当前位置:文档之家› 因数倍数质数合数

因数倍数质数合数

因数倍数质数合数
因数倍数质数合数

第二讲 2,5,3倍数的特征 质数与合数

【复习目标】

1、掌握2,5,3倍数的特征;

2、理解质数与合数的含义。

【目标一知识点精析】

2的倍数的特征:个位上是( )的自然数; *2的倍数又叫偶数,不是2的倍数叫奇数。

5的倍数的特征:个位上是( )的自然数; *个位上是( )的自然数既是2的倍数,又是5的倍数。

3的倍数的特征:各位上的数的和是( )的倍数的自然数。

【目标一典型例题】

例1:在□里填上合适的数字,组成一个符合要求的数。

(1)3的倍数:□2,8□,4□1,57□;

(2)2和3的倍数:4□,□0,6□8,□04;

(3)2,5和3的倍数:□0,3□,1□0。

例2:从下面的卡片中任意取出3张,按要求组成三位数。(各写4个)

(1)奇数:______________________________________________;

(2)偶数:______________________________________________;

(3)既是2的倍数,又是5的倍数:_____________________________________。

【堂上练习】

一、填空题。

1、115至少减去( )就同时是2,5,3的倍数,至少加上( )就能被3整除。 8 7

0 5

2、既是2的倍数,又有因数3的最小一位数是( ),最小两位数是( ),最大两

位数是( ),最小三位数是( )。

3、小红家卧室的开关最初在关闭状态,现在如果不断按开关,按113次后,灯处于( )

状态。

4、三个连续奇数的和是189,这三个奇数分别是( )。

5、两个偶数的差是4,积是12,这两个偶数是( )和( )。

二、判断题。

1、如果A 表示一个非零的自然数,那么A +1表示奇数。( )

2、3的倍数一定是9的倍数。( )

3、102既是2的倍数,又有因数3。( )

4、2是最小的偶数。( )

5、同时是2,3,5的倍数的数一定是偶数。( )

三、在下面四张数字卡片中取出三张,按要求组成三位数。

(1) 奇数:_____________________________________________________________________;

(2) 偶数:_____________________________________________________________________;

(3) 3的倍数:__________________________________________________________________;

(4)既有因数2,又有因数3:

1 0

2 5

___________________________________________________;

(5)既是2的倍数,又是5的倍数:______________________________________________;

(6)同时是2、5、3的倍数:____________________________________________________。

【目标二知识点精析】

质数:只有( )和( )两个因数的自然数。最小的质数是( )。 合数:除了( )和( )还有其他因数的自然数。最小的合数是( )。 *( )是唯一一个偶质数。

*( )既不是质数,也不是合数。

【目标二典型例题】

例1:把下列数填到适当的圈中。

13 50 27 41 97 86 1 2 72 67

例2:一个四位数,千位上的数既不是质数也不是合数,百位上的数是最小的合数,十位上

的数既是奇数又是合数,个位上的数既是偶数又是质数,这个数是( )。

【堂上练习】

一、填空题。

1、在自然数1~20中,三个最大质数的和是( ),三个最小合数的和是( )。 奇 数

合 数 偶 数 质 数

2、10以内既是偶数,也是质数的数的和是();既是奇数,也是合数的

数的和是()。

3、一个五位数,万位上是最小的合数,千位上是最小的偶数,百位上是最小的

自然数,十位

上是最小的奇数,个位上是最小的质数,这个数是()。

4、两个质数的和是15,这两个质数的积是()。

5、三个10以内的质数组成一个三位数,使它既是3的倍数,又有因数5,这个

数最大是

(),最小是()。

二、选择题。

1、两个质数的积是()。

A、质数

B、合数

C、不能确定

2、一个比20小的偶数,它有因数3,又是4的倍数,这个数是()。

A、18

B、12

C、16

3、用t表示一个自然数(t>1),t2一定是()。

A、质数

B、偶数

C、合数

4、2,3,5,7都是()。

A、质数

B、奇数

C、合数

5、40的所有因数中,合数的个数有()。

A、3

B、4

C、5

三、给下面的数归类。

1 2 12 17 18 20 23 49 52 77 87 91

(1)既是偶数又是合数的数:

____________________________________________________;

(2)既是奇数又是质数的数:

____________________________________________________;

(3)既是偶数又是质数的数:

____________________________________________________;

(4)是质数而不是奇数的数:____________________________________________________;

(5)是奇数而不是质数的数:____________________________________________________;

(6)是合数而不是偶数的数:____________________________________________________;

(7)是偶数而不是合数的数:____________________________________________________。

四、猜一猜电话号码。

0573—ABCDEFGH

A:8的最小倍数 B:最小的质数 C:5的最大因数

D:最大的一位数 E:它只有一个因数 F:最小的偶数

G:它的所有因数是1、2、3、6 H:最小合数的2倍这个电话号码是0573—___________________________

五、在()例填上适当的质数。

(1)12=()+() 20=()+()

(2)21=()+()=()+()=()×()

(3)30=()×()×()

【课外能力提升】

1、王明一家到体育馆观看运动会。三个人的座位号是连续的偶数,它们的和比其中最大的数

大26。王明一家的三个座位分别是哪几号?

2、将自然数1,2,3,4,5一次重复写下去,得到多位数1234512345…组成一个1888位数。

这个数是否3的倍数?是否2的倍数?

新人教版五年级数学下册因数和倍数教案教学内容

第一课时因数和倍数 教学目标: 1.理解因数和倍数的意义,理解二者是相互依存而不相同的两个概念。 2.掌握求一个数的因数的方法。 3.培养概括分析和比较的能力。 教学重点:理解因数和倍数的概念。 教学难点:掌握求一个数的因数的方法。 教学过程: 一、创设情境 师:同学们,数学与我们的生活息息相关,数学无处不在。人与人之间存在着许多种关系,你们和爸爸(妈妈)的关系是……? 生:父子(父母、母子、母女)关系。 师:我和你们的关系是……? 生:师生关系。 师:对,我是你们的老师,你们是我的学生。在数学中,数与数之间也存在着这种关系,这一节课,我们一起探讨两数之间的因数与倍数关系。(板书课题:因数与倍数) [设计意图]教师首先和学生交流生活中的各种各样的关系,再引入到数学中自然数和自然数之间也有各种关系,初步体会数和数的对应关系,这样既能让学生感受数学和生活的密切联系,又能激发学生的学习兴趣,提高学生主动探究学习的积极性。 二、探索新知 (一)因数和倍数的概念 1.观察下面的算式并分类

师:仔细观察,这些算式有什么共同特点呢?你能把这些算式分分类吗? 生1:它们有些算式能除尽,有些不能除尽。 生2:有一些算式的商是整数,有一些不是。 师:你的意思是把它们分成两类: 2.师:今天我们就研究第一类算式。这一类算式的特点是什么? 在这样的整数除法中,如果商事整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。比如,12÷2=6,我们可以说12是2的倍数,2是12的因数。在除法算式12÷6=2中,我们知道12是6的倍数,6是12的因数。 师:谁能像老师这样再说一说?(生说) 师:请同学们再一起说一遍。 师:在第一类中的算式,请同学们任意选择一个算式说一说,谁是谁的因数?谁是谁的倍数。 3.因数和倍数的关系。 师:谁能说一说因数和倍数有什么关系呢? 因数和倍数是相互依存的关系,我们不能单独说一个数是因数或倍数,它们是两个数之间的关系。比如,我们可以说5是30的因数,但不能说5是因数,30是倍数。 师:像这样的式子还有吗? 生说算式,并说谁是谁的因数,谁是谁的倍数。

因数、倍数、质数、合数教案资料

因数、倍数、质数、合数 一、因数倍数的特征 1、重点归纳 ( 1)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身:一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的因数是它本身,没有最大的因数:一个数,既是它本身的因数,也是它本身的倍数。 (2)2、3、5、9 倍数的特征: 2 的倍数的特征:个位数字是0,2,4,6,8; 5 的倍数的特征:个位数字是0 或5; 同时是2、5 倍数的特征:个位数字是0; 3 的倍数的特征:各个数位的数字之和是3 的倍数; 9 的倍数的特征:各个数位的数字之和是9 的倍数。 同时是2、3和5倍数的特征:个位数字是0,并且各个数位的数字之和是 3 的倍数 (3)质数(素数)、合数 最小的质数是2,2 是唯一的偶质数,没有最大的质数。 最小的合数是4,没有最大的合数。 1 既不是质数,也不是合数。 (4)分解质因数的方法 用短除法,先用这个合数的质因数 (通常从最小的开始) 去除,一般先试2、3、5 这几个数,除到得出的商是质数为止,把出书和商写成相乘的形式。 (5)奇数、偶数的运算性质: 奇数±奇数= 偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数= 奇数 奇数X奇数二奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数二偶数2、典型练习 (1)判断:因为48十8=6,所以说48是倍数,8是因数。( ) 因数和倍数的关系式相互依存的,不能说某一个数是因数或倍数,可以说“谁是谁的倍数,谁是谁的因数” 。 (2)用a表示一个大于1的自然数,则a2一定是( )。 A、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 二、两数互质的几种特殊情况: (1)两个不相同的质数一定是互质数。如:7和13、17和19是互质数。 (2)两个连续的自然数一定是互质数。如:4和5、13和14是互质数。 ( 3)相邻的两个奇数一定是互质数。如: 5 和7、75 和77 是互质数。 (4) 1 和其他所有的自然数一定是互质数。如: 1 和4、 1 和13是互质数。 (5)2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。 (6)一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8都是互质数。因数只有2的偶数,指的是如8=2X2X2, 16=2X2X2X2; 32=2X2X2X2X2 …… 三、最大公因数和最小公倍数

小学数学中因数和倍数知识点大全

小学数学中因数和倍数知识点大全 在小学数学教学中因数和倍数的知识既是重点又是难点,特整理了让学生打印出来记住。 1、在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。) 2、注意:为了方便,在研究因数和倍数时候,我们所说的数指的是自然数(一般不包括0) 3、找因数的方法:①乘法②除法;找倍数的方法:逐次乘自然数。 4、①一个数的最小因数是1,最大因数是它本身。一个数的最小倍数是它本身,没有最大的倍数。②一个数的因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。③1是所有非0自然数的因数。也是任一自然数(0除外)的最小因数。 ④一个数的因数至少有1个,这个数是1。⑤一个数的因数都小于等于他本身,一个数的倍数都大于等于他本身。5、因数<或=它本身、倍数>或= 它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身。一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。一个数越大它的因数个数就越多,一个数越小它的因数个数就越少。这种说法是错误的。6、2的倍数特征:个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫

奇数。7、5的倍数特征:个位上是0或5的数,都是5的倍数。8、3的倍数的特征:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。个位上是3、6、9点数都是3的倍数是错误的说法。9、2和5的倍数特征:个位上是0的数,既是2的倍数,也是5的倍数。(就是10的倍数)。10、2和3的倍数特征:个位上是0、2、4、6、8,而且各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数既是2的倍数,也是3的倍数。(就是6的倍数)。11、3和5的倍数特征:个位上是0或者5,而且各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数既是5的倍数,也是3的倍数。(就是15的倍数)。12、2、3、5的倍数特征:个位上是0,而且各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数同时是2、3、5的倍数。(就是30的倍数)能同时被2、3、5整除的最小两位数是30,最大两位数是90,最小三位数是120. 同时满足2,3,5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。4的倍数特征:一个数末尾两位数是4的倍数,这个数就是4的倍数。一个数各位数上的和能被9整除,这个数就是9的倍数。能被3整除的数不一定能被9整除;能被9整除的数一定能被3整除。如果两个数都是同一个数的倍数,那么这两个数的和或差也是这个数的倍数。13、自然数按能否被2整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是奇数就是偶数。最小的偶数是0,最小的奇数是1,没有最大的奇数和偶数,最小的自然数是0。如果

求一个因数和倍数的方法

求一个因数和倍数的方法 教学内容:教科书6页例题2、例题3。 教学目标: 1.通过探究活动,掌握找一个数的因数,倍数的方法,能熟练的找出一数的因数和倍数。 2.了解一个数的因数是有限的,倍数是无限的; 3.在解决问题的过程中,培养学生思维的有序性、条理性,体会数学知识之间的联系。 教学重、难点: 掌握找一个数的因数和倍数的方法,能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学过程: 一、复习导入 1.上节课,我们已经学习了因数和倍数,谁来说说列各式中谁是谁的因数?谁是谁的倍数? 20÷4=5 6×3=18 2.在上面的算式中,6和3都是18的因数,你知道还有哪些数是18的因数吗?18是3的倍数, 你知道还有哪些数是3的倍数吗?这节课我们就来学习如何找一个数的因数和倍数。 (板书课题:因数和倍数(2)) 二、新知探究 (一)找因数: 1.出示例1:18的因数有哪几个?能找到吗?试一试 2.反馈交流。 展示不同的答案(1)1、18、2、9、3、6 (2)1、2、3、6、9、18 (3)2、3、6、9、18 3.先来看看他们找到的因数对吗?你更欣赏那一份?为什么? 4.第一份对吗?(对,但顺序乱)其实一点也不乱,谁来帮他解释一下。(他是用乘法一对一对找的)

5.听明白了吗?他是用乘法找的,也是用这种方法找的请举手?那你们在找的时候是一个一个的找的吗?(一对一对) 6.有不同方法找的吗?说说看。 7.看来找一个数的因数,不但可以用乘法,也可以用除法,但不管哪种方法都是从几开始找的?为什么?。 8.那我们现在一起来写出18的因数,根据算式,找到了1就找到了18,找到了2就找到了9…...,以此类推,为了美观我们一般按从小到大的顺序排列。谢一个数的因数我们还可以用画图的方法来表示。 9.现在会找一个熟的因数了吗?找找30和24的因数 10.我们找了这么多的因数,你觉得怎么找才容易漏掉?(从最小的1找到最大的本身,一对一对找) 11.你有什么发现?(一个数的因数个数是有限的,最小是1,最大是它本身) (二)找一个数的倍数 1.我们一起找到了18的因数,那2的倍数你能找出来吗?用1分钟的时间,看谁写的有多又快又对! 2.时间到,写了多少个? 3.你是怎么找到这些倍数的? (生:只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…) 4.都是这样找的吗?很好,给你更长的时间,你能把2的倍数全都写下来吗?为什么?怎么办?(用省略号) 5.表示一个数的倍数情况,除了用这种文字叙述的方法外,也可以用集合来表示2的倍数,3的倍数,5的倍数。 6.会找了吗?试着找找3、4、5的倍数 7.你有什么发现?(一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数) 三、巩固应用 1.完成练习二第四题 2.判断 (1)4的倍数一定比40的倍数少

因数和倍数, 质数和合数

因数和倍数质数和合数 整理教师:刘新民 一、基础知识 (一)因数和倍数 1. 因数和倍数的意义。 已知a、b、c均为正整数,且a×b=c,那么c就是a和b的倍数,a和b 就是c的因数,倍数和因数是相互依存的,不能独立存在。 2. 因数和倍数的特征。 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数既是它本身的因数,又是它本身的倍数。 (二)能被2、3、5整除的数的特征 1. 能被2整除的数的特征:个位上的数字是0,2,4,6,8。 2. 能被3整除的数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。 3. 能被5整除的数的特征:个位上的数字是0或5。 4. 能同时被2、5整除的数的特征:个位上的数字是0。 (三)奇数和偶数 1. 奇数:在自然数中,不能被2整除的数叫做奇数。 2. 偶数:在自然数中,能被2整除的数叫做偶数。 3. 研究奇数和偶数时包括0,因此自然数不是奇数就是偶数。最小的奇数是1,没有最大的奇数;最小的偶数是0,没有最大的偶数。 (四)质数和合数 1. 质数的意义:一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),最小的质数是2,2是唯一的偶质数,没有最大的质数。 2. 合数的意义:一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。最小的合数是4,没有最大的合数。 注意:1既不是质数也不是合数。除2以外,所有的质数是奇数,所有的偶数是合数。 3. 判断一个数是质数还是合数的方法。

(1)通过找因数的个数来判断:先找出这个数的因数,再数因数的个数,只有1和它本身两个因数的数就是质数,有三个或三个以上因数的数就是合数。(2)查表法:看质数表里有没有所要查的数,如果有,它是质数,如果没有,它就不是质数。 4. 奇数和偶数的运算性质。 (1)和差的奇偶性 奇数±奇数=偶数(偶数个奇数相加)奇数±奇数=奇数(奇数个奇数相加) 奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数 (2)积的奇偶性 奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数 (五)分解质因数 1. 质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。 2. 分解质因数:把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 3. 分解质因数的方法:把一个合数分解质因数,通常运用短除法。分解质因数时,先用这个合数的质因数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式;得出的商如果是合数就用质因数继续去除,直到得出的商是质数为止,然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 (六)最大公因数和最小公倍数 1. 最大公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 3. 互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。 4. 求两个数的最大公因数的方法: (1)列举法;先分别找出每个数的因数,从中找出公因数,再找出最大的一个因数就是它们的最大公因数。

小学数学因数与倍数练习题

一、填一填 1、一个数的最小因数是(),最大因数是()。 2、在121,3,3.3,8109,2这些数中,()是()的因数,质数有()。 3、在1,2,53,15,57这五个数中,其中质数有(),既是奇数又是合数的有() 4、丽丽的学号是两位数,十位上的数字是最小的合数,个位上的数字既是合数又是 奇数。丽丽的学号是()。 5、既是5的倍数,又是3的倍数的最小两位数为()。把这个数写成两个质数相加的和为 6、1~20中,有()个奇数,有()个偶数;有()个质数,有()个合数;既是奇数,又是合数的数是()和()。 7、有一堆苹果,平均分给6个小朋友,或者平均分给8个小朋友,都正好分完。这堆苹果至少有()个。 8、写出符合要求的最小三位数,()既是2的倍数,又是3的倍数;()既是3的倍数,又是5的倍数;()既是2和3的倍数,又是5的倍数 9、有两个非0自然数,它们的和是15。如果它们都是合数,那么这两个数是( )和( )。 一、填一填 1、一个数的最小因数是(),最大因数是()。 2、在121,3,3.3,8109,2这些数中,()是()的因数,质数有()。 3、在1,2,53,15,57这五个数中,其中质数有(),既是奇数又是合数的有()

4、丽丽的学号是两位数,十位上的数字是最小的合数,个位上的数字既是合数又是 奇数。丽丽的学号是()。 5既是5的倍数,又是3的倍数的最小两位数为()。把这个数写成两个质数相加的和为6、1~20中,有()个奇数,有()个偶数;有()个质数,有()个合数;既是奇数,又是合数的数是()和()。 7、有一堆苹果,平均分给6个小朋友,或者平均分给8个小朋友,都正好分完。这堆苹果至少有()个。 8、写出符合要求的最小三位数,()既是2的倍数,又是3的倍数;()既是3的倍数,又是5的倍数;()既是2和3的倍数,又是5的倍数 9、有两个非0自然数,它们的和是15。如果它们都是合数,那么这两个数是( )和( )。 10、海盐公交车站每8分钟发出一辆12路车,每10分钟发出一辆8路车。早晨 6:00两路车同时发车,下次两路车同时发车最早在()时()分 11、从0,8,5,1中选取三个数字组成一个三位数。如果这个三位数同时是3和5的倍数,这个数最小是();如果要使这个三位数的因数中包含2,3,5,这个数最大是()。 12、一个五位数,万位上的数字既是质数又是偶数,千位上的数字是最小的奇数,百位上的数字是最小的合数,而且这个数能被2,3,5同时整除,则这个数最大是(),最小是() 判一判 1、所有的偶数都是合数。() 2、如果小明今年的年龄既是2的倍数,又是3的倍数,那么他今年的年龄一定是6的倍数。 3、因为a÷b=5,所以b是a的因数。() 4、一个合数至少有3个不同的因数。() 5、两个质数的积一定是奇数。()

找一个数的因数和倍数的方法

主备人:张文娟执行时间: 总第()教案执行人: 一、复习导入: 下而的4组数中,谁是谁的因数?谁是谁的倍数? 4 和24 26 和13 7 5 和25 81 和9 二、新授: (一)找因数: 1、出示例2 : 18的因数有哪几个? 学生尝试完成:汇报 (18 的因数有:1, 2, 3, 6, 9, 18) 师:说说看你是怎么找的?(生:用整除的方法,18- 1二1& 18-2 = 9, 18— 3二6, 18— 4 二…;用乘法一对一对找,如IX 18二1& 2X 9= 18-) 师:18的因数中,最小的是几?最大的是几?我们在写的时候一般都是从小到大 排列的。 2、用这样的方法,请你再找一找36的因数有那些? 汇报36 的因数有:1 , 2, 3, 4, 6, 9, 12, 1& 36 师:你是怎么找的? 举错例(1, 2, 3, 4, 6, 6, 9, 12, 18, 36) 师:这样写可以吗?为什么?(不可以,因为重复的因数只要写一个就可以了, 所以不需要写两个6) 仔细看看,36的因数中,最小的是几,最大的是几? 看来,任何一个数的因数,最小的一定是(),而最大的一定是()。 3、你还想找哪个数的因数?(18、5、42……)请你选择其中的一个在自练本上 写一写,然后汇报。 4、其实写一个数的因数除了这样写以外,还可以用集合表示:如 18 的因数

2, 3, 6, 9, 18

学习内容二次备课 小结:我们找了这么多数的因数,你觉得怎样找才不容易漏掉? 从最小的自然数1找起,也就是从最小的因数找起,一直找到它的本身,找 的过程中一对一对找,写的时候从小到大写。 (二)找倍数: 1、我们一起找到了18的因数,那2的倍数你能找出来吗? 汇报:2、4、6、8、10、16、…… 师:为什么找不完? 你是怎么找到这些倍数的?(生:只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…)那么2的倍数最小是几?最大的你能找到吗? 2、让学生完成做一做1、2小题:找3和5的倍数。汇报3的倍数有:3, 6, 9, 12 师:这样写可以吗?为什么?应该怎么改呢? 改写成:3的倍数有:3, 6, 9, 12,…… 你是怎么找的?(用3分别乘以1, 2, 3,……倍) 5的倍数有:5, 10, 15, 20,…… 师:表示一个数的倍数情况,除了用这种文字叙述的方法外,还可以用集合来表示,仿照因数的自己完成。 2的倍数 3 的倍数 5 的倍数 师:我们知道一个数的因数的个数是有限的,那么一个数的倍数个数是怎 么样的呢? (一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数) 三、课堂小结: 我们一起来回忆一下,这节课我们重点研究了一个什么问题?你有什么收获呢? 四、作业设计: 完成练习二1?4题 教学(后记)后思:

五年级下册 因数和倍数教案

《因数与倍数的复习》教学设计 复习目标: 1、通过整理与复习,系统掌握本单元的概念,形成一定的知识网络。 2、能灵活运用所学知识解决生活中的实际问题,体会数学和日常生活密切关系。 3、通过合作交流等活动培养学生思维能力、说理能力,使学生感受到学习的快乐,使每个学生得到不同的发展。 复习重点: 1、复习整理本单元的概念,形成知识网络。 2、利用所学知识解决实际问题。 复习难点: 复习整理本单元的概念,形成知识网络。 复习方法:小组合作讨论法 教具准备:多媒体 教学过程: 一、谈话导入复习 看见数字1,你想到了什么? 这些知识点是我们在学习哪一单元时学习的,今天我们就来复习《因数与倍数》。(板书课题) 二、回顾整理,建构网络 1、交流矫正 除了这些内容,还有其他的知识点吗?让学生补充,提出质疑。 2、交流补充,形成知识网络。

现在我们一起回忆,刚才回顾的知识点,同学们有没有感觉到这一单元的知识点太多,太零碎了?那怎样有条理的整理它们呢? 整理建议: 1、想一想,这些知识点之间有什么联系? 2、用箭头、线条或表格把这些知识点按一定的顺序连起来,形成一个知识网。 小组讨论,教师巡视,及时指导。 3、利用展台小组汇报知识网络。 总结:同学们,在交流中表现的非常棒,能够主动构建知识网络,并能熟练的运用知识网络记忆本单元的知识。下面同学们就运用复习掌握的知识来进入闯关游戏吧! 三、重点复习,强化提高 第一关:判一判(用学习卡表示) 1、5.7是3的倍数。() 2、8的倍数只有16,24,32,40,48。() 3、一个数的因数一定比它本身小。() 4、在全部自然数里,不是奇数就是偶数。() 5、一个奇数加2就变成偶数。() 第二关:找一找,谁是与众不同的数 (1)1、9、5、16、17 (2)14、16、27、28、13 (3)11、13、5、26、29 第三关破译微信号。请注意:每个字母代表一个数字。

五年级下册数学:找最大公因数和最小公倍数的几种方法

找最大公因数和最小公倍数的几种方法 (质数又叫做素数,公因数又叫做公约数) 一、找最小公倍数的方法 1、列举法 方法1、先分别写各自的(倍数),再找它们的(公倍数),然后在公倍数里找它们的(最小公数)。 方法2:先找较大数的(倍数),再找其中哪些是(较小)的倍数,最后找它们的(最小公倍数) ' 2 这种方法是分解质因数后,找出二个数相同的(质因数),,及二个数各自独有的(质因数),然后把二个数相同的(质因数,只取一个。)和二个数各自独有的(质因数),全部乘进去,所得的积就是这两个数的最小公倍数。

42=2 ×3 ×7 60和42的最小公倍数=2×3 ×2×5×7=420 。 3、短除法。 用短除法求两个数的最小公倍数,一般用这两个数除以它们的(公因数),一直除到所得的两个商(只有公因数1)为止。把所有的(除数)和最后的两个(商)连乘起来,就得到这两个数的(最小公倍数)。 4、特殊方法(观察法) ¥ 1)两个数具有倍数关系的,它们的最小公倍数就是其中(较大)的数。 2)两个数是互质数的(互质数就是两个数只有公因数1),它们的最小公倍数是二个数的(乘积)。 ?

二、找最大公因数的方法 1、列举法 先找出两个数的(因数),再找出两个数的(公因数),最后找出二个数的(最大公因数) 2、分解质因数法。 用分解质因数方法找二个数的最大公因数,是分解质因数后,找出相同的(质因数),把相同的(质因数)相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。 3、短除法。 用短除法求二个数的最大公因数,一般用这两个数除以它们的(公因数),一直除到所得的两个商(只有公因数1)为止。然后把最后所有的(除数)连乘,就得到了二个数最大公因数。

因数倍数、奇数偶数、质数合数概念

倍数和因数 1、因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是大数的因数。 例:12是6的倍数,6是12的因数。 (1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。 因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。 (2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法:一前一后写,成对地按顺序找。 (3)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法:依次乘自然数(一般不考虑0)。 (4)2、3、5的倍数特征 2的倍数:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。 3的倍数:一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。 5的倍数:个位上是0或5的数,是5的倍数。 2和5的倍数:个位上是0的数,既是2的倍数又是5的倍数 能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最小的两位数是30,最大的两位数是90,最小的三位数是120。 奇数和偶数 2、自然数按能不能被2整除来分:奇数、偶数。 奇数:不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。 偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。 自然数中最小的偶数是0,最小的奇数是1。 关系: 奇数±偶数=奇数奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数 无论多少个偶数相加,结果都是偶数 奇数个奇数相加,结果是奇数 偶数个奇数相加,结果是偶数

合数和质数(素数) 3、质数(或素数):只有1和它本身两个因数。 合数:除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本身、别的因数)。 1:只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。 最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。 20以内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19) 100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 4、100以内的质数口诀 2、3、5、7和11,13后面是17, 19、23、29,(十九、二三、二十九)31、37、41,(三一、三七、四十一) 43、47、53,(四三、四七、五十三)59、61、67,(五九、六一、六十七) 71、73、79,(七一、七三、七十九)83、89、97。(八三、八九、九十七) 关系:奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 5、最大、最小 最小因数是:1;最大因数是:本身;最小倍数是:本身; 最小的自然数是:0;最小的奇数是:1;最小的偶数是:0; 最小的质数是:2;最小的合数是:4;最小的既是奇数又是合数:9 6、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。 比如:30分解质因数是:(30=2×3×5)

求一个数的因数和倍数的方法教学设计

第二单元第二课时 求一个数的因数和倍数的方法 教材分析: 本节课教材安排了两个例题,例二是找出一个数所有因数。教材直接提出问题;“18的因数由那几个?”引导学生利用因数的概念从小到大依次写出,然后再用集合图表示出一个数的全部因数。例3教学一个数倍数的求法。因为被除数相当于积,所以求2的倍数可将2和任意非0自然数相乘得到。最后引导学生抽象概括出一个数的最小、最大因数和最小倍数分别是什么,总结出一个数的因数、倍数的个数的结论,在其中渗透从个别到全体、从具体到一半的抽象归纳思想。 学情分析: 本节课实在学生充分理解因数倍数概念和掌握一定自然数知识的的基础上进行的。教学时依据概念找出一个数因数倍数,在抽象概括出一般的结论。 学习目标: 1、能掌握找一个数的因数和倍数的方法。 2、了解一个数的因数是有限的,倍数是无限的。 3、初步感受数学知识之间的内在联系,培养概括、分析、比较的能力。 学习重点:能掌握找一个数的因数和倍数的方法 解决措施;自主学习,尝试、猜测,合作交流。 学习难点:能了解一个数的因数是有限的,倍数是无限的。 解决措施;引导点拨,总结交流 教学准备:ppt、学案 教学过程: 一、自主学习(约7分钟) 让每一个学生根据自己的基础和经验,用自己的思维方式自由地、开放地去自学、自读教材内容,并把学、思、疑、问连结在一起,边学边解决一些问题。 出示导学单(一): 18的因数有哪几个? 方法(一)列除法算式找: 18的因数有、、、、、。

方法(二)集合表示: 18的因数 我发现: 一个数的因数个数是的,18的因数有()个,最小的是()最大的是()。 二、合作探究(10分钟) 提醒学生注意计算过程中的一些问题。 每个同学都可以充分发表自己的见解,同时学会的同学还必须教会不会的同学,以达到共同提高和小组整体成功的目的。 出示导学单(二): 2的倍数有哪些,该怎样想? 方法(一)列乘法算式找; 2的倍数有。 方法(二)集合表示: 2的倍数 我发现: 一个数的倍数个数是的,2的倍数有()个,最小的是()。 三、汇报展示(10分钟) 教师引导学生梳理汇报的内容,从中找出找因数和倍数的方法。 全班交流,分小组发言,让学生讨论一下,用哪种方法找一个数的因数和倍数又全又快。 四、达标检测(7分钟) 一是学生小组内部或小组间互相检查学生完成情况,并作出评价。二是教师对发现的学生中存的共性问题予以及时的点拨或留待辅导时间予以专题讲解。 1、写出下面各数的因数。 10的因数:

人教版五年级下册数学因数和倍数测试题

. b c c 五年级下册数学因数和倍数测试题 一、填空。 1.在自然数中,最小的奇数是( ),最小的偶数是 ( ), 最小的质数是( ),最小的合数是( )。 2 .同时是 2 和 5 的倍数的最小两位数是 ( ) 最大两位数是 ( )。有因数 3,也是 2 和 5 的倍数的最小三位数是( ), 最大三位数是( )。 3.1024 至少减去( )就是 3 的倍数,1708 至少加上( )就 能被 5 整除。 4.如果 a ×b =c (a 、 、 是不为 0 的整数),那么, 是 和 的 倍数,a 和 b 是 c 的 5.一个小于 30 的自然数,既是 8 的倍数,又是 12 的倍数,这个数 是( )。 6.两个都是质数的连续自然数有( )和( );三个数都 是合数的连续自然数有( )和( )。 7.在 15、18、29、35、39、41、47、58、70、87 这些数中: ①偶数有( ); ②奇数有 ( ); ③ 3 的倍数有( ); ④ 5 的倍数有 ( ); ⑤质数有( ); ⑥合数有 ( )。

二、判断题。 1.奇数都比偶数小。()2.一个数的因数一定比它的倍数小。() 3.质数与质数的乘积还是质数。()4.是3的倍数,一定是9的倍数。() 5.两个质数的和一定是偶数。()6.质数一定是奇数,合数一定是偶数。() 7.一个数的因数都比它的倍数小。()8.因为7×8=56,所以56是倍数,7和8是因数。() 三、思维训练。 1.有一箱苹果每次按2个、3个、4个、5个地数,都正好数完,这筐苹果至少有多少个? 2.猜电话号码 0592-A B C D E F G 提示:A—5的最小倍数B—最小的自然数C—5的最大因数D —它既是4的倍数,又是4的因数E—它的所有因数是1,2,3,6 F—它的所有因数是1,3 G—它只有一个因数这个号码就是

倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数综合练习

倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数综合练习 1、在自然数中,既是质数又是偶数的数是();既是质数又是奇数的数有();既是奇数又是合数的数有();既是偶数又是合数的数有();既不是质数又不是合数的数是()。 2、2的倍数中最大的三位数是();5的倍数中最大的四位数是();3的倍数中最小的三位数是()。 3、在1~20的自然数中,相差1的两个合数有:()和(),()和(),()和(),()和()共四组。 4、一个数是42的因数,同时又是3的倍数,这个数可以是()。 5、从2、12、3、 6、36中选出三个数,组成一道乘法算式:()×()=(),其中()是()的倍数,()是()的因数,再从上面的数中重新选出三个数,组成一道除法算式:()÷()=(),其中()是()的倍数,()是()的因数。 6、所有自然数的因数是()。 7、10以内所有质数的和是()。 8、一位数中,既是质数又是偶数的是(),即是合数又是奇数的是()。 9、一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫做(),如()、()等。 10、最小的自然数(),最小的奇数(),最小的质数(),最小的合数()。 11、20的全部因数从小到大依次排列是()。 12、个位上是()的数是2的倍数,个位上是()的数是5的倍数。 13、10以内的既是质数又是奇数的是();10以内两个连续的合数是()。 14、在27、154、76、210、32和180中,3的倍数是(),有因数5的数是(),既是3的倍数又有因数2的数是(),同时含有因数2、3、5的数是()。 15、自然数中最小的偶数是(),最小的奇数是(),最小的质数是(),最小的合数是()。 17、一个数的最大因数是24,这个数的因数有()。 18、偶数+偶数=()数奇数—偶数=()数 19、用0、1、2这三个数字组成的三位数中,同时是2、3、5的倍数,最小的是(),最大的是()。 20、最小的合数与最小的两位合数的积是()。 21、数m是一个非零自然数,它的最小因数是(),最大约数是(),最小的倍数是()。 22、在自然数1~10中,()是奇数,()是偶数,()是质数,()是合数,()既不是质数,也不是合数。 23、2是最小的(),4是最小的()。 24、相邻两个奇数的差是(),相邻两个偶数的差是(),相邻两个自然数的差是()。 25、写出含有因数3的一个偶数是(),一个奇数是()。 26、用4、5、6排成一个三位数,使它是2的倍数,这个数最大是(),使它是3的倍数,这个数最大是(),使它是5的倍数,这个数最大是()。中,3的倍数有 27、在1、3、5、9、8、24(),24的因数有()。 28、在23、32、47、65、71、78、93中,质数有(),合数有()。 29、最大的一位偶数比最小的一位奇数多()。

小学数学因数与倍数、质数与合数练习题答案

小学数学因数与倍数、质数与合数练习题 一、判断题 ( √)1、任何自然数,它的最大因数和最小倍数都是它本身。 ( X)2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。 ( X)3、个位上是0的数都是2和5的倍数。 ( √)4、一个数的因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的。 ( X)5、5是因数,10是倍数。 ( X)6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18,共有7个。 ( X)7、因为18÷9=2,所以18是倍数,9是因数。 ( X)9、任何一个自然数最少有两个因数。 ( √)10、一个数如果是24的倍数,则这个数一定是4和8的倍数。 ( X)11、15的倍数有15、30、45。 ( √)12、一个自然数越大,它的因数个数就越多。 ( X)13、两个质数相乘的积还是质数。 ( √)14、一个合数至少得有三个因数。 ( √ )15、在自然数列中,除2以外,所有的偶数都是合数。 ( X)16、15的因数有3和5。 ( X)17、在1—40的数中,36是4最大的倍数。 ( √)18、16是16的因数,16是16的倍数。 ( X)19、8的因数只有2,4。 ( √ )20、一个数的最大因数和最小倍数都是它本身,也就是说一个数的最大因数等于它的最小倍数。( √)21、任何数都没有最大的倍数。 ( √)22、1是所有非零自然数的因数。 ( X )23、所有的偶数都是合数。 ( X)24、质数与质数的乘积还是质数。

( X)25、个位上是3、6、9的数都能被3整除。 ( X)26、一个数的因数总是比这个数小。 ( X)27、743的个位上是3,所以743是3的倍数。 ( X)28、100以内的最大质数是99。 二、填空。 1、在50以内的自然数中,最大的质数是(47 ),最小的合数是( 4 )。 2、既是质数又是奇数的最小的一位数是( 3 )。 3、在20以内的质数中,(11、15、17 )加上2还是质数。 4、如果有两个质数的和等于24,可以是(5 )+(19 ),(17 )+(7 )或(11 )+(13 )。 5、一个数的最小倍数减去它的最大因数,差是(0 )。 6、一个数的最小倍数除以它的最大因数,商是( 1 )。 7、一个自然数比20小,它既是2的倍数,又有因数7,这个自然数是(14 )。 如果a的最大因数是17,b的最小倍数是1,则a+b的和的所有因数有( 6 )个; a-b的差的所有因数有( 5 )个;a×b的积的所有因数有(2 )个。 9、比6小的自然数中,其中2既是( 2 )的因数,又是( 2 )的倍数。 10、个位上是( 偶数)的整数,都能被2整除;个位上是( 0或5 )的整数,都能被5整除。 11、在自然数中,最小的奇数是( 1 ),最小的偶数是( 0 ),最小的质数是( 2 ),最小的合数是( 4 )。 12、同时是2和5倍数的数,最小两位数是( 10 ),最大两位数是( 90 )。 13、1024至少减去( 1 )就是3的倍数,1708至少加上( 2 )就是5的倍数。 14、质数只有( 2 )个因数,它们分别是( 1 )和( 它本身)。 15、一个合数至少有( 3 )个因数,( 1 )既不是质数,也不是合数。 16、自然数中,既是质数又是偶数的是( 2 )。 17、在20至30中,不能分解质因数的数是( 23、29 )。 18、三个连续偶数的和是186,这三个偶数是( 60 )、(62 )、( 64 )。 19、我是54的因数,又是9的倍数,同时我的因数有2和3。(18、54 ) 20、我是50以内7的倍数,我得其中一个因数是4。(28 )

经典模板 (82)“因数与倍数”单元疑难问题解答-五年级下册

经典知识,经典范文 “因数与倍数”单元疑难问题解答-五年级下册 二、“因数与倍数”单元中,在第12页中指出“注意:为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数指的是整数(一般不包括0)”,而在17页又指出“0也是偶数”,质数与合数中,对0的问题又没有加以说明。这是为什么?究竟在这一单元的研究中,到底包括0还是不包括0? (1)本单元是有关数论的内容,主要研究整数的性质。就数论这门学科而言,研究的数的范围是整数(0是整数),而且其主要概念都是在整除(见与本册教材相配套的教师教学用书的说明)的基础上定义的,具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内(如0×5=0,可以说5是0的因数,0是5的倍数;但不能说0是0的因数,在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的,数论里的因数不能为0)。 (2)虽然本单元的内容应该在整数范围内研究,但是,由于0是任何非0自然数的倍数,任何非0自然数是0的因数;这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内,给研究问题带来很多麻烦。(如虽然0是任何非0自然数的倍数,但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”)。因此,限于小学生的认知水平,在小学阶段进行特殊约定,一般只在非0的自然数范围内加以研究,教材对此在第12页进行了说明。 (3)奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的,研究的范围是整数,因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。为此,教材对“0也是偶数”进行了补充说明,概念是科学的定义,这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。 (4)与因数和倍数不同,质数和合数在正整数范围内研究,因此讨论质数与合数时不包括0。相应地,如果把正整数分类,应分为:1、质数和合数。 综上所述,由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同,为此教材对于0依据不同情况进行特殊处理。 2 经典模板

北师大2015秋五年级上学期倍数因数质数和合数练习题

因数与倍数的练习 1、像0,1,2,3,4,5,6,……这样的数是() 2、有一个算式7×8=56,那么可以说()和()是()的因数,()是()和()的倍数。 3、是2的倍数的数叫()。不是2的倍数的数叫()。 4、凡是个位上是()或()的数,都是5的倍数。一个数既是2的倍数,又是5 的倍数,这个数的个位上的数字一定是()。 5、凡是个位上()的数,都是2的倍数。 6、一个数各个数位上的数字加起来的和是9的倍数,那么这个数也是()的倍数。 7、如果要让□729成为3的倍数,那么□里可以填()。 8、一个数的最小倍数减去它的最大因数,差是() 9、一个数的最小倍数除以它的最大因数,商是()。 10、一个自然数比20小,它既是2的倍数,又有因数7,这个自然数是()。 11、如果a的最大因数是17,b的最小倍数是1,则a+b的和的所有因数有()个;a-b的差的所有因数有()个;a×b的积的所有因数有()个。 12、比6小的自然数中,其中2是( )的因数,又是( )的倍数。 13、在自然数中,最小的奇数是( ),最小的偶数是( ), 14、同时是2和5倍数的数,最小两位数是( ),最大两位数是( )。 15、1024至少减去( )就是3的倍数,1708至少加上( )就是5的倍数。 16、三个连续偶数的和是186,这三个偶数是( )、()、( )。 17、我是54的因数,又是9的倍数,同时我的因数有2和3。我是() 18、我是50以内7的倍数,我的其中一个因数是4。我是() 20、我是30的因数,又是2和5的倍数。我是()。 21、我是36的因数,也是2和3的倍数,而且比15小。我是()。 22、根据算式25×4=100,()是()的因数,()也是()的因数;()是()的倍数,()也是()的倍数。 23、在1—20的自然数中,奇数有(),偶数有() 24、在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中,2的倍数有();3的倍数有();5的倍数有( ),既是2的倍数又是5的倍数有(),既是3 的倍数又是5的倍数有()。 25、48的最小倍数是(),最大因数是()。最小因数是()。 26、用5、6、7这三个数字,组成是5的倍数的三位数是();组成一个是3的倍数的最小三位数是()。 27、一个自然数的最大因数是24,这个数是()。 28、偶数+偶数= ()奇数+奇数= ()偶数+奇数=() 二、判断题 1、任何一个非零自然数,它的最大因数和最小倍数都是它本身 ( ) 2、一个数的倍数一定大于这个数的因数() 3、个位上是0的数都是2和5的倍数。( ) 4、一个数的因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的() 5、5是因数,10是倍数。 ( ) 6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18,共有7个。 ( )

人教版小学数学教案《因数与倍数》

《因数与倍数》 教学内容: 五年级下册《因数与倍数》 教学目标: 1、学生掌握找一个数的因数,倍数的方法;能熟练地找一个数的因数和倍数; 2、通过创设多通道的学习环节,感受三表学习的魅力; 3、培养学生的观察、归纳能力。 教学重点:掌握找一个数的因数和倍数的方法。 教学难点:能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学准备:每位学生一张学号卡。正反面都写上数。 教学过程: 1、幻灯片出示:3×6=18。 师:同学们,请齐读这个算式。(指幻灯片,学生齐读)今天我们的研究就从这个乘法算式开始。3×6=18,表示的是3和6与18的关系,它们的关系我们还可以说,一起读一下(幻灯片出示,手指,学生齐读):3是18的因数,6是18的因数,18是3的倍数,18是6

的倍数。(课件依次出示四句话。) 2、揭示课题 师:(手指黑板上已经写好的因数与倍数课题)《因数与倍数》就是我们这节课的课题。(黑板上挂课题《因数与倍数》) 3、不同乘法算式表示18。 师:两个数的乘积是18的你还会列哪些算式? (学生汇报,根据学生的汇报板书) (预设:如果学生出来小数乘法,10×1.8=18) 师:对的,但是1.8是小数,书上有一句话,(幻灯片切换到书上的那句话)请一个学生读一下。(老师接) 师:不包括0,小数,分数等。只研究我们目前认识的除0外的整数。(预设一:学生报出2×9=18,1×18=18板书) 师:根据这个算式,你会说哪些有关因数和倍数的话呢? (指名两位学生说,预设:如果学生说出2是因数,18是倍数这样的话,) (出示幻灯片:判断2×9=18,所以2是因数,18是倍数) (引导) 师:2在这个乘法算式中是一个因数没错,但是我们研究的因数与倍数是两个数之间的关系,必须是相关联的两个数,所以要说成是谁是

相关主题
相关文档 最新文档