3.1.1 直线的倾斜角与斜率
教学目标:
1、 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2、 理解直线的倾斜角的唯一性.
3、 理解直线的斜率的存在性.
4、 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水
平面之间的一个什么关系呢?
二、讲授新课：
1. 教学直线倾斜角与斜率的概念：
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P 的直线l 的位置能确定吗? 如图, 过一点P 可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:
① 直线倾斜角的概念： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角
注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入
直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系
内的每一条直线的倾斜程度.
直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P 和一个倾斜角α..
② 直线斜率的概念：直线倾斜角α的正切值叫直线的斜率.
常用k 表示,tan k α=
讨论:当直线倾斜角为90?度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?α取值范围是0°≤α＜180°.
给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率?
③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点111(,)p x y 与222(,)p x y ,则过这两点的直线的斜
率2121
y y k x x -=- 思考 :(1)直线的倾斜角α确定后, 斜率k 的值与点1p ,2p 的顺序是否有关?
(2)当直线平行表于y 轴或与y 轴重合时,上述公式2121y y k x x -=
-还适用吗? 归纳： 对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；
(2) k 与P 1、P 2的顺序无关, 即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与
分母不能交换;
(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y 1=y 2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合.
2. 教学例题:
例1．已知 A （3，2），B （-4，1），C （0，-1）求直线AB 、AC 、BC 的斜率,并判断这些直线
的倾斜角是锐角还是钝角.
例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1,2,3--的直线123,,l l l .
例3．已知三点A （a ，2）、B （5，1）、C （-4，2a ）在同一直线上，求a 的值。（
2
7） 三. 巩固与提高练习:
1．教材P86面练习第1、2、3、4题。 2．若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30°角，则l 的倾斜角为 60° 、l 的斜率为 3 。
3．已知等边三角形ABC ，若直线AB 平行于y 轴，则∠C 的平分线所在的直线的倾斜角为 0° ，
斜率为 0 ，另两边AC 、BC 所在的直线的倾斜角为 120°、60°，斜率为 （ －3、 3 ） 。
4．当且仅当m 为何值时，经过两点A （m ，3）、B （-m ，2m-1）的直线的倾斜角为60°？
四.小结:
倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.
五:作业《习案》十七