冲激响应研究性实验的设计
沈一骑
（南京大学电子科学与工程学院，南京210093）
摘要：在RC电路中，采用单脉冲近似冲激激励和强迫跃变、以微分信号为冲激激励和用RC微分电路对阶跃响应进行微分三种方法对冲激响应进行研究，对所测量的各响应波形进行理论分析以判断是否为冲激响应，并提出得到冲激响应的近似方法。介绍了这一创新的研究性自主性实验“冲激响应研究”的实验设计思想。
关键词：冲激响应；研究性实验；自主性实验；实验设计
关键词：冲激响应；研究性实验；自主性实验；实验设计
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：
The Designation of Research-oriented Experiment
on Impulse Response
Shen Yiqi
（School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093）
Abstract: The aim of the current paper is to introduce the experimental design of the a novel independent research experiment regarding the investigation of impulse response. Three difference methods (viz. single pulse approximate impulse excitation and forced jumping, impulse excitation with the differential signal, and differentiat ing the step response with RC differential circuit) were preformed to experimental investigate the impulse response. Then, theoretical analyses on the measured response waveforms were carried to verify the impulse response and propose the approximate method to achieve the impulse response.
Key words：impulse response；research-oriented experiment；independent experiment；design of experimental
CLC number: G642.0 Document code: A Article ID:
1引言
为培养具有独立思考能力和开拓创新精神的新型人才，大学基础实验教学以验证性、研究性、综合性和自主性并重为改革思路早已成为共识[1-7]。鉴于大学一年级学生的知识水平，我们以为这类研究性实验应是验证性的，即强调实验过程的研究性，而非实验课题的研究性。而将普通验证性实验提升为研究性、综合性实验，难度很大，或许由于众多原因，此类工作
的报道并不多见。为抛砖引玉，我们曾介绍了电路原理的创新实验——对偶原理研究[8]
，本文将介绍另一个创新的研究性验证性实验——冲激响应研究。
2 冲激响应研究性实验的设计 2.1 总体考虑
冲激响应是《电路分析》一阶电路中的重要内容，由于比较抽象，又因为《电路分析实验》中没有相应的实验，学生要透彻理解冲激响应比较困难。虽然《信号与系统实验》[9-10]中有冲激响应实验，但只是普通验证性实验，我们试图采用现有实验模块，用几种方法在实验现象上、尤其是在本质上展现冲激响应，并使之成为研究性自主性实验。实验有两大难点，一是实验方法的确定。由于自主性实验只给出命题没有任何步骤，故首要问题是如何进行实验，再加上冲激响应需要无穷大激励，实验中难以实现，学生往往束手无策。教师可适时给出实验方案的简单提示，并进行渐进式的引导，以充分体现自主性和研究性；二是要完成实验，必须根据理论知识对实验波形作出正确解释，只有满足冲激响应的条件才能确认电路发生冲激响应，不能只凭实验波形的形似，故学生必须对一阶电路的基本原理有深刻的了解。因此实验设计的目的，除了使学生对冲激响应的本质有所了解外，更重要的是使学生的分析能力和研究能力能得到切实的培养和提高。
2.2 冲激响应实验设计方案一：冲激源的单脉冲近似，强迫跃变
RC 电路的冲激响应可分为3个阶段：u C (0?) = 0；t = 0时由i C (0) = ∞给电容电压赋初值u C (0+)；在t ≥ 0+，由u C (0+)放电作零输入响应。实验过程应全面展示t ≥ 0?的变化过程，如果只展示t ≥ 0+部分，就混同于普通零输入响应，难以反映冲激响应的本质，因此实验设计必须重视t = 0?和t = 0两个阶段，尤其是需要得到t = 0时的无穷大电流。这是实验设计的难点和关键之处。
为使学生能对冲激响应有整体和深刻的认识，可采用《电路》[11]的授课顺序从δ(t )函数开始实验。δ(t )函数是单脉冲函数p Δ(t )的极限，即
)(lim )(0
t p t ?→?=δ，单脉冲函数的宽度为Δ，高度为
1/Δ。电路受冲激电源I S δ(t )作用产生冲激响应。因实验中无法得到I S δ(t )，不妨用I S p Δ(t )来近似。可用按钮控制脉冲宽度Δ，实验中最小Δ可达20ms 。虽然脉冲
图1 单脉冲近似激励冲激响应电路
C
高度最大为电流源的输出值200mA ，不可能达到∞，但从实验角度看或许只要相对地足够大就可近似为∞。图1为单脉冲近似激励冲激响应的实验电路，其中I S = 10mA 、R 0 = R = 2K Ω，C = 1000μF 。图2为在不同单脉冲宽度Δ下u C 的响应曲线。由于图2中曲线④经放大后与冲激响应u C (t )的理论波形近似，学生往往以为发生
了冲激响应。但从曲线①～③可以推断只是发生了普通零状态响应和零输入响应，曲线④并不是冲激响应。其
根本原因是充电电流不足，故可采用两个方法提高充电电流：一是提高电源激励；二是提高充电速度。实验表明前者不能提供无穷大电流，不能从根本上解决问题，故有限高度的单脉冲激励无法产生冲激响应；而后者可
以通过减小R 0使零状态响应的时间常数减小，充电速度加快，特别地当R 0很小时，可以在极短时间内使u C 充电到9V ，而且充电（零状态响应）波形几乎垂直。那么此波形是否即为冲激响应？关键仍要看有没有无穷大电流。由于图1中电流源I S 和R 0可以变换成有伴电压源（图3），当R 0 = 0时，在按钮接通的瞬间电路将发生强迫跃变．．．．，电路中．．．将．出现无穷大电．．．．．．流．
。若在电容支路串接一个小电阻R '以测量电流，可知在接通瞬间电容电流确实很大，因此完全满足发生冲激响应的条件，电路发生了冲激响应。图4即为由强迫跃变引起的冲激电流所产生u C (t )和i C (t )（用u R'(t )代替）冲激响应的实测波形，可见与理论波形完全一致。
此方案实验过程简单，没有任何操作上的困难，但实验思想巧妙，而且将零输入响应、零状态响应、强迫跃变和冲激响应等知识融合起来。作为需要学生自行设计的实验，难度是很大的。为了使学生的研究能力能得到切实的培养，应分阶段提出问题，引导学生自行分析和解释实验现
图4 由强迫跃变得到RC 电路的冲激响应曲线
图3 强迫跃变和冲激响应电路
C
图
2
不同单脉冲宽度
Δ
下
u
C 响应的组合曲线
象，找出问题原因，并根据无穷大电流这一关键要点逐步修改实验方法或实验电路，尽量避免不加引导地给出实验方法和实验步骤。
2.2 冲激响应实验设计方案二：冲激源的微分信号近似
方案二仍从获得冲激电源着手。由于t
t t d )(d )(εδ=
，ε(t )为阶跃函数，故在t = 0处导数
不存在，也即导数为无穷大。可用RC 微分电路对阶跃信号进行求导得到冲激信号，再用冲激信号作为冲激激励接入RC 电路得到冲激响应。实验原理简单明了，可以直接推荐给学生，但需要学生自行设计实验电路。学生在设计时，会遇到两级RC 电路如何设计和如何避免相互影响的问
题。应鼓励学生进行探索，在适当时候
建议学生采用受控源模块，利用其输入电阻极大的特性避免前后两级之间的相互影响。图5为采用RC 微分电路和VCVS 受控源的冲激响应实验电路，其中U S = 4V 、R 0 = R = 2K Ω、C 0 = 10μF 、C = 1000μF 和μ ≈ 1，可算得τ0 = R 0C 0 = 0.02s 、τ = RC = 2s 。由前级R 0输出微分波形u R0(t )作为冲激电压源，应取τ0很小，使u R0(t )波形的拖尾尽量短。如果采用VCVS 受控电压源，后级必须采用RC 串联电路，因为激励μu R0(t )为0时，VCVS 输出端短路恰能构成RC 放电回路；而采用VCCS 受控电流源，后级则必须采用RC 并联电路，这一点往往为学生所疏忽。图6是以微分信号为近似冲激激励的各响应曲线，为清楚展示t = 0左右的波形变化，已将时基展宽至500ms/div 。后级所测的u C (t )和i C (t )（用u R (t )代替）是否是冲激响应是需要探讨的，因为微分信号虽在理论上视为无穷大，但从波形上看仅是一高度与激励U S ε(t )相同的尖刺，若将波形展宽就与有限高度单脉冲波形有些类似，那么u C (t )和i C (t )就有可能不是冲激响应。对于前级RC 微分电路，可以证明在t ≥ 0+时有)()(0
S 0R t e U t u t ετ-=，
是激励U S ε(t )的阶跃响应（与零状态响应相同），并不是激励的导数U S δ(t )。由于u C0(t ) + u R0(t ) = U S ε(t )，可以从t = 0?开始分几个时段对u R0(t )进行分析。从0?～0+，因为根据换路定则，有u C0(0+) = u C0(0?) = 0，故u R0(0+) = U S ，u R0(t )发生了跃变，类似于U S δ(t )；从0+～τ0，由于τ0很小，u R0(t )几乎垂直下降，波形与U S δ(t )近似；从τ0～3τ0，u R0(t )作负e 指数衰减，与U S δ(t )完全不同，但幅度很小；在t >3τ0后因u R0(t ) ≈ 0，才在形式上有
图5 采用RC 微分电路和受控源的冲激响应电路
C
)(d )(d d )(d )(S 0S 0
0C 0
R0t U t
t U t
t u t u δτεττ=≈=。
故就整体而言，u R0(t )的行为略与U S δ(t )近似，或可用来代替冲激电源以在后级RC 电路中产生冲激响应。图6中的u C (t )、i C (t )曲线若将时基压缩成1.000s/div ，就很像图4中的冲激响应波形，但u C (0+)的幅度比直接用U S δ(t )激励所产生冲激响应的理论幅度小了约100倍。这是值得深思的。
u R0(t )激励的波形顶部宽度为0，与方案一中的单脉冲不同，但实验表明即使再减小τ0
使激励波形拖尾更小更尖锐，u C (0+)的幅度也不会增加，反而随着τ0的减小作进一步减小，这表明激励波形的拖尾可能不是u C (0+)幅度微小的主要原因，或许u R0(0+)仅为U S ，高度远不够作无穷大近似才是真正原因，因为根据齐性定理，若u R0(0+) 提高至100U S ，则u C (0+)的幅度就与直接用U S δ(t )激励所产生冲激响应的理论幅度一致了。再则只要τ0 ≠ 0，无论τ0为何值，u R0(t )都是负e 指数函数，在本质上并无差别，故不妨对后级RC 电路在)()(0
S 0R t e U t u t εμμτ-=激励下的响应
进行研究。根据复杂激励下一阶非齐次微分方程的求法，不难得到
)
0(0
0S
C )()()(0
+≥----=t t t t e
e
U t u ετττμττ
可见在激励从u R0(0?) = 0跃变到u R0(0+) = μU S 时，u C 并不跃变，仍有u C (0?) = u C (0+) = 0，这与冲激响应有本质区别。而且u C (t )还有极值，极值位置0
00m ln
ττττττ-=
t 。如
果τ0 <<τ，有)()(0S
C t e
U t u t ετ
τμτ
-≈和
0m ln
τττ=t ，再加上)()(C R t u t u -≈，可算得t m = 92ms 、u C (t m ) =38mV 和u R (t m ) = ?38mV ，
与图6中u C (t )、u R (t )曲线的数值一致。由于0C )0(τ∝+u 且有t m ≠ 0+，可完全解释图6中u C (t )
图6 以微分信号为近似冲激激励的各响应曲线
曲线幅度微小和最大值偏离0+的情况。那么图6中u R (t )（即i C (t )）的正向曲线幅度是否代表无穷大？实际上仅为激励的峰值，因为u C (0+) + u R (0+) = μu R0(0+)，故u R (0+) = 4V 。τ0没有必要过小，因为τ0→0时t m →0+，u C (0+) = U S τ0/2→0，这在普通激励下就无意义了，但如果取冲激激励U S δ(t )，则u C (0+) = ∞ · 0 = 有限值，即u C 在t = 0时真正发生了跃变，u C (t )是理想的冲激响应。由此可见，用幅度不大的微分信号作为冲激激励，虽然没有大电流，本质上各响应都不属于冲激响应，仅曲线形状与冲激响应相似；但理论和实验均证实，提高微分信号幅度和适当减小τ0，各响应均朝着真正的冲激响应过渡，这正是其重要性所在，因此用本方案得到的响应来近似冲激响应是合适的。
2.3 冲激响应实验设计方案三：阶跃响应的求导
在电源U S 激励下RC 电路的零状态响应可表为： )0(S C z s )1()(+≥--=t t e U t u τ
，
当激励改为U S ε(t )和U S δ(t )时，可有
阶跃响应 )0(S C z s Cs )()1()()()(+≥--==t t t e U t t u t u εετ
；
冲激响应 )0(S
)
(S
Cs Ch )()(d )(d )(-
+
≥-≥-???→
?==
t t t t t e
U t e
U t
t u t u ετ
ετ
τ
τ
冲激改写
；
冲激响应 )0(2
S S )
0(Ch Ch )]()([d )(d )(-
-≥-≥-
==t t t t e
C
R U t R
U t
t u C
t i εδτ
，
其中τ = RC ，理论上可由u C 的零状态响应??
→?过渡
阶跃响应??→?求导冲激响应??→?求导
电流冲激响应，其关键之处在于时间定义域的选取。实验方案可据此设计，图7为由普通RC 电路、VCVS 受控源和RC 微分电路构成的冲激响应实验电路，其中前级RC 电路产生零状态响应u C0(t )（阶跃响应与之相同），后级RC 微分电路对阶跃响应μu C0(t )求导产生冲激响应u R (t )。u R (t )是对应于前级RC 电路u C0的冲激响应，即在R 测得的是C 0上的冲激响应。元件参量为U S = 4V 、R 0 = 2K Ω、C 0 = 1000μF 、R = 100Ω、C =1000μF 和μ ≈ 1，可算得τ0 = R 0C 0 = 2s 、τ = RC = 0.1s 。图8是以阶跃响应为激励的RC 微分电路
的各响应曲线。由于理论上u C 的阶跃响应
图7 采用RC 电路、受控源和RC 微分电路
的冲激响应电路
R
在t = 0是连续函数，但导数不连续，即0)0(C
='-u ，0)0(S C ≠='+τU u ，故u C 的冲激响应从0跃变至τS U 作零输入响应，故需要后级RC 微分电路能对阶跃响应激励进行求导。
后级RC 微分电路在阶跃响应)1()(0
S C0τμμt e U t u --=激励下的通解可表为：
)0(000S C )()1()(0
+≥---+
--
=t t t t e
e
U t u ετ
τττ
ττμτ
τ
和 )0(0S
R )()()(0
+≥----=t t t t e
e
U t u ετ
ττμτ
τ，
显然u R (t )不可能是阶跃响应激励的导数即冲激响应，而且u R (t )还有极值，位置在
τ
ττ
τττ000m ln
-=
t ，可算得t m = 315ms 和u Rmax = 170mV ，与图8中u R (t )曲线的数值相同。由
t
t u t u t
t u d )
(d )(d )(d 0C R R μτ
τ
=+可知，RC 微分电路对激励的微分是近似的，只有当u R (t )与
μu C0(t )相比很小时，才有t
t u t u d )
(d )(0C R μτ
≈。从t = 0+开始的一段时间内，u R (t )不是μu C0(t )
的导数，这就导致了u R 在t = 0+ 没有发生跃变，因而u R (t )不可能是冲激响应。不能在严格意义上从t ≥ 0?开始进行求导，是RC 微分电路的一大缺点。这一情况在方案二中也会发生，但由于RC 微分电路的激励函数不同，带来的影响也不同。方案二的激励是阶跃函数，u R0输出的实际上是零状态响应，u R0(0)因换路定则发生了跃变，并不是真正进行了微分，只是波形近似而已；而现在是需要真正对连续函数进行微分，这是RC 微分电路无法完成的。那么是否能够通过调整R 、C 的取值，使t m 尽量靠近0+而u Rmax 又不太小，用t ≥ t m 后的u R (t )近似地表示u C0的冲激响应？对于t ≥ t m ，因
为τ0 >> τ，则有 0
S
R )(τττμt e
U t u -≈、
图8 以阶跃响应为激励的RC
微分电路的各响应曲线
τ
ττ0m ln
=t ，与前级RC 电路在直接用U S δ(t )激励所产生的冲激响应理论波形
)0(0
S
C0)()(0
-
≥-=
t t t e
U t u εττ一致，
但位置偏移了300ms 、幅度减小了10倍。但如果取τ = 0.01s ，则t m = 53ms ，u Rmax 为20mV 。虽然提高U S 也可以增加u R (t )的幅度，但没有物理依据，因为U S 是输入阶跃响应的稳态值，没有增大的理由。减小τ也没有必要，τ→0时t m →0+，但u R (0+) = U S τ/2→0，因为U S 不是无穷大，故不可能出现u R (0+)的跃变了。因此可以得出结论，由于RC 微分电路的局限性，无法用RC 微分电路来验证理论上的阶跃响应??→?求导
冲激响应。出现这种理论是、实验似是而非的情况，应引导学生作深入讨论，并强调实验工作的重要性和艰巨性，使学生能更加重视和热爱实验。改进的办法是采用由运放构成的微分电路，因为该微分电路可在理论上从t ≥ 0?开始输入输出有严格的微分关系，如果实验室条件允许可作进一步的探索。此外，即使将u R (t )视为疑似u C0的冲激响应，那么如何测量疑似i C0冲激响应的波形？学生往往误以为是u C (t )，需要提醒学生加以注意和设法解决。
3 结束语
冲激响应研究性实验涵盖了《电路分析》一阶电路的所有知识点，对于学生巩固和深化有关知识很有帮助；又不涉及其它深奥复杂的理论，可用现有知识对所有实验现象作出定量理论分析，切实培养了学生的研究能力；学生根据所掌握的基本知识自行设计出复杂的实验，对于培养和提高创新、设计能力也很有意义。作为自主性的研究性实验，从教学实践和效果看，确实极大地激发了学生的学习热情和实验兴趣，实验设计是非常成功。
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