光学习题和解答
习题十六
16.1 从一狭缝透出的单色光经过两个平行狭缝而照射到120cm 远的幕上，若此两狭缝相距为0.20mm ，幕上所产生干涉条纹中两相邻亮线间距离为3.60mm ，则此单色光的波长以mm 为单位，其数值为
(A) 4
1050.5-?; (B) 4
1000.6-?; (C) 4
1020.6-?; (D) 4
1085.4-?。 答案：(B)
16.2 用波长为650nm 之红色光作杨氏双缝干涉实验，已知狭缝相距4
10-m ，从屏幕上量得相邻亮条纹间距为1cm ，如狭缝到屏幕间距以m 为单位，则其大小为
(A) 2; (B) 1.5; (C) 3.2; (D) 1.8。
答案：(B)
16.3 波长λ为4
106-?mm 单色光垂直地照到尖角α很小、折射率n 为1.5的玻璃尖劈上。在长度l 为1cm 内可观察到10条干涉条纹，则玻璃尖劈的尖角α为
(A) 24''; (B) 4.42''; (C) 3.40''; (D) 2.41''。
答案：(D)
16.4 在一个折射率为1.50的厚玻璃板上，覆盖着一层折射率为1.25的丙酮薄膜。当波长可变的平面光波垂直入射到薄膜上时，发现波长为6000nm 的光产生相消干涉。而700nm 波长的光产生相长干涉，若此丙酮薄膜厚度是用nm 为计量单位，则为
(A) 840; (B) 900; (C) 800; (D) 720。
答案：(A)
16.5 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间充以液体时，则第十个亮环的直径由1.40cm 变为1.27cm ，故这种液体的折射率为
(A) 1.32; (B) 1.10; (C) 1.21; (D) 1.43。
参考答案：(C)
16.6 借助于玻璃表面上所涂的折射率为n=1.38的2MgF 透明薄膜，可以减少折射率为
60.1='n 的玻璃表面的反射，若波长为50000
A 的单色光垂直入射时，为了实现最小的反射，
问此透明薄膜的厚度至少为多少0
A ？
(A) 50; (B) 300; (C) 906; (D)2500; (E) 10500。
答案：(C)
16.7 在双缝干涉实验装置中，用一块透明簿膜(2.1=n )覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第四级明条纹移到原来的原零级明纹的位置。如果入射光的波长为500nm ，试求透明簿膜的厚度。
解：加上透明簿膜后的光程差为：
0)1(21>-=-+-=l n r nl l r δ
因为第四级明条纹是原零级明纹的位置： λδ4= ， 21r r = 得到： λ4)1(=-l n ? m n l 5101
4-=-=λ
16.8 在白光的照射下，我们通常可以看到呈彩色花纹的肥皂膜和肥皂泡，并且当发现黑色斑纹出现时，就预示着泡膜即将破裂，试解释这一现象。
16.9 在单色光照射下观测牛顿环的装置中，如果在垂直于平板的方向上移动平凸透镜，那么，当透镜离开或接近平板时，牛顿环将发生什么变化？为什么？
16.10 白光垂直照射到空气中一厚度为380nm 的肥皂膜上。设肥皂膜水的折射率为1.33。试问该膜呈现什么颜色？
解：从肥皂膜表面反射的两光线的光程差为： 2
2λ
δ+=ne
当λδk =时，反射光加强，有亮纹出现： λλ
k ne =+2
2 ? 1
24-=
k ne
λ 由于白光波长范围在：nm 400 ～ nm 760 即：nm k ne
nm 7601
24400≤-≤
? 1.38.1≤≤k 得到： 21=k ，nm k ne
6741
2411=-=
λ （红）
32=k ，nm k ne
4041
2422=-=
λ （紫）
因此肥皂膜上呈现紫红色。
16.11 白光垂直照射到空气中一厚度为500nm 折射率为1.50的油膜上。试问该油膜呈现什么颜色？
解：从油膜表面反射的两光线的光程差为： 2
2λ
δ+=ne
当λδk =时，反射光加强，有亮纹出现： λλ
k ne =+2
2 ? 1
24-=
k ne
λ 即：nm k ne
nm 7601
24400≤-≤
? 3.45.2≤≤k 得到： 31=k ，nm k ne
6001
2411=-=
λ （橙）
42=k ，nm k ne
4291
2422=-=
λ （紫）
因此油膜上呈现紫橙色。
16.12 在折射率为52.11=n 的棱镜表面涂一层折射率为30.12=n 增透膜。为使此增透膜适用于550nm 波长的光，增透膜的厚度应取何值？
解：若使透镜的投射光增强，则反射光应该通过干涉而相消，由于两次反射都有半波损失，则光程差为：
e n 22=δ
由干涉相消的条件： λδ2
1
2+=k 得到： λ21222+=
k e n ? )12(8.1054)12(2
+=+=k n k e λ
因此当薄膜厚度为nm 8.105的奇数倍时，反射光相消，透射光增强。
16.13 有一空气劈尖，用波长为589nm 的钠黄色光垂直照射，可测得相邻明条纹之间的距离为0.1cm ，试求劈尖的尖角。
解：空气劈尖两相邻明纹空气间距为： 2
λ
=
?e
相邻明纹间距与其空气间距存在关系： e l ?=θsin
因此： rad l
l e 3102945.02sin -?==?=≈λθθ
16.14 一玻璃劈的末端的厚度为0.005cm ，折射率为1.5。今用波长为700nm 的平行单色光，以入射角为0
30角的方向射到劈的上表面。试求：(1)在玻璃劈的上表面所形成的干涉条纹数目；(2)若以尺度完全相同的由两玻璃片形成的空气劈代替上述玻璃劈，则所产生的条纹的数目为多少？
解：（1）玻璃劈的光程差为： 2
sin 22
2
λ
δ+-=i n e ， 5.1=n
当λδk =时，厚度为e 处出现明条纹：
λλ
k i n e =+
-2
sin 222 ? i
n k e 2
2
s i n 4)12(--=
λ
相邻明纹之间的空气间距为： i
n e 2
2
sin 2-=
?λ
因此能够出现的干涉条纹数为： 202sin 222≈-=?=λ
i
n h e h N
（2）若为空气劈尖，光程差为：
2
sin 22212
2λ
δ+
-=i n n e ， 12=n ，5.11=n
当λδk =时，厚度为e 处出现明条纹：
λλ
k i n n e =+
-2
sin 22212
2 ? i
n n k e 2
21
2
2
s i n 4)12(--=
λ
相邻明纹之间的空气间距为： i
n n e 2
21
22
sin 2-=
?λ
因此能够出现的干涉条纹数为： 94sin 22
2122≈-=?=λ
i
n n h e h N
16.15 题图16.15为一干涉膨胀仪的示意图。AB 与B A ''二平面玻璃板之间放一热膨胀系数极小的熔石英环柱C C '，被测样品W 放置于该环柱内，样品的上表面与AB 板的下表面形成一空气劈，若以波长为λ的单色光垂直入射于此空气劈，就产生等厚干涉条纹。设在温度为C t 00时，测得样品的高度为0L ，温度升高到C t 0
时，测得的样品的高度为L ，并且在此过程中，数得通过视场的某一刻线的干涉条纹数目为N 。设环柱C C '的高度变化可以忽略不计。求证：被测样品材料的热膨胀系数β为：)
(200t t L N -=λ
β。
题图16.15
解：热膨胀系数β是指温度每升高C 0
1时材料长度的相对伸长量，即
)
(000
t t L L L --=
β
楔形空气层可视为一个空气劈尖，若C t 0
0时刻线正对准k 级亮纹，则满足：
λλ
k e k =+
2
2 ? λ)2
1
(21-=
k e k 温度升高，样品伸长，空气层厚度减少，视场中条纹移动。当C t 0
时刻线对准)(N k -级亮
纹，则满足：
λλ
)(22N k e N k -=+
- ? λ]21
)[(21--=-N k e N k 则有： λλλ2
]21)[(21)21(21N
N k k e e N k k =
----=-- 空气层厚度的减少量即样品长度的增加量： λ2
0N L L =- 得到： )
(200t t L N -=
λ
β
16.16 利用空气劈尖的等厚干涉条纹，可以测量精密加工后工件表面上极小纹路的深度。如题图16.16，在工件表面上放一平板玻璃，使其间形成空气劈尖，以单色光垂直照射玻璃表面，用显微镜观察干涉条纹。由于工件表面不平，观察到的条纹如图所示。试根据条纹弯曲的方向，说明工件表面上的纹路是凹的还是凸的？并证明纹路深度或高度可用下式表示：
2
λ
b a H =
，其中b a ,如题图16.16所示。
a b
题图16.16 解：（1）同一干涉条纹应对应于空气层的同一厚度，由于图中条纹向劈尖尖端弯曲处的空气层厚度与条纹直线段对应得空气层厚度相同，所以此处必出现凹纹。 （2）图中两明纹间隔为b ，则相邻明纹空气层厚度为：
2
sin λ
θ=
=?b e ? b
2s i n
λ
θ=
由于： H a =θsin 得到： 2
2sin λλθ?===b a b a a H
16.17用波长不同的光nm 6001=λ和nm 4502=λ观察牛顿环，观察到用1λ时的第k 个暗环与用2λ时的第1+k 个暗环重合，已知透镜的曲率半径为cm 190。求1λ时第k 个暗环的半径。
解：牛顿环暗环半径为： R k r k λ= 由题意有： R k r k 1λ=
， R k r k 21)1(λ+=+
因为两暗环重合： 1+=k k r r ?
R k R k 21)1(λλ+= ? 32
12=-=
λλλk
波长1λ时第k 个暗环半径为： cm R k r k 18.01==λ
16.18 如在观察牛顿环时发现波长为nm 500的第5个明环与波长为2λ的第6个明环重合，求波长2λ。
解：牛顿环明环半径为： 2
)12(R
k r k λ-=
由题意有： 292)152(115R R r λλ=-?=
， 2
112)162(226R
R r λλ=
-?= 因为两明环重合： 65r r = ? 2
112921R
R λλ=
得到： nm 40911
9
12==λλ
16.19在题图16.19所示的牛顿环实验装置中，平面玻璃板是由两部分组成的(火石玻璃
75.1=n 和冕牌玻璃50.1=n )，透镜是用冕牌玻璃制成，而透镜与玻璃板之间的空间充满着二硫化碳(62.1=n )。试问由此而形成的牛顿环花样如何？为什么？
1.62 1.50 1.62 1.75 1.50
题图16.19
解：根据题意先沿两种玻璃结合处将整个装置分为左、右两半，当光入射在右半部分时，由于321n n n ><，在2CS 上表面有半波损失，反射光中明环和暗环半径分别为：
2
2)12(n R
k r λ-=
， ,3,2,1=k （明环）
2
n R
k r λ=
， ,3,2,1,0=k （暗环） 当光入射在左半部分时，321n n n <<，在2CS 上、下表面都有半波损失，故光程差中无半波损失。反射光中明环和暗环半径分别为：
2
n R
k r λ=
， ,3,2,1,0=k （明环）
2
2)12(n R
k r λ-=
， ,3,2,1=k （暗环）
因此左右两半牛顿环明暗花纹相反。
16.20 在题图16.20中，设平凸透镜的凸面是一标准样板，其曲率半径cm R 3.1021=，而另一个凹面是一凹面镜的待测面，半径为2R 。如在牛顿环实验中，入射的单色光的波长
nm 3.589=λ，测得第四条暗环的半径cm r 25.24=，试求2R 。
题图16.20
解：设在某处空气层厚度为e ，则21e e e -=，其中1e 为上方透镜的下表面与公切线间的距离，2e 为下方透镜的上表面与公切线间的距离，由三角形中的几何关系：
21
112
1121
2
2)(e e R e R R r +=--= 当11e R >> ? 112
2e R r = ? 1
2
12R r e = 22
222
2222
2
2)(e e R e R R r +=--= 当22e R >> ? 222
2e R r = ? 2
2
22R r e = 得到： ????
??-=-=-=21
222122111222R R r R r R r e e e （1） 由暗纹光程差条件： 2
)
12(2
2λ
λ
+=+
k e ? λk e =2
将（1）式代入上式： λk R R r =???? ??-212
11 ? 1
22
12R k r r R R λ-=
将4,4r r k ==代入： cm R r r R R 8.10241
242
412=-=λ
16.21 如题图16.21所示的实验装置中，平面玻璃片MN 上放有一油滴，当油滴展开成圆形油膜时，在波长nm 600=λ的单色光垂直入射下，从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹，已知玻璃的折射率50.11=n ，油膜的折射率20.12=n ，问：
（1）、当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距nm h 1200=时，看到的条纹情况如何？可看到几条明条纹？明条纹所在处的油膜厚度为多少？中心点的明暗程度如何？
（2）、当油膜继续摊展时，所看到的条纹情况将如何变化？中心点的情况如何变化？
题图16.21
解：（1）由于321n n n <<，入射光在上下两表面反射时都存在半波损失，故光程差中无半波损失，明暗条纹光程差满足：
λδk e n ==22 ,2,1,0=k （明纹）
λδ2
1
222+=
=k e n ,2,1,0=k （暗纹） 在油膜边缘处0=e ，出现第0级明纹。 每相邻两条明纹间空气层厚度为： 2
2n e λ
=
?
而油膜的最大厚度为h ，则可以出现明纹的最大级数为：
4]8.4[22===?=
λ
hn e h N 因此可以看到五条明纹，各级明纹所对应的油膜厚度满足： k n k e 25022
==
λ
nm 分别为： 00=e ，nm e 2501=，nm e 5002=，nm e 7503=，nm e 10004=
油膜最大厚度 nm e h 12505=<，而第四级暗纹对应的油膜厚度为nm 1125。所以中心处既不是明纹，也不是暗纹，明暗程度介于两者之间。
（2）油膜摊开时，h 减小，N 减少，即明纹条数减少，条纹间隔增大，中心点光变暗，在nm h 1125=时最暗，以后逐渐变亮，在nm h 1000=
时最亮，以后又逐渐变暗。依此类推，
N
直到油膜停止摊开。
16.22 迈克耳孙干涉仪可用来测量单色光的波长，当2M 移动距离mm d 3220.0=?时，测得某单色光的干涉条纹移过1024=?n 条，试求该单色光的波长。
解：迈克耳孙干涉仪明条纹移动条数n ?与平面镜2M 平移距离d ?存在关系：
2
λ
?
?=?n d ? nm n
d
9.6282=??=
λ
16.23 论文题：杨氏双孔干涉与杨氏双缝干涉 参考文献：
[1] 喻力华，赵维义，杨氏双孔干涉的光强分布计算，大学物理，2001年第20卷第4期 [2] 赵凯华，钟锡华，光学[上册]。北京大学出版社，1984，169-176。
习题十七
17.1 简要回答下列问题
(1) 波的衍射现象的本质是什么？在日常经验中为什么声波的衍射比光波的衍射显著？杨氏双缝实验是干涉实验，还是衍射实验？
(2) 一人在他眼睛瞳孔的前方握着一个竖直方向的单狭缝。通过该狭缝注视一遥远的光源，光源的形状是一根很长的竖直热灯丝，这人所看到的衍射图样是菲涅耳衍射还是夫琅和费衍射？
(3) 在单缝夫琅和费衍射中，增大波长与增大缝宽对衍射图样分别产生什么影响？
(4) 在图题17.1所示的单缝衍射中，缝宽a 处的波阵面恰好分成四个半波带，光线1与3是同周相的，光线2与4也是同周相的，为什么在P 点的光强不是极大而是极小？
图题17.1
(5) 在单缝衍射中，为什么衍射角φ愈大(级数愈大)的那些明条纹的亮度愈小？
(6)
当把单缝衍射装置全部放在水中时，单缝衍射的图样将发生怎样的变化？在此情况下，
P
如果利用公式....)3,2,1(,)12(sin 21=+±=k k a λφ来测定光的波长，问所测出的波长是光在空气中的波长，还是在水中的波长？
17.2 波长为589nm 的光垂直照射到1.0mm 宽的缝上，观察屏在离缝3.0m 远处，在中央衍射极大任一侧的头两个衍射极小间的距离，如以mm 为单位，则为
(A) 0.9; (B) 1.8; (C) 3.6; (D) 0.45。
答案：(B)
17.3 一宇航员声称，他恰好能分辨在他下面R 为160km 地面上两个发射波长λ为550nm 的点光源。假定宇航员的瞳孔直径d 为5.0mm ，如此两点光源的间距以m 为单位，则为
(A) 21.5; (B) 10.5; (C) 31.0; (D) 42.0。
答案：(A)
17.4 一衍射光栅宽3.00cm,用波长600nm 的光照射，第二级主极大出现在衍射角为0
30处，则光栅上总刻线数为
(A) 4
1025.1?； (B) 4
1050.2?; (C) 3
1025.6?; (D) 3
1048.9?。 答案：(A)
17.5 在光栅的夫琅和费衍射中，当光栅在光栅所在平面内沿刻线的垂直方向上作微小移动时，则衍射花样
(A) 作与光栅移动方向相同的方向移动； (B) 作与光栅移动方向相反的方向移动； (C) 中心不变，衍射花样变化； (D) 没有变化； (E) 其强度发生变化。 答案：(D)
17.6 波长为520nm 的单色光垂直投射到2000线/厘米的平面光栅上，试求第一级衍射最大所对应的衍射角近似为多少度？
(A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12; (E) 15。 答案：(B)
17.7 X 射线投射到间距为d 的平行点阵平面的晶体中，试问发生布喇格晶体衍射的最大波长为多少？
(A) d/4; (B) d/2; (C) d; (D) 2d; (E) 4d 。
答案：(D)
17.8 波长为500nm 的平行光线垂直地入射于一宽为1mm 的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm 的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图形的中心点到下列点的距离如何？（1）第一极小；（2）第一级明条纹的极大处；（3）第三极小。 解：单缝衍射明暗条纹满足关系：
λφk a =sin ， ,2,1±±=k （暗纹） λφ2
1
2sin +'=
k a ， ,2,1±±='k （明纹） 由于 f
y
=
≈φφtan sin ，得到： λk f
ay
= ?a f k y λ=， ,2,1±±=k （暗纹） λ2
1
2+'=k f ay ? a f k y 2)12(λ+'= ， ,2,1±±='k （明纹）
（1）第一极小：1=k mm a
f y 5.0==
λ
（2）第一明条纹的极大处：1='k
mm a
f y 75.02)
112(=+?=λ
（3）第三极小：3=k
mm a
f y 5.13==λ
17.9有一单缝，宽mm a 1.0=，在缝后放一焦距为50cm 的会聚透镜用平行绿光（nm 546=λ）垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。如把装置侵入水中，中央明条纹的半角宽度如何变化？ 解：（1）λφ=sin a 且 θtan f y =
mm a
f f f y y 46.52sin 2tan 22==
≈==?λ
θθ （2）在空气中，中央明纹半角宽度：rad a
31046.5-?==λ
φ 在水中，中央明纹半角宽度：rad na
a
31011.4-?==
'
='λ
λφ
17.10在单缝夫琅和费衍射中，若某一光波的第三级明条纹(极大点)和红光(nm 600=λ)的第二级明条纹相重合，求此光波的波长。
解：单缝夫琅和费衍射明纹满足： λφ2
1
2s i n
+=k a 由题意： λφ2122sin 2+?=
a ， λφ'+?=2
1
32sin 3a 因为两明纹重合：32sin sin φφ= ? 2
725λλ'=
得到：nm 6.4287
5
==
'λλ
17.11 利用一个每厘米有4000条的光栅，可以产生多少级完整的可见光谱(可见光波长400nm —700nm)？
解：光栅常数： m b a 62
105.24000
10--?==
+ 由光栅方程：λφk b a =+sin )( ? λ
b
a k +<
由于：nm nm 700400<<λ ? 57.3max
=+<
λb
a k
得到：3=k
因此可以产生三级完整的可见光谱。
17.12 一光栅，宽为cm 0.2，共有6000条缝。如果用钠光[nm 3.589]垂直入射，在那些方位角上出现光强极大？
解：光栅常数： m b a 62
1033.36000
102--?=?=
+ 光强极大处满足： λφk b a =+sin )( ? b
a k +=
λ
φsin （1）0=k 时，0
0=φ
（2）1±=k 时，1769.0sin 1±=+±=b a λ
φ ，111001'±=φ （3）2±=k 时，3538.02sin 2±=+±=b a λ
φ ，342002'±=φ
（4）3±=k 时，5307.03sin 3±=+±=b a λ
φ ， 33203'±=φ
（5）4±=k 时，7076.04sin 4±=+±=b a λ
φ ， 0445±=φ
（6）5±=k 时，8845.05sin 5±=+±=b a λ
φ ， 116205'±=φ
（7）6±=k
时，10614.16sin 6>±=+±=b
a λ
φ
因此在00、11100'±、34200'±、3320'±、045±、11620
'±处会出现光强极大。
17.13 某单色光垂直入射到每一厘米有6000条刻线的光栅上。如果第一级谱线的方位角是
020，试问入射光的波长是多少？它的第二级谱线的方位角是多少？
解：（1）光栅常数： m b a 62
10667.16000
10--?==
+ 由光栅方程：λφk b a =+sin )( 当1=k 时，nm b a 570sin )(1=+=φλ
（2）同理2=k 时，λφ2sin )(2=+b a ? b
a +=λ
φ2sin 2 得到：9432arcsin
02'=+=b
a λ
φ
17.14 试指出当衍射光栅常数为下述三种情况时，那些级数的衍射条纹消失？ （1）光栅常数为狭缝宽度的两倍，即a b a 2=+。 （2）光栅常数为狭缝宽度的三倍，即a b a 3=+。 （3）光栅常数为狭缝宽度的四倍，即a b a 4=+。
解：由光栅方程：λφk b a =+sin )(及缺级公式：λφk a '=sin 可知， 当k a
b
a k '+=
时，第k 级明纹消失。 （1）a b a 2=+，k k '=2，即 6,4,2,0±±±缺级。 （2）a b a 3=+，k k '=3，即 9,6,3,0±±±缺级。 （3）a b a 4=+，k k '=4，即 16,8,4,0±±±缺级。
17.15 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距cm 120，试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏灯？设夜间人眼瞳孔直径为mm 0.5，入射光波长为nm 550(这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应)。 解：由分辨率公式：D
λ
δφ22.1=
人眼可分辨的角度范围是：rad 3
3
9101342.010
51055022.1---?=???=δφ 由关系s l =δφtan ， 得到：km l l s 94.8101342.02
.1tan 3
=?=≈=
-δφδφ
17.16已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为6
1084.4-?弧度，它们都发出波长为
cm 5105.5-?=λ的光。试问：望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？
解：由分辨率公式：D
λ
δφ22.1=
得到：cm D 86.131084.4105.522.122.16
5=???==
--δφ
λ
17.17 题图17.17中所示的入射X 射线束不是单色的，而是含有从nm 095.0到nm 13.0这一范围的各种波长。设晶体的晶格常数nm a 275.00=，试问对图示的晶面能否产生强反射？
解：x 射线的衍射条件为： λφk d =sin 2 得到： λ
λ
φ
nm
d k 389.0sin 2=
=
由于：nm nm 13.0095.0≤≤λ 得到：1.4389
.099.2≤≤
λ
? 1.499.2≤≤k
因此：31=k ，nm k 13.0389
.011==
λ 42=k ，nm k 097.0389
.02
2==
λ 所以晶面对波长为nm 097.0和nm 13.0的x 射线能产生强反射。
17.18 用方解石分析X 射线的谱，已知方解石的晶格常数为m 10
10
029.3-?，今在02430
'和
24400'的掠射方向上观察到两条主最大谱线，试求这两条谱线的波长。
解：布喇格公式：λφk d =sin 2 由于两条谱线都是主最大：1=k 即：11sin 2λφ=d ，22sin 2λφ=d 得到：nm d 415.0sin 211==φλ nm d 395.0sin 222==φλ
17.19 论文题：圆孔衍射光强分布的近似计算方法
题图18.17
参考文献：
[1] 喻力华，赵维义，圆孔衍射光强分布的数值计算，大学物理，2001年第20卷第1期 [2] 乔生炳，用月牙形波带求圆孔夫琅禾费一级衍射的角半径，大学物理，2002年第21
卷第2期
[3] 赵凯华，钟锡华，光学[上册]。北京大学出版社，1984，186-206，225-227。
习题十八
18.1 简要回答下列问题：
（1）自然光与线偏振光、部分偏振光有何区别？
（2）用那些方法可以获得线偏振光？用那些方法可以检验线偏振光？ （3）何为光轴、主截面和主平面？用方解石晶体解释之。
（4）何为寻常光线和非常光线？它们的振动方向与各自的主平面有何关系？以方解石晶体
为例，指出在怎样情形下寻常光的主平面和非常光的主平面都在主截面内？
（5）有人认为只有自然光通过双折射晶体，才能获得o 光和e 光。你的看法如何？为什么？ （6）太阳光射在水面上，如何测定从水面上反射的光线的偏振程度？它的偏振程度与什么
有关，在什么情况下偏振程度最大？ （7）怎样测定不透明媒质的折射率？
18.2 一束非偏振光入射到一个由四个偏振片所构成的偏振片组上，每个偏振片的透射方向相对于前面一个偏振片沿顺时针方向转过了一个0
30角，则透过这组偏振片的光强与入射光强之比为
(A) 0.41 : 1; (B) 0.32 : 1; (C)0.21 : 1; (D) 0.14 : 1
答案：(C)
18.3 在真空中行进的单色自然光以布儒斯特角057=B i 入射到平玻璃板上。下列哪一种叙述是不正确的？
(A) 入射角的正切等于玻璃的折射率； (B) 反射线和折射线的夹角为2/π； (C) 折射光为部分偏振光； (D) 反射光为平面偏振光；
(E) 反射光的电矢量的振动面平行于入射面。 答案：(E)
18.4 设自然光以入射角0
57投射于平板玻璃面后，反射光为平面偏振光，试问该平面偏振光的振动面和平板玻璃面的夹角等于多少度？
(A) 0; (B) 33; (C) 57; (D) 69; (E) 90。
参考答案：(B)
18.5水的折射率为33.1，玻璃的折射率为50.1。当光由水中射向玻璃而反射时，布儒斯特角是多少？当光由玻璃射向水面而反射时，布儒斯特角又是多少？ 解：（1）当光从水射向玻璃时：
1278.133
.15
.1tan 12===
n n θ ? 624844.4800'==θ （2）当光从玻璃射向水面时：
887.05
.133.1tan 21===
n n θ ? 434156.4100'==θ
18.6今测得釉质的起偏振角0058=i ，试求它的折射率为多少？ 解：釉质的折射率为：6.158tan tan 00===i n
18.7平行放置两偏振片，使它们的偏振化方向成0
60的夹角。
(1) 如果两偏振片对光振动平行于其偏振化方向的光线均无吸收，则让自然光垂直入射
后，其透射光的强度与入射光的强度之比是多少？
(2) 如果两偏振片对光振动平行于其偏振化方向的光线分别吸收了10%的能量，则透射光强与入射光强之比是多少？
(3) 今在这两偏振片再平行的插入另一偏振片，使它的偏振化方向与前两个偏振片均成
030 角，则透射光强与入射光强之比又是多少？先按无吸收的情况计算，再按有吸
收的情况计算。
解：（1）设入射光强为0I ，自然光通过第一偏振片后，强度2
1I I =，由马吕斯定律，通过第二偏振片后强度为： 8
60cos 260cos 00200
2
12I I I I ==
= 得到：
125.08
1
02==I I （2）当有10%的能量吸收时：%)101(2
1-=
I I 020
021210125.0%)101(8
%)101(60cos I I I I =-=
-?= 得到：
10125.00
2
=I I （3）ⅰ无吸收时：2
1I I =
002002128330cos 230cos I I I I ==
= 0020022332
930cos 8330cos I I I I ==
= 28125.032
9
03==I I ⅱ有吸收时：%)101(2
1-=
I I 20
0212%)101(8
3%)101(30cos -=
-?=I I I 03020
0223205.0%)101(30cos 8
3%)101(30cos I I I I =-?=
-?= 205.00
3
=I I
18.8 在题图18.8所示的各种情况中，以线偏振光或自然光入射与界面时，问折射光和反射
光各属于什么性质的光？并在图中所示的折射光线和反射光线上用点和短线把振动方
向表示出来。图中00,i i arctgn i ≠=
题图18.8
18.9 如题图18.9(a)所示，一束自然光入射在方解石晶体的表面上，入射光线与光轴成一定角度；问将有几条光线从方解石透射出来？如果把方解石割成等厚的A 、B 两块，并平行地移开很短一段距离，如图题图18.9(b)所示，此时光线通过这两块方解石后有多少条光线射出来？如果把B 块绕光线转过一个角度，此时将有几条光线从B 块射出来？为什么？
题图18.9(a)
题图18.9(b) 解：（1）自然光通过与光轴成一定角度的方解石时，分解为o 光和e 光，故有两束光线从方解石透射出来。
（2）由于A 和B 平行，则通过A 后的o 光和e 光不发生双折射现象，最后仍是两束光线射出来。
（3）若将B 绕光线转一角度，则通过A 后的o 光和e 光在B 中发生双折射现象，分别再分解为各自得o 光和e 光，故从B 中射出两条o 光和两条e 光，共四条光线。
18.10 两尼科耳棱镜的主截面间的夹角由0
30转到0
45
(1) 当入射光是自然光时，求转动前后透射光的强度之比； (2) 当入射光是线偏振光时，求转动前后透射光的强度之比。 解：（1）当入射光是自然光时： 2
1I I =
002012128
330cos 2cos I I I I ==
=α 4
45cos 2cos 00202212I I I I ==='
α
得到：
5.1234/18/32
2==='I I （2）当入射光是线偏振光时，通过第一个尼科耳棱镜后会分解为o 光和e 光，令此时线偏振光强为： 01kI I = ， ]1,0(∈k
002012124330cos cos kI kI I I =
==α 002022122
145cos cos kI kI I I ==='
α
得到：
5.1232/14/32
2==='I I
18.11 参看偏振光干涉的实验装置图18.14，在两正交的偏振片M 、N 之间插入一双折射晶
体C ，试问在下述两种情况下，能否观察到干涉图样？ (1) 晶片的光轴方向与第一个偏振片的偏振化方向平行； (2) 晶片的光轴方向与第一个偏振片的偏振化方向垂直。 解：（1）晶片光轴方向与第一个偏振片的偏振化方向平行时，0=α，则
0sin ==αA A o ， A A A e ==αcos
即只有e 光，不能发生干涉，故无干涉花样。
（2）晶片的光轴方向与第一个偏振片的偏振化方向垂直时，2
π
α=
，则
A A A o ==αsin ， 0cos ==αA A e
即只有o 光，不能发生干涉，故无干涉花样。
18.12 论文题：透过尼科耳棱镜的光强 参考文献：
[1] 胡树基，论尼科耳棱镜的光强透射率、反射率——兼评《Malus 定律表述的研究》 一文的不足，大学物理，2004年第23卷第10期
[2] 周国香等，Malus 定律表述的研究，大学物理，1999年第18卷第10期 [3] 朱伯荣，再谈尼科耳棱镜中e 光的传播，大学物理，1996年第15卷第5期
大学物理实验绪论课习题及其参考答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
习 题 1、下列各量是几位有效数字？ （1）地球平均半径km R 22.6371= 6位 （2）s T 0010.2= 5位 （3）真空中的光速s m c /299792458= 9位 （4）cm l 00058.0= 2位 （5）地球到太阳的平均距离km s 810496.1?= 4位 （6）J 23109.2? 2位 2、按有效数字运算法则计算下列各式 （1）06546.06.547.255++ （2）218.311.855.90-- （3）0.145.12.91÷? ×102 （4）100)23.10025.100(÷- 2×10-3 （5）0.2001.22??π （6）) 001.000.1)(0.3103()3.1630.18(00.50+--? 3、按照误差理论和有效数字运算法则改正错误 （1）mm h 5.026.25±= mm h 5.03.25±=→ （2）015330'±'= θ 2.06.30±=→θ （3）nm 46.06.579±=λ nm 5.06.579±=→λ （4）2911/)1032.41067.1(m N Y ?±?=211/10)04.067.1(m N Y ?±=→ （5）m cm 5500= m cm 00.5500=→
（6）25.25.12= 2.25.12=→ （7）mA A I 10010000.0== mA A I 000.10010000.0==→ （8）06330.0是三位有效数字 位有效数字4→ 4、用一级千分尺测量一小球的直径，测得数据如下： 000.10:)(mm d i ，998.9，003.10，002.10，997.9，001.10，998.9，999.9，004.10，997.9。计算直径的算术平均值、标准误差、相对误差以及正确表达测量结果。 解：) (000.10)997.9004.10999.9998.9001.10997.9002.10003.10998.9000.10(10 110110 1 mm d d i i =+++++++++?=?=∑= 结果表示：)(004.0000.10mm d d d ±=±=σ 5、计算下列数据的算术平均值、绝对误差、相对误差以及正确表达测量结果。 356.2:)(m R i ，345.2，348.2，355.2，354.2，353.2。 解： )(352.2)353.2354.2355.2348.2345.2356.2(6 16161m R R i i =+++++?=?=∑= 结果表示：)(004.0352.2m R R R ±=?±= 6、一个圆柱体，测得其直径为mm d 006.0987.10±=，高度为 cm h 005.0526.4±=，质量为g m 006.0106.149±=，计算该圆柱体的密度、标准误差、相对误差以及正确表达测量结果。 解：)/(748.34432cm g h d m =??=πρ 7、计算下列各式的绝对误差、相对误差以及正确表达测量结果。
一、选择题 1. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，取无穷远处为零电势点，则在距离球面r （R r <） 处的电势为( ) A 、0 B 、R 0 εσ C 、r R 02 εσ D 、r R 024εσ 2. 下列说法正确的是：( ) A. 电场场强为零的点，电势也一定为零 B. 电场场强不为零的点，电势也一定不为零 C. 电势为零的点，电场强度也一定为零 D. 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 3. 如图示，边长是a 的正方形平面的中垂线上，距中心O 点 处， 有一电量为q 的正点电荷，则 通过该平面的电通量是（ ）。 A. B. C. D. 4. 两根长度相同的细导线分别密绕在半径为R 和r 的两个直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长 度相同，R=2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感应强度大小为B R ，B r ，则应该满足：( ) A. B R =2B r B. B R =B r C. 2B R =B r D. B R =4B r 5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <), 所带电荷分别为a q 和b q ．设某点与球 心相距r ，当b a R r R <<时，取无限远处为零电势，该点的电势为（ ） A 、 r q q b a +?π041ε B 、 r q q b a -?π041ε
C 、???? ? ?+?b b a R q r q 0 41επ D 、 ???? ??+?b b a a R q R q 0 41 επ 6. 面积为S 和S 2的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用21Φ表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12Φ表示，则21Φ和12Φ的大小关系为（ ） 1 2 S 2 S I I A 、12212ΦΦ= B 、1221ΦΦ> C 、1221ΦΦ= D 、12212 1 ΦΦ= 7. 如图所示，两个“无限长”的、半径分别为1R 和2R 的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小E 为（ ） A 、 r 02 12ελλπ+ B 、 2 02 10122R R ελελπ+ π C 、 r 01 2ελπ D 、0 8. 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B ? 中以速度v ? 移动，直导线ab 中的电动势为（ ）
题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？
实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1．列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式，并注明单位。 霍尔系数，载流子浓度，电导率，迁移率。 2．如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向，如何判断样品的导电类型？ 以根据右手螺旋定则，从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向，若测得的霍尔电压为正，则样品为P型，反之则为N型。 3．本实验为什么要用3个换向开关？ 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响，需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向，因此就需要2个换向开关；除了测量霍尔电压，还要测量A、C间的电位差，这是两个不同的测量位置，又需要1个换向开关。总之，一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1．若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，按式（5.2-5）测出的霍尔系数比实际值大还是小？要准确测定值应怎样进行？ 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定，就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交，或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2．若已知霍尔器件的性能参数，采用霍尔效应法测量一个未知磁场时，测量误差有哪些来源？ 误差来源有：测量工作电流的电流表的测量误差，测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差，测量霍尔电压的电压表的测量误差，磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态？为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定？ 答：缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮，使交流毫伏表指针指示达到最大（或晶体管电压表的示值达到最大），此时系统处于共振状态，显示共振发生的信号指示灯亮，信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置，当发射换能器S1处于共振状态时，发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处，媒质压缩形变最大，则产生的声压最大，接收换能器S2接收到的声压为最大，转变成电信号，晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置，即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定，可以容易和准确地测定波节的位置，提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的？ 答：压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力，发生机械形变时，会发生极化，同时在极化方向产生电场，这种特性称为压电效应。反之，如果在压电材料上加交
) 2(选择题(5)选择题(7)选择题单元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图 所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某 质 点 的 运 动 方 程 为 x=3t-5t 3+6(SI) ，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处 的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示， 如t=0时， 质点位于坐标原点，则t=4.5s 时，质点在x 轴上的位置为 【 C 】 (A) 0； (B) 5m ； (C) 2m ； (D) -2m ； (E) -5m *7. 某物体的运动规律为 t kv dt dv 2-=， 式中的k 为大于零的常 数。当t=0时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数 关系是 【 C 】
《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求： （1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单
位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t =
第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为［ ］。 (A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理，磁感线是闭合曲线，穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为（B ）。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为（B ）。 8-3 磁场中的安培环路定理∑?=μ=?n L I 1i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场
分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述，在恒定磁场中B 的环流一般不为零，所以磁场是涡旋场；而在恒定磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量必为零，所以磁场是无源场；静电场中E 的环流等于零，故静电场为保守场；而静电场中，通过任意闭合面的电通量可以不为零，故静电场为有源场。正确答案为（B ）。 8-4 一半圆形闭合平面线圈，半径为R ，通有电流I ，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈，在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ，而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为（B ）。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时，其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度，μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=，方向由右螺旋关系确定。正确答安为（T 1014.33-?）。 8-6 如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I ，则在圆心O 点处的磁感强度大小为_____________，方向为 _____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电 流的磁感强度公式，并作矢量叠加，可得圆心O 点的总
大学物理课后习题答案第六章
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第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
大学物理实验A(II)考试复习题 1．有一个角游标尺，主尺的分度值是°，主尺上29个分度与游标上30个分度等弧长，则这个角游标尺的最小分度值是多少？ 30和29格差1格，所以相当于把这1格分成30份。这1格为°=30′，分成30份，每份1′。 2．电表量程为：0～75mA 的电流表，0～15V 的电压表，它们皆为级，面板刻度均为150小格，每格代表多少？测量时记录有效数字位数应到小数点后第几位(分别以mA 、V 为记录单位)？为什么？ 电流表一格小数点后一位 因为误差, 电压表一格小数点后两位,因为误差，估读一位 ***3．用示波器来测量一正弦信号的电压和频率，当“Y轴衰减旋钮”放在“2V/div”档，“时基扫描旋钮”放在“div”档时，测得波形在垂直方向“峰－峰”值之间的间隔为格，横向一个周期的间隔为格，试求该正弦信号的有效电压和频率的值。 f=1/T=1÷×= U 有效=÷根号2= ***4.一只电流表的量程为10mA ，准确度等级为级；另一只电流表量程为15mA ，准确度等级为级。现要测量9mA 左右的电流，请分析选用哪只电流表较好。 量程为10mA ，准确度等级为级的电流表最大误差,量程为15mA ，准确度等级为级,最大误差,所以选用量程为15mA ，准确度等级为级 5. 测定不规则固体密度 时，，其中为0℃时水的密度，为被测物在空气中的称量质量，为被测物完全浸没于水中的称量质量，若被测物完全浸没于水中时表面附 有气泡，试分析实验结果 将偏大还是偏小？写出分析过程。 若被测物浸没在水中时附有气泡，则物体排开水的体积变大，物体所受到的浮力变大，则在水中称重结果将偏小，即m 比标准值稍小，可知0ρρm M M -=将偏小 6．放大法是一种基本的实验测量方法。试写出常用的四种放大法，并任意选择其中的两种方法，结合你所做过的大学物理实验，各举一例加以说明。 累计放大法 劈尖干涉测金属丝直径的实验中，为了测出相邻干涉条纹的间距 l ，不是仅对某一条纹测量，而是测量若干个条纹的总间距 Lnl ，这样可减少实验的误差。 机械放大法 螺旋测微器，迈克尔孙干涉仪读数系统
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为 ，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A 被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保 持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅 直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： (1) 重物B上升的运动方程；
(2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为 因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。
此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。 解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为 ， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时， 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。
大学物理(上)课后习题答案
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3 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2 m ⑵ 1 t s,2 t s 时，j i r 5.081 m ；2114r i j v v v m ∴ 213 4.5r r r i j v v v v v m ⑶0t s 时，054r i j v v v ；4t s 时，41716r i j v v v ∴ 140122035m s 404r r r i j i j t v v v v v v v v v ⑷ 1 d 3(3)m s d r i t j t v v v v v ，则：437i j v v v v 1s m (5) 0t s 时，033i j v v v v ；4t s 时，437i j v v v v 24041 m s 44 j a j t v v v v v v v v v (6) 2d 1 m s d a j t v v v v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x ，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x v v v v 得：2 d d (26)d a x x x v v 两边积分 210 d (26)d x x x v v v 得：2322250x x v ∴ 31225 m s x x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ，式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2 ⑴ s 2 t 时，2 s m 362181 R a 2 222s m 1296)29(1 R a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a 即： R R 2 ，亦即t t 18)9(2 2 ，解得：9 2 3 t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2 t 时，4.02 2.0 t 1s rad 则0.40.40.16R v 1s m 064.0)4.0(4.022 R a n 2 s m 0.40.20.08a R 2 s m 22222s m 102.0)08.0()064.0( a a a n 与切向夹角arctan()0.0640.0843n a a
习 题(参考答案) 2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。 (1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2 - 答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ； (3) m ＝(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ； (4) C ＝(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字 1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表： 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。 解： 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑=
标准偏差： mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差： m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ，%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3．正确写出下列表达式 （1）km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= （2）kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= （3）kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= （4）s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4．试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度，并把答案写成标准形式。
第十章 10-1无限长直线电流的磁感应强度公式为B＝μ0I 2π a，当场点无限接近于导线时(即a→0)，磁感应强度B→∞，这个结论正确吗？如何解释？ 答：结论不正确。公式 a I B π μ 2 =只对理想线电流适用，忽略了导线粗细，当a→0，导线的尺寸不能忽略，电流就不能称为线电流，此公式不适用。 10-2如图所示，过一个圆形电流I附近的P点，作一个同心共面圆形环路L，由于电流分布的轴对称，L上各点的B大小相等，应用安培环路定理，可得∮L B·d l ＝0，是否可由此得出结论，L上各点的B均为零？为什么？ 答：L上各点的B不为零. 由安培环路定理 ∑ ?= ? i i I l d B μ 得0 = ? ?l d B ，说明圆形环路L内的电流代数和为零， 并不是说圆形环路L上B一定为零。 10-3设题10-3图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论： (1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等? (2)在闭合曲线c上各点的B 是否为零?为什么? 解：?μ = ? a l B 8 d ?μ = ? ba l B 8 d ?= ? c l B0 d (1)在各条闭合曲线上，各点B 的大小不相等． (2)在闭合曲线C上各点B 不为零．只是B 的环路积分为零而非每点0 = B ．题10-3图 习题10-2图
10-4 图示为相互垂直的两个电流元，它们之间的相互作用力是否等值、反向？由此可得出什么结论？ 答：两个垂直的电流元之间相互作用力不是等值、反向的。 B l Id F d ?= 2 0?4r r l Id B d ?= πμ 221 21221 10221212201112)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??= πμπμ 2 12 12112 20212121102212)?(4?4r r l d I l d I r r l d I l d I F d ??=??= πμπμ ))?()?((42 12 121221************r r l d l d r r l d l d I I F d F d ??+??-=+ πμ 2 122112 210212112221212102112)(?4))?()?((4r l d l d r I I r l d r l d l d r l d I I F d F d ??=?-?=+πμπμ 一般情况下 02112≠+F d F d 由此可得出两电流元（运动电荷）之间相互作用力一般不满足牛顿第三定律。 10-5 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触，形成串联电路，再把它们接到直流电源上通以电流，如图所示，问弹簧会发生什么现象？怎样解释？ 答：弹簧会作机械振动。 当弹簧通电后，弹簧内的线圈电流可看成是同向平行的，而同向平行电流会互相吸引，因此弹簧被压缩，下端会离开水银而电流被断开，磁力消失，而弹簧会伸长，于 是电源又接通，弹簧通电以后又被压缩……，这样不断重复，弹簧不停振动。 10-6 如图所示为两根垂直于xy 平面放置的导线俯视图，它们各载有大小为I 但方向相反的电流.求：(1)x 轴上任意一点的磁感应强度；(2)x 为何值时，B 值最大，并给出最大值B max . 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r I B π=201μ2/1220)(12x d I +?π=μ 2导线在P 点产生的磁感强度的大小为： r I B π=202μ2 /1220)(1 2x d I +?π=μ 1B 、2B 的方向如图所示． P 点总场 θθcos cos 2121B B B B B x x x +=+= 021=+=y y y B B B 习题10-4图 r 12 r 21 习题10-5图 习题10-6图 y P r B 1 x y 1 o x d θ θ
1。质点的运动方程为 求： (1)质点的轨迹方程； (2)质点在第1s和第2秒的运动速度； (3)质点在第1s和第2秒的加速度。 2．在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率u收绳。求：当船在离岸距离为x时的速度和加速度。 例3：一质点作直线运动，已知其加速度a= 2- 2t (SI)，初始条件为x0=0，v0=0，求 (1)质点在第1s末的速度； (2)质点的运动方程； (3)质点在前3s内经历的路程。
4。 5。
6。已知l 长的绳端拴一质量m 的小球(另 一端固定在o 点)，自水平位置由静止释 放。求球摆至任一位置时，球的速度及绳 中的张力。 7． 一个滑轮系统，如图，A 滑轮的加速度为a ，两边分别悬挂质量为m 1和m 2的两个物体， 求两个物体的加速度。 7。一个以加速度大小a=1/3g 上升的升降机里，有一装置如图所示，物体A 、B 的质量相同，均为m ，A 与桌面之间的摩擦忽略不计，滑轮的重量忽略不计。从地面看，B 做自由落体运动。试求，若从升降机上看，B 的加速度大小是多少？
8. 9.重量为P 的摆锤系于绳的下端,绳长为l ,上端固定,如图所示,一水平变力大小为F 从零逐渐增大,缓慢地作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均无限接近力平衡,一直到绳子与竖直线成 Θ0 角的位置,试计算此变力所做的功. P F
10.一束子弹射入木块，并在木块中走了S '，然后停止；而子弹和木块整个系统水平向右走了S ，求子弹和木块所受的一对摩擦力f s 和f s '所做的净功。 11. 如图所示,倔强系数为k 的弹簧悬挂着质量为m 1,m 2两个物体,开始时处于静止,突然把两物体间的连线剪断,求m 1的最大速度为多少? 12. 墙壁上固定一水平放置的轻弹簧，弹簧的另一端连一质量为m 的物体，弹簧的弹性系数为k ，物体m 与水平面间的摩擦系数为μ，开始时，弹簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡位置开始向右拉动，试求此系统所具有的最大势能。 k 1m 2 m
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求？设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为0.5mm，其相对误差为 0.25％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变? 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径？其原理和方法如何？ 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件？ 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（632.8*10^-9）=3.164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3.1*10^-10 所以Lλ< ) 2(选择题(5) 选择题单 元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3+6(SI)，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5s 时， 第一章质点运动学 1、(习题 1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时 速度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -??=000 )1(0t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速 度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2gh d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=《大学物理习题集》上)习题解答
大学物理课后习题答案详解
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