O
O O O x
2020~2021学年度第一学期第二次阶段考试
高一数学（创新班）
班级___________ 姓名___________ 学号___________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合{}21,2,3,4,5,021x A B x x ??
-==≤??+??
，则A B =( )
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}3,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
2．已知π1sin 63α??+= ?
?
?，则2πcos 3α?
?+ ??
?的值是( ) A ．
223 B ．1
3
C ．13-
D ．22
3
-
3．已知()()23,4,21,3a b a b +=-=，则a b ?=( )
A ．1
B ．3
C ．
3325
D ．
101
50
4． 已知()2
2,1
log ,1x x f x x x ?≤=?>?，若()()1f f a =，则实数a 的值是( )．
A ．0或2
B ．4
C ．1或4
D ．1
5．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．实践证明，声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+（,a b 为非零常数）给出，其中(
)2
/I W cm 为声音能量．当人低声说话，
声音能量为()13
2
10
/W cm -时，声音强度为30分贝；当人正常说话，声音能量为()
12
2
10/W cm -时，声音强度为40分贝．已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在( )时，人会暂时性失聪．
A ．(
)
12
1010
,10-- B ．()10810,10-- C ．()8610,10-- D ．()
6410,10--
6．函数()()
2
ln 23f x x
ax =-+的单调减区间是(],1-∞，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．以上答案均不对
7．以下命题：
①存在α，对任意的β，使得()sin sin sin αβαβ+=+； ②已知b 为非零向量，若//,//a b b c ，则//a c ；
③若0π,0παβ<<<<，则sin sin αβ<的充要条件是αβ<； ④对任意的,a b ，均有()
2
22
a b
a b ?=.
其中，真命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
8．如图，直角梯形ABCD 中，已知//,90AB CD BAD ∠=?，
2,1AD AB CD ===，动点P 在线段BC （不含端点）上运动，
且(),R AP mAB nAD m n =+∈，则12
m n
+的最小值是（ ）
A ．3
B ．322+
C ．4
D ．422+
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分. 9．下列向量中，与()2,1AB =-垂直的向量有( ) A ．()1,2a =
B ．()1,2b =-
C ．()0,0c =
D ．()3,6d =
10．函数()sin 3cos f x x x =-的对称轴可能是( )
A ．2π3x =
B ．5π6x =
C ．π6x =-
D ．π3
x =- 11．对于集合,A B ，定义集合{}=,A B x x A B x A B ∈?．下列结论一定正确的是( )
A ．A
B B A = B ．A A ?
= C ．()A
A B A = D ．()A
A B B =
12．已知(
)()2()lg 1,f x x kx k =+-∈．下列图象中，可能成为函数()f x 图象的有(
)
A B
C D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．若0.34log 0.5,log 0.5a b ==，则a b + ▲ 0．（选填“>”、“=”、“<”）
14．求值：
sin 48sin 30cos18cos 48cos30cos18?-??
=?-??
▲ ．
15．已知向量,a b 的夹角为135?，且()2,2,R a b c a xb x ===+∈．当c 取得最小值时，
,c b 的夹角是 ▲ ．
16．若关于x 的不等式()2
2
2330x a x a a -+++<只有两个整数解1和2，则实数a 的值是
▲ ．
y
O y
x x
x
O y x O y
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)
已知函数π()cos 2sin 26f x x x ?
?=++ ??
?．
（1）当π0,3x ??
∈ ???
时，求函数()f x 的值域；
（2）若将函数()y f x =图象上所有点横坐标向右移动π
3
个单位（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.
18．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()1,5,7,1,1,2A B C ． （1）若四边形ABCD 为平行四边形，求AC 与DB 夹角的余弦值；
（2）若,M N 分别是线段,AC BC 的中点，点P 在线段MN 上运动，求PA PB ?的最大值．
19．(本小题满分12分)
已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()25x
f x x =+-．
（1）求()f x 的表达式；
（2）判定函数()f x 的零点个数（写出判定依据）．
20．(本小题满分12分)
已知()()13sin 2,cos 33αβαβ+=+=-，其中π3ππ,,0,244αβ????∈∈? ??????
. （1）求α的值； （2）求()tan 2αβ+的值．
21．(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，点B AOB θ∠=（0θπ<<）
． （1）若点(3,5)B -，求tan()3π
θ-的值；
（2）若OA OB OC +=，25OB OC ?=，求cos()3
π
θ-．
22．(本小题满分12分)
设函数()1
()log 3,()log ,(0a a
f x x a
g x a x a
=-=>-且1)a ≠． （1）若110a =
，当2131
[,]1010
x ∈时，求证：()()1f x g x -<； （2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，求实数a 的取值范围.
x
O y B
A
C
（第21题图）
2020~2021学年度第一学期第二次阶段检测
高一数学（创新班）参考答案
1-5．BCBCD 6-8．ABC 9．AD 10．BC 11．AB 12．ABD 13．>
14．315．90? 16．0 17．解：（1）π3113()cos 2sin 2cos 22cos 23sin 22622f x x x x x x x x ??
?=++=++=? ?????
， π323x ?
?=+ ??
?．……………………………………2分
因为π0,3x ??
∈ ???，所以(]πππ2,π,sin 20,1333x x ????+∈+∈ ? ????
?． ……4分
所以函数()f x 的值域(
3． ………………………………………5分
（2）将函数π()323f x x ?
?=+ ???
图象上所有点横坐标向右移动π3个单位（纵坐标不变），得到
函数π()323g x x ?
?=- ??
?的图象， ……………………………………6分
所以πππ
+2π2+2π,232k x k k Z -≤-≤∈，
解得π5π+π+π,1212
k x k k Z -≤≤∈， ……………………………………8分
函数()g x 的单调增区间为π5π+π,+π,1212k k k Z ??
-∈????
．………………10分 （不写全变换过程扣1分，其他方法酌情给分） 18．解：因为()()1,5,7,1A B ，所以()6,4AB =-．
因为四边形ABCD 为平行四边形，所以()6,4AB DC ==-． ………………………2分 因为()1,2C ，所以()5,6D -，
所以()()0,3,12,5AC DB =-=-， ………………………………………………………4分 所以()
()
2
2
2201235155cos ,3913
03125AC BD AC BD AC BD
?+-?-?<>=
=
==+-+-． 所以AC 与DB 夹角的余弦值为
5
13
．………………………………………………………6分 （2）因为,M N 分别是线段,AC BC 的中点，且()()()1,5,7,1,1,2A B C ，
所以731,,4,22M N ???? ? ?????
，所以()=3,2MN -．
因为点P 在线段MN 上运动，令[],0,1MP MN λλ=∈，则()=3,2MP λλ-，
所以713,
22P λλ?
?
+- ???
．……………………………………………………………………8分 因为()()1,5,7,1A B ，所以353,
2,63,222PA PB λλλλ????
=-+=--+ ? ?????
． 所以()()2
3515363++2+21320224PA PB λλλλλλ?????=---=-- ???
????
， ………10分 令()[]2
15=1320,0,14
f λλλλ-+∈，则
当100,13λ??∈????时，()f λ单调递减；当10113λ??
∈????
,
时，()f λ单调递增； 所以当0λ=时，()f λ取得最大值154-，即PA PB ?的最大值为154
-. …………12分 （不写单调性扣1分，其他方法酌情给分）
19．解：（1）①当0x =时，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以(0)(0)0f f =-=． …………………………………………………………………2分 ②当0x <时，0x ->，()2
5x
f x x --=--，
因为()f x 为奇函数，所以()()2
5x f x f x x -
=--=-++． …………………………4分
所以25,0
()0,025,0x x x x f x x x x -?+->?
==?
?-++
． ……………………………………………………5分 （说明：遗漏0x =扣3分） （2）函数()f x 有3个零点.
①当0x =时，(0)0f =，所以0是()f x 的一个零点． ……………………………7分 ②当0x >时，(1)20,(2)10f f =-<=>，根据零点存在定理，
连续函数()f x 在()1,2上有零点． ……………………………………………………9分 设12,x x 为(0,)+∞上任意两个实数，且12x x <，则121222,0x
x
x x <-<，
()()()()1212121212()()2525220x x x x f x f x x x x x -=+--+-=-+-<，
所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点. …………10分 同理可证，()f x 在(,0)-∞上只有一个零点. ………………………………………11分 所以，()f x 在R 上有3个零点. ……………………………………………………12分
20．解：（1）因为π3ππ,
,0,244αβ????∈∈? ??????，所以π,π2αβ??
+∈ ???．
因为()3
cos 3
αβ+=-，
所以()
sin 3αβ+===，……………………2分 所以()()
(
)sin 22sin cos 23
αβαβαβ?+=++==- ??， (
)()2
2
1
cos 22cos 12133αβαβ?+=+-=?--=- ??
． ……………………4分
因为π3ππ,,0,244αβ????∈∈? ??????，所以π5π2,24αβ??
+∈ ???
，
因为()1
sin 23
αβ+=，
所以()
cos 2αβ+===．……………6分
()()()()()()sin sin 22sin 2cos 2cos2sin 2ααβαβαβαβαβαβ=+-+=++-++????
11
13333
????=-?---?= ? ??????． 因为π3π,24α??
∈????，
所以π
2
α=． …………………………………………………………………………8分
（2）由（1）得()()
(
)sin tan cos 3
αβαβαβ++=
==+ …………………10分 所以()()(
)
1tan 2tan tan 2
αβααβαβ+=++=-==
????+．……12分 （其他方法酌情给分）
21．解：（
1）由(B
，根据三角函数定义，得tan θ==……2分
所以，tan tan
33tan()341tan tan 3π
θπθπθ---====-+. ……………4分 （2）由点B 在单位圆上，AOB θ∠=得()cos ,sin B θθ，则()cos ,sin OB θθ= 又(1,0)A ，即(1,0)OA =，所以cos OB OA θ?=………………………………6分
由OA OB OC +=，2
5
OB OC ?=
得 ()
2
2
1cos 15
OB OC OB OA OB OB OA OB OB OA θ?=?+=?+=?+=+=
， 所以，3cos 5
θ=-．………………………………………………………………8分
又0θπ<
<
，所以4sin 5θ===
= ．………10分
所以314cos()cos cos sin sin 333525πππθθθ-=+=-?+ ……12分
（说明：写公式、代数据缺一扣1分）
22．解：因为()1
()log 3,()log ,a a
f x x a
g x x a =-=- 所以22
()()log (3)()log (43)a a f x g x x a x a x ax a -=--=-+．
令2
2
()43h x x ax a =-+，则当01a <<时，()h x 的对称轴是22x a a =<+， 所以()h x 在[2,3]a a ++上单调递增，
所以min ()(2)44h x h a a =+=-，max ()(3)96h x h a a =+=-．…………2分
（1）若110a =
，则1842
()55h x ≤≤， 所以1
1110101018421log log ()log 055
h x -<≤≤<．……………………………4分 所以()()1f x g x -<．…………………………………………………………5分 （2）由题意，[2,3]x a a ?∈++，30x a ->恒成立，则
230a a +->，解得1a <，又01a a >≠且，所以 0<<1a ．……………8分
因为当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，
所以4log (44)15log (96)1a a
a a a a a ?
-≤?≤????-≥-?≤≥??，…………………10分
解得9012
a <≤.
所以实数
a 的取值范围是90,12? ??
．………………………………………12分