人教版八年级下册数学 知识点归纳 第十六章 分式 一、分式 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(
4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c a d bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 5．整数指数幂 1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =- （)0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(( n 是正整数)；(b ≠0) 三、分式方程 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题 1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。 2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：
13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修
建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0）其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方 4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 5．整数指数幂 1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1，即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =-（)0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方： n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)((n 是正整数)；( b ≠0) 三、分式方程 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简
13．4 课题学习 最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】 两点的所有连线中，线段 最短 如图所示，在河a 两岸有A 、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？ (画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB 交直线a 于点P ，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由： 两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这 两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】 运用轴对称解决距离最短 问题 在图中直线l 上找到一点M ，使它 到A ，B 两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直 线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M ；(3)点M 即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】 最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A ，B ， 要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． (1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A 、B 两村的距离相等，即作出AB 的垂直平分线与EF 的交点即可，
个性化教学辅导教案 ——进门测评分_____ 1．如图，△ABC中，AB=AC=20，∠A=60°，则池塘的宽BC=． 2．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么∠CAB的值是． 3．如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是．
1．（2014秋?沙河市月考）如图，直线1表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河1上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（） A．B．C．D． 2．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．． 3．如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上） （1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′； （2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）． （3）在MN上画出点Q，使得QA+QC最小．
精准突破一 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 例题讲解： 1．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为acm，那么直线l有点P，PA+PB 最短为cm． 2．如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使 △PMN的周长最小．
精品文档 专题七最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． ABllCCA，使如图所示，点异侧的两个点，在，上找一个点分别是直线CBClAB 的交点．与是直线＋最短，这时点 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． ABllCCA，使，同侧的两个点，在如图所示，点分别是直线上找一个点CBBlBClAB′的关于直线是直线的对称点＋与最短，这时先作点′，则点交 点．
CC′，连接为了证明点的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点ACBCBCACCBACCB.如下：′，′，＜′′′，证明′＋＋ BBl对称，证明：由作图可知，点′关于直线和 lBB′的垂直平分线．是线段所以直线 CCl上，因为点′在直线与 BCBCBCBC′所以. ＝′＝′′，ABCABACBC′，′＋′中，′＜′在△′ACBCACBC′，＜′所以′＋＋′ACBCACCB. ＜′所以′＋＋lMAB两点的距离和最小．，使它到 1】在图中直线上找到一点，【例 l然后连接对称点和另一个点，先确定其中一个点关于直线的对称点，分析：Ml与直线为所求的点．的交点即BlB(1)作点关于直线′；的对称点如图所示：解：MABl. (2)连接′交直线于点精品文档． 精品文档 M即为所求的点．则点 (3)点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同
八年级数学（下册）知识点总结 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）； b b a a = （b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是___1 3 4 5 ______（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
新人教版义务教育教科书数学八年级下册教材分析 李华春 一、主要内容及课时安排 本册教材包括第十六章至第二十章共五章内容，涵盖“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”全部四个领域。全书需约62课时，具体如下：第十六章《二次根式》（约9课时），主要内容有：二次根式、最简二次根式的概念；二次根式的四则运算。 第十七章《勾股定理》（约9课时），主要内容有：勾股定理；勾股定理的逆定理、逆命题。 第十八章《平行四边形》（约15课时），主要内容有：一般平行四边形和特殊平行四边形（矩形、菱形和正方形）的概念、性质和判定；三角形中位线定理、平行线间的距离。 第十九章《一次函数》（约17课时），主要内容有：常量与变量的意义；函数的概念和三种表示法；一次函数的概念、图象、性质；一次函数与方程、不等式的关系；一次函数模型。 第二十章《数据的分析》（约12课时），主要内容有：刻画数据集中趋势的统计量——平均数（加权平均数）、中位数、众数；刻画数据离散（波动）程度的统计量——方差；用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步体会用样本估计总体的思想。 此外，本书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动进一步落实“综合与实践”的要求。 二、分章介绍 （一）第十六章《二次根式》 1、内容安排 本章安排了3个小节和1个选学内容，教学时间约需9课时，大体分配如下（供参考）： 16.1 二次根式约2课时 16.2 二次根式的乘除约2课时 16.3 二次根式的加减约3课时
阅读与思考海伦—秦九韶公式（选学） 数学活动约1课时 小结约1课时 2、本章知识结构图 在“实数”一章中，学生已学习了平方根、算术平方根的概念，利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求非负数的平方根和算术平方根的方法。 本章将进一步研究二次根式的概念、性质和运算，目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，培养符号意识和运算能力。 本章重点：二次根式的运算和运算法则； 本章难点：理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯。 3、本章的主要内容包括： 16.1 二次根式的概念和性质； 16.2 二次根式的乘除（最简二次根式的概念）； 16.3 二次根式的加减。 二次根式的运算中，乘除运算比加减运算更容易，并且是加减运算的基础，因此先安排二次根式的乘除。 二次根式的运算类似于整式的运算。 4、本章主要变化 降低了对一些内容的要求，如只要求了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算（根号下仅限于数）等，注明“二次根式”一章中根号下含有字母的二次根式的化简与运算是选学内容。 5、本章学习目标 （1）了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。 （2）了解最简二次根式的概念。 （3）理解二次根式的性质。 （4）了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算。 （5）了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。 6、几个问题 本章内容，核心是以“二次根式”这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体
人教版数学八年级下册书答案 【篇一：八年级下册数学作业本答案人教版】 txt>参考答案第1章平行线【1.1】1.∠4，∠4，∠2，∠5 2.2，1，3，bc 3.c4.∠2和∠3相等，∠3和∠5互补.理由略5.同位角是 ∠bfd 和∠dec，同旁内角是∠afd 和∠aed6.各4对.同位角有∠b 和∠gad，∠b 和∠dcf，∠d 和∠hab，∠d 和∠ecb;内错角有∠b 和∠bce，∠b 和∠hab，∠d 和∠gad，∠d 和∠dcf;同旁内角有 ∠b 和∠dab，∠b 和∠dcb，∠d 和∠dab，∠d和∠dcb 【1.2(1)】1.(1)ab，cd (2)∠3，同位角相等，两直线平行 2.略 3.ab∥cd，理由略 4.已知，∠b，2，同位角相等，两直线平行 5.a 和b平行.理由略6.dg∥bf.理由如下：由dg，bf 分别是∠ade 和 ∠abc 的角平分线，得∠adg=12∠ade，∠abf= 12 ∠abc，则 ∠adg=∠abf，所以由同位角相等，两直线平行，得dg∥bf 2.(1)∠4 (2)∠3 (3)∠1 ∴∠bap=∠cap(第5题) 3.(1)∠b，两直线平行，同位角相等 【篇二：2014新人教版八年级下册数学期末试卷及答 案】 xt>期末调研检测试卷（含答案） 一、选择题（本题共10小题，满分共30分） 1．二次根式2、12 、30 x+2 、40x2、x2?y2中，最简二次根 式有（）个。 a、1 个 b、2 个 c、3 个 d、4个 2. x的取值范围为（）. a、x≥2b、x≠3c、x≥2或x≠3 d、x≥2且x≠3
3．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一 组数是（） a．7，24，25 111113,4,54,7,822 b．222 c．3，4， 5 d． 4、在四边形abcd中，o是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是（） （a）ac=bd，ab∥cd，ab=cd（b）ad∥bc，∠a=∠c （c）ao=bo=co=do，ac⊥bd（d）ao=co，bo=do，ab=bc afd 1 be 6、表示一次函数y＝mx+n和正比例函数y＝mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是（） 7.如图所示，函数y1?x和y2? 时，x的取值范围是（）14x?的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当y1?y233 a．x＜－1 b．—1＜x＜2 c．x＞2 d． x＜－1或x＞2 28、在方差公式s?221x1?x?x2?x???xn?xn????????中，下列 说法不正确的是2 （） a. n是样本的容量 b. xn是样本个体 c. x是样本平均数 d. s是样本 方差 9、多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅 读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（）
八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题专项练习附答案 一、单选题（共23题；共46分） 1.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB 上的动点，则BM＋MN的最小值是（） C. 5 D. 6 A. 4 B. 24 5 【答案】C 【解析】【解答】如图， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴点B关于AD的对称点B′在AC上， 过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M， 由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN， 过点B作BE⊥AC于E， ∵AC=10，S△ABC=25， ∴1 ×10?BE=25， 2 解得BE=5， ∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称， ∴AB=AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N=BE=5， 即BM+MN的最小值是5． 故答案为：C． 【分析】本题关键是确定点M、N分别在什么位置时，BM+MN最小。首先根据AD是∠BAC平分线可知点B的对称点B'必在AC上，再根据垂线段最短的原理从B'向AB边引垂线段，与AD、AB的交点即为M、N，因为此时B'N=MN+B'M=MN+MB。最后利用AB=AB'，结合等腰三角形两腰上的高相等把求B'N的长转化为求△ABC边AC上的高BE，据此解答即可。
2.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（） A. 140° B. 100° C. 50° D. 40° 【答案】B 【解析】【解答】如图， 分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得 ∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°. 故答案为：B. 【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值. 3.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（） A. 2 B. 2 √3 C. 4 D. 8√3 3 【答案】B 【解析】【解答】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E， 则D′E=PE+PD的最小值，
初二数学下册课本知识点 1. 分式定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相 加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即 ;当n为正整数时，正整数指数幂 运算性质请同学们自己复习也可以推广到整数指数幂. 6. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式最简公分母，把分式方程转 化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤： 1能化简的先化简2方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;3解整式方程;4验根. 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方 程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么? 1审;2设;3列;4解;5答. 应用题有几种类型;基本公式是什么? 基本上有五种： 1行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
13.4 课题学习最短路径问题 【教学目标】 教学知识点 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想. 能力训练要求 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决. 【教学过程】 一、创设情景引入课题 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将继续研究最短路径问题。 (板书)课题13.4课题学习最短路径问题 学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识. 二、自主探究合作交流建构新知 追问1:观察思考,抽象为数学问题 这是一个实际问题,你打算首先做什么? 活动1:思考画图、得出数学问题 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数? 学问题吗． 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).
1、根据1.56×2.4=3.744，不计算填出结果。 1.56× 2.4=( ) 0.156×24=( ) 2、A÷B=4.6，如果A扩大10倍，B不变，则商是（）。 3、西瓜每千克售价m元，买7千克应付（）元，28元钱能买（）千克西瓜。 4、五⑴班有学生a人，五⑵班的人数是五⑴班的1.2倍。a＋1.2a表示 （）。 5、把6.3838……用简便方法表示是（）,保留两位小数约是（）。 6、比x的5倍少1.9的数是（）。 7、一个平行四边形的底边是9cm，高是4cm，它的面积是（）cm2，和它等底等高的三角形的面积是（）cm2。 8、18.6、20.4、34.8、35.2、37这组数据的中位数是（）。 9、转动转盘，指针停在黄色区域的可能性是（），如果转动60次，估计大约会有（）次指针停在蓝色区域。 10、在○里填上＞、＜或＝。 15.9÷0.3○15.9 6.7×0.4○6.7 a×a○a2 二、请你来当小裁判。 1、方程9x－3x=4.2的解是x=0.7 （） 2、一批货物a吨，运走b吨，还剩a－b吨。（） 3、观察一个正方体，最多能看到2个面。（） 4、如果盒里有8个白球,2个黄球,小明先摸一个,一定是白球。( ) 5、同底等高的两个平行四边形的面积不一定相等。（） 6、x一定大于2x。（） 三、选一选。 1、一个三角形的面积是s平方厘米，高是2厘米，那么底是（）。 A、S÷2 B、2S÷2 C、2S 2、下面各数中，有限小数是（）。 A、1.33 B、1.33 C、1.366…… 3、有数字卡片1—7，每次任意抽出一张，抽到单数的可能性是（） A、1/7 B、3/7 C、4/7 4、4.75÷1.6的得数保留一位小数是（）。
13.4 课题学习 最短路径问题 一、 学习目标 ①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容 自学课本85页，完成下列问题： 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边 l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在 l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． B 。 。A l
三、探究学习 1、活动2：尝试解决数学问题 问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在 l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求 四、巩固测评 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的 问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B ′； （一）基础训练：1、最短路径问题 B A l C l
华师版初中数学八年级下册教材总目录八年级下册 第16章分式 16.1分式及其基本性质 1.分式 2.分式的基本性质 16.2分式的运算 1. 分式的乘除 2. 分式的加减 阅读材料类比 16.3可化为一元一次方程的分式方程 16.4零指数幂与负整指数幂 1. 零指数幂与负整指数幂 2. 科学记数法 阅读材料光年与纳米 小结 复习题 第17章函数及其图像 17.1变量与函数 17.2函数的图像 1. 平面直角坐标系 2. 函数的图象 阅读材料笛卡儿的故事 17.3一次函数 1.一次函数 2.一次函数的图象 3. 一次函数的性质 4. 求一次函数的表达式 阅读材料小明算得正确吗 17.4反比例函数 1.反比例函数 2. 反比例函数的图象和性质 17.5实践与探索 阅读材料 The Graph of a Function
小结 复习题 第18章整式的加减 18.1平行四边形的性质 18.2平行四边形的判定 阅读材料稳定性PK不稳定性 小结 复习题 第19章矩形、菱形与正方形 19.1矩形 1.矩形的性质 2. 矩形的判定 阅读材料完美矩形 19.2菱形 1.菱形的性质 2.菱形的判定 19.3正方形 阅读材料四边形的变身术 小结 复习题 综合与实践图形的等分 第20章数据的整理与初步处理 20.1平均数 1. 平均数的意义 2. 用计算器求平均数 3.加权平均数 阅读材料平均化 20.2数据的集中趋势 1. 中位数和众数 2. 平均数、中位数和众数的选用 阅读材料计算机帮我们求平均数、中位数和众数 20.3数据的离散程度
1. 方差 2. 用计算器求方差 阅读材料早穿皮袄午穿纱小结 复习题 综合与实践通讯录的设计
人教版八年级数学一一最短路径问题（课题学习） 班级_____ 姓名__________ 一、学习目标：①学会将生活实际中的最短路径问题转化为数学中“两点之间，线段最短”问题；②学会解决最短距离问题的数学本质；③培养学生将实际问题抽象为几何问题以 及同类问题之间的转化思想。 二、学习重点：①会将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；②将实际问题抽象为几何问题，构建数学模型。 三、学习难点：会将最短距离问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 四、学习过程： 一、预习案 从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学 知识来说明这个问题. 二、探究案 将军饮马问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。请问将军怎样走路程最短？ 分类讨论： 一、两个城堡在小溪的异侧（抽象成两点在一条直线异侧） 如图，古罗马将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
(1)你能将这个问题抽象为数学问题并在下列方框中画出图形吗? (2 )请说出你的做法，并指明将军所走路线; (3)你能用所学的知识解释为什么最短吗? 、两个城堡在小溪的同侧(抽象成两点在一条直线同侧) 如图，将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到河边饮水一次, (1)你能将这个问题抽象为数学问题并在下列方框中画出图形吗?这位将军怎样走路程最短?
(2 )请说出你的画法，并指明将军所走路线; (3 )你能用所学的知识证明将军所走路最短吗?
(4)回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的? 变式一 如图，将军骑马从驻地 A 出发，先牵马去草地 0M 吃草，再牵马去河边 最后回到驻地 A ，问这位将军怎样走路程最短？ (1)这是一个实际问题，你能将这个问题抽象为数学问题吗？请画出图形。水, ON 喝
八年级下册数学书 复习题16答案 4、（1）无解；（2）x=-6/35 5、（1）x不等于-1/2，且x不等于2 （2）x不等于正负2，且x不等于3/2 6、（1）x=2；（2）x大于-1/2； （3）x小于2 7、（1）x=-7 8、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？ (600-450)/50=3 600/3=200台 原来的速度做的话只可以做450台, 现在的速度可以做600台, 就比原来多做了150台, 多做150台,而每天只多做50台, 那多要3天才能做完, 600台机子3天做完, 那就当然是200台了 600/X=450/(X-50) 600X-30000=450X 150X=30000 X=200
9、一台收割机相当于一个农民工作效率的150倍。若这机器收割10公顷比100个农民少1小时，这台收割机每小时收割多少公顷? 收割机相当150个农民，收割时，150个与100可看作100与100，另外多出50，由题可知，多出50个干的，相当100个干一小时，那么明显一共干了2小时，所以收割机一小时收5公顷。 设这台收割机每小时收割X公顷，则一个农民工作效率为（X/150）公顷。 10/[（X/150）×100]-10/X=1 1500/100X-10/X=1 500/100X=1 5/X=1 X=5公顷 这台收割机每小时收割5公顷小麦。 10题一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分到达目的地。求前一小时的行驶速度。 设前一小时的平均速度 V 1+（180-1*V）/(1.5V)+40/60=180/V 1+120/V-2/3+2/3=180/V 60/V=1 V=60 11题运动员两端的半圆形跑到外径为R，内经为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，请用含S，R，r的式子表示直跑道的长a。 两个半圆型跑道面积共为2π（R平方-r平方）
八年级下册 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1、（4页）一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2、（7-8页） 不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 3、（10页）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （11页）求不等式解集的过程叫做解不等式。 … 4、（14页）不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5、（27页）一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 6、（28页）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 第二章 分解因式 7、（44页）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 8、（47页）多项式bc ab +的各项都含有相同的因式b 。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如b 就是多项式bc ab +各项的公因式。 9、（47页）如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 10、（57页）形如222b ab a ++或2 22b ab a +-的式子称为完全平方式。 11、（57页）如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 ()()b a b a b a -+=-22 ()2222b a b ab a +=++ ()2222b a b ab a -=+- \ 第三章 分式 12、（66页）整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 13、（68页）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 14、（69页）把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 15、（74页）分式乘除法的法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 16、（80页）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 17、（82页）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加
人教版初中数学八年级下册教材分析 义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册包括5章，约需62课时，供八年级下学期使用。具体内容如下： 第16章分式（约14课时） 第17章反比例函数（约8课时） 第18章勾股定理（约8课时） 第19章四边形 （约18课时） 第20章数据的分析（约14课时） 本册书的5章内容涉及《数学课程标准》中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容。 第二十一章二次根式一、内容分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． 2aa a2=a（a≥0）（．））=a（a≥0 （2 ）理解（a≥0）是一个非负数，， bbaaabab；=，0b≥（30）掌握）··，＝（a≥aaaa b>0）．=， （a≥0a=（≥0，b>0），bbbb（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们 对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．
（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式 教学重点 2aaa a2=a≥0是一个非负数；）（；．）二次根式（（a≥0）的内涵．a（a≥0）＝a 1（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 2aa a2=a（a0≥0）及）是一个非负数的理解；对等式（0））＝a（a 1≥．对≥（a的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时