最小 C ．当F =mgsinθ时，质点的机械能守恒，动能不变 D ．当F =mgtanθ时，质点的机械能可能减小也可能增大 9．如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。下列说法正确的是 A ．斜面倾角α=30° B ．A 获得的最大速度为 C 刚离开地面时，B 的加速度为零 D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒 两集合问题通解公式 华图公务员考试研究中心 数量关系资料分析教研室主任 李委明【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人 A.27人 B.25人 C.19人 D.10人 上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：“满足条件一的个数”＋“满足条件二的个数”－“两者都满足的个数”＝“总个数”－“两者都不满足的个数” 例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。 我们再看看其它题目： 【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少 A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22 练习： 【国2004B-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是多少 A.10 B.4 C.6 D.8【山东2004-14】某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21人得满分。如果两次测验中都没有得满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少? 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 动能和动能定理、重力势能·典型例题剖析例1一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图8－27，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同．求摩擦因数μ． [思路点拨]以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔEK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系． [解题过程]设该面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时， 物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则 对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk． mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0 得h－μS1－μS2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故 [小结]本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的．不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题． 例2 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km，速度达到最大值54km/h，设阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)机车的功率P=？(2)机车的速度为36km/h时机车的加速度a=？ [思路点拨]因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做功，由动能定理结合P=f·vm，可 1.某天办公桌上台历显示的是一周前的日期，将台历的日期翻到今天，正好所翻页的日期加起来是168，那么今天是几号： A.20 B.21 C.27 D.28 2.某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元。已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导： A.1 B.2 C.3 D.4 3.箱子中有编号1～10的10个小球，每次从中抽出一个记下编号后放回，如果重复3次，则3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率是多少： A.43.2% B.48.8% C.51.2% D.56.8% 4. 2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦的3/10，8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦，如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台： A.8 B.10 C.18 D.20 5.加油站有150吨汽油和102吨柴油，每天销售12吨汽油和7吨柴油。问多少天后，剩下的柴油是剩下的汽油的3倍： A.9 B.10 C.11 D.12 6.服装店买进一批童装，按每套获利50%定价卖出这批童装的80%后，按定价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了390元，问服装店买进这批童装总共花了多少元： A.5500 B.6000 C.6500 D.7000 7.某人要从A市经B市到C市，从A市到B市的列车从早上8点起每30分钟一班，全程行驶一小时；从B市到C市的列车从早上9点起每40分钟一班，全程行驶1小时30分钟；在B市火车站换乘需用时15分钟。如果想在出发当天中午12点前到达C市，问他有几种不同的乘车方式： A.3 B.2 C.5 D.4 8.某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是70。问小周排名第几： A.7 B.8 C.9 D.10 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 一、计算题(解答写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。本题包含55小题，每题？分，共？分) 1．如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是M 的小车A 和B ，两车间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度向右运动，另有一质量为 0M 的粘性物体，从高处自由下落，正好落 至A 车并与之粘合在一起，在此后的过程中，弹簧获得最大弹性势能为E ，试求A 、B 车开始匀速运动的初速度 0v 的大小． 解析：物体 0M 落到车A 上并与之共同前进，设其共同速度为1v ， 在水平方向动量守恒，有 100)(v M M M v += 所以 0 01v M M M v += 物体0M 与A 、B 车共同压缩弹簧，最后以共同速度前进，设共同速度为2v ，根据动量守 恒有 200)2(2v M M Mv += 所以 0222v M M M v += 当弹簧被压缩至最大而获得弹性势能为E ，根据能量守恒定律有： ()()202102202121221 Mv v M M v M M E ++=++ 解得 ()()002 0022M M M M MM E v ++= ． 2．如图所示，质量为M 的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右的瞬时冲量I ，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求： (1)木块返回到小车左端时小车的动能． (2)弹簧获得的最大弹性势能． 解：(1)选小车和木块为研究对象．由于m 受到冲量I 之后系统水平方向不受外力作用，系统动量守恒．则v m M I )(+= 归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1份数量；1份数量×所占份数＝所求几份的数量；另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1. 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解：买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。 例2. 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 解：1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。 例3. 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解：1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。 所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总 产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量×份数＝总量；总量÷1份数量＝份数；总量÷另一份数 ＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 排列数,从n个中取m个排一下,有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种,即n!/(n-m)! 组合数,从n个中取m个,相当于不排,就是n!/[(n-m)!m!] 1.元素与集合是属于和不属于的关系。 2.得摩根公式：（A交B）的补==（A的补）并（B的补） （A并B）的补==（A的补）交（B的补） 3.包含关系：是表示集合A和集合B之间的关系。如果集合A中的全部元素都在集合B中，那么集合B包含集合A，集合A包含于集合B 4.容斥原理： 两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分） 三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 5.子集个数：如果集合中共有n个元素，那么子集个数是2的n次方。 真子集个数是2的n次方-1。 公务员考试行测数量关系49个常见问题公式法巧解 五，往返平均速度公式及其应用(引用) 某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b )。 证明：设A、B两地相距S，则 往返总路程2S，往返总共花费时间s/a+s/b 故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b) 四，时钟成角度的问题 设X时时，夹角为30X ，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.(请大家掌握) 钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。 1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式) 变式与应用 2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中一个角) 六，空心方阵的总数 空心方阵的总数= (最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4 = 最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2 =每层的边数相加×4-4×层数 空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数 方阵的基本特点：①方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层边上的人数就少2; ②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系： ③中实方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷4+1)2 七，青蛙跳井问题 例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6) ②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7) 总解题方法：完成任务的次数=井深或绳长- 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米) 例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。 完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1 十五、电磁感应 1、磁通量 设在匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，磁场的磁感应强度为B ，平面的面积为S ，如图所示。 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 (1)定义：在匀强磁场中，磁感应强B与垂直磁场方向的面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量，简称磁通。 (2)公式：Φ＝BS 当平面与磁场方向不垂直时，如图所示。 Φ＝BS⊥＝BScosθ (3)物理意义 物理学中规定：穿过垂直于磁感应强度方向的单位面积的磁感线条数等于磁感应强度B。所以，穿过某个面的磁感线条数表示穿过这个面的磁通量。 (4)单位：在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，简称韦，符号是Wb。 1Wb＝1T·1m2＝1V·s。 (5) 磁通密度：B＝Φ S⊥ 磁感应强度B为垂直磁场方向单位面积的磁通量，故又叫磁通密度。 2、电磁感应现象 (1)电磁感应现象：利用磁场产生电流的现象，叫做电磁感应现象。 (2)感应电流：在电磁感应现象中产生的电流，叫做感应电流。 (3)产生电磁感应现象的条件 ①产生感应电流条件的两种不同表述 a．闭合电路中的一部分导体与磁场发生相对运动 b．穿过闭合电路的磁场发生变化 ②两种表述的比较和统一 a．两种情况产生感应电流的根本原因不同 闭合电路中的一部分导体与磁场发生相对运动时，是导体中的自由电子随导体一起运动，受到的洛伦兹力的一个分力使自由电子发生定向移动形成电流，这种情况产生的电流有时称为动生电流。 穿过闭合电路的磁场发生变化时，根据电磁场理论，变化的磁场周围产生电场，电场使导体中的自由电子定向移动形成电流，这种情况产生的电流有时称为感生电流。 b．两种表述的统一 两种表述可统一为穿过闭合电路的磁通量发生变化。 ③产生电磁感应现象的条件 不论用什么方法，只要穿过闭合电路的磁通量发生变化，闭合电路中就有电流产生。 条件：a．闭合电路；b．磁通量变化 3、电磁感应现象中能量的转化 能的转化守恒定律是自然界普遍规律，同样也适用于电磁感应现象。 数量关系练习（一） 本部分包括两种类型的题目： 一、数学推理 给你一个数列，但其中缺少一项，要求你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选择你认为最合理的一项，来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。 1. 125，16，3，1，( ) A．1 B．0 C．-1 D．-2 2. 3. 1，1，4，13，43，( ) A．50 B．57 C．121 D．142 4. 9，0，1，-2，-7，( ) A．-28 B．13 C．24 D．-19 5. 13，10，4，7，-2，( ) A．-9 B．-12 C．10 D．11 6. 79，63，55，51，49，( ) A．48 B．47 C．46 D．45 7. 2，3，2，6，3，8，6，( ) A．8 B．4 C．9 D．3 8. 9. 2.11， 4.09，8.07，( ) A．10.5 B．16.05 C．10.05 D．16.5 10. 23，2，21，6，19，12，17，( ) A．18 B．20 C．15 D．13 二、数学运算 你可以在草稿纸上运算。遇到难题，可以跳过暂时不做，待你有时间再返回解决它。 11. 873×1.7×73+5.6)÷(1.8×73-1.7)的值是( )。 A．879 B．873 C．958 D．436.5 12. 13. 192×192×192-171×171×171＝( )。 A．1905258 B．2066755 C．2077677 D．3217509 14. 宫浩奇和他爸爸、爷爷三人年龄之和为116，他爸爸的年龄比他的2倍大10岁，爷爷的年龄比爸爸的2倍小19岁。问宫浩奇的年龄是多少岁?( ) A．61 B．40 C．15 D．10 15 班委改选，由8人竞选班长、学习委员、生活委员、文娱委员和体育委员五种职务。最后每种职务都有一个人担当，则共有多少种结果?( ) A．120 B．40320 C．840 D．6720 16. 早上水缸注满水后，白天用去了其中20%，傍晚又用去了27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水?( ) A．87 B．100 C．115 D．120 17. 内容要点 一， 概念与性质 （一） 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子 称为无穷级数，简称为级数 . u n 称为级数的一般项， s n 级数的部分和 二）性质 3, 级数增减或改变有限项，不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛 5（收敛的必要条件 ）, 若 u n 收敛，则 lim u n 0. n 1 n 注意：若 l n im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n n 1 n n 1 n lim u n 0. n （三） 两个常用级数 1, 等比级数 1, 若 u n 收敛，则 ku n 1 n 1 k u n . n1 2, 若 u n , v n 收敛，则 n1 n 1 u n v n1 u n1 v n . n1 n u i 称为 i1 如果 lim s n s , 则称级数 u n 收敛， s 称为该级数的 和 n1 . 此时记 u n n1 s . 否则称级数发散 则不一定 2, p 级数 二，正项级数敛散性判别法 （ 一 ） 比较判别法 设 u n , v n 均为正项级数，且 u n v n （n 1,2, ）, 则 n 1 n1 v n 收敛 u n 收敛； n1 n 1 u n 发散 v n 发散 n1 n 1 （ 二） 极限判别法 如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l ), 则 n1u n 则收敛 . （ 三 ） 比值判别法 设 u n 为正项级数，若 n1 二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设 1n 1u n （u n 0）为交错级数，如果满足： n1 1, u n u n 1（n 1,2, ）2, lim u n n 则此交错级数收敛 . 三， 任意项级数与绝对收敛 （一） 绝对收敛如果 u n 收敛，则称 u n 绝对收敛 . n 1 n 1 二） 条件收敛如果 u n 收敛，但 u n 发散,则称 u n 条件收 n 1 n 1 n 1 敛. （三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容 1、基本概念 函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭 如果 lim nu n l(0 l n ）,则 u n 发散； n1 动量与能量经典题型详解 动量与功能问题可以与高中物理所有的知识点综合，是高考的重点，试题难度大，需要多训练、多总结归纳． 1．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球，给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，在此过程中( ) A ．小球的机械能守恒 B ．重力对小球不做功 C ．绳的张力对小球不做功 D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功是等于小球动能的减少 【解析】小球与斜面之间的摩擦力对小球做功使小球的机械能减小，选项A 错误；在小球运动的过程中，重力、摩擦力对小球做功，绳的张力对小球不做功．小球动能的变化等于重力、摩擦力做功之和，故选项B 、D 错误，C 正确． [答案] C 2．质量为M 的物块以速度v 运动，与质量为m 的静止物块发生正碰，碰撞后两者的 动量正好相等．两者质量之比M m 可能为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】由题意知，碰后两球动量相等，即p 1＝p 2＝12 M v 故v 1＝v 2，v 2＝M v 2m 由两物块的位置关系知：M v 2m ≥v 2 ，得M ≥m 又由能量的转化和守恒定律有： 12M v 2≥12M (v 2)2＋12m (M v 2m )2 解得：M ≤3m ，故选项A 、B 正确． [答案] AB 【点评】碰撞问题是高考对动量守恒定律考查的主流题型，这类问题一般都要考虑动量守恒、动能不增加、位置不超越这三方面． 3．图示为某探究活动小组设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为30°，质量为M 的 木箱与轨道间的动摩擦因数为36 ．木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m 的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程．下列选项正确的是 ( ) A ．m ＝M B ．m ＝2M C ．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度 D ．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性．一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度． 注 2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一 的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2． 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注１ 对每一个k ,有k n k ≥． 注２ 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥.反之，若k h n n ≤，则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n ． 注４ ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ,使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ,有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记最新数量关系-例题习题及答案解析
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