练习一
一、1．B 2. A 3. C 4. D 二.1.
88
365365
A 2. 41/90 3. 25/42 4.
π
1
2
1+
5. 0.4 0.6
6.15
2
三、已知：P (A )=0.45，P (B )=0.35，P (C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08，
P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03
(1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P (2)07
.0)()()(=-=
ABC P AB P C AB P
(3)3.0)(=C B A P
23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P
2
.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P
得73
.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P
(4)14
.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C
AB P P
(5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P
四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0 则A ={(x ,y )| xy ≤2/9, x +y ≤1, 0 S Ω=S OAED =1×1=1； 2 ln 9 231)921(112 1323 1+=--- ??==? dx x x S S A 阴 得2ln 9 23 1+ = = Ω S S P A 练习二 一、1．B 2. B 3. D 4. C 二、Ω：“全厂的产品”；A 、B 、C 分别为：“甲、乙、丙各车间的产品”，S ：“次品”，则 (1)由全概率公式，得 P (S )=P (A )P (S |A )+P (B )P (S |B )+P (C )P (S |C ) =25%×5%+35%×4%+40%×2%=3.45% (2)由贝叶斯公式，得 % 23.3669 25 345125%45.3%5%25) () |()()|(≈==?= = S P A S P A P S A P 三、设A ={从第一批产品中任取一件时，取到废品} {= B 先从第一批产品中任取一件放入第二批中，再从第二批 产品中任取一件，此时取得废品} 由全概率公式知 )()()()()(A B P A P A B P A P B P += =132 1311 11211112121=?+? 四、10 1 )(,157)(,154)(=== AB P B P A P 有：143 157101)()()|(= = = B P AB P B A P 8 315 4101) ()()|(= == A P A B P A B P 30 19)()()()(= -+=AB P B P A P B A P 五、b B A P b a B P B A P B P A P B P AB P B A P ) () () ()()() ()()|( -+= -+= = 又P (A ∪B )≤1，则b b a B A P 1)|(-+≥ 练习三 一、1．B 2. A 3. C 4. D 5.B 二、A 1、A 2、A 3分别“甲、乙、丙击中飞机”，则A 1、A 2、A 3相互独立 B i ：“有i 个人击中飞机”（i =1,2,3），有：Ω == 3 1i i B ；B ：“飞机被击落” 由已知：P (A 1)=0.4，P (A 2)=0.5，P (A 3)=0.7 3213213211A A A A A A A A A B = 36.0075.06.03.05.06.03.05.04.0 )()()()()()()()()()(3213213211=??+??+??=++=A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P 41 .0)(23213213212=?=B P A A A A A A A A A B B 3=A 1A 2A 3?P (B 3)=0.14 又P (B |B 1)=0.2，P (B |B 2)=0.6，P (B |B 3)=1 由全概率公式，得： 458 .0114.06.041.02.036.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i B B P B P B P 三、A i ：“C 发生时第i 只开关闭合”，由已知有：P (A i )=0.96 (1)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=0.96+0.96-0.96×0.96=0.9984 (2)设需k 只开关满足所需可靠性，在情况C 发生时，k 只开关中至少有一只闭合的概率为： 3 9999.004 .01) 96.01(1)()()(1)(1)(1)(min 21212121=?≥-=--=-=-=-=k A P A P A P A A A P A A A P A A A P k k k k k k 四、(1)3087 .0)3.01(3.0)2(3 2255 =-=C P (2)A ：“5个样品中至少有2个一级品”，有： 47178 .07 .03.01)(1)()(1 55 1 5 5 2 5 =- =- == ∑∑∑=-==i i i i i i C i P i P A P 练习四 一、1. D 2. D 3. A 4. B 二、(1)任掷两骰子所得点数和i 有2→12共11种可能 令ωi 表示和数为i 的样本点(i =2,3,…,12),则基本事件集Ω={ω2, ω3,…, ω12 } (2)由已知,得：?ωi ∈Ω，有ξ(ωi )=2i (i =2,3,…,12）,则ξ的可能值为2i (i =2,3,…,12） (3){ξ<4}=φ； {ξ≤5.5}={ξ=4}={ω2}； {6≤ξ≤9}={ξ=6}∪{ξ=8}={ω3}∪{ω4}； {ξ>20}={ξ=22}∪{ξ=24}={ω11}∪{ω12} (4)P {ξ<4}=0；P {ξ≤5.5}=P {ω2}=1/36；P {6≤ξ≤9}=P {ω3}+P {ω4}=2/36+3/36=5/36； P {ξ>20}= P {ω11}+P {ω12}=2/36+1/36=3/36=1/12 三、(1) ξ的所有可能值为0，1，2 P {ξ=0}= 35 223153 13= C C ； P {ξ=1}= 35 12315 2 1312= C C C ； P {ξ=2}= 35 1315 1 1322= C C C 故ξ的分布律为： (2)F (x )=P {ξ≤x } 当x <0时，{ξ≤x }为不可能事件，得F (x )=P {ξ≤x }=0 当0≤x <1时，{ξ≤x }={ξ=0}，得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}=22/35 当1≤x <2时，{ξ≤x }={ξ=0}∪{ξ=1}，又{ξ=0}与{ξ=1}是两互斥事件， 得F (x )=P {ξ≤x }=P {ξ=0}+P {ξ=1}=22/35+12/35=34/35 当x ≥2时，{ξ≤x }为必然事件，得F (x )=P {ξ≤x }=1 综合即得 四、（1）由分布函数的性质)0()0(,1)(F F F ==+∞+得 ;10,1-=?=+=B B A A （2）对)(x F 分段求导得X 的概率密度为2 2 ,0,()0,0; x xe x f x x -??=??≤? （3）P X F F =- =6 1)1()1(2 4ln 2 9ln = ---- -e e . 五、(1)π π1 1111)(1 1 2 = ?=?=-? =? ?-+∞ ∞ -A A dx x A dx x f (2)3 111 )2 12 1(2 1 2 12 = -= < <- ? -dx x P πξ (3)dt t f x F x ? ∞ -= )()( 当x <－1时，00)(== ? ∞ -dt x F x 当－1≤x ≤1时，x dt x dt x F x arcsin 1 2 111 0)(1 2 1 π π+ = -+ =? ? --∞ - 当x >1时, 1011 0)(1 1 1 2 1 =+ -+ = ? ? ? --∞ -dt dt x dt x F x π 综合即得 六、(1)P {2<ξ≤5}=Φ(2 35-)-Φ(2 32-)=Φ(1)-Φ(-0.5)=Φ(1)-[1-Φ(0.5)]=0.5328 P {-4<ξ<10}=Φ( 2 310-)-Φ( 2 34--)=Φ(3.5) -Φ(-3.5)= 2Φ(3.5) -1=0.9996 P {|ξ|>2}=1-P {-2≤ξ≤2}=1-Φ(2 32-)+Φ( 2 32--)=1-Φ(-0.5)+Φ(-2.5)=0.6977 P {ξ>3}=1-P {ξ≤3}=1-Φ( 2 33-)=1-Φ(0)=1-0.5=0.5 (2) P {ξ>C}=1-P {ξ≤C}=P {ξ≤C}?P {ξ≤C}=0.5?Φ(2 3-C )=0.5? 2 3-C =0?C=3 练习五 一、1．A 2. B 3. C 4. B 5. B 二、?? ??∈=) 1,0( ,0)1,0( ,1)(x x x f X (1)y =e x 在(0,1)严格单调增且可导，则x =ln y 在(1,e )上有：(ln y )'=y 1 ∴?? ???<<=其它 ,01 |,1|)(ln )(e y y y f y f X Y ??????<<=其它 ,01 ,1)(e y y y f Y (2)y = -2ln x 在(0,1)严格单调减且可导，则2 y e x - =在(0,+∞)上有：22 2 1)(y y e e - - -=' ∴ ?????>-=--其它 ,00 |,2 1|)()(22y e e f y f y y X Y ??? ???>=-其它 ,00 ,21 )(2y e y f y Y 三、X 的概率密度为? ??-∈=其它 ,0] 2/ ,2/[ ,/1)(πππx x f X 易知Y 的取值区间为[0，1]；以下分三段求Y 的分布函数)()(y Y P y F Y ≤= （1）当y ＜0时，0)()(=Φ=P y F Y ； （2）当0y ≤＜1，如图所示， ()()(cos )Y F y P Y y P X y =≤=≤ =(arc cos arc cos )2 2 P X y y X π π -≤≤-≤≤ 或 =arc cos 2arc cos 2 1 1 y y dx dx π π ππ -- + ? ? =2arc cos 1y π - ； （3）当1y ≥时，()()()1Y F y P Y y P =≤=Ω= 对()Y F y 分段求导得Y 的概率密度为 0 1()0, Y y f y ≤=? 其它 四、 五、(1)12112/1),(0 40 3=?==?=? ?? ?+∞ -+∞ ∞ -+∞-+∞ ∞ -k k dy e dx e k dxdy y x f y x (2) ??? ??>>--=== --+-∞ -∞ -???? 其它 ,00 ,0 ),1)(1(12),(),(4300 )43 (y x e e dxdy e dxdy y x f y x F y x y x y x y x (3)P (0 练习六 1．(1)22 11),(π π =?==?? +∞ ∞-+∞∞ -A A dxdy y x f (2) 161) 1)(1(1 1 1 02 2 2 =++= ?? dxdy y x P π (3)) 1(1) 1)(1(1 )(2 2 2 2 x dy y x x f X += ++= ? +∞ ∞ -ππ，同理)1(1)(2y y f Y +=?π 有f (x ,y )=f X (x )f Y (y )，故X 与Y 独立 2．X 与Y 独立，则P {X =x i ,Y =y j } =P {X =x i }P {Y =y j } 有： 3．(1)2,10)]3/()[2/(0),(0)2/)](2/([0),(1 )2/)(2/(1),(2ππ ππππ===??? ? ?? =+-?=-∞=-+?=-∞=++?=+∞+∞C B A y arctg C B A y F C x arctg B A x F C B A F (2)) 9)(4(6),(),()32)(22(1),(2 2 22 2++=???=?++=y x y x y x F y x f y arctg x arctg y x F ππππ (3)2121)22)(22(1),()(2x arctg x arctg x F x F X πππππ+=++=+∞= 则有)4(2 )(2+= x x f X π；同理得：3121)(y arctg y F Y π+=，) 9(3)(2 +=y y f Y π 4． 5．设第i 周需要量为X i （i =1,2）???≤>=?-0 ,00 ,)(i i x i i X x x e x x f i i (i =1,2) 令X =X 1+X 2，则???>>=+-其它 ,00 ,0 ,),(21)(212121x x e x x x x f x x ?? ???≤>+++-=== --+-≤+???? 0 ,00,)12 161(1),()(2320)(21012 1211 2121x x e x x x dx e x x dx dx dx x x f x F x x x x x x x x x X ?????≤>=?-0 ,00 ,6 1)(3x x e x x f x X 6．dxdy y x f dxdy y x f z Z P z F z y x z y x Z ?? ?? ≤+≤+= = ≤= 22 ),(),()()( (1)z ≤0?F Z (z )=0； (2)z z x z y x z Z ze e dy e dx z F z 2220 ) (20 21)(0---+---== ?>? ? 故? ? ?≤>=????≤>--=---0 ,00 ,4)(0 ,00 ,21)(222z z ze z f z z ze e z F z Z z z Z 练习七 一、1. D 2. B 3. B 4. D 5. C 6. (1)A (2)B 二．1. 8， 2. 4，2.4， 18.4， 3. 1 三、 ()? +∞ λ-λ = λ= 1dx e x X E x ，()? +∞ λ-λ = λ=0 2 22 2dx e x X E x ()()()2 2 2 1λ = -=X E X E X D 四、E (X )=q x k k k k k k x p kq p kpq =∞ =∞ =-∞ =-∑∑∑' ==1 1 1 11 )( p q p x x p x p q x q x k k 1) 1()1( )(2 1 = -= ' -=' ===∞ =∑ E (2 X )=)()()(1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 '='='==∑∑∑∑∑∞ =-∞ =∞ =∞ =-∞=-k k k k k k k k k k kq q p kq p kq p q k p pq k 2 2 2]) 1([ p p q q p -='-= D (X )= E (X 2)-E 2(X )=2 2 1p q p p = - 五、E (X )=0)(2 | |== ? ?∞ +∞ -- ∞ +∞-dx xe dx x xf x D (X )=32 2)()]([0 2 2 2 ||2 2 === - ? ? ?∞ +- ∞ +∞ -- ∞ +∞-dx e x dx e x dx x f X E x x x 六、令搜索时间为T ，则T 的分布函数为???≤>-=-0 ,00 ,1)( t t e t F t λ，得： ? ??≤>=-0 ,00,)( t t e t f t λλ，则有E (T )=λ λλ1 )(0 == ? ?+∞ -+∞ ∞ -dt e t dt t tf t 七、()3 10 30 22= = = ? ? +∞ -+∞ ---dx e dx e e e E x x x X 练习八 一、1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 二、(1)2/112)sin(1),(2 20 =?==+? =?? ? ? ∞+∞ -∞ +∞ -A A dxdy y x A dxdy y x f ππ (2)4 )sin(21)(2 20 ππ π = += ?? dxdy y x x X E 2 2 8)sin(21)(2 2 20 2 2 -+=+= ?? πππ π dxdy y x x X E 22 16 )()()(2 2 2 -+ = -=ππX E X E X D 同理可得：22 16 )( ,4 )(2 -+ ==ππ πY D Y E (3)12 )sin(21)(2 20 -=+= ?? πππ dxdy y x xy XY E 16 12 )()()(),(2 ππ--= -=Y E X E XY E Y X Cov 32 816 8) () (),(2 2 -+-+-= = ππ ππ ρY D X D Y X Cov XY 三、(1)设X i 为第i 个加数取整后的误差，则X i ~U[-0.5,0.5] (i =1, (1500) 总误差∑ == 1500 1 i i X X ，且125 2 11500)()(,0)()(1500 1 1500 1 =?== == ∑∑==i i i i X D X D X E X E 由独立同分布的中心极限定理：P {|X |>15}=1-P {|X |≤15} 1802.0)34.1(22)5 5 3( 22)125 015( )125 015( 1=Φ-=Φ-=--Φ+-Φ-≈ (2)在(1)的假设下，设∑ == n i i X X 1 ，有E (X )=0，12 )(n X D = 则求最小自然数n ，使P {|X |≤10}≥0.90，即 65 .112 /1095.0)12 /10( 9.01)12 /10( 2)12 /010( )12 /010( ≥? ≥Φ?≥-Φ=--Φ--Φn n n n n ?n ≤440.77?n =440为所求 四、E (X )=E (Y )=μ, D (X )=D (Y )=σ2 E (Z 1)=αE (X )+βE (Y )=μ(α+β), E (Z 2)=αE (X )-βE (Y )=μ(α-β) E (Z 1Z 2)=E (α2X 2-β2Y 2)=α2E (X 2)-β2E (Y 2) =α2 [D (X )+E 2 (X )]-β2 [D (Y )+E 2 (Y )]=α2 (σ2 +μ2 )-β2 (σ2 +μ2 ) =(σ2+μ2)(α2-β2) D (Z 1)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2), D (Z 2)=α2D (X )+β2D (Y )=σ2(α2+β2) 2 2 222 2 2 2 222121212121) ()() () () ()()() () (),(2 1 β α βαβα σβασρ+-= +-= -= = Z D Z D Z E Z E Z Z E Z D Z D Z Z Cov Z Z 五、X 服从二项分布()5.0,100B ,()()25,50==X D X E {}{}() 75 .010 1105060402 =- ≥<-=< 阶段自测一 一、1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 二、1. 0, 3/4 ,5/8 , 1/8 2. 1/2, 1/[π(1+x 2)] 3. 20, 16 4. 1 5. 16 15 三、(1)1)(2 )arcsin (lim )(lim ==+=+=- - →→a F B A a x B A x F a x a x π 0)(2 )(lim ) (=-=- =+ -→a F B A x F a x π，则得：A =1/2, B =1/π (2)3 1)21arcsin 121()21arcsin 12 1()2 ()2 (}2 2 {=--+=--=<<-ππa F a F a X a P (3) ?? ???<-='=其它 ,0|| ,1)()(2 2a x x a x F x f π 四、(),X Y 的联合概率密度为()229,01,01 ,0,x y x y f x y ?≤≤≤≤=??其它 ()12 1,2x y P X Y f x y dxdy +≤ ? ?+≤= ??? ??? =1 122 220 9x dx x y dy -?? = 11280 五、(){}{}2Y F y P Y y P X y =≤=≤ 当0y ≤时，()0Y F y = 当0y >时，( ){ Y F y P X =≤≤=( )f x dx =( )0 2f x dx ? x dx -= ? ( )100,0Y y f y y >=≤? 六、(){}{}22 Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z ≤时，()0Z F z =； 当0z >时，()22 2 2 2 12x y Z x y z F z e dxdy π +- +≤= ?? =2 22 12r d e rdr πθπ - ? ? =2 2 r dr - ? 于是，22 Z X Y =+的概率密度函数为()2 1,020,0z Z e z f z z -?>?=??≤? 七、X 的分布律为 EX =30.1?+40.3?+50.6?=4.5 八、??? ??≤-=?? ? ??≤==??---∞+∞ -其它 其它 ,01 || ,12 ,01|| ,1 ),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X π π 同理： ??? ??≤-=其它 ,01|| ,12)(2y y y f Y π f (x ,y )≠f X (x )f Y (y )，则X 和Y 不独立 012)()(1 1 2 =-= = ? ? -+∞ ∞ -dx x x dx x xf X E X π ，同理：E (Y )=0 01),()0)(0(),(1 2 2 == --= ?? ?? ≤++∞ ∞ -+∞ ∞ -dxdy xy dxdy y x f y x Y X Cov y x π , 则 X 和Y 不相关 九、设A i ：第i 次误差的绝对值不超过30米 , ξ~N (20,402) 所求为：3321321)](1[1)()()(1)(i A P A P A P A P A A A P --=-= 8698.0)]40 2030()402030( 1[1}]30|{|1[13 3 =--Φ+-Φ--=≤--=ξP 十、%303.0%5515.0%1505.0?+?+?=p ＝18％ 练习九 一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 二、(1)∵ )1,0(~/N n X σμ - ∴}05 .02 ) (05.0{}/ 21.0/ 2||{ }1.0|{|n X n n P n n X P X P ≤-≤ -=≤ -=≤-μμμ 1537 64.153695.01)05.0(2)05 .0()05 .0(≥?≥?≥-Φ=-Φ-Φ=n n n n n (2)n p p p np n X n D X D p np n X n E X E n i i n i i ) 1()1(1)1 ()( ,1)1 ()(21 1 -= -=====∑ ∑ == p (1-p )在p =1/2处取得最大值1/4,n X D X E X E p X E 41 )(|)(|||2 2≤=-=- 要使01.0||2≤-p X E ，只需1/4n ≤0.01，即n ≥25 三、X 1,X 2,X 3,X 4~N (μ,σ2)，且相互独立?X 1-X 2~N (0,2σ2), X 3-X 4~N (0,2σ2 )，且X 1-X 2与X 3-X 4相互独立 则 )1(~)2( );1(~)2( )1,0(~2); 1,0(~22 2 4 32 2 2 14 32 1χσ χσ σ σ X X X X N X X N X X --?-- )1,1(~) ()()1,1(~) 2( )2(2 432212 4 32 21F X X X X F X X X X --? --? σ σ 05.095.01)()(1)()(2 43221243221=-=? ?????≤---=??????>--a X X X X P a X X X X P ?a =F 0.05(1,1)=161.4 四、由题意知：)1,0(~)(212N X X C i i +- (i =1,2,3) 2 2 22 2122112)()]([σ σ σσ = ?==+=+?-C C C X X C D i i 又 σ 2212i i X X +- (i =1,2,3)是相互独立的，得Y ~χ2(3)，即自由度为3 五、X 1,X 2,...,X 16相互独立，且 ) 16(~)( )1,0(~2 16 1 2χσ μ σ μ ∑ =-? -i i i X N X }32)( {}8)( {}32)( 8{16 1 2 16 1 2 16 1 2 >--≥-=≤-≤ =∑∑∑ ===i i i i i i X P X P X P P σ μ σ μ σ μ =0.95-0.01=0.94 六、X 1,X 2,...,X n 相互独立，且E (X i )=D (X i )=λ n n n X n D X D n n X n E X E n i i n i i λλλλ= =====∑∑ ==21 11)1 ()( ;1)1 ()( )(112 1 22 X n X n S n i i --=∑= E (X i 2)=D (X i )+E 2(X i )=λ+λ2, 22 2 )()()(λλ+= +=n X E X D X E λλλλλ=--+-= )(1 1)(222 n n n n S E 练习十 一、1. A 2. D 3. A 4. B 5. C 二、矩估计量: ??? ????++===+===??∞+--∞+--2 22 22122)()(θμθμθμθμθμμθμμθ μ dx e x X E dx e x X E x x ??? ????===∑∑==n i i n i i X n A X X n A 12 21111 令???==2211A A μμ??? ???=++=+∑=n i i X n X 1 22 2 122θ μθμθμ???? ??? ?-=--=∑∑==21 22 121?1?X X n X X n X n i i n i i θμ 三、似然函数L (x 1, x 2,..., x n , σ )=∑ = =- =-∏n i i i x n n i x e e 1 | |1| |) 2(121σ σ σσ ?ln L = -n ln(2σ) -∑ =n i i x 1 | |σ = -n ln(2σ) -∑=n i i x 1 ||1 σ 令0ln =??σL ?0||11 2 =+-∑=n i i x n σσ?∑==n i i X n 1 ||1 ?σ 由大数定律,有: ∑∑==?→? n i i P n i i X E n X n 1 1 ||1||1 E |X i |=E |X |=dx e x dx e x dx e x x x x ? ??∞ +- ∞-∞ +∞-- ?+ ?-= ?0 | |2121)(21||σσ σσ σσ=22σσ+=σ ?σn n X E n n i i 1||1 1 =∑ ==σ, 即σ?→?∑=P n i i X n 1 ||1 ?σ?为σ的一致估计量 四、极大似然函数(){}??? ? ??λπ==π=λλ -==e x x X P x x x L i x n i i n i n i ! ,,,,1121 ()!ln ln ln 1 1 i n i n i i x x n L ==π-λ+λ-=∑，令 λ + -=λ ∑=n i i x n d L d 1 ln =0得x =λ 故X =λ ? () ()()λ===λ X E X E E ?,于是此估计为无偏估计。 五、 ()()μmb na T E +=，当1=+mb na 时,()μ=T E ,T 是μ的无偏估计。 ()m b n a T D 22 4+=,当m n b m n a += += 41,44时,()T D 最小,故最有效. 练习十一 一、n =16, 1-α =0.95?α =0.05, σ2未知 ) 1(2 -n t α=t 0.025(15)=2.1315 16029.01315.2705.2)1(2 ?-=-- n t n s x α=2.69 16 029.01315.2705.2)1(2 ?+=-+ n t n s x α=2.72 ∴μ的置信度为0.95的置信区间为(2.69, 2.72) 二、n =9, 1-α =0.95?α =0.05 )8()1(2 025.02 2χχα=-n =17.535, )8()1(2 975.02 2 1χχ α=-- n =2.180 535 .171218)1()1(2 2 2 ?=--n s n αχ=55.20, 180.21218)1()1(22 12 ?=---n s n αχ=444.04 ∴σ2的置信度为0.95的置信区间为(55.20, 444.04) 三、μ1, μ2分别为一号方案和二号方案的平均产量 n 1= n 2=8, α =0.05, x =81.63, 21s =145.70, y =75.88, 22s =101.98 )2(212 -+n n t α=t 0.025(14)=2.14, 2 )1()1(212 2 2211-+-+-= n n s n s n s ω=11.13 2 1212 11)2(n n s n n t y x +-+--ω α= -6.16 2 1212 11)2(n n s n n t y x +-++-ω α=17.66 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为(-6.16, 17.66) 四、n 1= n 2=10, α =0.05, )1,1()1,1(122 212 --=--n n F n n F αα=F 0.05(9, 9)=4.03 03 .41 6065.05419.0)1,1(1212 22 ?=--n n F S S B A α=0.222 )1,1() 1,1(11)1,1(1122 2 2 122 2 2 212 12 2 --=--=---n n F S S n n F S S n n F S S B A B A B A ααα 03.46065 .05419 .0?= =3.601 ∴ 22B A σ σ的置信度为0.95的置信区间为(0.222, 3.601) 五、∵2 12111) ()(n n S Y X +---ω μμ~t (n 1+n 2-2) ∴P { 2 12111) ()(n n S Y X +---ω μμ< t α(n 1+n 2-2)}=1-α ∴P {2 11 1n n S Y X +--ω t α(n 1+n 2-2)<μ1-μ2}=1-α ∴μ1-μ2的置信度为1-α的置信下限为2 11 1n n S Y X +--ω t α(n 1+n 2-2) x =0.14125, s 12=0.0000083, y =0.1392, s 22=0.0000052, 7 432 2 2 1s s s += ω=0.0025495 2 111n n s y x +--ω t α(n 1+n 2-2)=0.14125-0.1392-0.00254955 1 41+t 0.05(7) = -0.0011901≈ -0.0012 ∴μ1-μ2的置信度为0.95的置信下限为-0.0012 六、∵ S n X )(μ-~t (n -1), 且P {)1(|)(| 2 -<-n t S n X αμ}=1-α ∴P {n S n t X n S n t X )1()1(2 2 -+<<--ααμ}=1-α ∴μ的置信度为1-α的置信区间为(n S n t X )1(2 --α,n S n t X )1(2-+α) 此时n S n t L ) 1(22 -=α?2 2 2 2222 )] 1([4)()]1([4)(-=-=n t n S E n t n L E αασ 练习十二 一、1、C 2、A 3、A 4、A 二、由已知得 1600 , 1600:10≠=H H μ 取统计量 5 2/ 1501600/1600 -= -= X n X U σ~N （0，1） 则拒绝域为96 .1233.130 1600 1637u ,96.1||025.0〈而=-= =>Z U 于是接受H 0，即可以认为这批产品的指标X 的期望值为1600。 三、由已知得 12100, 12100:0≠=μμH 取统计量 4 2/ 32312100/ 12100-= -= X n S X T ~ t (23) 则拒绝域为 2.06872.153724 323/ 1210011958t ,0687.2)23(||025.0>=-= =>而t T 于是拒绝H 0，即不可以认为发热量的期望值为12100。 四、由已知得 2 2 12 2 0108 .0:, 108.0:≠=σ σ H H 取统计量 )1(~108 .0)1(2 2 2 2 --=n x s n x 则拒绝域为 1 .11827.17108 .04s 288.0s 484 .0)4()1(1.11)4()1(2 22 975.022/12 2025.022/2 >≈===-<==->-， 而或x n x x x n x x αα 则 拒绝H 0，即不可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差为0.1082 。 五、取统计量 )1(~0004 .0)1(2 2 22 --= n x s n x 则拒绝域为 325 .37006.70004 .09s 00037.0s 325 .3)9()1(2 2 2 95.0212 >≈===-<-， 而x n x x α 则接受H 0，即可以认为测定值总体的方差为0.00042。 练习十三 一、由已知得 2 11210:, :μμμμ≠=H H 取统计量 )2(~11212 1 -++-= n n t n n S Y X T w 则拒绝域为 2.3462.2454 151/778.77 30.0218-21.5t ,346.2)7(||025.0<=++= =>而t T 则接受H 0，即不可以两煤矿的含灰率的均值无显著差异。 二、由已知得 2 22112 2210:, :σσσσ≠=H H 取统计量 )1,1(~) 1/()1()1/()1(212 2 2122 2212 11--=----=n n F S S n S n n S n F 则拒绝域为 43 .398 .6)5,6()1,1(99 .51)5,6()1,1(2 2 21025.0212/975.0212/1== ==-->==--<-S S F F n n F F F n n F F 而或αα则接受H 0，即认为两窑砖抗折强度的方差无显著差异。 三、依题意先对方差作假设检验 由已知得 2 22112 2210:, :σσσσ≠=H H 取统计量 )1,1(~) 1/()1()1/()1(212 2 2122 2212 11--=----=n n F S S n S n n S n F 则拒绝域为 36 .154.6)9,9()1,1(1529.0)9,9()1,1(2 2 21005.0212/995.0212/1== ==-->==--<-S S F F n n F F F n n F F 而或αα则接受H 0，即认为采用新工艺后方差无显著差异。 再作均值的假设检验 由已知得 2 11210:, :μμμμ<=H H 取统计量 )2(~11212 1 -++-= n n t n n S Y X T w 则拒绝域为 -2.5524-3.858710 110 1/ 27202550-2460t ,5524.2)18(01.0<=+= -=-<而t T 则拒绝H 0，即认为采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高。 四、设X 为骰子投掷一次出现的点数， P{X=k}=P K ，K=1，2，3，4，5，6 按题意需在显著水平0.05下检验假设H 0：P i =1/6（i=1~6） 根据上面结果列表如下： 因8.4071.11)5(205.0>=x 故认为这颗骰子是均匀对称的。 阶段自测二 一、1. 1 2. 21σn n -, 1 1--n 3. F (1, n -1) 4. 1 1-n 5.0.95 二、1. A 2. A 3. B 4.C 三、(1)∵ 2 2 )1(σ n S n -~χ 2 (n -1) ∴P { 2 2σ n S ≤1.5}=P { 2 2 )1(σ n S n -≤1.5(n -1)}≥0.95 ?P { 2 2 )1(σ n S n ->1.5(n -1)}≤0.05?1.5(n -1)≥)1(205.0-n χ 查χ 2分布表得满足上式的最小的n 为27 (2)∵ n X σμ -~N (0,1), n n X E X E σσμ μ? -=-|| ||, 令Y = n X σμ - ∴E |Y |=π π 22 ||21 2 2 = ? ∞ +∞ -- dy e y y ∴n n X E ππμ24 222||=?= -≤0.1?n ≥255 四、(1)矩估计量: μ1=E (X )=dx xe x ? +∞ --θ θ) (=1+θ, A 1=X 令μ1=A 1?θ+1=X ?1?-=X θ?∑∑ ==-=-=n i i n i i X n X n 1 1 1)1(1 11 ?θ 极大似然估计量: L (x 1,..., x n ,θ )=∑=-- n i i x e 1 ) (θ (x i ≥θ ) ?ln L = -∑=-n i i x 1 )(θ, 令0ln =??θ L ?θ无解 ∵x i ≥θ时L 非零 ∴当θ =i n i x ≤≤1min 时, L 有最大值?i n i X ≤≤=12min ?θ (2))()1()?(1X E X E E =-=θ-1=E (X )-1=θ+1-1=θ?1?θ是θ的无偏估计量 2?θ的分布函数G (y )=P {i n i x ≤≤1min ≤y }=1-P {i n i x ≤≤1min >y } =1-P {X 1>y , X 2>y ,..., X n >y }=1-[1-F (y )]n X 的分布函数F (x )=? ??<≥---θθ θx x e x ,0 ,1)( ?G (y )=???<≥---θθθy y e y n ,0 ,1)(?g (y )=G ' (y )=???<≥--θ θ θy y ne y n ,0 ,)( ?n dy yne E y n 1 )?() (2+== ?+∞ --θθθ θ?2?θ不是θ的无偏估计量 五、n 1=5, n 2=7, α=0.01 10 32 62842 )1()1(2 2212 22 1?+?= -+-+-= n n S n S n S B A ω=30.46 )2(212 -+n n t α=t 0.05(10)=3.1693 2 1212 11)2(n n s n n t x x B A +-+--ω α=63.47, 2 1212 11)2(n n s n n t x x B A +-++-ω α=176.52 ∴所求置信区间为(63.47, 176.52) 六、由已知得 2 2 12 2 0005 .0:, 005.0:>=σ σ H H 取统计量 )1(~005 .0)1(2 2 2 2 --= n x s n x 则拒绝域为 507 .1525 498005 .08s 070.0s 507 .15)8()1(2 22 05.022 >?= ===->， 而x n x x α 则拒绝H 0，即可以认为这批导线的标准差显著偏大。 七、E (T )=)()(21X bE X aE +=a μ+b μ=(a +b )μ=μ?T 是μ的无偏估计 T =21)1(X a X a -+ ∵1X 与2 X 相互独立 ∴D (T )=2 2 2 12 2 2 2 1 2 2 22 12 ])1([) 1()()1()(σσσ n a n a n a n a X D a X D a -+=-+=-+ 则问题归结为求22 12)1(n a n a -+的最小值, 令f (a )=2 2 12 )1(n a n a -+ 令 0)(=da a df ?0 ) 1(222 1=--n a n a ?a = 211n n n + )()(2)(2 112 121n n n a n n n n a f +- +='?a > 2 11 n n n +时, f '(a )>0; a <2 11n n n +时, f '(a )<0 ?f (a )在点 2 11n n n +处取得最小值 ∴使D (T )达到最小值的a =2 11n n n +, b =2 12n n n + 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 练习一 一、1．BCD 2. ABC 3. CD 4. BD 5. D 二.1. 8 8365 365 A 2. 41/90 3. 0.4 0.6 4. 25/42 三、已知：P (A )=0.45，P ( B )=0.35，P ( C )=0.3，P (AB )=0.1，P (AC )=0.08， P (BC )=0.05，P (ABC )=0.03 (1)3.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P AC P AB P A P C B A P A P C B A P Y (2)07.0)()()(=-=ABC P AB P C AB P (3)3.0)(=C B A P 23.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AB P B P C A B P B P C B A P Y 2.0)]()()([)()}({)()(=-+-=-=ABC P BC P AC P C P B A C P C P C B A P Y 得73.0)()()(=++=C B A P C B A P C B A P P (4)14.0)()()()(=-+-+-==ABC BC P ABC AC P ABC AB P BC A C B A C AB P P Y Y (5)P (A ∪B ∪C )=0.73+0.14+0.03=0.9 (6)1.09.01)(=-=C B A P 四、令x 、y 为所取两数，则Ω={(x ,y )|0 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P —南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺 得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn （ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为 解： 2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页 3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k 的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知 而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此 概率练习答案 第一章练习一 一、填空： 1、b 表示不中，z 表示中（1） zzz,zzb,zbz,bzz,zbb,bzb,bbz,bbb （2）0,1,2,3,4,5 （3）1,2,3,4,5,（4）z,bz,bbz,bbbz,bbbbz. … 2、（1）A B ?（2）AB （3）AB AB ?（4）AB （5）_ _B A AB ? 3、（1）A B C ?? （2）ABC ABC ABC ABC ??? 4、（1）成立（2）不成立（3）不成立（4）成立 5、（1）?（2）]2,5.1[)1,5.0()25.0,0[??（3）B （4） A 6、（1） 11,279 （2）1 21 二、解答题： 1、不相容A 与D ，B 与D ，C 与D 。相容B 与C ， 对立事件B 与D 2、（1）{奇奇，奇偶，偶奇，偶偶} （2）1C AB AB =?、2C AB AB =? 3、a/a+b 第一章练习二 一、1-5 1、 ( A ) 2、(C ) 3、 ( B) 4、 ( B ) 二、1、p -1， 2、0.82 3、1-p-q 4、c-b,(c-b)/(1-b) 三、1、（1）0.4 （2）0.2 2、0.99 3、52.0)(,7.0)/(,7.0)/(=?==B A P A B P B A P 第一章练习三 一、1、1 3 2、0.84 3、31P - 4、0.684 二、1、0.55 2、0.18；49 3、 4 7 4、 (1) 0.0125 (2) 0.64 5、05.0)99.0(95.0)99.0(1≤?≥-x x 三、事件A 、B 独立，当且仅当()()()()P AB P AB P AB P AB = 必要性易证 充分性：[()()][()()]()[1()()()]P B P AB P A P AB P AB P A P B P AB --=--+ 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 一、填空题(每题4分, 共20分) 1.某工厂每天分3个班生产，事件A i 表示第i 班超额完成生产任务(i =1,2,3)，则事件“恰好有两个班超额完成生产任务”可以表示为_____ 2.已知P (X =k )=! 1k C k λ- (k =1,2, )，其中>0，则C =________ 3.每次试验的成功率为P (0 0，P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )，则( )成立 (A)P (A 1A 2)=0 (B)P (A 1∪A 2)=P (A 1)+P (A 2) (C)P (A 1B ∪ A 2 B )=P (A 1B )+P (A 2B ) 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率论习题库 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 A ．)()(A P B A P =? B ．()()P AB P A = C ．()()|P B A P B = D ．()()()P B A P B P A -=- 2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<= A ．增大 B ．不变 C ．减少 D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项 不是统计量的是 Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是 A.}{00成立接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P 1．A 2.B 3.A 4.C 5.D 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是： (A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5 P X Y ≥≥=,2{0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15 ; (B) 25 ; (C) 35 ; (D) 45 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则 不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知, 123, ,X X X 为其样本， 下 列各项中不是统计量的是 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示 1．设随机变量X 的概率分布为 X －3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4 k p 试求EX 。 答案与提示：2EX =。 2．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 0.1 k P p 0.4 0.2 求：（1）常数p ；（2）数学期望EX ；（3）方差。 DX 答案与提示：（1）由归一性，3.0=p ； （2）； 1.7EX =（3） 0.81DX = 3．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 0.3 0.5 k p p 求：（1）数学期望；（2）方差。 2)1(?X E 2)1(?X D 答案与提示：由归一性，2.0=p ； （1）； 2(1)0.E X ?=8 （2） 2(1)0.16D X ?=4．已知连续型随机变量X 的概率分布为 ???<<=其它,08 0,8/1)(x x f 求X 的数学期望。 答案与提示：4EX = 5．设随机变量X 服从拉普拉斯分布，其分布密度为 α β α /21)(??= x e x f ，0>α（+∞<<∞?x ）。 求X 的数学期望。 答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。 EX β=。 6．设随机变量X 的概率密度为 ?? ? ??≤，可见A 仪器的测量误差要比B 仪器的测量误差大，故B 仪器要优良些。 10．设X 的概率分布为 ???≤>=?0 ,00 ,)(x x e x f x 一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2 x B. C. 2 x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2 x B. 1 C. 2 x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从 ( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 概率论与数理统计习题 集及答案 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2010~2011第一学期《概率论与数理统计》答案 经管类本科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．对于事件B A ,，下列命题正确的是( D ) )(A 如果B A ,互不相容，则B A ,也互不相容 )(B 如果B A ?，则B A ? )(C 如果B A ?，则B A ? )(D 如果B A ,对立，则B A ,也对立 2．设B A ,为随机事件，且()()0, 1P B P A B >=，则必有( A ) ()()()A P A B P A ?= ()()()B P A B P B ?= ()()()C P A B P A ?> ()()()D P A B P B ?> 3．若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则=≤≤)(b X a P （ B ） )()()(a F b F A - )()()()(a X P a F b F B =+- )()()()(a X P a F b F C =-- )()()() (b X P a F b F D =+- 4．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1,8(~B Y ，且X ，Y 相互独立， 则=--)43(Y X D （ C ） 13)(-A 15)(B 19)(C 23)(D 5. 总体2 ~(,)X N μσ， 123,,X X X 为取自总体X 的简单随机样本，在以下总体均值μ的四个无偏估计量中，最有效的是（ D ） 1123111 ()236 A X X X μ∧=++ 21311()22 B X X μ∧=+ 3123131()555C X X X μ∧ =++ 4123111 ()424 D X X X μ∧=++ 6. 设12,, ,n X X X ()2n ≥为来自总体()0,1N 的简单随机样本，2S 为样本方差，则下面结论正 确的是（ A ） 南昌大学2008?2009学年复习题 试卷编号：_______ ()卷课程编号：_____________ 课程名称：概率论 ______________ 考试形式： _______________ 适用班级：_____________ 姓名： ______________ 学号：_________ 班级：_____________ 考生注意事项：1、本试卷共4页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 -、填空题(每题4分，共20分) 1.设事件A，B仅发生一个的概率为0.3,且P(A) ? P(B) =0.5，则A,B至少有一 个不发生的概率为___________ . 2 2.设X服从泊松分布，若EX =6，则卩以")= ________________ . X2x, 0 ：： x ： 1, 心)=J 甘它' 一 3.设随机变量X的概率密度为?0,其它,现对X进行四次独立重 复观察，用丫表示观察值不大于0.5的次数，则EY2= _____________________________. P(A^1 4，P(B) =1 2 4.设A、B是两个随机事件，且 (1) ________________________________ 当A、B 互不相容时，P(AB)二 ________________________________________ ,P(A J B)二 ________ . (2) ___________________________________ 当A、B 互相独立时，P(A J B)二_________________________________________ ，P(A_B)= __________ 1丄1 F (x)= 一十—arcta n x. 5.已知随机变量X的分布函数为2「：贝S 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子， A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ，C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C 不都发生； （7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 3. 指出下列等式命题是否成立，并说明理由. （1） A ∪B =（AB ）∪B ； （2） A B =A ∪B ； （3）B A ∩C =B A C ； （4） （AB ）（AB ）=?； （5） 若A ?B ，则A =AB ； （6） 若AB =?，且C ?A ，则BC =? (7) 若A ?B ，则B ?A ； (8) 若B ?A ,则A ∪B =A . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7,求： （1） 在什么条件下P （AB ）取到最大值？ （2） 在什么条件下P （AB ）取到最小值？ 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是概率论与数理统计题库及答案
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南昌大学概率论期末试卷2011-2013答案.
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最新南昌大学概率论期末-2011第一学期36、48学时
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