概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A
AB A A A A =?=??Ω
=Ω?)(
A
B A A A A A =???=??=Ω?)()(AB A B A B A -==-
反演律：
B
A B A =?
B
A A
B ?=
n i i
n
i i
A A
1
1
===
n
i i
n
i i
A A
1
1
===
2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤?
)()
1()()()()(211
111
1
n n n
n
k j i k j i
n
j i j i
n
i i
n
i i A A A P A A A
P A A
P A
P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=
∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()(A P AB P 乘法公式
())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑
==
n
i i AB P A P 1
)
()(
)
()(1
i n
i i B A P B P ?=
∑
=Bayes 公式
)
(A B P k )
()(A P AB P k =
∑==
n
i i i
k k B A
P B P B A P B P 1
)
()()
()(
4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k
k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n
k p p
C k X P k
n k
k n
,,1,0,
)
1()( =-==-
*Possion 定理 0lim >=∞
→λn n np
有
,2,1,0!
)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n n λ
λ
(3) Poisson 分布
)
(λP
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λ
λ
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布
),(b a U ??
?
??<<-=其他
,0,1
)(b x a a
b x f ???
??
??--=1,
,0)(a b a
x x F
(2) 指数分布 )(λE
????
?>=-其他
,
00,
)(x e x f x
λλ
???≥-<=-0
,
10,
0)(x e x x F x
λ
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞
<<∞-=
--
x e x f x 22
2)(21)(σ
μσ
π
?
∞
---
=
x t t e
x F d 21)(2
2
2)(σ
μσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞
<<∞-=
-
x e
x x
2
2
21)(π
?
+∞
<<∞-=
Φ?
∞
--
x t e
x x
t
d 21)(2
2
π
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ??∞
-∞
-=x y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
??∞
-+∞∞
-=
x X dvdu v u f x F ),()( ?+∞
∞
-=dv v x f x f X
),()(
??∞
-+∞
∞
-=y
Y
dudv v u f y F ),()( ?+∞
∞
-=du y u f y f Y
),()(
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U
( G )
?????∈=其他
,
0),(,
1),(G y x A
y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-?-=
???
?????-+------
y x e
y x f y y x x ,121
),(2
22221212121
2
)())((2)()1(212
2
1
σμσσμμρσμρ
ρ
σ
πσ
9. 二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X
Y
X
0)()()(>=y f y x f y f Y
Y
X Y
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-=
=
dy
y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-=
=dx
x f x y f dx y x f y f X X
Y
Y )()(),()(
)(y x f Y X )
(),(y f y x f Y =
)
()()(y f x f x y f Y X X
Y =
)(x y f X
Y
)
(),(x f y x f X =
)
()
()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞
==1
)(k k
k
p x
X E
?
+∞
∞
-=
dx
x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(k
X E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|k
X E
X 的 k 阶中心矩 )))(((k
X E X E - X 的 方差 )()))(((2
X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(l
k
Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l
k
Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=???
?
??--)()())())(((
X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(2
2
X E X E X D -=
协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=
()
)()()(2
1Y D X D Y X D --±±
=
相关系数
)
()
(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ
实用汇总报告 学习概率论心得思想到 在大二刚开学我接触到了概率论与数理统计这门课程，虽然在高中时已经接触到了许多跟概率相关的东西，比如随机事件、古典概型以及一系列的计算方法但是在接触到更加高深的层次后还是有许多不一样的感受。 在课程开始之初老师就告诉我们这门课不是很难，关键还在于上课认真听讲。通过老师的简单介绍，我了解到概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。对于作为信息管理与信息系统专业的我，其日后的帮助也是很大的，尤其是对于日后电脑方面的操作有着至关重要的辅助作用。 在这门课程中我们首先研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点。而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是一联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。 在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得思想到。整个学期下来这门课程给我最深刻的思想到就是这门课程很抽象，很难以理解，但是这门课程给我带来了一种新的思维方式。前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从第五章的大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的一种全新的思维方式。统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是一我思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。 在整个学期学习过程中，老师生动的讲解让我一直对这门课程保持着浓厚的兴趣，课上总是会讲解一些实际中的问题，比如抽奖先后中奖概率都一样，扔硬币为什么正反面的概率都是二分之一……一些问题还会让我们更理性的对待实际中的一些问题，比如赌博赢的概率很小，彩票中奖概率也是微乎其微，所以不能迷恋那些，不能期望用投机取巧来赚取钱财。总之，概率论与数理统计给予我的帮助是很大的。不仅拓展了我的数学思维，而且还帮助我把课堂上的知识与生活中的例子联系了起来。当然，这些与老师的辛勤劳动是分不开的，在此，十分感谢马金凤老师对我们一学期以来的谆谆教诲。 1 / 1
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ： “每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-?n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444 443==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 36424)(1== ∴A P A 2所含样本点数： 363423=??C 16 9 6436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3 =?C 16 1644)(3== ∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0
P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n ) 推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1 推论3： P （A ）=1－P （A ） 推论4：若B ?A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）： 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律： n n A A A A A A ???=???......2121 n n A A A A A A ???=??? (2121) §1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：P(A/B)= )()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= ) () (A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ） 有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： ∑==n i i i A B P A P B P 1 )/()()( 逆概率公式： ) () ()/(B P B A P B A P i i = ),...,2,1(n i = （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。） §1.5 独立试验概型 事件的独立性： )()()(B P A P AB P B A =?相互独立与 贝努里公式（n 重贝努里试验概率计算公式）：课本P24 另两个解题中常用的结论—— 1、定理：有四对事件：A 与B 、A 与B 、A 与B 、A 与B ，如果其中有一对相互 独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：)...(1)...(2121 n n A A A P A A A P ???-=??? 第二章 随机变量及其分布
第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
精品文档 统计和概率高考题型总结 题型一、频率分布直方图 1.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计， 随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： （Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 题型二、古典概型 2.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： （I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； (Ⅱ)在（I ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率． 题型三、回归方程 3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5
精品文档 （I ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，求事件“，均小于25”的概率； （II ）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+； （III ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方 程是可靠的，试问（II ）所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：回归直线方程式???y bx a =+，其中1 2 2 1 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑） 题型四、独立性检验 4. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表： （1（2(参考公式：2 () ()()()() n a d b c K a bc d a cb d -=+ +++，其中na b cd =+++ ) 题型五、茎叶图 5.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量它们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图所示。 甲班 乙班 2 18 1 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 （1） 根据茎叶图判断哪两个班的平均身高较高； （2） 计算甲班的样本方差； （3） 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 题型六、分层抽样 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值；
概率与统计大题总结 一、 知识点汇编： 1.线性回归分析 （1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． （2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： 回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R 2，选择R 2大的模型作为这组数据的模型． 说明：r 只能用于线性模型，R 2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，2 2 =R r . 3、独立性检验 （1）对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这类变量称为分类变量． （2）假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}11x ,y 和{}12y ,y 其样本频数列联表
称为 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d （3）构造随机变量()()()()()() 2 2 +++-= ++++a b c d ad bc K ,a b c d a c b d 利用K 2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为 如：如果k ＞7.879，就有99.5％的把握认为“X 与Y 有关系”. 4、概率 事件的关系： ⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +） ； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或 AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥；
第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。
统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t
1、 A B AB A AB;A B A (B A) 例： 证明： A B) B A AB AB A B. 第一部分 概率论基本公 式 概率论与数理统计基本公式 证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。得证。 2、对偶率： A B A B ；A B A B. 3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2) P(A B) P(A ) P(B);P(A) P(B) (3) 对任意两个事件有： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B); P(A 解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3. 4、古典概 P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB ) 例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！ 2！ ,自成一双为： n! C 22 n 解：分堆法： C 22n n ！，则 P(A) 5、条件概率 P(B| A) P(AB) ,称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概 率， P(A) P(B)称为无条件概率。 乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i 贝叶斯公式： P(A i |B) P(A i B) P(A i )P(B|A i ) i P(B) P(A j )P(B |A j ) j 例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??
分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()(Y （n 可 以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞）
统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.
概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) －P(AB 条件概率 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ)， P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容，则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组，则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ，则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率，称为条件概率，记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ，P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 ， A2 ，?， An 互不相容，且 A1+A2+?+An=Ω，则称 A1 ，A2 ，?， An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率统计常见题型及方法 总结 Prepared on 22 November 2020
常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i A 的概率问题 全概率公式： ()()() 1B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分 则 b a a B P +=)(1， 2分
)()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++ ++++= b a a b a b b a a b a a b a a += 2分 依次类推 2分 b a a A P i += )( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少 、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12 r r r n P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ?+===++?+?++ 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为，而一件次品被误判为正品的概率为。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得 ()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+= （2）这批产品被检验为合格品的概率为 ()3 3 0.91240.7596p P A ===???? 四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为和，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率和接收到‘0’和‘1’，以的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率和收到‘1’和‘0’，以概率收到模糊信号‘x ’。