2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学
旋转的经典综合题
一、旋转
1．(1)发现：如图
1，点
A 为线段
BC 外一动点，且
BC ＝a ， AB ＝ b ．填空：
当点
A 位于
时，线段
AC 的长取得最大值，且最大值为
(用含 a ， b 的式子表示
)
(2)应用：点
A 为线段
BC 外一动点，
且
BC ＝4， AB ＝ 1，如图
2 所示，分别以
AB ， AC 为
边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ，连接
CD ， BE ．
① 请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段 BE 长的最大值．
(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA ＝ 2， PM ＝ PB ， ∠BPM ＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．
【答案】 (1)CB 的延长线上， a+b ； (2) ①CD ＝ BE ，理由见解析； ② BE 长的最大值为 5； (3)
满足条件的点 P 坐标 (2﹣ 2
，
2 )或(2﹣
2 ，﹣ 2 )， AM 的最大值为 2 2 +4．
【解析】 【分析】
（1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（ 2）
① 根据已知条件易证 △CAD ≌ △ EAB ，根据全等三角形的性质即可得 CD ＝ BE ；② 由于线段
BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，根据（ 1）中的结论即可得到结果；（
3）连接 BM ，
将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到 △ PBN ，连接 AN ，得到 △ APN 是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到
PN ＝ PA ＝ 2 ， BN ＝ AM ，根据当 N 在线段 BA 的延长线时，线段
BN 取得最大值，即可得到最大值为
2 2 +4；如图 2，过 P 作 PE ⊥ x 轴于 E ，根据等腰直角
三角形的性质即可求得点 P 的坐标．如图 3 中，根据对称性可知当点
P 在第四象限时也满
足条件，由此求得符合条件的点 P 另一个的坐标．
【详解】
(1)∵ 点
A 为线段
BC 外一动点，
且
BC ＝ a ， AB ＝ b ，
∴当点 A 位于 CB 的延长线上时，线
段
AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB ＝ a+b ，
故答案为 CB 的延长线上，
a+b ；
(2) ①CD ＝ BE ，
理由： ∵ △ABD 与 △ACE 是等边三角形，
∴AD ＝ AB ，AC ＝ AE ， ∠BAD ＝∠ CAE ＝ 60 °，
∴∠ BAD+∠ BAC ＝ ∠ CAE+∠ BAC ，
即∠ CAD ＝ ∠ EAB ，
AD AB
在△CAD与△EAB中，CAD EAB，
AC AE
∴△ CAD≌ △ EAB(SAS)，
∴CD＝ BE；
② ∵线段 BE长的最大值＝线段CD 的最大值，
CB的延长线上，由(1) 知，当线段CD的长取得最大值时，点 D 在
∴最大值为BD+BC＝ AB+BC＝ 5；
(3)如图 1，
∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90 °得到△PBN，连接AN，
则△ APN 是等腰直角三角形，
∴PN＝ PA＝2， BN＝ AM，
∵A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (6， 0)，
∴OA＝2， OB＝ 6，
∴AB＝ 4，
∴线段 AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，
∴当 N 在线段 BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，
最大值＝ AB+AN，
，
∵AN＝2 AP＝ 2 2
∴最大值为2 2 +4；
如图 2，
过 P 作 PE⊥ x 轴于 E，
∵△APN 是等腰直角三角形，
∴PE＝ AE＝2，
∴OE＝ BO﹣ AB﹣ AE＝ 6﹣4﹣2＝2﹣2，
∴ P (2﹣ 2， 2)．
如图 3中，
根据对称性可知当点 P 在第四象限时， P(2﹣ 2 ，﹣ 2 )时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点 P 坐标 (2﹣ 2
，
2 )或 (2﹣ 2 ，﹣ 2 )， AM 的最大值为
2 2 +4． 【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．平面上， Rt △ ABC 与直径为 CE 的半圆 O 如图 1 摆放， ∠ B ＝ 90°， AC ＝ 2CE ＝ m ，BC ＝n ，半圆 O 交 BC 边于点 D ，将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆 O 旋转且∠ECD 始终等于 ∠ ACB ，旋转角记为 α（ 0 °≤α≤ ） 180 °
（1）当 α＝0°时，连接 DE ，则 ∠CDE ＝ °， CD ＝ ；
（2）试判断：旋转过程中
BD
的大小有无变化？请仅就图
2 的情形给出证明；
AE
（3）若 m ＝ 10， n ＝ 8，当 α＝ ∠ ACB 时，求线段 BD 的长；
（4）若 m ＝ 6， n ＝ 4 2 ，当半圆 O 旋转至与 △ ABC 的边相切时，直接写出线段 BD 的长．
【答案】（ 1） 90°， n ；（ 2）无变化；（ 3）
12
5
；（ 4）BD=2 10或
2 114
．
2
5
3
【解析】
试题分析：（
1） ① 根据直径的性质，由 DE ∥ AB 得
CD
CE
即可解决问题． ② 求出
CB
CA
BD 、 AE 即可解决问题．
（ 2）只要证明 △ ACE ∽ △ BCD 即可．
（ 3）求出 AB 、 AE ，利用 △ ACE ∽△ BCD 即可解决问题．
（ 4）分类讨论： ① 如图 5 中，当 α=90时°，半圆与 AC 相切， ② 如图 6 中，当
α =90 °+∠ACB 时，半圆与 BC 相切，分别求出 BD 即可．
试题解析：（ 1）解： ① 如图 1 中，当 α=0时，连接 DE ，则
∠CDE=90 ．° ∵ ∠CDE=∠ B=90 ，°∴ DE ∥ AB ， ∴
CE
CD = 1 ． ∵ BC=n ， ∴ CD= 1
n ．故答
AC
CB 2 2
案为 90°，
1
n ．
2
② 如图 2 中，当 α =180时°，
BD=BC+CD=
3 n ， AE=AC+CE= 3 m ， ∴
BD = n
．故答案为
2
2 AE m n ．
m
（2）如图 3 中， ∵ ∠ ACB=∠ DCE ， ∴ ∠ ACE=∠ BCD ． ∵
CD
BC n ，
CE
AC
m
BD BC n
∴△ ACE ∽ △BCD ，∴
．
AE
AC
m
（ 3）如图 4 中，当 α=∠ACB 时．在 Rt △ ABC 中， ∵ AC=10， BC=8，
∴AB=
AC 2 BC 2 =6．在 Rt △ ABE 中， ∵ AB=6， BE=BC ﹣ CE=3，
∴AE= AB
2
BE
2
= 6
2
BD BC 3
2 =
3 5 ，由（ 2）可知 △ ACE ∽ △ BCD ， ∴
，
AE
AC
BD =
8
，∴BD=
12 5
．故答案为
12 5
．
∴
5 3
10
5
5
（4） ∵ m=6， n= 4 2 ， ∴ CE=3， CD=2 2 ， AB= CA 2 BC
2
=2，① 如图 5 中，当 α =90 °
时，半圆与 AC 相切．在 Rt △ DBC 中， BD= BC 2
CD 2
=
（4 2
2
10 ．
2） （2 2）
=2
② 如图 6 中，当 α =90 °+∠ ACB 时，半圆与 BC 相切，作 EM ⊥ AB 于
M ． ∵ ∠M =∠CBM=∠ BCE=90 °， ∴ 四边形 BCEM 是矩形， ∴ BM EC 3， ME
4 2
，
∴AM =5， AE= AM
2
ME 2
= 57 ，由（ 2）可知
DB
=2 2 ，∴BD=2 114 ．
AE
3 3
故答案为 210或2 114
．
3
点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出
图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
3．（探索发现）
如图，ABC 是等边三角形，点 D 为 BC 边上一个动点，将ACD 绕点A逆时针旋转60 得到AEF ，连接 CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形.
小明是这样想的：
（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段CD ， CF ， AC 之间的数量关系：______________；
（理解运用）
如图，在ABC 中， AD BC 于点D.将ABD 绕点A逆时针旋转90得到AEF ，延长 FE与BC，交于点G.
（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；
（拓展迁移）
（4）在（ 3）的前提下，如图，将AFE 沿 AE 折叠得到AME ，连接 MB ，若
AD 6， BD 2，求 MB 的长.
【答案】（ 1）详见解析；（2）CD CF AC ；（3）四边形ADGF是正方形；（4）2 13
【解析】
【分析】
（1）根据旋转得：△ACE是等边三角形，可得： AB=BC=CE=AE，则四边形 ABCE是菱形；（2）先证明 C、 F、E 在同一直线上，再证明△BAD≌ △CAF（ SAS），则∠ ADB=∠AFC，BD=CF，可得 AC=CF+CD；
（3）先根据∠ ADC=∠ DAF=∠F=90°，证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边
形ADGF是正方形；
（4）证明△ BAM≌ △ EAD（ SAS），根据 BM=DE 及勾股定理可得结
论．【详解】
（1）证明：∵ABC是等边三角形，
∴AB BC AC.
∵ACD 绕点A逆时针旋转 60 得到AEF ，
∴CAE 60 ， AC AE.
∴ACE 是等边三角形.
∴∴AC AE CE.
AB BC CE AE.
∴四边形 ABCE 是菱形.
（2）线段DC，CF，AC之间的数量关系：CD CF AC .（3）四边形ADGF 是正方形.理由如下：
∵ Rt ABD 绕点A逆时针旋转 90得到AEF ，
∴
AF AD ，DAF90 .
∵ AD BC ，
∴ ADCDAF F 90.
∴四边形 ADGF 是矩形.
∵
AF AD，
∴四边形 ADGF 是正方形.
（4）如图，连接DE .
∵四边形 ADGF 是正方形，
∴DG FG AD AF 6 .
∵ ABD 绕点A逆时针旋转90得到AEF ，
∴BAD EAF ， BD EF2，∴EG FG EF 6 2 4.
∵将AFE 沿 AE 折叠得到AME ，
∴MAE FAE ， AF AM .
∴BADEAM .
∴BAD DAM EAM DAM ，即BAM DAE .∵
AF AD，
∴
AM AD
.
在BAM和EAD中，
AM
BAM
AB
AD
DAE ，
AE
∴BAMEAD SAS .
∴BM DE EG2DG24262 2 13.
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形
的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边
三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
4．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形，边AB 在射线 OM 上，且 OA=6，点 D 是射线 OM 上的动点，当点 D 不与点 A 重合时，将△ACD 绕点 C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．
（2）请证明（1）中的猜想
（3）设OD=m，
①当 6＜ m＜10 时，△ BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出
若不存在，请说明理由．
△BDE周长的最小值；
② 是否存在m 的值，使△ DEB是直角三角形，若存在，请直接写
出
m 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（ 1）等边；（ 2）详见解析；（ 3）①23 +4；②当 m=2 或 14 时，以 D、 E、 B 为顶点的三角形是直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质猜想结论；
（2）由旋转的性质得到∠ DCE=60°， DC=EC，即可得到结论；
（3）①当 6＜m＜ 10 时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当
CD⊥AB 时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
②存在，分四种情况讨论：a）当点 D 与点 B 重合时， D，B， E 不能构成三角形；
b）当 0≤m＜6 时，由旋转的性质得到∠ ABE=60°，∠ BDE＜60°，求得∠ BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠ CEB=30°，求得 OD=OA﹣ DA=6﹣4=2=m；
c）当6＜m＜10时，此时不存在；
d）当 m＞10 时，由旋转的性质得到∠ DBE=60°，求得∠ BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】
（1）等边；
（2）∵将△ ACD绕点 C 逆时针方向旋转 60°得到△ BCE，∴ ∠ DCE=60°， DC=EC，∴△ CDE 是等边三角形．
（3）①存在，当 6＜ t ＜ 10 时，由旋转的性质得： BE=AD，
△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE1△ CDE
是等边三角形，∴ DE=CD
∴C，由（）知，，=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥ AB 时，△ BDE 的周长最小，此时， CD=2 3 ，∴C△DBE
∴△ BDE的最小周长 =CD+4=2 3 +4；
② 存在，分四种情况讨论：
a）∵当点 D 与点 B 重合时， D， B，E 不能构成三角形，∴当点 D 与点 B 重合时，不符合题意；
b）当 0≤m＜6 时，由旋转可知，∠ ABE=60°，∠ BDE＜60°，∴ ∠BED=90°，由（1）可知，
△CDE是等边三角形，∴ ∠ DEB=60°，∴ ∠CEB=30°．
∵∠ CEB=∠ CDA，∴∠ CDA=30 °．
∵∠ CAB=60 ，° ∴ ∠ ACD=∠ ADC=30 ，°∴ DA=CA=4，∴ OD=OA﹣ DA=6﹣ 4=2，∴ m=2；
c）当 6＜m＜10 时，由∠ DBE=120 °＞90°，∴此时不存在；
d）当 m＞10 时，由旋转的性质可知，∠ DBE=60°，又由（1）知∠ CDE=60°，
∴∠ BDE=∠ CDE+∠ BDC=60 °+∠ BDC，而∠ BDC＞ 0 °，∴ ∠ BDE＞60 °，∴只能∠BDE=90 ，°从而∠ BCD=30°，∴ BD=BC=4，∴OD=14，∴ m=14．
综上所述：当m=2 或 14 时，以 D、 E、B 为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判
定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．如图 1，在 Rt△ ADE中，∠ DAE=90°， C 是边 AE 上任意一点（点 C 与点 A、 E 不重合），以 AC 为一直角边在 Rt△ ADE 的外部作 Rt△ABC，∠ BAC=90°，连接 BE、 CD．
（1）在图 1 中，若 AC=AB，AE=AD，现将图 1 中的 Rt△ ADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角α，得到图 2，那么线段 BE． CD 之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；
（2）在图 1 中，若 CA=3， AB=5， AE=10， AD=6，将图 1 中的 Rt△ ADE绕着点 A 顺时针旋
转锐角α，得到图 3，连接 BD、 CE．
①求证：△ ABE∽ △ ACD；
②计算： BD2+CE2的值．
【答案】（ 1） BE=CD， BE⊥ CD，理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170．
【解析】
【分析】
（1）结论： BE=CD， BE⊥ CD；只要证明△ BAE≌ △CAD，即可解决问题；
（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明△ ABE∽ △ ACD．
②由① 得到∠AEB=∠CDA．再根据等量代换得到∠DGE=90 °，即 DG⊥ BE，根据勾股定理
2222
得到 BD+CE =CB +ED ，即可根据勾股定理计算．
【详解】
（1）结论： BE=CD， BE⊥ CD．
理由：设BE 与 AC 的交点为点F，BE 与 CD的交点为点G，如图 2．
∵∠ CAB=∠ EAD=90 ，°∴∠ CAD=∠BAE．
AB AC
在△ CAD和△ BAE中，∵BAE CAD ，∴ △CAD≌ △BAE，∴CD=BE，
AE AD
∠A CD=∠ ABE．
∵∠ BFA=∠ CFG，∠ BFA+∠ABF=90 ，° ∴ ∠ CFG+∠ ACD=90 ，°∴∠CGF=90 ，°∴BE⊥CD．（2）①设 AE 与 CD 于点 F， BE与 DC的延长线交于点G，如图 3．
∵∠ CABB=∠EAD=90 ，°∴∠ CAD=∠ BAE．
∵C A=3， AB=5， AD=6， AE=10，∴AE
=
AD
=2，∴ △ ABE∽ △ACD；
AB AC
② ∵△ ABE∽ △ ACD，∴∠ AEB=∠ CDA．
∵∠ AFD=∠ EFG，∠ AFD+∠ CDA=90 °∴，∠ EFG+∠ AEB=90 ，°∴∠ DGE=90 ，°∴ DG⊥BE，
∴∠ AGD=∠ BGD=90
222222222222
．，° ∴ CE=CG +EG ， BD=BG +DG ，∴BD +CE =CG +EG +BG +DG
22222222222222
∵CG +BG =CB， EG +DG =ED ，∴ BD +CE=CB +ED =CA +AB +AD +AD =170．【点睛】
本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题
的关键．
6．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE ，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到 AF ，连接 EF ，交对角线 BD 于点 G ，连接 AG ．
（ 1）根据题意补全图形；
（ 2）判定 AG 与 EF 的位置关系并证明；
（ 3）当 AB=3， BE=2 时，求线段 BG 的长．
【答案】 (1)见解析 ;(2)见解析 ;(3) 2 5 .
2
【解析】 【分析】
（ 1）根据题意补全图形即可；
（ 2）先判断出 △ ADF ≌ △ABE ，进而判断出点 C ，D ， F 共线，即可判断出 △ DFG ≌ △ HEG ，
得出 FG=EG ，即可得出结论；
（ 3）先求出正方形的对角线 BD ，再求出 BH ，进而求出 DH ，即可得出 HG ，求和即可得出结论． 【详解】
（ 1）补全图形如图所示，
（2）连接 DF ，
由旋转知， AE=AF ， ∠ EAF=90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB ∥ CD ， AD=AB ， ∠ABC=∠ ADC=BAD=90 ，°
∴∠ DAF=∠ BAE ，
∴△ ADF ≌ △ ABE （ SAS ），
∴ D F=BE ， ∠ ADF=∠ ABC=90 ，° ∴∠ ADF+∠
ADC=180 ，°
∴点 C ， D ， F 共线，
∴C F∥ AB，
过点 E作 EH∥BC交 BD于 H，
∴∠ BEH=∠ BCD=90 ，°DF∥ EH，
∴∠ DFG=∠HEG，
∵BD 是正方形ABCD的对角线，
∴∠ CBD=45 ，°
∴B E=EH，
∵∠ DGF=∠ HGE，
∴△ DFG≌ △HEG（AAS），
∴FG=EG
∵AE=AF，
∴AG⊥ EF；
（3）∵BD 是正方形的对角线，
∴BD= 2 AB=3 2，
由（ 2）知，在 Rt△ BEH中， BH= 2 BE=2 2，
∴DG=BD-BH=2
由（ 2）知，△ DFG≌ △HEG，
∴DG=HG，
∴HG=1DH= 2 ，
22
∴BG=BH+HG=2 2 + 2 =5 2 ．
22
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性
质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．
7．如图 1．在△ ABC中，∠ ACB＝90°，点 P 为△ ABC内一点．
（1）连接 PB、 PC，将△ BCP沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE，点 B、 C、 P 的对应点分别为点 D、 A、 E，连接 CE．
①依题意，请在图 2 中补全图形；
②如果 BP⊥CE， AB＋ BP＝ 9， CE＝3 3，求 AB 的长．
（2）如图 3，以点 A 为旋转中心，将△ ABP 顺时针旋转 60°得到△ AMN，连接 PA、 PB、PC，当 AC＝ 4， AB＝8 时，根据此图求PA＋ PB＋ PC 的最小值．
【答案】⑴①见解析，②AB ＝ 6；⑵ 47 .
【解析】
分析：（ 1）①根据题意补全图形即可；
②连接 BD、 CD．根据平移的性质和∠ ACB＝ 90°，得到四边形 BCAD是矩形，从而有CD＝
AB，设 CD＝ AB＝x
，则 PB＝DE＝9x ，由勾股定理求解即可；
（2）当 C、 P、 M、 N 四点共线时， PA＋ PB＋ PC最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．
详解：（ 1）①补全图形如图所示；
②如图：连接 BD、CD．
∵△ BCP沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE，
∴BC∥ AD 且 BC＝ AD， PB＝ DE．
∵ ∠ ACB＝ 90°，
∴四边形
BCAD 是矩形，∴＝，设＝＝ x ，则PB
9x
，
＝
CD AB CD AB
DE＝ BP＝9 x，
∵BP⊥ CE，BP∥ DE，∴ DE⊥ CE，
22
x2，
∴ CE2DE 2CD2，∴ 3 39 x
∴ x 6，即 AB＝ 6；
（2）如图，当 C、 P、 M 、N 四点共线时， PA＋ PB＋ PC最小．
由旋转可得：△ AMN ≌△ APB，∴ PB＝ MN ．
易得△ APM、△ ABN 都是等边三角形，∴ PA＝PM，
∴PA＋PB＋ PC＝ PM＋MN ＋ PC＝ CN，
∴BN＝ AB＝8，∠ BNA＝60 °，∠PAM＝ 60 °，
∴∠ CAN＝∠CAB＋∠ BAN＝ 60 °＋60 °＝120 ，°
∴∠ CBN＝ 90 °．
在 Rt△ ABC中，易得：BC=AB2AC28242 4 3，
∴在 Rt△ BCN中，CN BC 2BN248644 7 ．
点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性
质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和
全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．
8．在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图 1，AE⊥ BD 于 E．直接写出∠ BAE的度数．
（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将△ AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到
△AB′，E′AB′与 BD 交于 M， AE′的延长线与BD 交于 N．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段BM、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明．
（3）如图 2，E、 F 是边 BC、CD 上的点，△ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半， AE、 AF
分别与 BD 交于 M、 N，写出判断线段 BM、 DN、 MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）
【答案】（ 1） 45°；（ 2）① 补图见解析；②BM 、 DN 和 MN 之间的数量关系是
BM2+MD 2=MN 2，证明见解析；（ 3）答案见解析.
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质即可；
（2）依题意画出如图 1 所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾
股定理得到 FB2+BM2=FM2，再判断出 FM=MN 即可；
（3）利用△ CEF周长是正方形 ABCD周长的一半，判断出 EF=EG，再利用（ 2）证明即可．解：（ 1）∵ BD 是正方形 ABCD的对角线，∴ ∠ ABD=∠ ADB=45°，
∵AE⊥ BD，∴ ∠ ABE=∠BAE=45 ，°
（2）①依题意补全图形，如图 1 所示，
② BM 、 DN 和 MN 之间的数量关系是 BM2+MD2=MN2 ，将
△ AND 绕点 D 顺时针旋转 90°，得到△AFB，
∴∠ ADB=∠ FBA，∠BAF=∠ DAN，DN=BF， AF=AN，
∵在正方形ABCD中， AE⊥ BD，∴ ∠ ADB=∠ ABD=45 ，°
∴∠ FBM=∠ FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90 ，°
在 Rt△ BFM 中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，
∵旋转△ ANE 得到 AB1E1，∴ ∠ E1AB1=45 °，∴ ∠ BAB1+∠ DAN=90°﹣
45°=45 °，∵∠ BAF=DAN，∴ ∠ BAB1+∠ BAF=45°，∴∠ FAM=45°，∴
∠ FAM=∠ E1AB1，∵AM=AM ， AF=AN，∴△ AFM≌ △ ANM ，∴ FM=MN ，
∵F B2+BM2 =FM2，∴ DN2+BM2=MN 2，
（3）如图 2，
将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ ABG，∴ DF=GB，
∵正方形 ABCD的周长为4AB，△ CEF周长为 EF+EC+CF，
∵△ CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴ 4AB=2（EF+EC+CF），∴ 2AB=EF+EC+CF
∵E C=AB﹣ BE， CF=AB﹣ DF，∴ 2AB=EF+AB﹣ BE+AB﹣ DF，∴ EF=DF+BE，
∵D F=GB，∴ EF=GB+BE=GE，由旋转得到 AD=AG=AB，
∵A M=AM ，∴ △ AEG≌ △ AEF，∠EAG=∠EAF=45，°和（ 2）的②一样，得到
DN2+BM2=MN 2．
“点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，
判断出（△ AFN≌ △ ANM，得到 FM=MM ），是解题的关键 .
9．在△ ABC 中， AB=AC，∠ A=300，将线段BC绕点 B 逆时针旋转600得到线段
BD，再将线
段 BD 平移到 EF，使点 E 在 AB 上，点 F 在 AC
上．（1）如图1，直接写出∠ABD 和∠CFE的度数；
（2）在图 1 中证明： AE=CF；
（3）如图 2，连接 CE，判断△ CEF的形状并加以证明．
【答案】（ 1） 15°， 45°；（ 2）证明见解析；（3）△ CEF 是等腰直角三角形，证明见解析.
【解析】
试题分析：（ 1）根据等腰三角形的性质得到∠ ABC的度数，由旋转的性质得到∠ DBC的度
数，从而得到∠ ABD 的度数；根据三角形外角性质即可求得∠ CFE的度数.
（2）连接 CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形
BDFE是平行四边形，从而AB∥ FD，证明△ AEF≌ △ FCD即可得 AE=CF．
（3）过点 E 作 EG⊥CF 于 G，根据含 30 度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即
可证明△ CEF是等腰直角三角形 .
（1）∵在△ ABC 中， AB=AC，∠A=30 0，∴∠ ABC=750.
∵将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转600得到线段BD，即∠ DBC=600．∴∠ ABD= 15°.
∴∠ CFE=∠ A+∠ ABD=45 ．°
（2）如图，连接CD、 DF．
∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到线段 BD，∴ BD=BC，∠ CBD=600．∴ △ BCD是等边三
角形．
∴CD=BD．
∵线段 BD 平移到 EF，∴ EF∥ BD， EF=BD．
∴四边形 BDFE是平行四边形，EF= CD．
∵AB=AC，∠ A=300，∴ ∠ABC=∠ ACB=750．∴ ∠ABD=∠ACD=15°．∵四边
形 BDFE是平行四边形，∴ AB∥FD．∴ ∠ A=∠ CFD.
∴△ AEF≌ △ FCD（ AAS）．
∴A E=CF．
（3）△CEF是等腰直角三角形，证明如下：
如图，过点 E 作 EG⊥ CF于 G，
∵∠ CFE =45，°∴∠ FEG=45．°∴ EG=FG．
∵∠ A=300，∠ AGE=90°，∴．
∵AE=CF，∴．∴．∴G为CF的中点．∴ EG为CF的垂直平分线．
∴E F=EC．
∴∠ CEF=∠ FEG=90 ．°
∴△ CEF是等腰直角三角形．
考点： 1.旋转和平移问题； 2．等腰三角形的性质； 3．三角形外角性质； 4．等边三角形的判定和性质； 5.平行四边形的判定和性质； 6.全等三角形的判定和性质； 7．含 30 度直角三角形的性质；8．垂直平分线的判定和性质； 9．等腰直角三角形的判定 .
10．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、 B，以 B 为旋转中心，将△ BOA 逆时针旋转，得△ BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.
（1）求 AB 的长；
（2）当∠ BAD=45°时，求 D 点的坐标；
（3）当点 C 在线段 AB 上时，求直线 BD 的关系式 .
【答案】（ 1） 5；（ 2）D（ 4，7）或（ -4，1）；（ 3）
【解析】
试题分析：（ 1）先分别求得一次函数的图象与x 轴、 y 轴的交点坐标，再根
据勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质结合△ BOA 的特征求解即可；
（3）先根据点 C 在线段 AB 上判断出点 D 的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，
∴；
（2）由题意得 D（4， 7）或（ -4， 1）；
（2）由题意得 D 点坐标为（4，）
设直线 BD 的关系式为
∵图象过点 B（ 0，4）， D（4，）
∴，解得
∴直线 BD 的关系式为.
考点：动点的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
11．如图所示，在△ ABC中，D、E分别是△ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图AB、 AC 上的点， DE∥ BC，如图①，然后将②，然后将BD、CE 分别延长至M、 N，使 DM
＝BD， EN＝ CE，得到图③，请解答下列问题：
(1)若 AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中， BD 与 CE的数量关系是 ________________ ；
②在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、∠ MAN 与∠ BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若 AB＝k·AC(k＞ 1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究： AM 与 AN 的数量关系、∠ MAN 与∠ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证
明．
【答案】（ 1）①BD=CE；
②AM=AN ，∠ MAN=∠ BAC 理由如下：
∵在图①中， DE//BC， AB=AC
∴A D="AE."
∴ △ ABD≌ △ACE.
在△ ABD 与△ ACE中
∴BD=CE，∠ ACE=∠ ABD.
在△ DAM 与△ EAN 中，
∵DM= BD， EN= CE， BD=CE，∴ DM=EN，∵∠ AEN=∠ ACE+∠CAE，
∠ADM= ∠ABD+∠ BAD，∴∠ AEN=∠ ADM.
又∵ AE=AD，∴ △ ADM ≌ △ AEN.∴AM=AN ，∠ DAM=∠ EAN.∴ ∠ MAN=∠ DAE=∠ BAC.∴AM=AN ，∠ MAN=∠ BAC.
（2） AM=kAN，∠ MAN=∠ BAC.
【解析】
（1）①根据题意和旋转的性质可知△ AEC≌ △ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠ CAE=BAD， AB=AC， AD=AE，所以得到△ BAD≌ △CAE，在△ ABM 和△ACN 中，
DM= BD， EN=CE，可证△ ABM≌△ ACN，所以 AM=AN，即∠ MAN= ∠BAC．（2）直接类比（ 1）中结果可知 AM=k?AN，∠ MAN=∠ BAC．
12． (1)观察猜想
如图 (1)，在△ ABC 中，∠BAC=90°， AB=AC,点 D 是BC 的中点．以点 D 为顶点作正方形DEFG，使点 A， C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE， BG，则线段BG 和 AE 的数量关系是_____；
(2)拓展探究
将正方形DEFG点 D 逆方向旋一定角度后（旋角度大于0°，小于或等于360 °），如 2， (1)中的是否仍然成立？如果成立，予以明；如果不成立，明理由 .
(3)解决
若 BC=DE=2，在 (2)的旋程中，当AE 最大，直接写出AF 的．
【答案】（ 1） BG＝AE．
（2）成立．
如② ，
接 AD．∵ △ ABC是等腰三直角角形，∠ BAC＝90°，点D是BC的中点．
∴∠ ADB＝90 °，且 BD＝ AD．
∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90 °－∠ADG＝∠ADE，DG＝
DE．∴△ BDG≌ △ ADE，∴ BG＝ AE．????????????????7分（3）由
（ 2）知， BG＝ AE，故当 BG 最大， AE 也最大．
正方形 DEFG点 D 逆方向旋270° ， BG 最大，如③ ．
重庆中考25题专题训练（及答案） 1、（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++= 2 2 1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式； （2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面 积最大时，求点D 的坐标； （3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标， 若不存在，说明理由. 解：（1）∵二次函数c bx x y ++= 2 2 1的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴? ??-==++1022c c b 解得： b =－ 2 1 c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为12 1 212--=x x y --------3分 （2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2） ∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OC DE AO AD = --------------4分 ∴ 122DE m =- ∴DE =2 2m ------------------------------------5分 ∴△CDE 的面积=21×2 2m -×m 备用图 题图 26
=242m m +-=4 1)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为12 1 212--= x x y 设y=0则12 1 2102--= x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1） 设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b ∴ ? ? ?-==+-10 b b k 解得：k =-1 b =-1 ∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2+k 2= ()2 5 解得k 1 = 210， k 2=－2 10 ∴P 1（ 210，－1210-） P 2（－210， 12 10-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1) 过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2 （2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L
中考数学18题专题及答案 1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克 设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：(40-x)a+xb(60-x)b+xa = 4060 去分母60(40-x)a+60xb=40(60-x)b+40xa， 去括号得：2400a-60xa+60xb=2400b-40bx+40xa 移项得：-60xa+60xb+40bx-40xa=2400b-2400a 合并得：100(b-a)x=2400(b-a) 所以：x=24 2.从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是6千克。 设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b， =，整理得（b-a）x=6（b-a），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤） 设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．
重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ； （2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。 （1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。 （2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→， 所以32和70都是“快乐数”． （1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.
重庆中考几何 一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
重庆中考18题专题训练 1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克 【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060 x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+， 去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()()1002400b a x b a -=- 所以：24x = 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。 解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ， = ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤 考点：一元一次方程的应用． 分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解． 解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有 =， 解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ． 4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨． 解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨． ， =， 解得x=240．故答案为：240．
重庆市中考数学专题 1、（一中2019级初三下入学考试） 《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。 阅读材料一： 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。 例如：11111,1=+++=b a a b 求证： 证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。 阅读材料二： 基本不等式()0,02φφb a b a ab +≤ ，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具； 例如：在0φx 的条件下，当x 为何值时，x x 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0φx ，01φx ，∴x x x x 121 ?≥+，即2121=?≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知1=ab ，求下列各式的值： ① =+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ； （2）若1=abc ，解方程 .1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax （3）若正数b a 、满足1=ab ，求b a M 21111+++= 的最小值。
G F E D C B A M 证明题 1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD⊥BC，垂足是D ，AE 平分∠BAD，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF ； （2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。 求证：（1）AF ＝CG ； （2）CF ＝2DE 3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC。 （1）求证：OE=OF ； （2）若BC=23，求AB 的长。 4.已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．
5.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。 （1）如图1，若点H是AC的中点，AC= 23 ，求AB，BD的长。 （2）如图1，求证：HF=EF。 （3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形若是，请证明；若不是，请说明理由。 6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE． （1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长； （2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G． ①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE； ②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变， 如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由． 7.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC （或AC的延长线）相交于点F. （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证： 1 CF 2 BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：3() BE CF BE CF +=-. 8.已知在四边形ABCD中，180 ABC ADC ∠+∠=?，AB=BC. A B F D C E 25 B A F D C E G 25 A F D C E G 25
2018年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案及解析 一、 选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。) 1.2的相反数是 A .2- B .1 2 - C . 12 D .2 【答案】A 【解析】根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上“-”即可求解 【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题 2．下列图形中一定是轴对称图形的是 A. 直角三角形 B. 四边形 C. 平行四边形 D. 矩形 【答案】D 【解析】A40°的直角三角形不是对称图形；B 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴 【点评】此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大，考生主要注意看清楚题目要求。 3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是 A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工 C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工 【答案】C 【解析】A 调查对象只涉及到男性员工；B 调查对象只涉及到即将退休的员工；D 调查对象只涉及到新进员工 【点评】此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题。 4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为 A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 【答案】C 【解析】 ∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4; 第2个图案中的三角形个数为:2+2+2=2× 3=6; 第3个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;
中考数学第25题专题复习训练(含答案) 专题复习训练(含答案） 1. 已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 的中点，连接DF 、 CF 。 （1）如图1，当点D 在AB 上，点E 在AC 中点，2D E =,求2D E =； （2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕A 点顺时针旋转45°时，线段DF 、CF 有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF 、CF 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论； 2. 如图所示，△ABC ，△ADE 为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F 为线段BD 的中点． （1）如图1，点E 在AB 上，点D 与C 重合，EF=2，求AB 的长. （2）如图2，当D 、A 、C 在一条直线上时．线段EF 与FC 有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （3）如图③，连接EF 、FC ，线段EF 与FC 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N 分别为BD、CE的中点． （1）求证：MN⊥CE； （2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论． 4. 已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作E F⊥AB交BC于点F，连接AF，G 为AF的中点，连接EG，CG。 （1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长； （2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。延长CG 至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形； （3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
三角函数 1.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD ，期中A B ∥CD.瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=?，观测渔船N 在俯角45β=?，已知NM 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为点E ，PE 长为30米. （1）求两渔船M ，N 之间的距离（结果精确到1米）； （2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度1:0.25i =.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH 的坡度为1:1.5i =，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？ （参考数据：tan 310.60,sin 310.52?≈?≈） 24题图 H 2.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD 与通道BC 平行），通 道水平宽度BC 为8米，∠BCD =135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB 的坡度2:1 =i ． （1）求通道斜面AB 的长； （2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD 的坡度变缓，修改后的通道斜面DE 的坡角为30°，求 此时BE 的长． （答案均精确到0.1，5≈2.24） 22题图 A B C E D
3.2015年4月25日，尼泊尔发生8.1级地震，已知A 地在这次地震中受灾严重.现有甲、乙两个小分队分别同时从C B 、两地出发前往A 地救援，甲沿线路BA 行进，乙沿线路CA 行进，已知C 在A 的南偏东 55方向，AB 的坡度为5:1，同时由于地震原因造成BC 路段泥石堵塞，在BC 路段中位于A 的正南方向上有一清障处H ，负责清除BC 路障，已知BH 为12000m. （1）求BC 的长度； （2）如果两个分队在前往A 地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍.试判断哪个分队先 到达A 地.（4.155tan ≈ ，84.055sin ≈ ，6.055cos ≈ ，01.526≈，结果保留整数） 4.宾哥和君哥在华润广场前感慨楼房真高．君哥说：“这楼起码20层！”宾哥却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”君哥说：“老大，你有办法不用数就知道吗？”宾哥想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”君哥、宾哥在楼体两侧各选A 、B 两点，其中矩形CDEF 表示楼体，AB =200米，CD =20米，∠A =30°，∠B =45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？（用含根号的式子表示） （2）若每层楼按3米计算，你支持宾哥还是君哥的观点呢？请说明理由．（精确到0.1，参考数据：≈1.73， ≈1.4 1， ≈2.24） 5.如图，某中学操场边有一旗杆A ，小明在操场的C 处放风筝，风筝飞在图中的D 处，在CA 的延长线上离小明30米 远的E 处的小刚发现自己的位置与风筝D 和旗杆的顶端B 在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B 的仰角 为α，且tan α= 2 1 ,小明在C 处测得旗杆顶点B 的仰角为45°． （1）求旗杆的高度． （2）此时，在C 处背向旗杆，测得风筝D 的仰角（即∠DCF ）为48°，求风筝D 离地面的距离．（结果精确到0.1 米，其中sin48°≈0.74, cos48°≈0.67,tan48°≈1.11 ） 23题图 A B C D F G
2021重庆年中考12题反比例函数综合专题（2） 1（巴蜀2021级初三上第一次月考）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式—华函数图像—利用图像研究函数性质—利用图像解决问题”的学习过程在画函数图像时，我们常常通过描点法画函数图像，已知函数， 2(50)2 1(x 2)4(x 0)4 k x x y ?-≤
2（重一外2021级九上第一次月考）某班兴趣小组对函数 2 1 mx y x + = - 的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请 补充完整。 （1）x与y的几组对应值列表如下：其中，m= ，n= 。 （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，请画出该函数的图像； （3）观察函数图像，写出一条函数的性质：。 （4）若关于x的方程 2 = 1 mx a x + - 有两个实数根，则a的取值范围是。
3（重庆西师附中2021级九上次定时训练）我们学习用过列表、描点、连线的方法作出函数图像，探究函数性质，请运用已有的学习经验，画出函数218 2 y x =-+的图像并探究该函数的性质，列表如下： （1）直接写出a 、b 的值：a= ，b ，并描点、连线，在所给平面直角坐标系中画出该函数图像； （2）观察函数图像，写出该函数的两条性质：性质1： ；性质2：
中考数学18题专题及答案 1． 含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种 饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克 设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+， 去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()()1002400b a x b a -=- 所以：24x = 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。 设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ， = ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤 ） 设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．
第25 题 专题复习训练 ( 含答案） 1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ADE=90°，点 F 为 BE的中点，连接 DF、CF。（1）如图 1，当点 D 在 AB上，点 E 在 AC中点，DE 2 ,求CF； （2）如图 2，在（ 1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时，线段 DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （3）如图 3，在（1）的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论； 2. 如图所示，△ ABC ，△ ADE 为等腰直角三角形，∠ ACB= ∠AED=90°．F 为线段 BD 的中点．（ 1） 如图 1，点 E 在 AB 上，点 D 与 C 重合， EF=2，求 AB 的长 . （ 2）如图 2，当 D、 A 、 C 在一条直线上时．线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系？证明你的结论； （ 3）如图③，连接EF、 FC，线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图 1，△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED= ∠ ACB=90 °，点 D 在 AB 上，连 CE，M 、N 分别为 BD 、 CE 的中点． （1）求证： MN ⊥CE； （2）如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°， CE 与 MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论． 4. 已知，如图1，等腰直角△ ABC 中， E 为斜边 AB 上一点，过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F，连接 AF， G为 AF 的中点，连接EG， CG。 （1）如果 BE=2，∠ BAF=30°，求 EG， CG的长； （2）将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°，得如图 2 所示，取 AF 的中点 G，连接 EG，CG。延长 CG 至 M ，使GM=GC ，连接 EM=EC ，求证：△ EMC 是等腰直角三角形； （3）将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度，得如图 3 所示，取 AF 的中点 G，再连接 EG， CG，问线段 EG 和 GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。 M A A A G F G G E E F E B F C B C B C 图 1图 2图 3
1．在一3，一1,0,2这四个数中，最小的数是（ ） A ．一3B ．一1C.0D.2 2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） 3．计算()2 ab 的结果是( ) A.2ab B.b a 2 C.22b a D.2 ab 4． 4.已知：如图，OA,OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 在⊙O 上则∠ACB 的度数为() A.45° B.35° C.25° D.20° 5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A 调查市场上老酸奶的质量情况B ．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命 C ．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 D ．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率 6．已知：如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF//AB ．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为() A.60° B.50° C.40° D.30° 7．已知关于x 的方程2x+a 一9=0的解是x=2，则a 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8.2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为S ．下面能反映S 与t 的函数关系的大致图象是() 9下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )
10．已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为2 1 - =x 。下列结论中，正确的是（ ） A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a 十c<2b 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡（卷）中对应的横线上， 11．据报道，2011年重庆主城区私家车拥有量近38000辆．将数380000用科学记数法表示为________ 13．重庆农村医疗保险已经全面实施。某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为： 20,24,27,28,31,34,38，则这组数据的中位数是___________ 15．将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5,2,1和1,5,2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是____________ 16．甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k ）张，乙每次取6张或（6一k 张（k 是常数，0 2012中考16题专题训练 1．（2010）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A．12公斤B．15公斤C．18公斤D．24公斤 4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共吨． 5.（2011）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵． 6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了． 2017年12月04日月之恒的初中数学组卷 一．解答题（共23小题） 1．（2017?贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则： ①线段PB=，PC=； ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） 2．（2017?保亭县模拟）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、 H． （1）试说明CF=CH； （2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由； （3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积． 3．（2017春?嘉兴期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A 旋转． （1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论； （2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由． 4．（2017?营口）【问题探究】 （1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长． 5．（2017?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC． （1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由． 6．（2017春?重庆校级期末）如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接 DE． 1. 随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜. 2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元. （1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元 （2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张. “元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有 5 3 通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元 2. 为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元 （1）求最多能购进多媒体设备多少套 （2）恰“315°次乐购时机，每套多媒体设备的售价下降a 5 3%，每个电脑显示屏的售价下降5a 元，决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加a %，实际投入资金与计划投入资金相同，求a 的值 3. 某商店经销甲、乙两种商品。现有如下信息： 信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价； （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件. 经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售100件.商店决定把甲种商品的零售单价下降m(m>0)元，乙种商品的零售单价和销量都不变. 在不考虑其他因素的条件下，当m 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元 4. 幸福水果店计划用 12 元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售。 2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．专题复习：重庆中考数学第16题专题训练
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