当前位置:文档之家› 概率论与数理统计习题第一章第三章

概率论与数理统计习题第一章第三章

概率论与数理统计习题第一章第三章
概率论与数理统计习题第一章第三章

1.1 写出下列随机试验的样本空间:

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解:连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω; (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解:}{12,11,4,3,22 =Ω; (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{ ,2,1,03=Ω;

(4) 从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故: ()}{

;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;

解:用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω;

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解:用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故: ()}{

2

16,T y x T y x ≤≤=Ω ;

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解:}{

207 x x =Ω;

(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解:()}{

l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ;

1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{

6.18.0≤=x x B 具体写出下列各事件:(1)AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ? (1)AB }{

18.0≤=x x ; (2) B A -=}{

8.05.0≤≤x x ;

(3) B A -=}{

28.05.00≤?≤≤x x x ; (4) B A ?=}{

26.15.00≤?≤≤x x x

1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +?, 并说明理由.

解:由于),(,B A A A AB ???故)()()(B A P A P AB P ?≤≤,而由加法公式,有:)()()(B P A P B A P +≤? 1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率: (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解:(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:

175.0)()()()(=-+=?WE P E P W P E W P

(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为:

1.0)()()(=-=W E P W P E W P

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为:825.0)(1)(=?-=E W P E W P . 1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问: (1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解:(1) 由于B AB A AB ??,,故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ?时P(AB) 取到最大值。 最大

值是0.6.

(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ?-+=。显然当1)(=?B A P 时P(AB) 取到最小值?,最小值是0.4. 1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解:因为 P(AB) = 0,故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为:

7.0)()()()()()()()(=+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P

1.10 计算下列各题:

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ?B) = 0.6, 求P(AB); (2) 设P(A) = 0.8, P(A ?B) = 0.4, 求P(AB); (3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。 解

(1)通过作图,可以知道,3.0)()()(=-?=B P B A P B A P (2)6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P

7

.0)(1)()

()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=?-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于 1.11 把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3 概率各为多少?

解:用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中,放法有644*4*4=种,每种放

法等可能。

对事件1A :必须三球放入三杯中,每杯只放一球。放法4×3×2种,故8

3)(1=A P (选排列:好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A :必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故

161)(3=

A P 。16

9

161831)(2=-

-=A P 1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解:此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事

件(1,2),(2,1)。故前后两次出现的点数之和为3的概率为181。 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是9

1

,121。

1.13 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率: (1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

解:从10个数中任取三个数,共有1203

10=C 种取法,亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有624=C 种,故所求概

率为

20

1

。 (2) (2) 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有102

5=C 种,故所

求概率为

12

1

。 1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率:

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解:分别用321,,A A A 表示事件:

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

,11

1

666)(,33146628)(2122

42212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。

1.15 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ? 解:)

())

()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ?=

??=

? 由于-0)(=B B P ,故5.0)

()

()()()())((=-==

?B P B A P A P B P AB P B B A P

1.16 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P 。 计算下列二式: (1) );(B A P ?(2));(B A P ?

解:(1);8.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P AB P B P A P B A P (2);6.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P B A P B P A P B A P 注意:因为5.0)(=B A P ,所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只

取一件, 求下列事件的概率:

(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品.

解:用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”(3,2,1=i ),则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”(3,2,1=i )。 (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为:

18

5

)()()(21321213==

A A P A A A P A A A P 。注:也可以按条件概率的含义直接计算,省略中间一步。

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为:

228

35

)()()()(213121321=

=A A A P A A P A P A A A P

(3)事件“第三次取到次品”的概率为:

4

1 此题要注意区分事件(1)、(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”(2,1=i ),

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为:1)(12=A A P ;而事件“第二次才取到次品”的概率为:2

1

)()()(12121=

=A A P A P A A P 。区别是显然的。 1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。

解:用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则根据全概率公式,有:

283

)()()()()()()(221100=

++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.

解:设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”,B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则根据全概率公式,有:

4705

.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P 1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。

解:用B 表示色盲,A 表示男性,则A 表示女性,由已知条件,显然有:

,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此:

根据贝叶斯公式,所求概率为:151

102

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反

应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率 解:用B 表示对试验呈阳性反应,A 表示癌症患者,则A 表示非癌症患者,显然有:

,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P

因此根据贝叶斯公式,所求概率为:

294

95

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格

率分别为95%; 90% 和96%. (1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解:设,},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B

}{产品为合格品=A ,则

(1)根据全概率公式,94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ,该批产品的合格率为0.94. (2)根据贝叶斯公式,94

19

)()()()()()()()()(332211111=

++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得47

24

)(,9427)(32=

=

A B P A B P ,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为:47

24

,9427,9419。

1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7, 0.8 和 0.9,求目标被击中的概率。

解:记A ={目标被击中},则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P

1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率.

解:记4A ={四次独立试验,事件A 至少发生一次},4A ={四次独立试验,

事件A 一次也不发生}。而5904.0)(4=A P ,

因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P 。所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P

三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为:384.064.02.03))(1)((21

3=??=-A P A P C 。

第三章习题详解:

3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,

(,)0,

x y x y x y F x y ----?--+≥≥=??其他

求}{

12,35P X Y <≤<≤.

解:因为 2

5

7(2,5)1

222F ---=--

+,6512221)5,1(---+--=F

5322221)3,2(---+--=F ,4312221)3,1(---+--=F

所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<

7654733

22222128

----=--+=

= 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.

解:因为X + Y = 4,所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)

且 0)1,2(===Y X P ,6.053

)2,2(4

52

223=====C C C Y X P 4.052

)1,3(4

51

233=====C C C Y X P ,0)2,3(===Y X P

故(X ,Y )的概率分布为

X \Y 1 2 2 0 0.6 3

0.4

3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求(X , Y ) 的概率分布.

解:因为|32||)3(|-=--=X X X Y ,又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

且 81)2

1()3,0(3

=

===Y X P ,8

3)21()21()1,1(2

113====C Y X P 83)21()21()1,2(1

223====C Y X P ,8

1)21()3,3(3====Y X P

故(X ,Y )的概率分布为

X \Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3

1/8

3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为: (6),01,02,

(,)0,

a x y x y f x y --≤≤≤≤?=??其他

(1) 确定常数a ;(2) 求}{

0.5, 1.5

P X Y ≤≤

(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域. 解:(1)因为

dxdy y x a dxdy y x f ?

?

??

--=+∞∞-+∞

-102

)6(),(

dx x x a dx y x a ??---=---=10221

02

02

])4()6[(2])6(21[

a dx x a 9)5(21

0=-=?

1),(=??

+∞∞-+∞

-dxdy y x f ,得9a =1,故a =1/9.

(2) dxdy y x Y X P ??

--=

≤≤5.00

5

.10

)6(9

1

)5.1,5.0( dx x dx y y x ??--=

--=5.005.005

.10

2]8

9

)6(23[91]2

1)6([91 12

5)687(5.00=-=?dx x (3) 110

1

{(,)}(,)(6)9

x

D

P X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈=

=--??

??

27

8)1211(181]2

1)6([91102

1010

2=--=

--=??-dx x x dx y y x x

3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,

0,0,

(,)0,

x y e x y f x y -+?>>=?

?其他

(1) 求分布函数(,)F x y ;(2) 求}{

P Y X ≤ 解:(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>,

(2)220

(,)(,)22(1)(1)y

x

y

x

x y

u v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞

====--?

?

?

?

??

其他情形,由于(,)f x y =0,显然有(,)F x y =0。综合起来,有

2(1)(1),

0,0,(,)0,

x y e e x y F x y --?-->>=?

?其他

(2) 求}{

P Y X ≤

(2)20

330

{}221

1033

x y y x y

y

y

y P X Y dy e dx e dy e dx

e

dy e +∞+∞+∞+∞

-+--+∞--<==+∞==-=

?

??

??

3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(,)X Y 的概率密度函数为

222

1

(,),,,(1)f x y x y x y π=

-∞<<+∞++求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.

解:dr r r

d dxdy y x a Y X P a

a

y x ????

+=++=

≤+≤+ππθπ20

2

22

222

2

2

)

1()

1(1

)(2

2

2

2

2

2021111]11[2112a a a r a

+=

+-=+-??=ππ 3.7设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.

X \Y 0 2 5 1 0.15 0.25 0.35 3

0.05

0.18

0.02

解:因为 75.035.025.015.0)1(=++==X P

25.002.018.005.0)3(=++==X P

所以,X 的边缘分布为

X 1 3 P

0.75

0.25

因为 20.005.015.0)0(=+==Y P

43.018.025.0)2(=+==Y P 37.002.035.0)5(=+==Y P

所以,Y 的边缘分布为

Y 0 2 5 P

0.20

0.43

0.37

3.8 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为2

3,

02,01,(,)2

0,

xy x y f x y ?≤≤≤≤?=???其他

求边缘概率密度(),()X Y f x f y .

解:因为,当20≤≤x 时,22123),()(1

31

02x

xy dy xy dy y x f x f X ====

??

+∞

-;其他情形,显然

()0.X f x =所以,X 的边缘分布密度为

?

?

?≤≤=其他02

02/)(x x x f X 又因为,当10≤≤y 时,22

222

234

3

23),()(y y x dx xy dx y x f y f Y ====

?

?

+∞

-

其他情形,显然()0.Y f y =所以,Y 的边缘分布密度为

??

?≤≤=其他

1

03)(2

y y y f Y

3.9 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为

4.8(2),01,0,

(,)0,

y x x y x f x y -≤≤≤≤?=??其他

求边缘概率密度(),()X Y f x f y .

解,积分区域显然为三角形区域,当01x ≤≤时,0y x ≤≤,因此

220

()(,) 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)x x

X f x f x y dy y x dy x y x x +∞

-∞

==-=-=-?

?;

其他情形,显然()0.X f x =所以,X 的边缘分布密度为

22.4(2)01

()0X x x x f x ?-≤≤=?

?

其他 同理,当01y ≤≤时,1,y x ≤≤因此

1

1

22()(,) 4.8(2) 2.4(4) 2.4(34)Y y

y

f y f x y dx y x dx y x x y y y +∞

-∞

==-=-=-+?

?

其他情形,显然()0.Y f y =所以,Y 的边缘分布密度为

22.4(34)01

()0Y y y y y f y ?-+≤≤=?

?

其他 3.10 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为2,

,

(,)0,

c x y x f x y ?≤≤=?

?其他

(1)确定常数c 的值. (2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y . 解:(1)因为

dy c dx dxdy y x f x

x

????

=+∞∞-+∞

-10

2),(

16

)32()(1

0321

02

==-=-=?c x x c dx x x c

所以 c = 6.

(2) 因为,当10≤≤x 时,)(6),()(22x x dy c dy y x f x f x

x

X -===

??

+∞

-

所以,X 的边缘分布密度为

?

?

?≤≤-=其他01

0)(6)(2x x x x f X 又因为,当10≤≤y 时,)(66),()(y y dx dx y x f y f y

y

Y -===??

+∞

-

所以,Y 的边缘分布密度为

?

??≤≤-=其他01

0)(6)(y y y y f Y

3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.

解:由T3.7知,X 、Y 的边缘分布分别是

X 1 3 Y 0 2 5 P

0.75

0.25

P

0.20

0.43

0.37

(1)当X =1时,Y 的条件分布为 5175.015.0)1|0(==

==X Y P 31

75.025.0)1|2(====X Y P 15

7

75.035.0)1|2(====X Y P

Y 0 2 5 P

1/5

1/3

7/15

(2)当X =3时,Y 的条件分布为 5125.005.0)3|0(==

==X Y P 2518

25.018.0)3|2(====X Y P 25

2

25.002.0)1|2(====X Y P

Y 0 2 5 P

1/5

18/25

2/25

(3)当Y =0时,X 的条件分布为

4320.015.0)0|1(==

==Y X P 4

1

20.005.0)0|3(====Y X P 即

X 1 3 P

3/4

1/4

(4)当Y =2时,X 的条件分布为

581.043.025.0)2|1(==

==Y X P 419.043

.018

.0)2|3(====Y X P 即

X 1 3 P

0.581

0.419

(5)当Y =5时,X 的条件分布为

946.037.035.0)5|1(==

==Y X P 054.037

.002

.0)5|3(====Y X P 即

X 1 3 P

0.946

0.054

3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x (0 < x < 1) 时, Y 在区间(x ,1) 上

随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.

解:因为 ???<<=其他0101)(x x f X , ???

??<<-=其他

111)|(|y x x

x y f X Y

所以(X ,Y )的联合密度为

???

??<<<<-=?=其他

1

,1011

)|()(),(|y x x x

x y f x f y x f X Y X

于是 y

y dx x dx y x f y f y

Y -=--=-==

?

?

+∞

-11

ln

)1ln(11),()(0

)10(<

???

??<<-=其他

1011ln )(y y

y f Y

3.13 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为2,01,02,

(,)3

0,

xy

x x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 求条件概率密度(),X

Y f x y (),Y

X f y x 以及11{}22

P Y X <

=. 解:因为,当10≤≤x 时,x x dy xy x dy y x f x f X 3

22)3(),()(2

2

02+=+

==

??+∞

∞- 又当20≤≤y 时,6

31)3(),()(102

y dx xy x dx y x f y f Y +=+

==??+∞∞- 所以,在Y =y 的条件下X 的条件概率密度为

?

?

?

??≤≤++==其他

010226)(),()|(2|x y

xy

x y f y x f y x f Y Y X

在X =x 的条件下Y 的条件概率密度为

??

?

??≤≤++==其他

202

63)(),()|(|y x y

x x f y x f x y f X X Y

dy y dy y f X Y P X Y ??+===<

210

21

0|5

23)2

1

|()21|21( 40

7

401203)10103(

2

102

=

+=+=y y 3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立? 解: 由T3.7知,X 、Y 的边缘分布分别是

X 1 3 Y 0 2 5 P

0.75

0.25

P

0.20

0.43

0.37

{1}P X ==0.75, {2}0.43P Y ==,而{1,2}0.25P X Y ===,显然 {1}P X ={2}P Y ?=≠{1,2}0.25P X Y ===,从而X 与Y 不相互独立.

3.15设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.

X \Y 0 2 5 1 0.15 0.25 0.35 3

0.05

0.18

0.02

问,a b 取何值时, X 与Y 相互独立? 解:因为 311819161)1(=++=

=X P ,a Y P +==9

1)2( 要X 和Y 相互独立,则 )2()1()2,1(=====Y P X P Y X P 即

)91(3191a +=,得9

2

9131=-=a 由 (1)(2)1P X P X =+==,得 12

(2)1(1)133

P X P X ==-==-= 即

3231=++b a ,得9

1

3132=--=a b 3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立? 解:由习题3.8,二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为

23,

02,01,(,)2

0,

xy x y f x y ?≤≤≤≤?=???其他

X 的边缘分布密度为??

?≤≤=其他0

2

02/)(x x x f X ,Y 的边缘分布密度为

??

?≤≤=其他

1

03)(2

y y y f Y ,显然有(,)()()X Y f x y f x f y =,X 与Y 相互独立.

由习题3.9,维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为

4.8(2),01,0,

(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤?=?

?其他,X 的边缘分布密度为22.4(2)01

()0X x x x f x ?-≤≤=?

?

其他,Y 的边缘分布密度为 22.4(34)01

()0Y y y y y f y ?-+≤≤=?

?

其他,显然有(,)()()X Y f x y f x f y ≠,X 与Y 不独立. 3.17设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为

2

1

,0,0,(1)(,)0,x xe x y y f x y -?<

其他,问X 与Y 是否相互独立? 解:因为 dy y xe dy y x f x f x

X ??

+∞

-+∞

-+==

2

)1(1

),()(

)0()11

(0

>=+-=-+∞

-x xe y xe x

x

dx y xe dx y x f y f x

Y ??+∞

-+∞∞

-+==0

2

)

1(1

),()( )0()1(1)()1(1)()1(1

2

020

2

>+=

+-+=

-+=

+∞

---+∞

?

y y e xe y e d x y x x x

对于x >0,y >0,都有 )()(),(y f x f y x f Y X =,所以,X 与Y 是相互独立的.

3.18 设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为()1,0,0,

(,)0

,x y x y e e e x y F x y ---+?--+≥≥=??其他讨论,X Y

的独立性.

解:因为 )0(1),(lim )(≥-==-+∞

→x e

y x F x F x

y X

)0(1),(lim )(≥-==-+∞

→y e

y x F y F y

x Y

由于

)0,0()

,(1)1)(1()()()(≥≥=+--=--=+-----y x y x F e e e e e y F x F y x y x y x Y X

所以,X 与Y 是相互独立的。

3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X +Y 的概率密度函数.

解:由于X 与Y 均服从区间(0, 1) 上的均匀分布,故X 与Y 的边缘密度函数分别为:

101()0X x f x ≤≤?=??其他,101

()0Y y f y ≤≤?=??其他

记Z X Y =+,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,Z 的概率密度函数

可以写为

()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞

=-?

当01z ≤<时,若0x z <<,则0

()1z

Z f z dx z =

=?;若0x <或x z ≥,被积函数为

0,此时显然有

()0Z f z =.

当12z ≤<时,若11z x -<<,则1

1

()12Z z f z dx z -==-?

,若1x z <-或1x ≥,被积函数为0,此

时显然有()0Z f z =;

z 的其他情形,显然有()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞

=-?

=0. 综合起来,有

,01,()2,120,Z z z f z z z ≤

=-≤< ?

其他

此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当12z ≤<时,积分区域要分

成两个部分.

3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为

2

1,0,()20,0x

X e x f x x -?>?=??≤?31,

0,()3

0,0

y Y e y f y y -?>?=??≤?

求X Y +的概率密度函数.

解:记Z X Y =+,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,

Z 的概率密度函数可以写为()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞

=-?

,于是有

136********,0(1)0()66000z x x z z x z Z e e dx x z x e edx z e e z f z ---+∞---???>>>???

->===?????????

??其他其他其他

3.21 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为(2),01,01,

(,)0,x y x y f x y --≤≤≤≤?=??

其他

求Z X Y =+的概率密度函数.

解: 根据书中72页(3.7.1)式,Z 的概率密度函数可以写为

()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞

=-?

当01z ≤<时,若0x z <<,

则00

()(2)(2())(2)(2)z z

z

Z f z x y dx x z x dx z x z z =

--=---=-=-?

?,

若0x <或x z ≥,被积函数为0,此时显然有()0Z f z =; 当12z ≤<时,若11z x -<<, 则111

21

1

1

()(2)(2())(2)(2)Z z z z f z x y dx x z x dx z x

z ---=

--=---=-=-?

?

若1x z <-或1x ≥,被积函数为0,此时显然有()0Z f z =;

z 的其他情形,显然有()0Z f z =.综合起来,有

2(2),01,()(2),120,Z z z z f z z z -≤

=-≤< ?

其他

3.22 设随机变量~[0,1],X U Y 服从参数为1的指数分布,并且X 与Y 相互独立,求max{,}X Y 的概率密度函数.

解:由于~[0,1],X U 所以分布函数为

0,0,(),

011, 1.

X x F x x x x

=≤< >?

由于Y 服从参数为1的指数分布,所以分布函数为

1,0

()0,

0,y Y e y F y y -?-≥=?

X 与Y 相互独立,故max{,}X Y 的分布函数为

max 0,

0,()()()(1),01,(1),1,z X Y z z F z F z F z z e z e z --

==-≤≤??->?

对分布函数求导以后得max{,}X Y 的密度函数

max max

0,

0,()()1(1),01,,1,z z z f z F z e z z e z --

'==--≤≤??>?

3.23 设随机变量~[0,1],~[0,2]X U Y U ,并且X 与Y 相互独立,求min{,}X Y 的概率密度函数. 解:由于~[0,1],X U 所以分布函数为

0,0,(),

011, 1.

X x F x x x x

=≤< >?

由于~[0,2]Y U ,所以分布函数为

0,0,1

(),

0121, 1.

Y y F y y y y ?

X 与Y 相互独立,故max{,}X Y 的分布函数为

min 0,

0,1()1[1()][1()](3),01,21,1,

X Y z F z F z F z z z z z

=---=-≤≤??>??

对分布函数求导以后得max{,}X Y 的密度函数

min min

1.5,01,

()()0,

z z f z F z -<

3.24 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,并且都服从正态分布2(,)N μσ,求12(,,

,)n X X X 的概率

密度函数. 解:由于12,,

,n X X X 相互独立,根据P76公式(3.8.4),易知

22

2

121212~(,)n n n Z X X X N μμμσσσ=++

++++++,于是12(,,

,)n X X X 的概率密度函

数为:

2

1

212()212122

(,,

)()()()(2)n

i i n x n X X X n n n

e

f x x x f x f x f x μσπσ=--∑==

其中,,1,2,

,.i x i n -∞<<+∞=

3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值12345,,,,X X X X X .设它们是相互独

立的随机变量, 且有相同的概率密度函数2

8,

0()4

0,0,

x x e x f x x -??≥=??

12345max{,,,,}Z X X X X X =的分布函数.

解:由题意,(1,2,

)i X i n =的分布函数为:

2

8

1,0()0,

0i x X i e x F x x -

??-≥=??

又由于12345,,,,X X X X X ,是相互独立的随机变量, 根据书中77页(3.8.6)式,

12345max{,,,,}Z X X X X X =的分布函数为:

2

8

1,0()0,

0z Z e z F z z -??-≥=??

3.26 设电子元件的寿命X (单位: 小时) 的概率密度函数为0.00150.0015,

0()0,

0,

x e x f x x -?≥=?

今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求

(1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.

解:电子元件的寿命X (单位: 小时) 的分布函数为:0.00151,

0()0,

0,

x X e x F x x -?-≥=?

(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为

(800)1(800)1(800)P X P X F >=-≤=-= 1.2e -,由于6 个元件显然彼此独立,因此,到 800 小

时时没有一个元件失效的概率为 1.26

7.2()e

e --=

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件,且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量,则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3.下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ,则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ; (B)设X 为连续型随机变量,则P (X =任一确定值)=0; (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ; (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率; 4.若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =; (B)X 与Y 相互独立 ; (C)0=XY ρ; (D)()()D X Y D X Y -=+; 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+,则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)-1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6.设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布,则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》实验报告答案

《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期

实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1.了解【活动表】的编制方法; 2.掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法; 3.掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法; 4.掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法; 5.掌握单个正态总体参数的区间估计方法. 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】,编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】,在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中,只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值,就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ,其中2σ已知,12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本,12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】,编制【单个正态总体均值t 估计活动表】,在【单个正态总体均值t 估计活动表】中,只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值,就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ,其中2 σ未知,12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本,12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X 的分布函数并作图; (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 (2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0 当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时,F (x )=P (X ≤x )=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时,F (x )=P (X ≤x )=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 故X 的分布律为 分布函数 5.(1) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ, 其中k =0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a . (2) 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N , k =1,2,…,N , 试确定常数a . 【解】(1) 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1) 两人投中次数相等的概率;

(2) 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数,则X~b (3,0.6),Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数,则X ~b (200,0.02),设机场需配备N 条跑道,则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2},求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1) 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X ~6(5,0.3) (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数,则Y~b (7,0.3) 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间 隔起点无关(时间以小时计). (1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1)32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ,Y 的概率分布,如果已知P {X ≥1}=5 9 ,试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ,故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一. 选择题(20分,每题2分) 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为: A .)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命,设:事件A={该器件的寿命为200小时},事件B={该器件的寿 命为300小时},则: A . B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3.设A,B 都是事件,且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P () A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件,且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容,则=)(B A P () B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件,且2 1 )(= A P , A, B 互不相容,则=)(B A P () B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容,则它们相互独立 C .若A,B 相互独立,则它们互不相容 D .若6.0)()(==B P A P ,则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ,且}3{}2{===X P X P ,则)(),(X D X E 的值分别为: A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本,下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量:、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本,下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量: A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ,μ未知,54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本,记 ∑==n i i X n X 1 1, 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=, 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=, 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ,21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ,则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ,使1}{=+=b aX Y p ,且+∞<<)(0X D ,则Y X ,

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶3 发,事件表示“击中i发”,i = 0,1,2,3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中;( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必然击中;( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ;( B ) ;(C) ;(D) 3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中0 < p < 1 ,n = 1,2,…,那么,对 于任一实数x,有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分) 1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时内每人需用台秤的概 率为,则4人中至多1人需用台秤的概率为:__________________。 4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、(10分)已知,求证 四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。直到查 到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数: 五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求: ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大? 六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是: 如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A), ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B), ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算 得,问新产品的强力标准差是否有显著变化?( 分别 取和0.01,已知, ) 十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下:

概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》

实验名称:正态分布综合实验 实验目的:通过本次实验,了解Matlab在概率与数理统计领域的应用,学会用matlab做概率密度曲线,概率分布曲线,直方图,累计百分比曲线等简单应用;同时加深对正态分布的认识,以更好得应用之。 实验内容: 实验分析: 本次实验主要需要运用一些matlab函数,如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等;同时,考虑到本次实验重复性明显,如,分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数,进行相同的实验操作,故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程,因此,本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程: 1.直方图与累计百分比曲线 1)实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6,方差为1的m(j)个 正态分布随机数

a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口,为下一个循 环做准备 end end 2)实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示,以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数,组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线,从实验结果看来,随着产生随机数的数目增多,组距减小,累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像,累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ).

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ~2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率

为8081 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布,则(x,y )关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X += 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=,则()D X = 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在[0,6]上服从均匀分 布,X 2服从正态分布N (0,22),X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1-2X 2+3X 3,则D (Y )= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ~ 或 X ~ 。特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有 X ~ 或~ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是: S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是: S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S:则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

(1)=?B A ,(2)=AB ,(3) =B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随 机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分: 实验名称:各种分布的密度函数与分布函数 实验内容: 1.选择三种常见随机变量的分布,计算它们的方差与期望<参数自己设 定)。 2.向空中抛硬币100次,落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x, (1)计算x=45和x<45的概率, (2)给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图)。 程序: 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布,取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布,取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布,取u=1,sigma=0.12 计算结果: m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率,并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>

plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果: Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果:

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 );

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生;

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分) (2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。 (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 2. 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。 (1)A 发生,B 与C 不发生 (2)A ,B 都发生,而C 不发生 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生 (4)A ,B ,C 都发生 (5)A ,B ,C 都不发生 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生 (7)A ,B ,C 中不多于二个发生 (8)A ,B ,C 中至少有二个发生。 3. 设A ,B 是两事件且P (A )=0.6,P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值,最 大值是多少?(2)在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 4. 设A ,B ,C 是三事件,且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ,8 1 )(= AC P . 求A ,B ,C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。(设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的 号码。 (1)求最小的号码为5的概率。 (2)求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少? 8. 在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。 (1)求恰有90个次品的概率。 (2)至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少? 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概 率各为多少? 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋,甲袋中装有n 只白球m 只红球,乙袋中装有N 只白球M 只红球, 今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少? (2) 第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ,若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ;若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次,观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是:S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次, A:第一次出现正面,则 A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= ;b5E2RGbCAP ;p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为: .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}:则 (1) A ? B ? (4) A ? B = , (2) AB ? , (5) A B = , (3) A B ? 。 ,
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ,则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签,其中 2 个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

相关主题
相关文档 最新文档