高中数学不等式得恒成立问题
一、用一元二次方程根得判别式
有关含有参数得一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根得判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。
基本结论总结
例1 对于x ∈R,不等式恒成立,求实数m 得取值范围。
例2:已知不等式对于Ｒ恒成立,求参数得取值范围.
解:要使对于Ｒ恒成立,则只须满足:
(1) 或 (2)
解(1)得 ,解(2)＝２
∴参数得取值范围就是－２＜２.
练习1、 已知函数得定义域为R,求实数得取值范围。
2、若对于x ∈R,不等式恒成立,求实数m 得取值范围。
3、若不等式得解集就是R,求m 得范围。
4、取一切实数时,使恒有意义,求实数得取值范围.
例3.设,当时,恒成立,求实数得取值范围。
关键点拨:为了使在恒成立,构造一个新函数就是解题得关键,再利用二次函数得图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。若二次不等式中得取值范围有限制,则可利用根得分布解决问题。
解:,则当时,恒成立
当时,显然成立; 当时,如图,恒成立得充要条件为: 解得。综上可得实数得取值范围为。
例4 。已知,求使不等式对任意恒成立得a 得取值范围。
解法1:数形结合 结合函数得草图可知时恒成立
。所以a 得取值范围就是。
解法2:转化为最值研究
1、 若上得最大值。
2、 若
0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2
32a max <-==>>上的最大值在时即,得,所以。 综上:a 得取值范围就是。
注:1、 此处就是对参a 进行分类讨论,每一类中求得得a 得范围均合题意,故对每一类中所求得得a 得范围求并集。
2、 恒成立;
解法3:分离参数
。设,
注:1、 运用此法最终仍归结为求函数得最值,但由于将参数a 与变量x 分离,因此在求最值时避免了分类讨论,使问题相对简化。
2、 本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。
仿解法1:即
读者可仿解法2,解法3类似完成,但应注意等号问题,即此处也合题。
例5、 已知:求使恒成立得a 得取值范围。
解法1:数形结合结合得草图可得:
或得:。
解法2:转化为最值研究
1、 ,所以。
2、 若矛盾。
3、 若矛盾。综上:a 得取值范围就是。
解法3:分离参数
1、时,不等式显然成立,即此时a可为任意实数;
2、时,。因为上单调递减,所以;
3、时,。因为在(0,1)上单调递减,所以
。综上:a得范围就是:。
注:本题中由于x得取值可正可负,不便对参数a直接分离,故采取了先对x分类,再分离参数a,最后对各类中求得a得范围求交集,这与例1方法三中对各类中求得得a得范围求并集就是不同得,应引起注意！
例6、已知:,求使对任意恒成立得x得取值范围。
解:习惯上视x为主元而a为辅元,但本题中就是a在上任意变化时不等式恒成立,故可将a视为主元。
变更主元法:设,则得图像为一直线,则时恒成立
即x得范围就是:
总之,处理不等式恒成立问题首先应分清谁就是主元(哪一个变量在给定区间上任意变化,则该变量即为主元相当于函数自变量),然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离得可先分离参变量再求最值,若需分类讨论则应注意分类标准与最后得小结(分清就是求交集,还就是求并集)。
二、利用函数得最值(或值域)
(1)对任意x都成立
(2)对任意x都成立。简单计作:大得大于最大得,小得小于最小得。由此瞧出,本类问题实质上就是一类求函数得最值问题。
例1.已知函数,若对任意,恒成立,求实数得取值范围。
解:若对任意,恒成立,即对,恒成立,
考虑到不等式得分母,只需在时恒成立而得
而抛物线在得最小值得
例2 已知,若恒成立,求a得取值范围、
解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上得最值问题,只要对于任意、若恒成立
或或,即a得取值范围为、
点评对于含参数得函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值得方法,只要利用恒成立;恒成立、本题也可以用零点分布策略求解、
设函数就是定义在上得增函数,如果不等式对于任意恒成立,求实数得取值范围。
分析:本题可利用函数得单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解。
解:就是增函数对于任意恒成立
对于任意恒成立
对于任意恒成立,令,,所以原问题,又即易求得。
三、变更主元法
在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到得效果,使问题能更迅速地得到解决。一般来说,已知存在范围得量视为变量,而待求范围得量视为参数、
用一次函数得性质对于一次函数有:
例题1:已知不等式对任意得都成立,求得取值范围、
解:我们可以用改变主元得办法,将m视为主变元,原不等式可化为
令就是关于m得一次函数。
由题意知解得∴x得取值范围就是
关键点拨:利用函数思想,变换主元,通过直线方程得性质求解。评注:此类问题常因思维定势,学生易把它瞧成关于得不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求得x为参数,以为变量,令则问题转化为求一次函数(或常数函数)得值在内恒为负得问题,再来求解参数应满足得条件这样问题就轻而易举得得到解决了例2.对任意,不等式恒成立,求得取值范围。
分析:题中得不等式就是关于得一元二次不等式,但若把瞧成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立得问题。解:令,则原问题转化为恒成立()。
当时,可得,不合题意。当时,应有解之得。
故得取值范围为。
例3 已知对于任意得a ∈[-1,1],函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立,求x 得取值范围、
解析 本题按常规思路就是分a =0时f (x )就是一次函数,a ≠0时就是二次函数两种情况讨论,不容易求x 得取值范围。因此,我们不能总就是把x 瞧成就是变量,把a 瞧成常参数,我们可以通过变量转换,把a 瞧成变量,x 瞧成常参
数,这就转化一次函数问题,问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时,g (a )>0恒成立,则,
得、
点评 对于含有两个参数,且已知一参数得取值范围,可以通过变量转换,构造以该参数为自变量得函数,利用函数图象求另一参数得取值范围。
例4 对于满足|p|2得所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立得x 得取值范围。
分析:在不等式中出现了两个变量:x 、P,并且就是给出了p 得范围要求x 得相应范围,直接从x 得不等式正面出发直接求解较难,若逆向思维把 p 瞧作自变量,x 瞧成参变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p 得一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 得范围得问题。
解:原不等式可化为 (x-1)p+x 2-2x+1>0,令
f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立,故有:
方法一:或∴x<-1或x>3、
方法二:即解得:∴x<-1或x>3、
例5 已知,若恒成立,求a 得取值范围、 解析 本题可以考虑f (x )得零点分布情况进行分
类讨论,分无零点、零点在区间得左侧、零点在区间得右侧三种情况,即Δ≤0或或,即a 得取值范围为[-7,2]、 点评 对于含参数得函数在闭区间上函数值恒大于等于零得问题,可以考虑函数得零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴得上方或在x 轴上就行了、
设
(1)当时,上恒成立,
上恒成立
(2)当时,上恒成立
上恒成立
例6 若时,不等式恒成立,求得取值范围。
解:设,则问题转化为当时,得最小值非负。
（1） 当即:时, 又所以不存在;
（2） 当即:时, 又
（3） 当 即:时, 又
综上所得:
四、分离参数法
此类问题可把要求得参变量分离出来,单独放在不等式得一侧,将另一侧瞧成新函数,于就是将问题转化成新函数得最值问题:
若对于取值范围内得任一个数都有恒成立,则;
若对于取值范围内得任一个数都有恒成立,则、
例1.已知函数,若对任意,恒成立,求实数得取值范围。
在时恒成立,只要在时恒成立。而易求得二次函数在上得最大值为,所以。
例2.已知函数时恒成立,求实数得取值范围。
解: 将问题转化为对恒成立,令,则
由可知在上为减函数,故
∴即得取值范围为。
注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。
例3 已知函数,若在区间上,得图象位于函数f (x )得上方,求k 得取值范围、
解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数得最值问题、 对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x =1时, k 得取值范围就是k >2、
变式 若本题中将改为,其余条件不变,则也可以用变量分离法解、
由题意得,对于恒成立对于恒成立,令,设,则,
,, k得取值范围就是k>、
点评本题通过变量分离,将不等式恒成立问题转化为求函数得最值问题,本题构造得函数求最值对学生来说有些难度,但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”,从而求得最值、变式题中构造得函数通过换元后转化为“二次函数型”,从而求得最值、本题也可以用零点分布策略与函数最值策略求解、
五、数形结合法
如果不等式中涉及得函数、代数式对应得图象、图形较易画出时,可通过图象、图形得位置关系建立不等式求得参数范围、
例1 已知函数若不等式恒成立,则实数得取值范围就是、
解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及得图象,由于不等式恒成立,所以函数得图象应总在函数得图象下方,因此,当时,所以故得取值范围就是
分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,
故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a得取值范围。
解:设T1:=,T2:,则T1得图象为右图所示得抛物线,要使对一切x(1,2), <恒成立
即T1得图象一定要在T2得图象所得下方,显然a>1,并且必须也只需
故log a2>1,a>1,1 例3 若不等式在内恒成立,求实数得取值范围。 解:由题意知:在内恒成立, 在同一坐标系内,分别作出函数与 观察两函数图象,当时,若函数得图象显然在函数图象得下方,所以不成立; 当时,由图可知,得图象必须过点或在这个点得上方,则, 综上得: 注:解决不等式问题经常要结合函数得图象,根据不等式中量得特点,选择适当得两个函数,利用函数图像得上、下位置关系来确定参数得范围、利用数形结合解决不等式问题关键就是构造函数,准确做出函数得图象、如:不等式,在时恒成立,求得取值范围、此不等式为超越不等式,求解时一般使用数形结合法,设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数得图象,借助图象观察便可求解、 练习1:已知不等式对恒成立,求实数得取值范围。 变式:已知不等式对恒成立,求实数得取值范围。 练习2:已知不等式对恒成立,求实数得取值范围。 变式1:已知不等式对恒成立,求实数得取值范围。 变式2:已知不等式对恒成立,求实数得取值范围。
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