§11.1二次曲线的几何性质 1、
解（1）∵
025),(22=++=ΦY XY X Y X 时 )52
(:51:i Y X ±-=,同时 041
1152>==I
∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)5
2
(:51i ±-
（2）∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X
同时013
22
12<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3-
（3）∵02),(2
2=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时01
1112=--=I
∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：1
2、解（1）∵0492
2
5
252
2≠-==
I , ∴曲线是中心曲线. 由??
???
=-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解
得??
?=-=2
1
y x ∴中心为)2,1(-
（2）∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a a
a a , ∴曲线为线心曲线。
（3）∵042212=--=I ，且23
1322121211a a a a
a a ≠=, ∴曲线为无心曲线。
3、解（1）由??
???=-+-==+-=0
23
223),(02123),(21
y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(2
2=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X
所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1
3
25+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x （2）由???=++==++=0
1),(0
12),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解
得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和2
1
1+=--y i x
即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i
4、解（1）∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29
)1,2(1=F
5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(2
9
=-+-y x 即 028109=-+y x
（2）∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上；
设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为
03)(2)(2
1
)(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①
把)1,2(--代入切线方程得 00=x ②
又因),(00y x 在曲线上，把它代入曲线方程得034002
00020=+++++y x y y x x ③
由②③解得切点为)1,0(),3,0(--，代入①得 切线方程为03=++y x 和01=+y
5、解（1）???
?
??=5228A ，13581=+=I , 3652282==I , 特征方程为036132
=+-λλ 解得9,421==λλ, 求得21,λλ对应的特征向量 {}2,11-=ξ ,{}1,22=ξ, 所以主方向是 )2(:1:11-=Y X ， 1:2:22=Y X , 主直径是0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0)852)(2()428(=-+-+++y x y x 与 0)852()428(2=-++++y x y x , 就是052=+-y x 与02=+y x
（2）???
?
??=5445A ，10551=+=I ，954452==I 特征方程为09102
=+-λλ，解得9,121==λλ，求得21,λλ对应的特征向量
{}111，-=ξ, {}112-=，ξ, 所以主方向是1:1:11-=Y X )1(:1:22-=Y X
主直径为 0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与 0),(),(2212=+y x F Y y x F X , 即 0=-y x 与 02=-+y x
（3）???
?
??--=1612129A , 251691=+=I ,016121292=--=I , 特征方程为0252
=-λλ，解得251=λ，02=λ, 求得21,λλ对应的特征向量是 {}4,31-=ξ, {}3,42=ξ 所以非渐近主方向是)4(:3:11-=Y X , 渐近主方向是 3:4:22=Y X , 主直径只有一条，就是 0),(4),(321=-y x F y x F , 即0743=+-y x 6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为),(00y x ，则因为),(00y x 是方程
??
?==0),(0
),(2
1y x F y x F 的唯一解，可设过),(00y x 的直线方程为0),(),(21=+y x F y x F μλ ① 对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向， 故①又表示与非渐近方向μλ:共轭的直径的方程。
对于双曲型曲线，当①中的μλ:为非渐近方向时，①就是与μλ:共轭的直径方程；当μλ:为渐近方向时，方程①即为渐近线，可把它看成与自己方向共轭的直径。 综上，第一结论得证。 （2）对无心二次曲线，它只有唯一的渐近方向: 12221112::':'a a a a Y X -=-=， 设任意平行于':'Y X 的直线方程为 01211=++λy a x a ②
要证明②是直径，要求②有如下形式： 0),(),(21=+y x YF y x XF （':':Y X Y X ≠） 即0)()(231322121211=+++++Y a X a y Y a X a x Y a X a ③
比较②，③得：
122212111211a Y a X a a Y a X a +=+ λ
Y
a X a a Y a X a 2313122212+=
+ ④ 又由④求得)(:)(:131212221223a a a a a a Y X --=λλ为使②与③相容，只须证明上面求得的':':Y X Y X ≠：假设1112131212221222:':')(:)(:a a Y X a a a a a a Y X -==--=λλ
则有11
112312
1311121111231213121222a a a a a a a
a a a a a a a a λλλ-+-=-+=- 从而有011231213=-a a a a 即23131211a a a a =与无心曲线的充要条件23
131211a a a a
≠矛盾。
所以':':Y X Y X ≠ 综上所述，对任意平行于渐近方向的直线②，当取非渐近方向
)(:)(:131212221223a a a a a a Y X --=λλ时②成为直径，具有形式③。
§11.2 直角坐标变换
1、 解：?????? ??-=55255555
52M ????
??
??-
=-5525
5555521M （1）=
??
??? ??y x ???
?
? ????
???
? ??-''552555555
2y x （2）=????? ??''y x ????
? ?????
??? ??-y x 5525555552
2、解（1）已知??????=→
54,53'i ??????-=→53,54'j 所以??????
??-=53545453M ?????
? ??-=-535454531M 因而??????-=-=→→→5453'54'53j i i ?
?????=+=→→→53,54'53'54j i j
（2）?????-+=+-=2'53'541'54'53y x y y x x 即 ????? ??-+????? ???????
? ??-=????? ??21''53545453y x y x （3）由公式)('01X X M X -=-得 ????
? ??+????? ???????? ??-=????? ??2153545453''y x y x
3、解（1）解???=-+=+-07340143y x y x 得?
??==11
y x 所以新坐标系的原点'O 的坐标为（1，1）
又1l 的斜率43tan =θ，得54cos =θ，53
sin =θ 所以坐标变换式为
????
? ??+????? ???????? ??-=????? ??11''54535354y x y x （2）把坐标变换式代入直线方程032=+-y x 得
03)1'5
4
'53()1'53'54(2=+++-+-y x y x 即04'2'=+-y x
（3）'''y x o -到xy o -的变换式为：????
?
?
??--+????? ???????? ??
-=????? ??515754535354''y x y x 代入直线03''2=+-y x 得 013211=-+y x
§11.3 二次曲线的化简与分类
1、利用转轴与移轴，化简下列二次曲线方程，并画出它们的图形。
()()()()22222
221585181890;22410;
35122212190;42220.
x xy y x y x xy y x y x xy x y x xy y x y ++--+=++-+-=+---=++++= 解（1）矩阵???
? ??=5445A ,10551=+=I ,92==A I ,特征方程为09102
=+-λλ 解之得
91=λ,12=λ.求得21,λλ相应的单位特征向量为??????=21,211ξ ??????-=21,21
2ξ 建立旋转坐标变换式：'MX X = 其中?
?????
??-=212
1
2121M 代入原方程化简得： 09'218''922=+-+x y x 配方得 09')2'(922=-+-y x
作平移坐标变换 '
0'X X X +='' ???
?
??-=?
??
?
??=????
??''''=''02''''0
X
y x X y x X 得 0992
2=-''+''y x 所以，曲线的标准方程是192
2
=''+'
'y x （椭圆） 总的坐标变换式?????
?
?
?+''+''+''-''=?????? ??''+''??????
?
?
-=????? ??121
21121212212
1212
1y x y x y x y x
新坐标原点就是曲线的中心（1，1）
新坐标轴（两条主直径）在原坐标系的方程是
21
21
-=
-y x 和
2
121
-=
--y x
即0=-y x 和02=-+y x
（2）标准方程是y x ''-
=''4
2
52
（3）标准方程是19
42
2=''-''y x （4）标准方程是 2
2
±=''y
2、利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线的类型，并求化简后的标准方程。
()()()()()2222222222166210;23234440;
343220;
4442210;52246290
x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y ++++-=-+++-=-++-=-++--=-+--+=
解（1）2111=+=I ，081
33
12<-==I ，0161
131133
313≠=-=I
所以二次曲线是双曲线。 特征方程是0822
=--λλ，解得2,
421-==λλ
因此，简化方程是0816'2'42
2
=-+
-y x 其标准方程是 11'2
1'2
2=-y x （2）二次曲线是椭圆。 简化方程是0864'2'42
2=-++y x 标准方程是 14
'2'22=+y x （3）二次曲线是两条相交直线。 简化方程是 0')52(')52(22=-++y x
标准方程是 ')25('y x -±=.（4）二次曲线是两平行直线。 简化方程是 05
7'52
=-+y 标准方程是 5
7
'±=y （5）二次曲线是椭圆。简化方程是014'253'25322=-+-++y x 标准
方程是 1)
53(2')53(2'2
2=++-y x .
3、就λ的值讨论下列方程所表示的曲线的类型： ()()222
2
12220;
222250.
x xy y x y x
xy y x y λλλλλλ++-++=-+-++=
解（1）λ21=I ，11
1
22-=--=
λλ
λ
I ，3255
11
111
123--=----=λλλ
λI 2105
11
5111-=+--=λλλ
K ，按不变量符号，讨论如下：当10<<λ时，曲线是椭圆；
当0<λ或1>λ且21-≠λ时，曲线是双曲线；当2
1
-=λ时，曲线为一对相交直线；
当0=λ时，曲线是抛物线；当1=λ时，曲线是一对重合直线。
（2）λ21=I ，)1()1(2+-=λλI ，)1()35(3-+=λλI ，)15(21-=λK
按这些不变量符号讨论如下： 1-<λ时曲线是椭圆; 1=λ时曲线是抛物线;
531-<<-λ时，曲线是双曲线; 53-=λ时，曲线是一对相交直线; 15
3
<<-λ时，曲线是双
曲线; 1=λ时，曲线是一对虚平行直线;1>λ时，曲线是虚椭圆。
4、试证中心二次曲线222ax hxy ay d ++=的两条主直径是22
0,x y -=且曲线两半轴的长分别
证明：∵a I 21=，2
22h a I -=，由题意知道曲线是中心二次曲线，从而02
2
≠-h a ，且中心
就是（0，0）。同时，二次曲线的特征方程为：0)(22
22=-+-h a a λλ,解得特征根为h a +=1λ，h a -=2λ.显然0,21≠λλ，
且若0=h ，则主直径就是x 轴与y 轴，这和所设矛盾，从而0≠h ，可知21λλ≠。 由于由特征根所确定的两个主方向为：
1:1)(::11=-+=a h a h Y X 1:)1()(::22-=--=a h a h Y X .
得两主直径方程为0)()(=+++y a h x h a 及0)()(=-+-y a h x h a . 即0=+y x 和0=-y x .
为了求得曲线的两半轴之长，我们以两主直径为'x 和'y 轴进行旋转坐标变换：
???
????+=-=2''2''y x y y x x 将其代入原方程得 d y h a x h a =-++22')(')( ①其中 1λ=+h a ， 2
λ=-h a ，它们均不为零，而且若d=0，则原曲线为两相交于原点的直线或者就是原点，此时命题显然成立。
若0≠d ，则方程①变形为
1''2
2=-++h
a d y h a d x 即 1''2
22
2=-±
+±h
a d y h
a d x （其中
的符号分别由
h a d +与h
a d
-的符号决定），这曲线的两半轴正是题目所求证。 5、试证方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++-+=表示一个圆的充要条件是
212134,0I I I I =<
证明：（必要性）若原方程表示一个圆，则经坐标变换后它可简化为0''2
3
2
22
1=+
+I I y x λλ，其中21λλ=是特征方程0212=+-I I λλ的两个相等的实根。根据 04221=-=?I I 得知
2214I I =，
同时圆属于椭圆型，显然满足031I 。于是，原方程属于椭圆型曲线，经过坐标变换后的简化方程为：
0''2
32221=++I I
y x λλ ①其中由2214I I =知特征方程0212=+-I I λλ的特征根为两相等实
根21λλ=，同时根据特征根的性质知0221>=?I λλ，所以)2,1(0=≠i i λ与3I 异号，①可变形为1
232
2
''λI I y x -
=+，其中1
23λI I -
为正实数，这就证明了原曲线表示一个圆。
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
高等代数（北大第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使 X AX 0 。 证 因为 A 0，于是 A 0 ，所以 rank A n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 ， 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中，令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n ， c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ，故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 ， 即证存在 X 0，使 X AX 0 。 13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且 X AX 0 ， X BX 0 ， 因此 X A B X X AX X BX 0 ， 于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 ， 1 2 p p 1 r 若令
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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【篇二：各门课程课后答案】 式]《会计学原理》同步练习题答案 [word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [word格式]《实用成本会计》习题答案 [word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案 [word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎） [pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）
1。解：由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从 而知 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-， 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化 5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2 112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时， 12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等数学空间解析几何 练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→ =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.
第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→ =--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→ ?。 6．判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==-
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为
()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ??? =+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为
高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲 面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---