如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市东城区2018届高三数学4月综合测试（一模）试题 文
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则A
B =
（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << （2）复数i
1i
z =
-在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤??
+-≥??≥?
则y x -的最大值为
（A ）2- （B ）1-
（C ）2
（D ）4
（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件
是
（A ）2n ≤ （B ）3n ≤ （C ）4n ≤ （D ）5n ≤
（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
（A ）2
（B ）22
（C ）32
（D ） 4
（6）函数4
()2x f x x
=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2
（B ）1(,1)2
（C ）3(1,)2
（D ）3(,2)2
（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()?=?a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时
间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；
③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.
（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）命题“x ?∈R ，e 0x
>”的否定是_________．
（10）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4
，则p =_______．
（11）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55
，则
sin θ=_______，tan 2θ=_________．
（12）已知圆2
2
(1)1x y -+=上的点到直线2y kx =-的距离的最小值为1，则实数
k = ．
（13）已知实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 ．
（14）定义：函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的差为()f x 在区间[,]a b 上的极
差，记作(,)d a b .
①若2
()22f x =x x -+，则(1,2)d =________； ②若()m
f x =x+
x
，且(1,2)|(2)(1)|d f f ≠-，则实数m 的取值范围是________.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且36a =-，56S S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足12b a =，23b S =，求{}n b 的前n 项和．
（16）（本小题13分）
函数()sin()(0,)22
f x x ω?ω?ππ
=+>-<<的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象， 令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的单调递增区间．
A
（17）（本小题13分）
某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的
概率；
（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．
（18）（本小题14分）
如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，ED ⊥平面ABCD ，
22ED AD EF ===，EF ∥AB ，M 为BC 中点．
（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：AC BE ⊥；
（Ⅲ）若G 为线段
BE 上的点，当三棱锥G BCD -时，求BG
BE
的值．
频率
组距年龄
a 0.005
0.030.02
0.01
（19）（本小题共14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴长为
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ．
求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．
（20）（本小题13分）
已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R .
（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）B （3）C （4）B （5）C （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）0x ?∈R ，0e 0x
≤ （10）1
2
（11）
45 247- （12）43-或0 （13）
1
8
（14）1 (1,4) 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为56S S =，所以6330a a d =+=．
因为36a =-，所以2d =，110a =-．
所以212n a n =-，*
n ∈N ． ……………6分
（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．
由（Ⅰ）可知，18b =-，224b =-，所以3q =．
所以，数列{}n b 的前n 项和为
(8)(13)
4(13)13
n n --=--，*n ∈N ．………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ） 因为
254(
)263
ω
π
ππ
=-=π， 所以1ω=．
又因为sin
)13
?π+=（， 所以
2()3
2
+=k k π
π
?π+
∈Z ，
即2()6
=k k π
?π+∈Z ．
因为22?ππ-
<<， 所以6
?π
=
． 所以()f x 的解析式是()sin()6
f x x π=+． ……………6分
（Ⅱ） 由已知()sin[()]sin()cos 362
g x x x x πππ
=++=+=， 所以()()sin()cos 6
f x
g x x x π+=++
1
sin cos cos 22x x x =
++
3
sin cos 22
x x =
+
)3
x π
=+
． 函数sin y x =的单调递增区间为[22]()2
2
k k k πππ-π+∈Z ，
．
由22232k x k ππππ-≤+≤π+， 得52266
k x k ππ
π-
≤≤π+()k ∈Z ， 所以()F x 的单调递增区间为[22]()66
k k k 5ππ
π-
π+∈Z ，． ………13分 （17）（共14分）
解： （Ⅰ） 根据频率分布直方图可知，10(0.0050.010.020.03)1a ?++++=，
解得0.035a =. ………5分（Ⅱ）根据题意，样本中年龄低于40的频率为
10(0.010.0350.03)0.75?++=，
所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，
估计其年龄低于40岁的概率为0.75. ………10分 （Ⅲ）根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为
150.1250.35350.3450.2550.0532.5++++=?????（岁）. ………13分
C
A
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设AC BD O
=，连结,
EO MO．
因为,
M O分别是,
BC BD的中点，
因为EF//AB，且
1
2
EF=AB，
因为OM//AB，且
1
2
OM=AB，
所以EF//OM，且EF=OM．
所以四边形EOMF为平行四边形．
所以FM∥EO．
又因为EO?平面BDE，FM?平南BDE，
所以FM∥平面BDE．………5分（Ⅱ）因为ABCD为菱形，
所以AC BD
⊥．
因为ED⊥平面ABCD，
所以ED AC
⊥．
因为BD ED D
=，
所以AC⊥平面BDE．
又因为BE?平面BDE，
所以AC BE
⊥．………10分（Ⅲ）过G作ED的平行线交BD于．
由已知ED⊥平面ABCD，
所以GH⊥平面ABCD．
所以GH为三棱锥G BCD
-的高．
因为三棱锥G BCD
-的体积为
9
，
所以三棱锥
G BCD
-的体积
11
sin60
32
V BD BC GH
=?????=．
所以
2
3
GH=．
所以
2
1
3
23
GH BG
ED BE
===．
所以
1
3
BG =BE ． ………14分 （19）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意得2a c a ?=?
?=??
解得1c =．
所以2222b a c =-=．
所以椭圆C 的方程为22
132
x y +=． ………5分
（Ⅱ）由题意知，圆O 的方程为22
3x y +=．
设(3,)N t ，00(,)M x y ， 22
003x y +=．
由22||3||ON
MN =+，
得2222
0033(3)()+t x y t =+-+-， 即2222
000093692t x x y ty t +=+-++-+， 即22
00003620x x y ty +-+-=．
因为22
003x y +=，
所以00330x y t +-=．
当0t =时，01x =，直线l 的方程为1x =，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． 当0t ≠时，直线MN 的方程为003()y y x x t
-=--，
即0033ty ty x x -=-+，即3(1)ty x =--，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． 综上所述，直线l 过椭圆C 的右焦点(1,0)F ． ………14分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）当1a =-时，()sin cos f x x x x x =-+，
所以'()2sin cos 1f x x x x =++，'(0)1f =. 又因为(0)1f =-，
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-. ………4分 （Ⅱ）当2a =时，()sin 2cos f x x x x x =++，
所以'()sin cos 1f x x x x =-++．
当(0,)2
x π
∈时，1sin 0x ->，cos 0x x >， 所以'()0f x >.
所以()f x 在区间[0,]2π上单调递增．
因此()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()2
f π
=π，最小值为(0)2f =.………8分
（Ⅲ）当2a >时，'()(1)sin cos 1f x a x x x =-++.
设()(1)sin cos 1h x a x x x =-++，
'()(2)cos sin h x a x x x =--，
因为2a >，[0,]2
x π∈, 所以'()0h x <.
所以()h x 在区间[0,]2
π上单调递减．
因为(0)10h =>，()11202
h a a π=-+=-<，
所以存在唯一的0[0,]2
x π∈，使0()0h x =，即0'()0f x =. 所以()f x 在区间0[0,]x 上单调递增，在区间0[]2
x π，上单调递减． 因为(0)f =a ，()2
f π=π，
又因为方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解，
所以23a <≤. ………13分