定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用

定积分在物理学中有重要的应用．用定积分解决物理问题的关键在于：首先对各种常用坐标系有个整体概念；其次理解各种常用坐标系下“数学微元”的意义；第三对被解决的问题本身有深刻的认识．掌握了这三个关键，可以针对被处理的具体问题选择合适的坐标系，确定积分上限，最后根据计算公式建立积分式来解决相关问题.

1、用定积分计算液体静压力

例 1 一管道的圆形闸门，半径为3米，问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？

解 为方便起见，取水平直径为y 轴，此时圆的方程为229x y +=．由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重与深度的乘积，故当x ?很小时，闸门上从深度x 到x x +?这一狭条上所受的静压力为

dx x vx dP P 292-==?．

从而闸门上所受的总压力为

v dx x vx P 18923

02=-=?． 2、用定积分计算变力作功

由物理学知道，如果物体在直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这个物体上，且该力的方向与物体运动的方向一致，那么在物体移动距离S 时，力F 对物体所作的功S F W ?=．若物体在运动中所受到的力是变化的，则此情况下就是变力沿直线作功问题．

设物体在变力)(x F 作用下从a x =移动到b x =．取小区间],[dx x x +，在这段距离内物体受力可近似等于)(x F ，所以功元素为dx x F dW )(=，故

?=b

a dx x F W )(． 例2 把一个带电量为q +的点电荷放在r 轴的原点o 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2

r q k F =（k 是常v x

数）．当这个单位正电荷在电场中从a r =处沿r 轴移动到b r =)(b a <处时，计算电场力F 对它所作的功．

解 单位正电荷在电场中从a r =处沿r 轴移动到b r =处时，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的．取r 为积分变量，它的变化区间为[]b a ,．在[]b a ,上任取一个小区间[]dr r r +,，当单位正电荷从r 移动到dr r +时，电场力对它所作的功近似于dr r

kq 2，从而得功元素为 dr r

kq dW 2=， 于是所求的功为

b

a b

a r kq dr r kq W )1(2-==?)11(

b a kq -=． 这一节介绍了定积分在物理学中的应用，主要介绍用定积分计算物体受力和变力做功问题．

定积分在物理学中的应用

数学与计算科学学院 学年论文 题目定积分在物理学中的应用 姓名邓花蝶 学号 1209403047 专业年级 2012级数学与应用数学 指导教师耿平 2015年 9 月 1 日

定积分在物理学中的应用 ——求刚体的转动惯量 摘要 众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程常都 会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我 们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。因此当前我们在对物理学 的学习中，就要将定积分应用到其中。定积分是高等数学的重要组成部分， 在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用 的方法。本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的 转动惯量。 关键词 定积分；物理应用；微元法; 转动惯量；均匀刚体 The application of definite integral in physics ——For the moment of inertia of rigid body Abstract As we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integral to it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral.In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of several common uniform rigid body in physics.

定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用 目录： 一．摘要 二．变力沿直线所作的功 三．液体的侧压力 四．引力问题 五．转动惯量

摘要： 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0

定积分在物理上的应用(学习资料)

授课题目定积分在物理上的应用 课时数1课时 教学目标用定积分解决物理学上的变力做功以及液体压力问题。 重点与难点教学重点：定积分方法分析变力做功和液体压力。教学难点：定积分的元素法以及物理量的计算公式。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完定积分的概念和计算方法以及定积分在几何上的应用后的学习，定积分的元素法在几何和 物理上的应用为学生尝试解决各种实际问题做了很好的 铺垫。将来把元素法的思想推广到多元函数后，其应用 范围将会更宽更广。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。 教学手段传统教学与多媒体资源相结合。

课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、 变力沿直线所作的功 dx x F dW )(= ?=b a dx x F W )( ，求电场力所做的功。 处处移动到从距离点电荷直线下，一个单位正电荷沿电荷所产生的电场作用、在一个带例)(1b a b a q <+为时，由库仑定律电场力原点解：当单位正电荷距离r 2r q k F = dr r kq dW 2=则功的元素为： 所求功为 )11(]1[2b a kq r kq dr r kq W b a b a -=-==? 例2、在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞a 移动到b 处（如图），求移动过程中气体压力所做的功。 解：建立坐标系如图. 由波义耳---马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xS k V k p == ，故作用在活塞上的力为 x k S p F =?= x a b x x x d +q +o r a b r r d r +1+S o x a b x x d x +

定积分在物理中的应用 说课稿 教案 教学设计

定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O

1.7.2定积分在物理中的应用(学、教案)

1. 7.2定积分在物理中的应用 课前预习学案 【预习目标】 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 【预习内容】 一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 . 例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ） ??? ????≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100, 103)(2t t t t t t v 求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程. 变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置. 二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a x =移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = . 例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功. 变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成?30方向作直线运动，则由1=x 运动到2 =x 时)(x F 作的功为 .

课内探究学案 一、学习目标： 1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、学习重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三、学习过程 (一)变速直线运动的路程 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 （二）变力作功 1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）． 2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的 功W =?b a dx x F )(． 例2．教材例4。 课后练习与提高 1、 设物体以速度)/(3)(2s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ） m A 70. m B 72. m C 75. m D 80. 2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ） s A 5. s B 10. s C 20. s D 35. 3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402 t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ） m A 3160. m B 380. m C 340. m D 3 20.

定积分在实际问题中的应用

第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral 教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截 面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题. 内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积. 教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容: 一、定积分的几何应用 1. 平面图形的面积 设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积. 分析求解如下: (1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性. (2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为 12[()()]dS f x f x dx =- (3) 所求图形的面积 22[()()]b a S f x f x dx =-? 图6-3 【例1】 求曲线x y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积. 解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x x f x g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元 x dS e dx = 于是所求面积 1 10 1x x S e dx e e ===-? 【例2】 求曲线2y x =及2 2y x =-所围成的平面图形的面积.

定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用 定积分在物理学中有重要的应用．用定积分解决物理问题的关键在于：首先对各种常用坐标系有个整体概念；其次理解各种常用坐标系下“数学微元”的意义；第三对被解决的问题本身有深刻的认识．掌握了这三个关键，可以针对被处理的具体问题选择合适的坐标系，确定积分上限，最后根据计算公式建立积分式来解决相关问题. 1、用定积分计算液体静压力 例 1 一管道的圆形闸门，半径为3米，问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？ 解 为方便起见，取水平直径为y 轴，此时圆的方程为229x y +=．由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重与深度的乘积，故当x ?很小时，闸门上从深度x 到x x +?这一狭条上所受的静压力为 dx x vx dP P 292-==?． 从而闸门上所受的总压力为 v dx x vx P 18923 02=-=?． 2、用定积分计算变力作功 由物理学知道，如果物体在直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这个物体上，且该力的方向与物体运动的方向一致，那么在物体移动距离S 时，力F 对物体所作的功S F W ?=．若物体在运动中所受到的力是变化的，则此情况下就是变力沿直线作功问题． 设物体在变力)(x F 作用下从a x =移动到b x =．取小区间],[dx x x +，在这段距离内物体受力可近似等于)(x F ，所以功元素为dx x F dW )(=，故 ?=b a dx x F W )(． 例2 把一个带电量为q +的点电荷放在r 轴的原点o 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力．由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2 r q k F =（k 是常v x

定积分在物理中的应用。

定积分在物理中的应用 土地院 二十一组 地信组长：杜睿 组员：周莉 徐玥 李婷 解决物理问题时，我们需要建立数学模型。在解决变力做功、水压力、引力等问题，引入定积分方可解决计算问题。所以说定积分是解决物理问题的重要数学方法。本文首先介绍：元素法（微元法），定积分定义，然后讨论第积分在物理学中的基本应用。 1、定积分求函数f(x)在区间（a,b ）中图线下包围的面积。即由y=0，x=a,x=b,y=f(x)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，样列是曲边三角形。 2、定积分是求总量的数学模型，元素法把物理中积累问题化为定积分问题，提供用定积分解决各种积累问题一般框架。 元素法主要步骤（求量A ）: 第一步取dx ，确定变化区间。量A 是与x 的变化区间[a,b]有关的量 第二步把[a,b]分成许多小区间，取任意一区间[x,x+dx]，所以f(x)dx 称为是A 的微元记为dA. 即ΔA=dA=f(x)dx 第三步在区间[a,b]上积分，得A= f (x )dx b a =F(b)-F(a) 3、定积分在物理学中应用 (1)变力与变速 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s 时，力F 对物体所做的功为 W=F ·S 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就会遇到变力对物体作功的问题。需用元素法。下面举例说明

例2、把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F=k q r 2（其中k 为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=2a 处，与从r=2a 处移动到r=3a 处，电场力对它所做的功之比为？ 分析：由定积分的物理意义可得：在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=2a 处，与从r=2a 处移动到r=3a 处，电场力对它所做的功之比为：（ k q r 22a a dr ）:( k q r 2dr 3a 2a )解出即可 (2)水压力 从物理学知道水压力=P=p ·A 如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p 不想等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算。如课本292例4 (3)引力从物理学知道，质量分别为m1、m2,相距为r 的两质点间的引力大小为 F=G m 1m 2 r 2 其中G 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向。 如要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与改质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述方式来计算。（课本293例5） 总结：由以上可以看出定积分与物理学有着密不可分的联系，此外，定积分的应用在生活中也很常见，可以计算一些图形的面积，对生活有着极其重要的意义 关于定积分的应用说明三点: 1.选择合适的坐标系 2.善于根据问题的性质和要求构造积分元素,主要是选择好参数,并能正确地确定出积分限, 3.具体计算定积分时,要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算,对此,熟悉区域或曲线的形状,对于解决问题是十分有益的.

定积分在物理中的应用

1．7.2 定积分在物理中的应用 学习目标 1.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． 知识点一 变速直线运动的路程 思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？ 答案 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念． 梳理 (1)当v (t )≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用 ()2 1 d t t t t ?v 求解． (2)当v (t )<0时，求某一时间段内的位移用()2 1 d t t t t ?v 求解，这一时段的路程是位移的相反数， 即路程为－ ()2 1 d t t t t ?v . 做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上 的定积分，即?b a v (t )d t . 知识点二 变力做功问题 思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决？ 答案 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a

微积分在大学物理中的几点应用概要

毕业设计（论文）题目：微积分的几点物理应用 学院：数理学院 专业名称：应用物理 学号：200941220103 学生姓名：孙川 指导教师：李建 2013年05月18日 摘要

微元法在物理学中应用非常普遍.在大学物理学中, 从静电场到恒定磁场，从质点的运动学到刚体的力学，都要遇到用微积分来解决的问题.本论文主要探讨的是在大学物理学习中,应用微积分方法解决问题时几个问题. 微积分主要思想和方法利用微元法处理比较复杂物理问题时,可以先把它分割成许多在较小时间、空间等范围内的可以近似处理的基本问题,然后再对此可研究的简单的基本问题进行讨论,最后再把所有局部范围内研究的结果累积起来,就可以得到问题结果.在理论分析时,把分割过程无限地进行下去,局部范围便会无限地小下去,这就是微分;把所有的无限多个微分元的结果进行叠加,便是积分.这就是微积分的主要思想和方法,是一种辩证的思想和分析方法 关键字 微积分微元法质点力学刚体力学电磁学

Abstract Calculus is quite common in physics. In College Physics, from the particle motion mechanics to particle dynamics mechanics, both the electrostatic field and a constant magnetic field meet the question which needs use the calculus. This article mainly discusses the learning of university physics; Applied Calculus approach to the problem should pay attention to several issues. The main ideas and methods of the calculus, using the calculus method to deal with more complex physical problems. It’s f irst “break up the whole into parts “, it is divided into many smaller time, space Etc. within the range of processing of the basic Can be approximated. Then, to research simple questions hold discussion. Lastly, “Zero for the whole plot”, within the scope of all the result of study Accumulated. The results can be obtained. In theoretical analysis, the segmentation process is carried on unlimited. Then Local scope Narrow down unlimited. This is differentiation. All the Differential element Superimposed, it is integral calculus. This is the main ideas and methods of the calculus. Is a kind of dialectical thinking and analytical methods. Key words Calculus Micro-element method Particle mechanics Rigidbody mechanics Electricity and Magnetism

数学：1.7.2《定积分在物理中的应用》教案(新人教A版选修2-2)

1.7.2 定积分在物理中的应用 一、教学目标： 1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习 1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）． A ．38 B ．2 C ．34 D ．3 2 2．曲线y = cos x 3(0)2 x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A ．4 B ．2 C ．52 D ．3 3．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积． 解：如图：由2230y x x y ?=?--=? 得A （1，– 1），B （9，3）． 选择x 作积分变量，则所求面积为 10011((3)]2S dx x dx =+-?? =911 12(3)2x dx +--??? =3321992201142332||()|33423 x x x x +--=． （二）新课 变速直线运动的路程 1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即?=b a dt t v s )(． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是 ()dt t ?-5 3sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。

(整理)定积分在物理学上的应用.

第五章 第六节 定积分在物理学上的应用 教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力 教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、变力沿直线所作的功 例1 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功? 解：建立如图所示的坐标系 将高为的球缺取出水面，所需的力为： 其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。 由球缺公式 )3 (2x r x V -?=π 有 g x r x r F ????????-?-?=1)3(3 423ππ浮 从而 )]2,0[()3()(2 r x g x r x x F ∈-?=π 十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。 取为积分变量，则，对于上的任一小区间[,]x x dx +，变力从到这段距离内

所作的功。 g x r x dx x F dW )3()(2 -?==π 这就是功元素，并且功为 g r x x r g dx x r gx W r r 4204320234123)3(?=??????-=-?=ππππ 另解 建立如图所示的坐标系 取为积分变量， 则 ， 在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为 由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为 将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。 故功元素为 二、水压力 在水深为处的压强为，这里是水的比重。 如果有一面积为的A 平板水平地放置在水深h 处，那未，平板一侧所受的水压力为 若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。 例2 边长为和的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。