运动图像 追及相遇问题
考点一
运动图像的理解及应用
1.两种运动图像的比较
考点二 追及相遇问题
1.解题的基本思路
2.分析技巧
(1)两个等量关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可以通过画草图得到.
(2)一个临界条件:即二者速度相等,它往往是物体能否追上、追不上或两者相距最远、最近的临界条件. 3.追及判断
常见情形:物体A 追物体B,开始二者相距x 0,则
名称
项目
x-t 图像
v-t 图像
轴 横轴为时间t,纵轴为位移x 横轴为时间t,纵轴为速度v
线 倾斜直线表示匀速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率 表示速度 表示加速度
面积 图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距 表示初位置 表示初速度
特殊点 拐点表示速度变化,交点表示相遇 拐点表示加速度变化,交点表示速度相等
(1)A追上B时,必有x A-x B=x0,且v A≥v B.
(2)要使两物体恰不相撞,必有x A-x B=x0,且v A≤v B.
4.常用方法
(1)物理分析法:抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立一幅物体运动关系的图像.
(2)数学极值法:设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于位移x与时间t的函数关系,由此判断两物体追及或相遇情况.
(3)图像法:将两个物体运动的速度—时间关系在同一图像中画出,然后利用图像分析求解相关问题.
考点三应用图像分析运动问题
1.运用图像分析和解决问题,具体来说就是利用图像中的点(起点、交点、拐点、终点、峰值、截距)、线(直线、曲线、斜率、渐近线)、面积、正负号等的物理意义来定性分析、定量计算或理解物理规律.
2.物体的运动图像之间可以相互转化,如位移—时间图像转化为速度—时间图像,加速度—时间图像转化为速度—时间图像等.
典例精析
★考点一：运动图像的理解及应用
◆典例一：(2019安徽安庆期中)一辆摩托车在t=0时刻由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的a-t图像如图所示,根据已知信息,可知()
A.摩托车的最大动能
B.摩托车在30 s末的速度大小
C.在0~30 s的时间内牵引力对摩托车做的功
D.10 s末摩托车开始反向运动
【答案】B
【解析】由题图可知,摩托车在0~10 s内做匀加速运动,在10~30 s内做减速运动,故10 s末速度最大,动能最大,由v=at可求出最大速度,但摩托车的质量未知,故不能求最大动能,A错误;根据a-t图线与t轴所围的面积表示速度变化量,可求出30 s内速度的变化量,由于初速度为0,则可求摩托车在30 s末的速度大小,B正确;摩托车的质量未知,不能求出牵引力,故不能求出牵引力对摩托车做的功,C错误;由图线与时间轴所围的面积表示速度变化量可知,0~30 s内速度变化量为零,所以摩托车一直沿同一方向运动,D错误。
★考点二：追及相遇问题
◆典例一：(2019河北沧州一中月考)甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于t=10 s处,则下列说法正确的是()
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0=60 m处
C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D.t=5 s时两车相遇,此时甲车速度较大
【答案】C
【解析】位移-时间图像的斜率表示速度,则知甲车的速度不变,做匀速直线运动,初速度不为零,选项A错误;乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10 s处,则t=10 s时,速度为零,可逆向看成初速度为0的匀加速直线运动,则x=1/2at2,根据图像可知,x0=1/2a·(10 s)2,20 m=1/2a·(5 s)2,解得a=1.6 m/s2,x0=80 m,选项B错误,C正确;t=5 s时两车相遇,此时甲车的速度v甲=m/s=4 m/s, =at=1.6×5 m/s=8 m/s,选项D错误。
乙车的速度v
乙
◆典例二：(2018·山东济宁模拟)A,B两汽车在同一路面上同向行驶,A车在前,其速度v A=10 m/s,B车在后,其速度v B=30 m/s,因大雾能见度低,B车在距A车x0=85 m时才发现前方有A车,这时B车立即刹车,但B车要经过180 m才能停止,问:B车刹车时A车仍按原速率行驶,两车是否会相撞?若会相撞,将在B车刹车后何时相撞?若不会相撞,则两车最近距离是多少?
【答案】5 m
【解析】:设B车刹车过程中的加速度大小为aB,则0-错误!未找到引用源。=-2a B x,得aB=
2
2
B
v
x
-
-
=2.5 m/s2.
若两车速度相等时不相撞,则两车不会相撞,设t s后速度相等,则v A=v B-a B t,得t=8 s,
则x A=v A t=80 m,x B=v B t-1/2a B t2=160 m,
因x A+x0>x B,则两车不会相撞,
最近距离Δx=xA+x0-x B=5 m.
★考点三：应用图像分析运动问题
◆典例一(2018·湖北武汉模拟)甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动.质点甲做初速度为零,加速度大小为a1的匀加速直线运动;质点乙做初速度为v0,加速度大小为a2的匀减速直线运动,到速度减为零并保持静止.选甲、乙的出发位置为位移零点,甲、乙两质点在运动过程中的位置—速度(x-v)图像如图所示,虚线与对应的坐标轴垂直.
(1)在x-v图像中,甲质点的运动用哪一图线表示?质点乙的初速度v0是多大?
(2)求质点甲、乙的加速度大小a1,a2.
【答案】(1)6 m/s（2）a1=2 m/s2,a2=1 m/s2
【解析】(1)甲质点的运动用a图线表示;v0=6 m/s.
(2)设质点乙、甲先后通过x=6 m处时的速度均为v,
对质点甲:v2=2a1x
对质点乙:v2-20v=-2a2x
解得a1+a2=3 m/s2
当质点甲的速度v1=8 m/s、质点乙的速度v2=2 m/s时,两质点通过相同的位移均为x′;对质点甲:错误!未找到引用源。=2a1x′
对质点乙:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=-2a2x′
解得a1=2a2即a1=2 m/s2,a2=1 m/s2.
方法技巧运用图像解答物理问题的“三个”技巧
(1)根据题目所给图像,结合题意确定物体的运动情况.
(2)结合图像提供的信息,利用相应的物理规律列出对应的方程或函数表达式.
(3)利用数学知识求解有关的物理量.
1.(2018·安徽合肥段考)如图所示,为一物体运动的位移—时间(x-t)图像.由图像可知()
A.物体一直做匀加速直线运动
B.物体一直做匀减速直线运动
C.物体以某一速率做往复运动
D.物体有时做匀加速直线运动,有时做匀减速直线运动
【答案】C
【解析】x-t图像斜率的大小表示速度的大小,由图可知,图像斜率大小不变,故物体速度大小不变;斜率有正有负,表示物体速度方向变化,故物体以同一速率做往复运动,故C正确.
2、(2018·河北石家庄质检)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线
运动,它们运动的加速度随时间变化图像如图所示.关于两车的运动情况,下列说法
正确的是()
A.在0～4 s内甲车做匀加速直线运动,乙车做匀减速直线运动
B.在0～2 s内两车间距逐渐增大,2～4 s内两车间距逐渐减小
C.在t=2 s时甲车速度为3 m/s,乙车速度为4.5 m/s
D.在t=4 s时甲车恰好追上乙车
【答案】C
【解析】如图,分别是甲和乙车大致的v-t图像.由图像立即可以判断,前4 s乙的速
度一直在增大,选项A错误;乙车的速度一直大于甲车的速度,两车间距离一直在增大,选项B错误;t=4 s时,乙车图像与时间轴围成图形的面积明显大于甲车图像与时间轴围成图形的面积,甲车不会在这时追上乙车,选项D错误.由于Δv=aΔt,则a-t图线所围面积表示速度变化,因甲、乙由静止开始运动,则2 s时v甲=3 m/s,v 乙=4.5 m/s,选项C正确.
3.(2018·山西太原模拟)在平直公路上行驶的甲车和乙车,其位移—时间图像分别为图中直线和曲线所示,图中t1对应x1,则()
A.t1到t3时间内,乙车的运动方向始终不变
B.在t1时刻,甲车的速度大于乙车的速度
C.t1到t2时间内,某一时刻两车的速度相同
D.t1到t2时间内,甲车的平均速度小于乙车的速度
【答案】C
【解析】解析:乙图线切线斜率先为正值,然后为负值,知乙的运动方向发生变化,故A错误;根据x-t图像
的斜率表示速度,所以在t1时刻,甲车的速度小于乙车的速度,故B错误;t1到t2时间内,甲图线的斜率在某时刻与乙图线的切线斜率相同,则两车的速度相同,故C正确;t1到t2时间内,两车的位移相同,时间相同,则平均速度相同,故D错误.
4.[追及相遇问题的速度图像](2016·全国Ⅰ卷,21)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示.已知两车在t=3 s 时并排行驶,则()
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【答案】BD
【解析】由v-t图像可知,甲车初速度为0,加速度a甲=20
2
m/s2=10 m/s2,乙车初速度v乙0=
10 m/s,加速度a乙=错误!未找到引用源。m/s2=5 m/s2;在0～3 s内,x甲=错误!未找到引用源。×10×32 m=45 m,x乙=10×
3 m+错误!未找到引用源。×5×32 m=52.5 m;则x乙-x甲=7.5 m,即t=0时甲车在乙车前7.5 m处;在0～1 s内,x甲′=错误!未找到引用源。×10×12 m=5 m, x乙′=10×1 m+错误!未找到引用源。×5×12 m=12.5 m, 则x 甲′+7.5 m=
x乙′,说明1 s时两车并排行驶;甲、乙车两次并排行驶的时刻为1 s和3 s,则1～3 s内甲车位移Δx甲=45 m-5 m=40 m,即沿公路方向的距离为40 m,选项B,D正确.
5.(2016·江苏卷,5)小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动.取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向,下列速度v和位置x的关系图像中,能描述该过程的是()
【答案】A
【解析】小球在下落的过程中速度方向向下,与正方向相反,为负值,故选项C,D错误;小球的运动为匀变速运动,根据v2-错误!未找到引用源。=2ax可知,v与x为非线性关系,故选项A正确,B错误.
6.(多选)一辆汽车正以v1=10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶,发现正前方有一辆自行车以v2=4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为a=0.6 m/s2的匀减速运动,汽车恰好没有碰上自行车,则()
A.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为10 s
B.关闭油门后,汽车恰好没有碰上自行车时所用时间为s
C.关闭油门时,汽车与自行车的距离为30 m
D.关闭油门时,汽车与自行车的距离为m
【答案】AC
【解析】撞不上的临界条件为速度相等时恰好追上,则有v1-at=v2,代入数据解得t=10 s,选项A 正确,B错误;设汽车的位移为x1,自行车的位移为x2,则由位移关系有x1=x2+x,即t=x+v2t,代入数据解得x=30 m,选项C正确,D错误。
7．如图所示为某质点做直线运动时的v–t图象，图象关于图中虚线对称，则在0~t1时间内，关于质点的运动，下列说法正确的是
A．若质点能两次到达某一位置，则两次到达这一位置的速度大小一定相等
B．若质点能两次到达某一位置，则两次的速度都不可能为零
C．若质点能三次通过某一位置，则可能三次都是加速通过该位置
D．若质点能三次通过某一位置，则可能两次加速通过，一次减速通过
【答案】D
【解析】如图所示，画出质点运动的过程图，质点在0~t1时间内能两次到达的位置有两个，分别对应质
点运动速度为零的两个位置，因此AB错误；在质点沿负方向加速运动的过程中，质点可三次通过某一位置，这时质点两次加速，一次减速，在质点沿负方向减速运动的过程中，质点可三次通过某一位置，这时质点两次减速，一次加速，C项错误，D项正确。
8．如图所示,两光滑斜面的总长度相等,高度也相同,a、b两球由静止从斜面顶端下滑,若球在转折点处无能量损失,则()
A.a球后着地
B.b球后着地
C.两球同时着地
D.两球着地时速度相同
【答案】A
【解析】本题若采用解析法,难度很大,可利用v-t图像(这里的v是速率,图线与时间轴所围的面积表示路程s)进行定性比较。在同一个v-t图像中作出a、b两球的速率随时间变化的关系图线如图所示,由于开始运动时b球的加速度较大,则斜率较大;小球在斜面上运动时机械能守恒,可知a、b两球的末速率相等,故曲线末端在同一水平线上,由于两斜面长度相等,则应使v-t图线与t轴围成的面积相等。结合图中图线特点可知b用的时间较少,由此可知A正确,B、C、D错误。
9.(2018甘肃兰州一中月考)某质点做直线运动,运动速率的倒数与位移x的关系如图所示,关于质点的运动,下列说法正确的是()
A.质点做匀加速直线运动
B.-x图线斜率等于质点运动的加速度
C.四边形AA'B'B的面积可表示质点从O到C'所用的运动时间
D.四边形BB'C'C的面积可表示质点从C到C'所用的运动时间
【答案】D
【解析】由题中-x图像可知,与x成正比,即vx=常数,质点做减速直线运动,故A错误;-x图
线斜率不等于质点运动的加速度,故B 错误;由于三角形OBC 的面积S 1=OC·BC=,体现了从
O 到C 所用的时间,同理,从O 到C'所用的时间可由S 2=体现,所以四边形BB'C'C 面积可体现
质点从C 到C'所用的时间,故C 错误,D 正确。
10. (2018·兰州名校联考)某质点做直线运动，运动速率的倒数1v 与位移x 的关系如图所示，关于质点的运动，
下列说法正确的是( )
A ．质点做匀加速直线运动
B.1v
-x 图线斜率等于质点运动加速度 C ．四边形AA ′B ′B 的面积可表示质点从O 到C ′所用的运动时间 D ．四边形BB ′C ′C 的面积可表示质点从C 到C ′所用的运动时间 【答案】D
【解析】由题中1v -x 图像可知，1v 与x 成正比，即vx ＝常数，质点做减速直线运动，故选项A 错误；1
v -x
图线斜率不等于质点运动的加速度，故选项B 错误；由于三角形OBC 的面积S 1＝12OC ·BC ＝x 1
2v 1，体现了从
O 到C 所用的时间，同理，从O 到C ′所用的时间可由S 2＝x 2
2v 2体现，所以四边形BB ′C ′C 面积可体现质点从
C 到C ′所用的时间，故选项C 错误
D 正确。
11.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t 1的时间内,它们的v-t 图像如图所示。
在这段时间内( )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】 根据v-t 图线与时间轴所围的面积表示位移,可以看出汽车甲的位移x 甲大于汽车乙的
位移x 乙,选项C 错误;根据v=得,汽车甲的平均速度v 甲大于汽车乙的平均速度v 乙,选项A 正确;汽车乙的位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1的匀减速直线运动的位移x,即汽车乙的平均速度小于
,选项B 错误;由于v-t 图像的斜率绝对值大小反映了加速度的大小,所以汽车甲、乙
的加速度大小都逐渐减小,选项D 错误。
12(2018贵州凯里高三模拟)一辆卡车以v B =10 m/s 的初速度沿直线方向做匀减速直线运动,加速
度的大小为a=2 m/s 2,在其后方一辆小汽车以v A =4 m/s 的速度向相同方向做匀速直线运动,小汽车在卡车后方相距x 0=7 m 处,从此时开始计时,求:
(1)小汽车追上卡车前,两车间的最大距离d 是多大? (2)经过多长时间小汽车追上卡车? 【答案】(1)d=16 m (2)8 s
【解析】 (1)设两车速度相等经历的时间为t 1,有
v A =v B -at 1
2B v - 2
A v =2a 1
B x
1A x =v A t 1
两者间的最大距离为 d=x 0+ 1A x -1B x 代入数据解得d=16 m
(2)卡车速度减为零的时间为t 2,有 0=v B -at 2得t 2=5 s
卡车速度减为零的位移为x B ,有2ax B =2B v
得x B =25 m 此时汽车的位移为
x A =v A t 2=4×5 m=20 m
因为x A 则有t=t 2+t 3=5 s+3 s=8 s 13.(2019江西抚州临川期末)甲、乙两辆车在同一直轨道上向右匀速行驶,甲车的速度为 v 1=16 m/s,乙车的速度为v 2=12 m/s,乙车在甲车的前面。当两车相距L=6 m 时,两车同时开始刹车,从此时开始计时,甲车以大小为a 1=2 m/s 2的加速度刹车,6 s 后立即改做匀速运动,乙车刹车的加速度大小为a 2=1 m/s 2。求: (1)从两车开始刹车时开始计时,甲车第一次追上乙车的时间; (2)两车相遇的次数; (3)两车速度相等的时间。 【答案】(1)2s (2)3次(3)8 s 【解析】(1)在甲减速时,设经时间t 相遇,甲和乙的加速度大小分别为a 1、a 2,位移分别为x 1、x 2, 则有 x 1=v 1t-21a 1t 2,x 2=v 2t-2 1 a 2t 2,x 1=x 2+L 联立解得t 1=2 s,t 2=6 s 即在甲车减速时,相遇两次,第一次相遇的时间为 t 1=2 s (2)当t 2=6 s 时,甲车的速度为v 1'=v 1-a 1t 2=4 m/s,乙车的速度为v 2'=v 2-a 2t 2=6 m/s,甲车的速度小于乙车的速度,但乙车做减速运动,设再经Δt 甲追上乙,有: v 1'Δt=v 2'Δt -2 1 a 2(Δt)2 解得Δt=4 s 此时乙仍在做减速运动,此解成立。 综合以上分析可知,甲、乙两车共相遇3次 (3)第一次速度相等的时间为t 3, v 1-a 1t 3=v 2-a 2t 3,解得t 3=4 s 甲车匀速运动的速度为4 m/s,第二次速度相等的时间为t4,有v1'=v2-a2t4,解得t4=8 s 专题强化一运动学图象追及相遇问题 专题解读1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题. 2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力. 3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法. 一、运动学图象 1.直线运动的x－t图象 (1)图象的物理意义 反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义 ①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小 ②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向. (3)交点 两图线交点，表示两物体相遇. 2.直线运动的v－t图象 (1)图象的物理意义 反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律. (2)图线斜率的意义 ①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小. ②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向. (3)两种特殊的v－t图象 ①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线. ②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线. (4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1) 图1 ①图象与时间轴围成的面积表示位移. ②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负. (5)交点 两图线交点表示此时两物体速度相同. 自测1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图2所示，由图象可以看出在0～4s内() 图2 A.甲、乙两物体始终同向运动 B.第4s末时，甲、乙两物体间的距离最大 C.甲的平均速度等于乙的平均速度 D.乙物体一直做匀加速直线运动 答案 C 解析由题图可知在0～2s内，甲、乙同向运动，在2～4s内两者反向运动，选项A错误；第4s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4s内，甲、乙的位移都是2m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误. 自测2如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知() 图3 A.前1s物体的位移大小为1m B.前2s末物体的瞬时速度大小为2m/s C.前3s内物体的加速度大小为3m/s D.前3s物体做匀变速直线运动 答案 A 解析在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1s内物体的 学案4 运动图象追及相遇问题 一、概念规律题组 1．如图1所示为甲、乙两物体的x－t图象，则( ) 图1 A．甲、乙两物体都做匀速直线运动 B．若甲、乙两物体在同一直线上运动，则一定会相遇 C．t1时刻甲、乙相遇 D．t2时刻甲、乙相遇 答案ABC 2．某物体沿一直线运动，其v－t图象如图2所示，则下列说法中正确的是( ) 图2 A．第2 s内和第3 s内速度方向相反 B．第2 s内和第3 s内速度方向相同 C．第2 s末速度方向发生变化 D．第5 s内速度方向与第1 s内方向相同 答案B 3．如图3所示为某质点运动的速度—时间图象，下列有关该质点运动情况的判断正确的是( ) 图3 A．0～t1时间内加速度为正，质点做加速运动 B．t1～t2时间内加速度为负，质点做减速运动 C．t2～t3时间内加速度为负，质点做减速运动 D．t3～t4时间内加速度为正，质点做加速运动 答案AB 解析由图象可知，在0～t1时间内加速度为正，速度也为正，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t1～t2时间内加速度为负，速度为正，加速度方向与速度方向相反，故质点做减速运动；在t2～t3时间内加速度为负，速度也为负，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t3～t4时间内加速度为正，速度为负，加速度方向与速度方向相反，质点做减速运动． 4．如图4所示为一物体做匀变速直线运动的图象．由图象作出的下列判断中正确的是( ) 图4 A．物体始终沿正方向运动 B．物体先沿负方向运动，在t＝2 s后沿正方向运动 C．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，t＝2 s后位于出发点正方向上 D．在t＝2 s时，物体距出发点最远 答案BD 解析物体的运动方向即为速度方向．由图象知，在t＝2 s前，速度为负，物体沿负方向运动，2 s后速度为正，物体沿正方向运动，A是错的，B是正确的．物体的位置由起点及运动的位移决定．取起点为原点则位置由位移决定．在v－t图象中，位移数值是图象与坐标轴所围的面积．由图象可知t<2 s时物体的位移为负，t＝2 s 时绝对值最大．t＝2 s后，位移为负位移与正位移的代数和，绝对值减小，所以t＝2 s时位移绝对值最大即物体离出发点最远，所以D正确，C错，所以选B、D. 二、思想方法题组 5．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图5所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是( ) 图5 A．在0～10 s内两车逐渐靠近 B．在10～20 s内两车逐渐远离 C．在5～15 s内两车的位移相等 D．在t＝10 s时两车在公路上相遇 答案C 解析由题图知乙做匀减速直线运动，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s2；甲做匀速直线运动，速度v甲＝5 m/s.当t＝10 s时v甲＝v乙，甲、乙两车距离最大，所以0～10 s内两车之间的距离越来越大；10～20 s内两车之间的距离越来越小，t＝20 s时，两车距离为零，再次相遇，故A、B、D错误；在5～15 s时间内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故C正确． 6．一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度巡逻，突然接到报警，在前方不远处有歹徒抢劫，该警车要尽快赶到出事地点且到达出事地点时的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a为一直匀速直线运动；b为先减速再加速；c为先加速再减速，则( ) A．a种方式先到达B．b种方式先到达 C．c种方式先到达D．条件不足，无法确定 答案C 解析作出v－t图象如右图所示，从出发点到出事地点位移一定，根据v－t图象的意 追及与相遇问题 1、追及与相遇的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、理清两大关系： 时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等；它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 4、三种典型类型 （1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B ①当 B A v v =时，A 、B 距离最大； ②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2= （2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A 判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况 ①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小 ②若AB 在同一处，则B 恰能追上A ③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次 （3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B ①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 5、解追及与相遇问题的思路 （1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图 （2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中 （3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程 （4）联立方程求解 注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t v -图象的应用 【典型习题】 【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？ 1．(·广东理综，13) 甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移－时间图象如图所示，下列表述正确的是( ) A ．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大 B ．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大 C ．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小 D ．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等 2．(· 新课标全国卷Ⅱ，14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的vt 图象如图所示。在这段时间内( ) A ．汽车甲的平均速度比乙的大 B ．汽车乙的平均速度等于 v 1＋v 2 2 C ．甲、乙两汽车的位移相同 D ．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 3．(·大纲全国) 一质点沿x 轴做直线运动，其vt 图象如图所示。质点在t ＝0时位于x ＝5 m 处，开始沿x 轴正向运动。当t ＝8 s 时，质点在x 轴上的位置为( ) A ．x ＝3 m B ．x ＝8 m C ．x ＝9 m D ．x ＝14 m 4．(·江苏单科，5)一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v 和位移x 的关系图象中，能描述该过程的是( ) 5．(· 广东理综，13)如图是物体做直线运动的vt图象，由图可知，该物体( ) A．第1 s内和第3 s内的运动方向相反 B．第3 s内和第4 s内的加速度相同 C．第1 s内和第4 s内的位移大小不相等 D．0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等 6．(·天津理综，1)质点做直线运动的速度—时间图象如图所示，该质点( ) A．在第1秒末速度方向发生了改变 B．在第2秒末加速度方向发生了改变 C．在前2秒内发生的位移为零 D．第3秒末和第5秒末的位置相同 7．(·福建理综，20) 一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的vt图象如图所示。求： (1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a； (2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小v。 1. 示的汽车的运动情况，下列说法不正确的是A．AB段表示汽车静止 B．BC段汽车发生的位移大于 C．CD段汽车运动方向和 D．CD段汽车运动速度大于 解析：分析题图可知： 物体做直线运动的v－t图象如图所示， 初物体运动的加速度为2 m/s 在一笔直公路上有a、b、c三辆汽车，它们同时经过同一 图象如图所示， 速度相等 间的距离在减小 位于b、c前面 汽车在平直公路上做刹车试验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如图所示，下列说法正确的是 时汽车的速度为10 m/s ．刹车过程持续的时间为5 s 加速度a恒定不变，D图错误；v＝at∝t， 图正确；v2＝2ax∝x，C图正确；D图中说明物体在运 做直线运动的甲、乙两物体的位移－时间图象如图所示， ．当乙开始运动时，两物体间的距离为 这段时间内，两物体间的距离逐渐变大 分别是在平行的平直公路上行驶的汽车 图线，在t1时刻两车刚好在同一位置 ．甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，两车的位移－时间图甲的两段图线之间有一小段圆弧连接，长度忽略不计其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分， ．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动 两物体运动的v－t图象如图所示，由图象可知 两物体运动方向始终相同 两物体的加速度在前4 s内大小相等、方向相反 4 s内不可能相遇 )( ) 金属小球竖直向上抛出，空气阻力忽略不计，只受重力，上升和下降过程加速度大小和方向都不变， 正确，B错误；根据位移－时间公式，有 ，则位移－时间图象是抛物线，故C错误；小球做竖直上抛运速率均匀减小，下降过程，速率均匀增大， 标题1-3运动图像追及相遇问题作者杨国平 复习要求及目标理解x-t图像和v-t图像的各个量表示的物理意义；利用图像解答追及相遇问题。 一．直线运动的运动图象 【横轴以上表示运动的位移方向不改变，只有穿过横轴，方向才变化】 【横轴以上表示速度方向不变，只有穿过横轴才表示速度方向发生变化】3.对运动图象的三点说明 (1)无论是x-t图象还是v-t图象都只能描述直线运动. (2)x-t图象和v-t图象不表示物体运动的轨迹. (3)x-t图象和v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定. 4.运用运动图象解题“六看” 练习：物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图所示，则这两个物体的运动情况是( BC ) A.甲在整个t=6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零 B.甲在整个t=6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m C.乙在整个t=6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零 D.乙在整个t=6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m 【解答图象问题的关键在于三个问题：一是审清图象坐标轴上的字母，正确理解图象的物理意义；二是区分图象的单调区间、图象的极值、拐点与临界 点；三是运用数学斜率概念理解变化率.】 练习：如图所示为甲、乙两物体相对于同一坐标系的x-t图象，则下列说法正确的是( BC ) A.甲、乙均做匀变速直线运动 B.甲比乙早出发时间t0 C.甲、乙运动的出发点相距x0 D.甲的速率大于乙的速率 二．追及和相遇问题 1.追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度. (2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近. 2.相遇问题的两类情况 (1)同向运动的两物体追及即追上相遇. (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇. 3.追及相遇问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到. (2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点. 4.追及相遇问题常见的情况 假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种常见情况: 重庆市2020年高考物理一轮复习：03 运动图象追及和相遇问题（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共20分) 1. （2分）某物体运动的v-t图象如图所示，下列说法正确的是（） A . 物体做匀变速直线运动 B . 物体在第2s内和第3s内的运动方向相反，加速度方向相反 C . 1s末、3s末物体处于同一位置 D . 6s末物体回到出发点 2. （2分） (2016高一上·宾阳期中) 物体A，B的x﹣t图象如图所示，由图可知（） A . 从第3 s起，两物体运动方向相同，且vA＜vB B . 两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动 C . 在5 s内A的位移较大，5 s末A，B相遇 D . 5 s内A，B的平均速度相等 3. （2分）(2017·泰州模拟) 木块以一定的初速度沿粗糙斜面上滑，后又返回到出发点．若规定沿斜面向下为速度的正方向，下列各图象中能够正确反映该木块运动过程的速度随时间变化的关系的是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2019高一上·青冈月考) 如图所示是某质点做直线运动的速度一时间图象，由图象可知（） A . 第内物体处于静止状态 B . 质点在末与末的运动方向相反 C . 质点在第内和第内的加速度方向相同 D . 质点在内的加速度大于内的加速度 5. （2分） (2018高一上·桂林开学考) 甲、乙、丙三个物体同时同地出发做直线运动，它们的位移一时间图象如图所示，在20s内它们的平均速度和平均速率的大小关系是（） A . 平均速度大小相等，平均速率 B . 平均速度大小相等，平均速率 C . 平均速度v甲＞v丙＞v乙，平均速率相等 D . 平均速度和平均速率大小均相等 6. （2分） (2015高一上·大连期末) 如图所示是物体做直线运动的v﹣t图象，由图象可知，该物体（） A . 第1 s内和第3 s内的运动方向相反 B . 第3 s内和第4 s内的加速度不相同 C . 第1 s内和第4 s内的位移大小相等 D . 0～2 s和0～4 s内的平均速度大小相等 7. （2分） (2017高一上·泉港期末) 甲、乙两物体同时从同一位置出发沿同一直线运动，它们的v﹣t图象如图所示，则下列判断正确的是（） 追及相遇问题专题 追击和相遇问题 1.相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键：“两个关系，一个条件” （1）时间关系 ：0 t t t B A ±= （2）位 移关系：0 A B x x x =± （3）速临界条件： 两者速度相等——是物体间能否追上、恰好避免相碰、（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 相遇和追击问题剖析： (一) 追及问题（设甲追乙，两物体初始时刻相距 x ） 1.第一类：速度小者加速追速度大者（如做初速度为零的匀加速物体追匀速运动物体） （1）两者速度相等前间距在增大，当两者速度相等时有最大距离，之后两者距离减小 （2）当两者位移满足甲 乙 x x x =+0时，则追上 2.第二类：速度大者减速追速度小者（如做匀减速直线运动追匀速运动） （1）开始追及后，两者间距减小 （2）当两者速度相等时： ① 若两者位移差满足0 -x x x x ==?乙甲 ，则甲恰好追上乙，且只相遇一次（避免碰撞的条件） ② 若两者位移差满足0 -x x x x <=?乙甲 ，则不能追 上，两者存在最小间距为甲 乙 x x x -0+ ③ 若两者位移差满足0 -x x x x >=?乙甲 ，则会相遇两 次 3、分析追及问题的注意点： ⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注．．．．．．．．．．．．．．．．．．意． 追上前该物体是否已经停止运动。．．．．．．．．．．．．．．． ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t -图象的应用。 (二)、相遇问题 ⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 ⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值 高中物理-运动图像追及、相遇问题练习 一、选择题(本大题共10个小题,共70分,每小题至少有一个选项正确,全部选对的得7分,选对但不全的得4分,有选错的得0分) 1．如图1所示的x－t图象和v－t图象中,给出的四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况,关于它们的物理意义,下列描述正确的是() 图1 A．图线1表示物体做曲线运动 B．x－t图象中t1时刻物体1的速度大于物体2的速度 C．v－t图象中0至t3时间内物体4的平均速度大于物体3的平均速度D．两图象中,t2、t4时刻分别表示物体2、4开始反向运动 解析：运动图象只能用来描述直线运动,A错；x－t图象中,t1时刻物体1的斜率大于物体2,故B对；v－t图象,0至t3时间内由速度——时间图象所围的面积可知v4＞v3,C对；t2时刻物体2开始反向,t4时刻物体4的速度方向不变,加速度开始反向,D错． 答案：BC 2.某物体的位移图象如图2所示,则下列 叙述正确的是() A．物体运动的轨迹是抛物线 图2 B．物体运动的时间为8 s C．物体运动所能达到的最大位移为80 m D．在t＝4 s时刻,物体的瞬时速度为零 解析：位移随时间的变化关系曲线并非为物体运动的轨迹．由图象可知,在0～4 s内物体沿正方向前进80 m,非匀速；4 s～8 s内物体沿与原来相反的 方向运动至原点．在t＝4 s时,图线上该点处切线的斜率为零,故此时速度为零．由以上分析知A错,B、C、D均正确． 答案：BCD 3.小球从空中自由下落,与水平地面 相碰后弹到空中某一高度,其速度 随时间变化的关系如图3所示,取 g＝10 m/s2.则() A．小球下落的最大速度为5 m/s 图3 B．小球第一次反弹的初速度的大小为3 m/s C．小球能弹起的最大高度为0.45 m D．小球能弹起的最大高度为1.25 m 解析：结合题给v－t图,可以确定是以竖直向下为正方向的．由题图知0～0.5 s过程为下落过程,最大速度为5 m/s,A正确；0.5 s～0.8 s过程为反弹过程,初速度大小为3 m/s,B正确；由v－t图线与坐标轴所围面积为位移可得反弹 的最大高度为h＝1 2(0.8－0.5)×3 m＝0.45 m,C正确,D错． 答案：ABC 4．一质点自x轴原点出发, 沿x轴正方向以加速度a加速,经过t0 时间速度变为v0,接着以－a加速度运动, 当速度变为－v0 2时,加速度又变为a,直 至速度为v0 4时,加速度再变为－a,直到图4 速度变为－v0 8…,其v－t图象如图4所示, 则下列说法正确的是() A．质点一直沿x轴正方向运动 B．质点将在x轴上一直运动,永远不会停止 C．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v0t0 D．质点运动过程中离原点的最大距离为v0t0 第3讲 运动图象 追及和相遇问题 1．直线运动的x －t 图象 (1)意义：反映了直线运动的物体__位移__随__时间__变化的规律． (2)图线上某点切线的斜率的意义 ①斜率大小：表示物体速度的__大小__. ②斜率的正负：表示物体速度的__方向__. (3)两种特殊的x －t 图象 ①若x －t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于__静止__状态．(如图所示甲图线) ②若x －t 图象是一条倾斜的直线，说明物体在做__匀速直线__运动．(如图所示乙图线) 2．直线运动的v －t 图象 (1)意义：反映了直线运动的物体__速度__随__ 时间 __ 变化的规律． (2)图线上某点切线的斜率的意义 ①斜率的大小：表示物体__加速度__的大小． ②斜率的正负：表示物体__加速度__的方向． (3)两种特殊的v －t 图象 ①匀速直线运动的v －t 图象是与横轴__平行__的直线．(如图所示甲图线) ②匀变速直线运动的v －t 图象是一条__倾斜__的直线．(如图所示乙图线) (4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义 ①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的__位移__. ②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为__正方向__；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为__负方向__. 3．追及和相遇问题 (1)两类追及问题 ①若后者能追上前者，追上时，两者处于__同一位置__，且后者速度一定不小于前者速度． ②若追不上前者，则当后者速度与前者__相等__时，两者相距最近． (2)两类相遇问题 ①同向运动的两物体追及，追上时即相遇． ②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇． 1．判断正误 (1)x－t图象表示物体的运动轨迹．(×) (2)x－t图象和v－t图象都不能描述曲线运动．(√) (3)v－t图象上两图线的交点表示两物体速度相等，不代表相遇．(√) (4)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．(√) (5)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞．(×) (6)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐变小．(×) 2．甲、乙两物体均做直线运动，它们在某段时间内的位移x随时间t变化的图象如图所示，则在0～t1时间内，下列判断正确的是(D) A．甲物体做加速运动 B．甲、乙两物体运动方向相同 C．甲的平均速度比乙的平均速度大 D．甲、乙两物体的平均速度大小相等 3．上海F1车赛于2014年4月18日至20日在上海奥迪国际赛车场举行．其中有甲、乙两赛车从同一起跑线上同时启动并且沿平直路面同向前进，在t＝0到t＝t1时间内，它们的速度随时间变化的图象如图所示．则下列说法正确的是(B) 专题：直线运动中的追击和相遇问题 一、相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、 解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追击、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上, 否则就不能追上. 四、典型例题分析： (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）：v 1< v 2时，两者距离变大；v 1= v 2时， 两者距离最大；v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 答案：（1） 2s 6m （2）12m/s (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 答案：不能追上 7m (三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1 2019高考物理运动图像追及相遇问题测试 题(含答案) 运动学的知识点是高考物理考察的重点，查字典物理网整理了物理运动图像追及相遇问题测试题，请考生参考。 一、选择题 1.某人骑自行车在平直道路上行进，图中的实线记录了自行车开始一段时间内的v-t图象.某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是() A.在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大 B.在0-t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大 C.在t1-t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大 D.在t3-t4时间内，虚线反映的是匀速运动 【答案】BD 【详解】v-t图象的斜率表示加速度的大小，在t1时刻虚线斜率小，反映的加速度小，所以A错误.v-t图象包围的面积表示位移的大小，0～t1时间内虚线包围面积大，则求得平均速度大，所以B正确，同理C错误.在t3～t4时间内，虚线是一段与时间轴平行的直线，反映速度不变，所以是匀速运动，则D正确. 2.质量为1500kg的汽车在平直的公路上运动，v-t图象如图所示.由此可求() A.前25s内汽车的平均速度 B.前10s内汽车的加速度 C.前10s内汽车所受的阻力 D.15～25s内合外力对汽车所做的功 【答案】ABD 【详解】由题图知，汽车25s内的位移为故前25s内汽车平均速度可求，A正确；由题图知前10s内汽车做初速度为0的匀加速直线运动，， B正确；结合题图分析，因牵引力未知，故前10s内汽车所受阻力无法求得， C错误；由题干条件和动能定理可知，故15～25s内合外力对汽车所做的功可求得，D正确. 3.如图所示，有一质点从t=0时刻开始，由坐标原点出发沿v 轴的方向运动，则以下说法不正确的是( ) A.t=1 s时，离开原点的位移最大 B.t=2 s时，离开原点的位移最大 C.t=4 s时，质点回到原点 D.0到1 s与3 s到4 s的加速度相同 【答案】选A. 【详解】根据v-t图象在各阶段为直线，可知质点在各阶段均做匀变速直线运动：在0～1 s内沿v轴正方向的速度不断增加，故做初速度为零的匀加速直线运动；在1 s～2 s内沿v轴正方向做匀减速直线运动，2 s时离原点最远，A错B对； 简单的相遇与追及问题 一、学习目标 1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题. 2. 体会数形结合的数学思想方法. 二、主要内容 1. 行程问题的基本数量关系式： 路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度. 2．相遇问题的数量关系式： 相遇路程=相遇时间×速度和； 速度和=相遇路程÷相遇时间； 相遇时间=相遇路程÷速度和. 3.追及问题的数量关系式： 追及距离=追及时间×速度差； 速度差=追及距离÷追及时间； 追及时间=追及距离÷速度差. 4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题. 三、例题选讲 例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇. 例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车. 例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？ 例4 甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？ 例5甲、乙两人同时从相距18千米的两地相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行5千米.甲带着一只狗，每小时走20千米，狗走得比人快，同甲一起出发，碰到乙后，它往甲方向奔走；碰到甲后，它又往乙方向奔走，直到甲、乙两人相遇为止，这只狗一共奔走了多少千米？ 高考经典课时作业1-3 运动图象、追及、相遇问题 （含标准答案及解析） 时间：45分钟分值：100分 1．如下图所示是一物体的x－t图象，则该物体在6 s内的路程是() A．0B．2 m C．4 m D．12 m 2．如下图所示的位移－时间和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是() A．图线1表示物体做曲线运动 B．x－t图象中t1时刻v1>v2 C．v－t图象中0至t3时间内3物体和4物体的平均速度大小相等 D．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动 3．某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的加速度a、速度v、位移x随时间变化的图象如图所示，若该物体在t＝0时刻，初速度均为零，则下列图象中表示该物体沿单一方向运动的图象是() 4．(2012·南通调研)某军事试验场正在平地上试射地对空导弹，若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹的v－t图象如右图所示，则下述说法正确的是() A．0～1 s内导弹匀速上升 B．1～2 s内导弹静止不动 C．3 s末导弹回到出发点 D．5 s末导弹恰好回到出发点 5．(2013·浙江金丽衢十二校联考)亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编 队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v －t 图象如右图所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变，则下列说法中正确的是( ) A ．海盗快艇在0～66 s 内从静止出发做加速度增大的加速直线运动 B ．海盗快艇在96 s 末开始调头逃离 C ．海盗快艇在66 s 末离商船最近 D ．海盗快艇在96 s ～116 s 内做匀减速直线运动 6．如右图所示，A 、B 两物体相距x ＝7 m ，物体A 以v A ＝4 m/s 的速度向右匀速运动．而物 体B 此时的速度v B ＝10 m/s ，在摩擦力的作用下向右做匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s 2.那么物体A 追上物体B 所用的时间为( ) A ．7 s B ．8 s C ．9 s D ．10 s 7．如右图所示，A 、B 两物体在同一点开始运动，从A 、B 两物体的位移图线可知下述说法 中正确的是( ) A ．A 、 B 两物体同时自同一位置向同一方向运动 B ．A 、B 两物体自同一位置向同一方向运动，B 比A 晚出发2 s C ．A 、B 两物体速度大小均为10 m/s D ．A 、B 两物体在A 出发后4 s 时距原点20 m 处相遇 8．(2013·东北三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度－时 间图象如右图所示．在0～t 2时间内，下列说法中正确的是( ) A ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小 B ．在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远 C ．t 2时刻两物体相遇 D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是v 1＋v 22 9．在平直道路上，甲汽车以速度v 匀速行驶．当甲车司机发现前方距离为d 处的乙汽车时， 立即以大小为a 1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a 2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动，则( ) A ．甲、乙两车之间的距离一定不断减小 B ．甲、乙两车之间的距离一定不断增大 C ．若v >2 a 1＋a 2d ，则两车一定不会相撞 D ．若v <2 a 1＋a 2d ，则两车一定不会相撞 初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、 流水行船问题；四、过桥问题。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 一、相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么： A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 二、追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 基本公式有： 追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。 三、流水行船问题 顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。 运动学图像追及、相遇问题 一运动图象的理解 1．运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素： 2.图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程： 3.x －t 图象、v －t 图象、a －t 图象是如何描述物体的运动性质的 x －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体静止，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀速直线 运动，图线的斜率表示速度； v －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀速直线运动，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体 做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度； a －t 图象中，若图线平行于横轴，表示物体做匀变速直线运动，若图线与横轴重合，则表示物体做匀 速直线运动． 4.关于运动图象的三点提醒 (1)x -t 图象、v -t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x 、v 与t 一一对应． (2)x -t 图象、v -t 图象的形状由x 与t 、v 与t 的函数关系决定． (3)无论是x -t 图象还是v -t 图象，所描述的运动都是直线运动． （一）图像的理解 位移图象的基本性质 (1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态； (2)位移图象描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x 的变化量Δx . 【例1】(多选)(2019·南京师大附中模拟)如图所示为一个质点运动的位移x 随时间t 变化的图象，由此可知 质点在0～4 s 内 ( ) A ．先沿x 轴正方向运动，后沿x 轴负方向运动 B ．一直做匀变速运动 C ．t ＝2 s 时速度一定最大 D ．速率为5 m/s 的时刻有两个 t x 追及相遇问题专题 球溪高级中学物理组 一、 解相遇和追及问题的关键 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 二、追及问题中常用的临界条件: 1、速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离； 2、速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上： （1）当两者速度相等时，若追者仍没有追上被追者，则永远追不上，此时两者之间有最小距离。 （2）若两者速度相等时恰能追上，这是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若追者追上被追者时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，即会相遇两次。 三、图像法:画出v t -图象。 1、速度小者追速度大者（一定追上） 四、相遇和追击问题的常用解题方法总结 画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系 （1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。 （3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。注意“革命要彻底”。 （4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。 五、追及与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时， 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽 车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习1】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？ 专题运动的图象追及相遇问题 题组1x－t图象物理意义的理解 1.一遥控玩具汽车在平直路上运动的位移—时间图象如图1所示， 则() A．15 s内汽车的位移为300 m B．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2 图1 C．20 s末汽车的速度为－1 m/s D．前25 s内汽车做单方向直线运动 ＝0时甲、乙两物体同时从同一地点出发沿同一直线运动，以出发点 为参考点，它们的位移－时间(x－t)图象如图2所示，下列说法正确的 是() A．甲做匀速直线运动，乙做匀加速直线运动图2 B．0～t1时间内，甲与乙的平均速度相同 C．t1时刻，甲、乙位置相同，瞬时速度相同 D．t1时刻，甲在乙的前方，乙的速度大于甲的速度 3．a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的位移－时间图 象如图3所示，图象c是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下 列说法中正确的是() A．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同图3 B．a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体速度大小相同方向相反 C．t＝5 s时，a、b两物体相遇 D．物体c做加速运动，加速度越来越大 题组2v－t图象物理意义的理解 4．如图4所示为物体做直线运动的v－t图象．若将该物体的运动过 程用x－t图象表示出来(其中x为物体相对出发点的位移)，则下列四 幅图中描述正确的是() 图4 5．某汽车在沿直线刹车的过程中，其加速度逐渐增大，下列各图中能反映其速度v随时间t变化关系的是() 6．质点做直线运动的速度—时间图象如图5所示，该质点() 图5 A．在第1秒末速度方向发生了改变 B．在第2秒末加速度方向发生了改变 C．在第2秒内发生的位移为零 D．在第3秒末和第5秒末的位置相同 7．质点做直线运动的v－t图象如图6所示，规定向右为正方向， 则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为() A．0.25 m/s，向右 B．0.25 m/s，向左图4 C．1 m/s，向右 D．1 m/s，向左运动学图像 追及相遇问题
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