故f x f x ()()->-12 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题：
（1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数； （3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________ 2. 下列命题中，说法正确的是____________
（1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
（2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单
调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
（4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单
调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；
变式：若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,都有2)()()(2121++=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，.2)(->x f （1）求证：2)(+x f 是奇函数；（2）求证：)(x f 是R 上的增函数； 函数=y f(x)，满足R x x ∈?21,都有f(x 1+x 2)= f(x 1)+ f(x 2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶
性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M ，最小值为m ，求M+m 分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m
解析；令,021==x x 则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得()30=f ，令x x x x -==21,则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令()()3-=x f x g 则()()()()x g x f x f x g -=-=--=-33所以f(x)-3为奇函数。⑵()3max -=M x g ，()3min -=m x g ，()x g 为奇函数图像关于原点对称
()03x g M =- ，()03x g m -=-所以6=+m M
点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键 2，函数=y f(x)，满足),()()(,,a bf b af ab f R b a +=∈（1）求)1(),0(f f 的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性
解析；令,0==b a 则()00=f ，令1==b a 则()01=f ⑵()()()[]111-?-=f f =
()()()()()
121111--=-?-+-?-f f f 得
()0
1=-f 再
令
()()()()()x f f x x f x f x b a -=-?+?-=-?=-=11,1，所以f(x) 为奇函数
点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出()1-f ，而把1写成()()11-?-是关键
3，
定义在R 上的函数=y f(x)满足),2()2(x f x f +=-且在[]7,0上只有
0)3()1(==f f ，判断f(x)的奇偶性并说明理由
解
析
；
f(x)在
[]
7,0上只有
)3()1(==f f 令
3
=x 则
()()()()0532321≠=+=-=-f f f f 所以()()11f f ≠-，()()11f f -≠-所以f(x)既不是奇
函数也不是偶函数。
点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。
4，
已知定义在R 上的函数=y f(x)满足条件(
)()x f x f -=+
2
3，且函数=y ()4
3-x f 是奇
函数，判断=y f(x)的奇偶性并说明理由
解析；因为=y ()
4
3-x f 是奇函数，所以(
)=
--4
3
x f ()3
--x f ，用x 替代4
3-x 得()=--23
x f ()x f -又()()x f x f -=+23∴()=--23x f ()2
3+x f ()()x f x f =-?所以f(x) 为偶函数
5，
定义在R 上的函数=y f(x)满足:(),14
1=f ()()()()()R y x y x f y x f y f x f ∈-++=,4 判断=y f(x)的奇偶性并说明理由
解析；令0=x 得()()()()y f y f y f f -+=04，只需求出()0f ，故再令1,0==x y 得()()()()()1
011014=?+=f f f f f ，所以()()()y f y f y f -+=2()()y f y f =-? 所以f(x) 为偶函数
6，已知偶函数f(x)在区间[)+∞,0上单调递增求满足()()x f x f <-2的x 取值范围
解析；由偶函数性质得()()|||2|x f x f <-，又f(x)在区间[)+∞,0上单调递增
()()022202222
<-?<--?<-∴x x x x x 解得1>x
点评：运用偶函数性质()()()
x f x f x f ==-可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解，本题若分类讨论，则要分四种情况繁琐，显示了运用性质的重要性。
7， 函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，,0)1(=-g 且f(x) g(x)在()0,∞-上单调递增，解不等式
f(x) g(x)<0
解析；令()=x F f(x) g(x)，()=-x F f(-x) g(-x)=-()x F 所以()x F 为奇函数，又()=-1F f(-1) g(-1)=0，()01=F ，()x F 在()0,∞-上单调递增，由奇函数在其对称区间上单调性相同得()x F 在()+∞,0上单调递增作出()x F 的简图
所以f(x) g(x)<0即()x F 0<的解是()()+∞?-,10,1
高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．
函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为
函数的奇偶性
函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法
函数的奇偶性(讲义).docx
函数的奇偶性 【知识要点】 1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)， 那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数（， 那么函数 even function）.如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数（ odd function）. x，都有 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系； （1）奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ； f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) （2）偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4．函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ； （4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数； （5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； （6）函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x
5．奇偶性与单调性： （1）奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性； （2）偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x 2 2 x ； （2） f x 1 x 2 x 2 1 ； （3） f x ax b ax b a b 0 ； 1 1 （4） f x x ； 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0， （5） f ( x) 0， x 0， 2 x 1, x （ 6） f ( x)0, x 0； 2x 3, x 0. x 2 变式 判断下列函数的奇偶性： 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ； (2) f ( x )= x ； (3)f ( x )= x + x 2 ；(4) f ( x )= x 2 . （ 5） f ( x ) x 3 2 x （ 6） f ( x) 2 x 4 4 x 2 （ ） y ax b ( a 0, b 0) （ 8） y x ( k 0) 7 x k x 2
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性
函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。
函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2 )(，（2） x x x f -=3 )( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法 （周口卫生学校 马爱华 466000） 摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。 关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法 函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？ 函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数 f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数 2、用求和（差）法判断 若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数 若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数 3、用求商法判断 若 ()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1) ()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数
例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为R ，关于原点对称 () x x x f -+=-21lg )( =222(1)(1) lg 1x x x x x x +-++++=()1221lg 11lg -++=++x x x x = 2lg(1)x x -++ ()f x =- )(x f ∴为奇函数 解法二（求和（差）法） ()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()( ()() x x x x -+++=2211lg =01lg = )(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()() ()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11 lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x )(x f ∴为奇函数 例2判断函数?? ? ??+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称
函数的奇偶性优秀教案
1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 提出问题 ①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ 表1 表2 结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数 1 / 5
2 / 5 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 （2）32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 （3）x x x f +=3 )( 奇函数 （4）1 1 ) 1()(-+-=x x x x f
判定三类特殊函数的奇偶性
判定三类特殊函数的奇偶性 一、要点解读 1、理解奇、偶函数的定义要把握好两个问题：其一，定义域关于原点对称是函数f （x ）为奇函数或偶函数的必须满足的条件；其二，)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式． 2、具有奇偶性的函数的图像的特征；偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于 原点对称．所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法． 3、由奇函数的定义可知，在x ＝0处有意义的奇函数f （x ），有f （0）＝0成立． 4、有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性． )()(x f x f ±=-，即0)()(=-x f x f ，即).0)((1) ()(≠±=-x f x f x f 5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同． 二、典例剖析 1、常见函数的奇偶性的判断 例1、判断函数1||)(2-= x x x f 是否具有奇偶性． 解：先看定义域，由012≠-x 得1±≠x ，则定义域}1,|{±≠∈=x R x x D 关于原点 对称，即任取D x ∈，都有D x ∈-，又1)(||)(2---=-x x x f )(1 ||2x f x x =-=， 所以1 ||)(2-=x x x f 为偶函数． 点评：第一步：判断定义域是否关于原点对称；第二步：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进一步寻找f （－x ）与f （x ）之间的关系；第三步：根据定义下结论． 2．分段函数的奇偶性 例2、判断函数???>+-<-=) 0)(1()0)(1()(x x x x x x x f 的奇偶性． 解：由题意，得函数f （x ）的定义域关于原点对称，当x<0时，－x>0，
《函数的奇偶性》公开课优秀教案
《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。
现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）；2、轴对称图形的概念（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）。 数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，下面展示的是五个函数的图像，请你说出下面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是？ 活动1：让学生画出函数2 的图像，说出图像的特征。 f x x () 解：（1）列表
高考数学复习点拨 函数奇偶性的判定方法.doc
函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原 点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x = 的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又 0x ≠时，22 22()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?=的奇偶性． 解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内， 任取一个x ，则()()()x f x g x ?-=--，
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的判断 在函数奇偶性的定义中， 有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算 如本题中(4)，判断f (x )＋f (－x )＝0是否成立，要方便得 多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的 判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－ x )＝－f (x )是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同 关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 函数奇偶性的应用 ()()()()()()()()2 211lg 2(1(0)1134.212(0)x x f x f x x x x x x f x f x x x x -+?+>?≥?--<< +--++- ++≥≤<-－ 由，得－，故的定义域关于原点对称． 又－＝＝－＝－，故原函数是奇函数．由，得－，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非【解析】偶函数．()()()()()()()()()2 2 22 (0)(0)000()000()() 112111 21212222134x x x x f x x f x x x x x f x x x f x x f x x x x x f x x x f x f x f x f x ∞∞><><><-=---R 的定义域为－， ，＋，它关于原点对称． 又当时，＝＋，则当时，－，故－＝－＝；当时，＝－，则当时，－，故－＝＋＝． 故原函数是偶函数． 因为的定义域为，且－＝－＝－＝－，()()()()()()()()21lg 12|2|23lg( 1 4211 f x x f x x f x x x x f x x x (-) --?≤??->??判断下列函数的奇偶性．＝；【＝．＝变式练习】()()()()2{1,1}()1011|2|2()12f x f x x x x x f x f x ±><<因为定义域－关于原点对称，且－＝，所以原函数既是奇函数又是偶函数． 【解析】由－，得－，则－－＝－，且－＝－， 故原函数是奇函数． ()()()()())lg(34f x x x f x f x R 因为定义域为全体实数，且 －＝＝＝－＝－，故原函数是奇函数．因为定义域是，关于原点对称， 作出函数的图象，可知是偶函数． ()log (a f x x a 【若函数＝是奇函数，求实例】 数2的值． ()()222()0log (log )0log 2021.0200log 0212a a a f x f x x x a a a a f a a >由＋－＝，得＋＝，即＝，所以＝因为，所以＝因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则＝定义法：，即，则＝，得性质【法：＝解析】
函数的奇偶性教案
《函数的奇偶性》 一、教材分析 1．教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 2．学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． 3．教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．能判断一些简单函数的奇偶性。 2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 从课堂反应看，基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和几何意义。 几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验x f x f= - -或 = - f ) ( ) ( ) ( f x (x ) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。 由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。 二、教法与学法分析 1、教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题
函数奇偶性的判定原创
函数奇偶性的判定（原创） 函数的奇偶性是函数的一个重要特性，是研究函数问题时需要考察的一个重要方面，它在高中数学的很多方面有着广泛的应用。有关判定函数奇偶性的问题，在各种资料和各级各类考试中屡见不鲜，因此正确判定函数的奇偶性是十分必要的，但是由于现行教材中对其判定方法并未做出系统介绍，导致许多学生把握不住解题要领，面对这些问题，常常显得束手无策，为了帮助学生迅速有效地判定函数的奇偶性，笔者在教学中总结出判定函数奇偶性的一般方法和步骤，以拓展解题思路，完善认知结构，提高思维效率。 判定函数奇偶性的一般方法和步骤： 一看定义域 判断函数定义域是否关于原点对称，这是判定函数奇偶性的必要不充分条件。如果这个条件不满足，此函数为非奇非偶函数，如果满足，才能继续判定函数奇偶性。 二化解析式 对于函数解析式较复杂、繁琐的情况，应先化简解析式，这样有利于判定函数的奇偶性。 三试特殊值 当函数解析式较复杂或不易判定函数的奇偶性时，可先计算此函数的特殊值进行预判，一般是求出容易计算的特殊值)(a f 、 )(a f -。由函数的奇偶性是定义域上的整体 性和任意性可知，函数的奇偶性若在定义域上局部成立，则在定义域上整体有可能成立；若在定义域上局部不成立，则在定义域上整体不成立。 所以根据0)()(≠=-a f a f 且 )()(a f a f -≠-，可预判此函数可能是偶 函数，不是奇函数；根据0)()(≠-=-a f a f 且)()(a f a f ≠-，可预判此函数可能是奇函数，不是偶函数；根据0)()(==-a f a f ，可预判此函数可能是既奇又偶函数；根据)()(a f a f ≠-且 )()(a f a f -≠-，可判定此函数一定是非 奇非偶函数。这样就使判定函数的奇偶性具有了目的性和方向性，从而克服盲目地判定。 四找判定法 具体的判定方法为： （1）定义法 若函数的解析式简单或能化简时，可直接用奇偶性的定义进行判断，即验证)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-。 （2）等价法 若用奇偶性的定义很难判断或解析式不易化简时，可等价验证)()(x f x f ±-是否为0，或当0)(≠x f 时，验证 ) () (x f x f -是否为1±，这样会使判定简单得多。 （3）利用奇偶函数的运算性质 若已知几个函数在公共定义域上的奇偶性，则它们的和（差）、积(商)、倍（分）、倒数所构成的函数的奇偶性，常常可利用以下几个结论判定： ①两个奇偶性相同的函数之和（差），奇偶性不变； ②两个奇函数之积（商）为偶函数，一个奇函数和一个偶函数之积（商）为奇函数，两个偶函数之积（商）为偶函数； ③若k 是不为0的常数，且函数)(x f 具有奇偶性，则函数)(x kf 和函数)(x f 的奇偶性相同； ④若函数)(x f 具有奇偶性，则函数 ) (1 x f 和函数)(x f 的奇偶性相同。 （4）利用复合函数的奇偶性 关于复合函数的奇偶性有以下结论： ①若函数)(x g u =在区间A 上是奇函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是奇函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是奇函数； ②若函数)(x g u =在区间A 上是偶函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是奇函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数； ③若函数)(x g u =在区间A 上是奇函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是偶函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数； ④若函数)(x g u =在区间A 上是偶函数，且在区间A 上的值域为区间B ，函数)(u f y =在区间B 上是偶函数，则复合函数)]([x g f y =在A 上是偶函数。
