第一章
目的：建立数学模型
1. 被控对象的数学模型不知道，复杂，无法用已知的定理、定律来推导→辨识
我们可以得到观测资料→辨识
辨识概念：如何从受到随即干扰的局部观测资料出发，用计算机进行处理，确定系统或过程的数学模型。
§1.1 过程和模型
1. 过程：工程系统、生物学系统、社会经济学系统等，工业生产过程。
数学模型是反映系统有关变量之间关系的一组数学描述，在一般情况下，系统模型表征了该系统的输入输出之间的关系，建立数学模型就是确立这种关系。系统辨识就是建立这种关系的一种理论和方法。
黑箱意味着存在一些未知东西。客观事物是复杂的，在人们认识的一定阶段，对于任何客体，我们总是有着许多情况不了解，还不能控制。把待认识的客体称为黑箱。
基本出发点：根据黑箱所表现出来的输入输出信息，建立与黑箱等价的过程外特征模型。
2.模型
1）模型含义：（1）表征过程的因果关系
（2）描述过程的运动规律
（3）把过程本质的部分压缩成有用的描述形式
模型所反映的内容将因其使用的目的而不同
模型：按照过程的目的所作的一种近似的描述
)()(.^
k z k z s
a ?→? “几行必然”处处相等
2）模型表现的形式
图表——非参数模型，脉冲响应，频率响应
数学模型：用数学结构形式反映实际过程的行为特性 （差分方程、代数方程、微分方程、状态方程） 3）数学模型分类
线性与非线性、静态与动态、确定性与随机性 线性系统与关于参数空间线性的区别
2cx bx a y ++=
y 与x 非线性，系统是非线性的，但y 对于参数对a 、b 、c 是线性的（参数空间特性）。
本质线性与非本质线性
把非线性模型——→线性模型 （本质线性）
2
1a 2a 1A Y L L = 21a a A 、、是参数，21L L 、是输入
2211log a log a logA logy L L ++=
(22110
u a u a a y ++=)
（处理必须是单调的，不会产生新的极点）
本书模型：集中参数、离散、定常、线性动态、随机
增加数学模型类型 [1.2.1]
3. 建模方法
①机理建模（理论模型）
利用各种定理建立模型—→理论建模—→白箱理论 简单过程建模
②辨识建模—→实验建模—→黑箱建模 精度高 [举例]1.2.2 ③灰箱建模 ①+②
原则：目的性、实在性、可辨识性、悭吝性（节省原理）
§1.2辨识的定义
就是在输入和输出的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。 数据：辨识的基础（数据的获取必须引起重视）
三大要素 模型类：辨识的范围 准则：等价原理（准则必须重视） [例 1.2.2] 辨识也可以说是在某种准则的意义下，从一定模型中选出一个与数据拟合最好的模型。
§1.3 表达形式
线性离散模型
)()(k z k h 、输入输出变量可观测，)(k e 模型噪声，θ：参数
τ)](,),(),([)(21k h k h k h k h N =
τθθθθ],,,[21N =
线性离散模型 )()()()()(1
k e k h k e k h k z i N
i i +=+=
∑=θθτ
最小二乘格式
k ：离散时间的序数，取正整数
例：将差分方程化成最小二乘格式
)()()1()()1()(11k e n k u b k u b n k z a k z a k z n n +-+-=-++-+ )()()1()()1()(11k e n k u b k u b n k z a k z a k z n n +-+-+-----= )()()(k e k h k z +=θτ
τ)](),1(),(,),1([)(n k u k u n k z k z k h ------=
τθ],,,,,,[121n n b b a a a =
最小二乘格式必须遵循：
①θ必须包括模型的所有参数（不能含常熟）
②输入向量)(k h 中所有元素是可观测的（已知数据）、可估计的所有元素必须是线性不相关的。
差分方程可写成延迟算子形式：
)()()()()(11k e k u z B k z z A +=-- n n z a z a z a z A ----++++= 221111)(
n n z b z b z B ---+= 111)(
)()()()()(22111k z z a k z z a k z k z z A ---++=
)2()1()(21-+-+=k z a k z a k z
辨识建模举例
用实验方法进行辨识：
测大量输入、输出数据，根据先验知识先设阶次位b a n n 、
)()()1()()1()(11k e n k Q b k Q b n k T a k T a k T b n a n b a +-++-=-++-+
∑∑==------++-+==L
k b n a n L
k n k Q b k Q b n k T a k T a k T k e J b n 1
2
1112)]()1()()1()([)
( 求i a 、i b 使n m J :=
辨识建模实际上是一种实验统计的方法，它所获得的模型只不过是与实际过程等价的一种近似的描叙。
)()1()()1()(11n k u b k u b n k y a k y a k y n n -++-=-++-+
n n n
n z a z a z b z b z b k u Z k y Z z G -----+++++=
= 1122111)}({)}({)( z 与s 的关系：s T e z
0=，s T e z 0
1--=
双线性变换
?
?????+-=11)2(z z T s
]
)2(1[]
)2(1[s T s T z -+=
或：11+-=z z s s s
z -+=11
11-+=z z s 1
1-+=s s z
数学模型类型
1. 代数方程
i
u R R u 01
0-=
i p u A u =0 2. 微分方程
)()()()(2t u t u dt
t du RC dt t u d LC c c c =++
确定性、定常、微分动态
3. 传递函数
1
1
)()()(2
++==
RCs LCs s U s U s G c
4. 状态空间模型
X=Ax+Bu Y=Cx+Du 令c u =1
x ，c u ?
=2x ，]x x [x 21，=
21x x =?
u LC
1x L R x LC 1x 212.+-=?
u LC 10x L R LC 110
x ???
?????+????????--=?
1c x u y ==，[]x 01y =
5. 差分方程
)
()()1()()1()(11k e n k u b k u b n k z a k z a k z b n a n b a +-++-=-++-+ ∑∑==-=-+n i n
i i i i k u b i k z a k z 1
)()()( [随机数学模型]
其中：??
???+++=++++=--------b b a a n n n n z b z b z b k z z B z a z a z a k z z A 2
211122111)()(1)()(
1-z 位延迟算子，)1()(1-=-k x k z
6. 脉冲响应
y(t)，u(t)，脉冲响应g(t)
?∞
=0
)d -)u(t g(t)(y τττ
离散化： 单位脉冲序列δ(k)
）
（）
0k 0k (01)k (≠=??
?=δ
∑∑==-=-=k
i k
i )i (g )i k (u )(u )i k (g )k (y i
g(k) 全权序列 权序列 离散系统卷积和
例：气体压力和体积之间的关系
C PV r =
r ，C 为待定常数，P ，V 各点可观测 化为最小二乘格式；本质非线性模型
logC )k (rlogV )k (logP logC )k (rlogV )k (P log +-=?=+
令??
?====logC
)
k (logV )k (h r
)k (P log )k (y 21θθ
??
?==]
[]1)k (V log [)k (h 21θθθτ
)k (e )k (h )k (y +=θτ 误差项、噪声项
表示P 、V 测量误差。
§1.4 辨识算法的基本原理
过程)(k u )(t ω)(k y )(t w )(k z )(k h
)1()()(^
^
-=k k h k z θτ
，过程输出预报值 )()()(^
~
k z k z k z -=
)()()(0k e k h k z +=θτ
辨识算法，准则函数问题让)(^
k z 逼近)(k z
§1.5 误差准则
等价准则：误差的泛函，误差准则，损失函数，准则函数
∑==L
k k f J 1
))(()(εθ
)())((2k k f εε= )(k ε误差含义
广义误差 1. 输出误差
)(k ε=
)
()
()(111---=z A z B z G ：μ
)()
()
()()(1
1k u z A z B k z k
---=ε ∑∑====L
k L
k k k f J 1
1
2)())(()(εεθ
∑=--=L
k z A z B k z J 1
2
1()()([)(θ参数空间非线性
2. 输入误差
)]([)()()()(1^
k z k u k u k u k --=-=με 产生输出)(k z 的模型输入
非线性
3. 广义误差
b
b
n
n z b z b z b z B ----+++= 221111)(：μ
a
a
n
n z a z a z a z A -----+++= 221111
2)(：μ
)()()()()(11k u z B k z z A k ---=ε
∑=---=L
k k u z B k z z A J 1211)]()()()([)(θ
θ：过程的参数：i a 、i b
§1.6 辨识的内容和步骤
内容；实验设计 1. 输入信号的选择
在辨识时间内过程必须被输入信号持续激励，或在实验期间，输入信号必须充分激励过程的所有模态，输入信号的频谱必须覆盖过程的频谱。
二阶系统单位阶跃响应
T
t Te
T t t c -
--=)( 模态
高阶系统单位阶跃响应
∑∑=-=-+-++=τ
ωξ?ξω1
21
0)
1sin()(k k k nk t k j t
p j nk k j e D e
A A t c ①输入信号的幅值或功率不易过大、过小 ②输入信号对过程“净扰动”小 2. 采样时间
① 满足香农定理：c ωω2> ② 采样间隔小，出现参数数值病态 不能使i a ，i b 值相差太不
应满足：∑∑+=
i
i
a
b K 1
出现i i
a a
<+
∑1 i a 增大，i b 减小
15
~595
0T T =
r T 过渡过程时间
3. 辨识时间
4. 离线，在线
5. 开环，闭环
第二章 随机信号大的描述与分析
2.1 随机过程的基本概念及数学描述
一．随机过程
对事物变化的过程进行一次观察，得到的结果是一个时间的函数，但是对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察，所得到的结果是不同的，而且观察之前不能与之结果。
X （t ）表示电业部监测的每天8：00~20：00之间的电负荷量 X1（t ）、X2（t ）、X3（t ）是样本。 随机过程：大量样本构成的集合。
二 数字特征：均值函数和相关函数与),(1t x P 有关的数字特征
（1）
t x xp t x t x )
,()}({)(1?∞
∞-?
=E =μ
)(t x μ是随机过程的所有样本函数在时刻t 的函数值的平均值。集平均或统计平均可能取
值平均值。X （t ）在各个时刻摆动中心 （2）
dt t x p x t x E t x
),()}({)(12
2
2?∞∞-?
==?
二阶中心矩 均方值函数 能量大小
（3）}
22)]()({[)(t t x E t x
x
?σ-=?
二阶中心矩 方差函数 偏离均值的程度 与),(2t x p 有关的数字特征
2121212212121),),(),(()()()}()({),(dt dt t t t x t x p t x t x t x t x E t t R x ?
?
∞
∞-∞
∞
-?
==
称为
)(1t x ，)(2t x 二阶原点混合矩
)]}()()][()({),(221121t t x t t x E t t C x x x μμ--=?
当21
t t =，2x
x
C σ==2x σ也是一种方差。
),(21t t p x ，)(2,1t t C x 是刻划随机过程自身两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数
字特征，主要是均值函数和自相关函数
二维随机过程[ 0, t )最高温度)(t x 和最低温度)(t y 都是随机过程
二阶原点混合矩 )](),([),(2121t y t x E t t R xy =?
T t t ∈21,
互相关函数 互协方差函数 )]}()()][()({[)(22112,1t t y t t x E t t C x μμ--= T t t ∈21,
若,
)(t y 恒有0)(2,1=t t C x ,则X,Y 是不相关的,而不是0=xy R
三 平稳随机过程 各态遍历性
概念：过程的统计特性不随时间而变化。主要指均值，自相关函数
c t t x E x x ===?
μμ)()]([
)()](),([21τx R t x t x E =
自相关函数),(21t t R x 值不随21,t t 而变化，只与τ=-12t t 有关，
宽平稳过程或广义平稳过程
随机过程处于过度阶段时总是非平稳的。 对平稳随机过程
)](),([)(ττ+=t x t x E R x
)0(2x x R =ψ
22
)()0()}({x R t x Var x x μσ-==
2)()()}(cov{)(x R t x C x x μττ-==
)()](),([)(,τττxy xy R t y t x E t t R ?
=+=+
)(t x ，)(t y 平稳相关，这两个过程是联合宽平稳的
各态遍历
我们计算X （t ）的数字特征，需要预先确定X （t ）的一簇样本函数或一维，二维分布函数，不易办到。用统计试验的方法
∑=≈N
k k x t x 1
1)(μ
)()(1)(21
112t x t x N t t R k N
k k x ∑=≈-
需对平稳过程做大量观察，以便获得很多样本函数
)(t x k k=1，2,…,N
但是平稳过程的统计特性不随时间的变化而我变化，所以希望在一个很长时间内观察得到一个样本曲线
)(t x i
在t 取不同值时为随机过程，集合平均值，时间平均值。
?
-→∞?
=T
T
i T dt t x T
x )(21lim
dt t x t x T t x t x i T
T
i T )()(21lim )()(ττ+=+?-∞→?
大数定理：随T 无限增长，随机过程的样本函数按时间平均的越来越大的概率近似于过程的概率平均。
如果1）x t x E x μ==)]([的概率1成立，则称)(t x 均值具有各态遍历性。
2）若
τ
?
)()]()([)()(τττR t x t x E t x t x =+=+的概率1成立，则称过程)(t x 自相关
函数具有各态便利性。
3）若)(t x 的均值和自相关函数具备各态便利性或埃尔古德性 所以各态遍历的随机过程，根据一个很长的样本计算
???
????
+==??∞→-∞→)()(21l i m )()(21l i m ττμt x t x T R dt t x T i i T x T T i
T x
但是T 有限，离散：0T ，
0NT T =
0lT =τ，
∑==N
k x
k x N 1
)(1
∑-=?
+-?
=l N t x k x x k k x k x l
N l R R )(1
)1()(1
)()(τ
互相关函数
)}()({)(ττ+=?
t y t x E R xy
互协方差函数
y
x xy x x xy R t y t x E t y t x Cov C μμτμτμττ-=-+-=+=?
?)(]})(][)({[)}(),({)(若0)(=τxy C ，∞<<∞-?t ，)(t x ，)(t y 不相关。
若
0)(=τxy R ，x μ，y μ有一个为0，则x ，y 互不相关。
)(t x ，)(t y 相互独立?互不相关，互不相关不能推出相互独立，但对服从正态分布的
二维速记变量，两者完全等价
四 相关函数与协方差函数的性质
（1）0)}0()({)0(2
≥=+=x x t x t x E R ?
（2）)()(ττx x R R =-
)()}()({)(τττx x R t x t x E R =-=-
（3）
)0(|)(|x x R t R ≤ )0(|)(|x x C C ≤τ
自相关函数（自协方差）函数在τ=0取最大值。
（4）周期性随机过程，)(τx R 也具有周期性且周期相同。 （5）x t y t x μ+=
)()( 2
)()(x y x t R t R μ+=
t
t-t
t+t
均值可以看做直流成分，x （t ）的直流成分2
)(x x R μτ↑
（6）若x （t ）均值为0，不含周期成分，=>τ很大时，)(t x ，)(τ+t x 相互独立，
0)(=τx R
重要性质：0)]([)]([)}()({)(=+=+=τττt x E t x E t x t x E R x （7）)()()(21t x t x t x +=
)(1t x ，)(2t x 互不相关，则
)()()(21τττx x x R R R +=
（8）2)()(x x x t R t C μ-
=
互相关函数，互协方差性质 （1）)(t R xy 不具有对称性 （2）)()}()({)(τττxy yx R t x t y E R ≠+=?
)()}()({)(τττxy yx R t x t y E R =-=-
)()]()([)}()({)(ττττ-=+=+=?
yx yx R t y t x E t x t y E R
（3）若x μ，y μ至少有一个为0时，则
)()(ττxy xy R C =
各态遍历随机过程具有一个确定的时间函数)(τx R
2.2 谱密度函数
从离散角度分析随机过程
)(t x 的规律，能说明)(τx R 与功率谱密度函数的关系
)(t x +∞<<∞-t
)(t x 满足Dirichlet 条件，且绝对可积。那么)(t x 的傅里叶变换存在或者具有频谱。
?+∞
∞-=dt e t x j x t j ωω)()( 共轭函数)()(*ωωj x j x -=
在)(t x 与
)(ωj x 之间有Parseval 等式成立
??+∞∞-+∞∞-=ωωd j x T
dt t x 2
2
||)(||21)(
一 1）确定性过程总能量表示
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-=
ωωd j x T dt t x 22
||)(||21
)(
等式左边表示电流)(t x 流经1Ω电阻的能量，等号右边是用频谱形式表达出来
但是在工程中，时间函数可能是无限的，但是绝对可积不一定满足，例如正弦函数。我们研究)(t x 在),(+∞-∞上的平均功率。
?
-∞→T
T
T dt t x T
)(21
lim 2
截尾函数 )(t x -T ≤t ≤T
)(t x T = 满足条件
0 其他
ωωπ
ωωπ
d j x T d j x T dt t x T T
T
T T T
T
T T T T T T 2
22||)(||21lim
21
||)(||2121lim )(21lim ???-∞→-∞→-∞→==2
||)(||21
lim
)(ωωj x T
S T T x ∞→=是ω的实偶函数
二 随机过程的谱密度
随机变量，只能研究其数学期望
}||)({||21
lim )(2ωωj x E T
S T T x ∞→=
两边取均值，截尾
?
?-∞
∞-∞→∞→=
T
T
T T T d j x E T
dt t x E }||)({||21lim
21
)}({lim 2
2ωωπ
?
∞
∞
-=ωωπ
ψd S x x
)(21
2
}||)({||21
lim
)(2ωωj x E T
S T x ∞→=
)(ωx S 称为随机过程)(t x 的平均功率谱密度，平均功率在不同ω下的分布函数。它是
从频率角度描述
)(t x 的统计规律的主要数字特征，其物理意义表示)(t x 的平均功率关于
频率ω的分布。
三 wiener-khintchine 关系式
)(ωx S 具有以下性质：
1)
)(ωx S 是ω的实的非负的偶函数
)()(||)(||2ωωωj x j x j x -=
2）
)(ωx S 和)(τx R 是一对傅里叶变换对
?∞
∞
--=ττωωτ
d e
R S j x x )()(
ωωπ
τωτd e S R j x x ?
∞
∞
-=
)(21
)(
)(ωx S ，)(τx R 都是偶函数
?∞
=0
cos )(2)(τωττωd R S x x
或写作
?
∞
=
cos )(1
)(ωωτωπτd S R x x
wiener-khintchine 公式又称为平稳自相关函数的谱表示式，它揭示了从时间角度描述平稳过程)(t x 的统计规律和频率角度描述)(ωx 的统计规律之间的关系。 例：
||212
c o s 2
)(ττωτa v e b a R -+=所对应的谱密度函数)(ωv S
根据下表：
2
22
01012
2)]()([2)(v
a a
b a S v ++++-=ωωδωωδπω时
2.3 M 序列的谱密度
适当选择M 序列，即选择t N P ?幅度，根据辨识对象的频带宽，可设计t ?，所以要分析M 序列的谱密度。
思想：)(τM R 分解为两部分，
M M M M M M S S S R R R →→→)(),()(),()()2()1()2()1(ωωτττ
M 2(τ)
2
a /N
p
)|
|1)(11(2t
N P ?-+
τ )()1(τM R =
t ?≤||τ
P
M
N a t R 2
)
2()(-=
∑∞
-∞
=+?-=
k M P M
M R t kN R
R )()()()2()
1(τττ
∑∞
-∞
=-=k k M k C S )(2)(0)
1(ωωδπω
t N P ?=
πω20
)(2)(2
)
2(ωδπωP
M
N a S -=
∑∞≠-∞=+-??+=02
2
022)(2)](][2
121
sin [)1(2)(k k p p P M N a k t t N N a S ωδπωωδωωπω 特点：1）线条谱
2）M S 7071.0]2
121s i n [2=??t t
ωω f t
ππ
ω232=?=
t f ?=31
逆M 序列：M 序列有直流成分“净扰动” 原因： “0”
2
1
-p N “1” 2
1
+p N “0”比“1”少一个0≠x μ，改变使其均值为0.
逆M 序列产生：
)}({)}({)}({k S k M k IM ⊕=
)(k IM 周期为p N 2
性质：1）“0”，“1”个数相同，0=x
μ
2）前半周期与后半周期逆重复，)()(p N k IM k IM +-= 3）逆M 序列与原序列不相关，他们的互相关函数为0. 逆M 序列相关函数及谱密度分析
)(k IM 序列的自相关函数和M 序列类似，其统计特性也近似于白噪声序列。广泛用于便是
信号。
其谱密度类似于M 序列，t
N P ?=
π
ω20。疏一倍，但是没有直流量。
系统辨识作业一 学院信息科学与工程学院专业控制科学与工程 班级控制二班 姓名 学号
2018 年 11 月 系统辨识 所谓辨识就是通过测取研究对象在认为输入作用的输出响应，或正常运行时 的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。 辨识的内容主要包括四个方面： ①实验设计； ②模型结构辨识； ③模型参数辨识； ④模型检验。 辨识的一般步骤：根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集 数据；然后进行模型参数和结构辨识；最终验证获得的最终模型。 根据辨识方法所涉及的模型形式来说，辨识方法可以分为两类：一类是非参 数模型辨识方法，另一类是参数模型辨识方法。 其中，非参数模型辨识方法又称为经典的辨识方法，它主要获得的是模型是 非参数模型。在假定过程是线性的前提下，不必事先确定模型的具体结构，广泛 适用于一些复杂的过程。经典辨识方法有很多，其中包括阶跃响应法、脉冲响应法、相关分析法和普分析法等等，本次实验所采用的辨识方法为阶跃响应法和脉 冲响应法。 1．阶跃响应法 阶跃响应法是一种常用非参数模型辨识方法。常用的方法有近似法、半对数法、切线法、两点法和面积法等。本次作业采用面积法求传递函数。 1.1面积法 ① 当系统的传递函数无零点时，即系统传递函数如下： G(S) = + ?11?1+?+ 1+1 (1-1) 系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取 微分方程的系数来辨识系统的传递函数。在求得系统的放大倍数K后，要得到无 因次阶跃响应y(t)(设τ=0)，其中y(t)用下式描述： () ?1 () (1-2) 面积法原则上可以求出n为任意阶的个系数。以n为3为例。有： 3() 2() () {| →∞ =| →∞ =| →∞ = 0 (1-3) ()| →∞ = 1
1：修改课本p61的程序，并画出相应的图形； u = -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 z = Columns 1 through 11 0 0 Columns 12 through 16 HL =
0 0 0 ZL = c = a1 =
a2 = b1 = 1 b2 = 2：修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V的取值范围为54-200）； V = [, , , , , ]τ P = [, , , , , ]τ ZL = [, , , , , ]τ HL = c4 = alpha = beita = +004 3：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值， 70时根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C?
的电阻值。 要求用递推最小二乘求解： （a ）设观测模型为 利用头两个数据给出 ?? ???===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(?)()()0(1 0 （b ）写出最小二乘的递推公式； （c ）利用Matlab 计算 T k a k b k )](),([)(?=θ 并画出相应的图形。 解：首先写成[][]?? ? ???=??????=+==a b t a b h h a bt k k z k k 1)()(12 θτ h θL L H z = T L L z z ],...,[1=z ，????? ???? ???=1 (112) 1 L L t t t H ，??????=a b θ 的形式。 利用头两个数据给出最小二乘的初值： ,126120.50??????=L H ?? ????=7907650L z 这样可以算得 i i v bt a y ++=
系统辨识习题解答 1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模 型写成最小二乘格式。 提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1 ② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中 n n z d z d d z D ---+++= 1101)(，从而 )()1()()(10n k u d k u d k u d k z n -++-+= 所以当定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h ，则有最小二乘格式： )()()()()(0 k e k h k e k h d k z n i i i +=+=∑=τ ， 其中e(k)是误差项。 2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要 用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。 解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线 性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成 ) () ()(1 11 ---=z C z D z H 即 )()()()(1 1k v z D k e z C --= 其中 c c n n z c z c z C ---+++= 1 11 1)( d d n n z d z d z D ---+++= 1 111)(
系统辨识习题解答 1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成 最小二乘格式。 提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1 ② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --==ΛΛh 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中 n n z d z d d z D ---+++=Λ1101)(，从而 所以当定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --==ΛΛh ，则有最小二乘格式： )()()()()(0k e k k e k h d k z n i i i +=+=∑=θτ ， 其中e(k)是误差项。 2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种 模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。 解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环 节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成 即 )()()()(11k v z D k e z C --= 其中 c c n n z c z c z C ---+++=Λ1111)( 根据其结构，噪声模型可区分为以下三类： 自回归模型（AR 模型）： )()()(1k v k e z C =- 平均滑动模型（MA 模型）： )()()(1k v z D k e -= 自回归平均滑去模型（ARMA 模型）： )()()()(11k v z D k e z C --= 3－4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明 解：由于M 序列是循环周期为t N P ?，12-=P P N ，t ?为M 序列移位脉冲周期，自相关函数 近似于δ函数，a 为M 序列的幅度。设数据的采样时间等于t ?，则离散Wiener-Hopf 方程为： 当M 序列的循环周期t N P ?大于过程的过渡过程时间时，即P N 充分大时，离散Wiener-Hopf 方程可写成：
上海大学2015 ～2016学年冬季学期研究生课程考试 小论文格式 课程名称：系统建模与辨识课程编号： 09SB59002 论文题目: 基于改进的BP神经网络模型的网络流量预测 研究生姓名: 李金田学号: 15721524 论文评语: 成绩: 任课教师: 张宪 评阅日期:
基于改进的BP神经网络模型的网络流量预测 15721524，李金田 2016/3/4 摘要：随着无线通信技术的快速发展，互联网在人们的日常生活中占据了越来越重要的位置。网络中流量监控和预测对于研究网络拓扑结构有着重要的意义。本文参考BP算法，通过分析算法的优势和存在的一些问题，针对这些缺陷进行了改进。通过建立新的流量传输的传递函数，对比了经典的传递函数，并且在网络中进行了流量预测的实验和验证。新方法在试验中表现出了良好的实验性能，在网络流量预测中有很好的应用，可以作为网络流量预测的一个新方法和新思路，并且对研究网络拓扑结构有着重要的启发作用。网络流量预测在研究网络行为方面有着重要的作用。ARMA时间序列模型是比较常见的用于网络流量预测的模型。但是用在普通时间序列模型里面的一些参数很难估计，同时非固定的时间序列问题用ARMA模型很难解决。人工神经网络技术通过对历史数据的学习可能对大量数据的特征进行缓存记忆，对于解决大数据的复杂问题很合适。IP6 网络流量预测是非线性的，可以使用合适的神经网络模型进行计算。 A Novel BP Neural Network Model for Traffic Prediction of The Next Generation Network. Abstract:With the rapid development of wireless communication technology, the internet occupy an important position in people’s daily life. Monitoring and predicting the traffic of the network is of great significant to study the topology of the network. According to the BP algorithm, this paper proposed an improved BP algorithm based on the analysis of the drawback of the algorithm. By establishing a new transfer function of the traffic transmission, we compare it with the previous transmission function. Then, the function is used to do experiments, found to be the better than before. This method can be used as a new way to predict the network traffic, which has important implications for the study of the network topology. Network traffic prediction is an important research aspect of network behavior. Conventionally, ARMA time sequence model is usually adopted in network traffic prediction. However, the parameters used in normal time sequence models are difficult to be estimated and the nonstationary time sequence problem cannot be processed using ARMA time sequence problem model. The neural network technique may memory large quantity of characteristics of data set by learning previous data, and is suitable for solving these problems with large complexity. IP6 network traffic prediction is just the problem with nonlinear feature and can be solved using appropriate neural network model.
1请叙述系统辨识的基本原理（方框图），步骤以及基本方法 定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理论和方法。 辨识定义：辨识有三个要素——数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型 辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则 基本原理： 步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤：根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最后经过验证获得最终模型。 基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识——经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率响应、相关分析、谱分析法。参数辨识——现代辨识方法（最小二乘法等） 2随机语言的描述 白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。 谱密度： M 序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。 M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有M 序列都具有移位可加性 辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。 3两种噪声模型的形式是什么 第一种含噪声的被辨识系统数学模型0011()()()()n n i i i i y k a y k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0 ()()()T y k k v k ψθ=+。其中，()()()()()()()=1212T k y k y k y k n u k u k u k n ψ------????L L ，，，，，，， ) ()(2τδστ=W R +∞ <<∞-=ωσω2)(W S )}({k W Λ,2,1,0,)(2±±==l l R l W δσ2)()(σωω== ∑ ∞-∞=-l l j W W e l R S ???≠=≈+=?0 , 00,Const )()(1)(0ττττT M dt t M t M T R bit )12(-=P P N
襄樊学院2008-2009学年度上学期《系统辨识》试题 B卷参考答案及评分标准 一、选择题：（从下列各题的备选答案中选出一个或几个正确答案，并将其代号写在题干后面的括号内。答案选错或未选全者，该题不得分。每空2分，共12分） 1、（D） 2、（A） 3、（C） 4、（ABC） 5、（BCD） 6、（B） 二、填空题：（每空2分，共14分） 1、图解 2、阶次和时滞 3、极大似然法和预报误差法 4、渐消记忆的最小二乘递推算法和限定记忆的最小二乘递推算法 三、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”；错误的打“×”并改正；每小题2分，共20分）（注：正确的题目括号内打“√”得2分，打“×”得0分；错误的题目括号内打“×”得1分，改正正确再得1分，错误的题目括号内打“√”得0分；） 1、（×）非零→零 2、（√） 3、（×）完全相同→不完全相同 4、（√） 5、（×）不相同→相同 6、（√） 7、（√） 8、（√） 9、（×）灰箱→白箱 10、（×）不需要→需要 四、简答题：（回答要点，并简明扼要作解释，每小题6分，共18分） 1、答：计算中用一个数值来表示对观测数据的相对的“信任程度”，这就是权。（2分） 对于时变参数系统，其当前的观测数据最能反映被识对象当前的动态特性，数据愈“老”，它偏离当前对象特性的可能性愈大。因此要充分重视当前的数据而将“过时的”、“陈旧的”数据逐渐“遗忘”掉，这就是加权的概念。（2分）具体的方法是，每当取得一个新的量测数据，就将以前的所有数据都乘上一个加权因子ρ（0<ρ<1）,这个加权因子体现出对老数据逐步衰减的作用，所以ρ也可称为衰减因子，因此在L次观测的基础上，在最小二乘准则中进行了某ρ=μ（0<μ<1），选择不同的μ就得到不同的加权效果。μ愈小，表示将过种加权，即取2 去的数据“遗忘”得愈快。（2分） 2、答：相关分析法的主要优点是由于M序列信号近似于白噪声，噪声功率均匀分布于整个频带，从而对系统的扰动甚微，保证系统能正常工作（1.5分）。此外。因为相关函数的计算是一种
系统辨识方学习总结 一．系统辨识的定义 关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观 测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。L.Ljung也给 “辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。出了一个定义： 二．系统描述的数学模型 按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。经典控制理论中微 分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程 和离散状态空间方程也如此。一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控 制论中则采用时域状态空间方程建模。 三．系统辨识的步骤与内容 (1)先验知识与明确辨识目的 这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。首先从各个方面尽量的了解待辨识的 系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。 对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。 (2)试验设计 试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度 的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。主要涉及以下两个问 题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔 (3)模型结构的确定 模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的， 对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。为了讨论模型和类型和结构的选择，引 入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。所谓模型结 构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。在单输入单 输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。当具有一定阶次的模型的所有参 数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。 (4)模型参数的估计 参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶 段就称为模型参数估计。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 基于最小二乘法的系统辨识的设计与开发（整理版）课程（论文）题目： 基于最小二乘法的系统辨识摘要： 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。 在系统辨识领域中, 最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法, 可用于动态系统, 静态系统, 线性系统, 非线性系统。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 关键词： 最小二乘法；系统辨识；参数估计 1 引言最小二乘理论是有高斯（ K.F.Gauss）在 1795 年提出： 未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。 这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。 递推最小二乘法是在最小二乘法得到的观测数据的基础上，用新引入的数据对上一次估计的结果进行修正递推出下一个参数估计值，直到估计值达到满意的精确度为止。 1 / 10
对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即是最小二乘法。 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 2 最小二乘法的系统辨识设单输入单输出线性定常系统的差分方程为： 1),()()() 1()(01knkubkubnkxakxakxnn （ 1）上式中： )(ku为输入信号；)(kx为理论上的输出值。 )(kx只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。 )(kx的观测值)(ky可表示为 （ 2）将式（ 2）代入式（ 1）得 1()()() 1()(101kubkubnkyakyakyn (3) 我们可能不知道)(kn的统计特性，在这种情况下，往往把)(kn看做均值为 0 的白噪声。 设 （ 4）则式（ 3）可以写成 (5) 在测量)(ku时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当
经典辨识方法报告 1. 面积法 辨识原理 分子多项式为1的系统 1 1 )(11 1++++= --s a s a s a s G n n n n Λ……………………………………………（） 由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似 1)() ()()(a 111=++++--t y dt t dy a dt t y d a dt t y d n n n n K ……………………………（） 面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。以n=3为例，注意到 1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dt t y dt t y dt t y …………………………（） 将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得 ?-=++t dt t y t y a dt t dy a dt t y d a 01223 )](1[)() ()(…………………………………（） 定义 ?-=t dt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（） 则由式（）给出的条件可知，在t →∞ ?∞ -=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（） 将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)() (a 201123 t F dt t y a t F t y a dt t dy t =-=+?…………………………………（） 利用初始条件（）当t →∞时 )(a 22∞=F …………………………………………………………………… （） 同理有a 3=F 3(∞) 以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞) 分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统
最小二乘法的系统辨识 摘要：在研究一个控制系统过程中，建立系统的模型十分必要。因此，系统辨识在控制系统的研究中起到了至关重要的作用。本文主要介绍了系统辨识的最小二乘方法，最小二乘法的一次完成过程进行了推导，最小二乘法的一次完成的缺陷在于对于有色噪声并没有很好的辨识效果。其中系统辨识在工程中的应用非常广泛,系统辨识的方法有很多种,最小二乘法是一种应用极其广泛的系统辨识方法，阐述了动态系统模型的建立及其最小二乘法在系统辨识中的应用,并通过实例分析最小二乘法应用于直流调速系统的系统辨识。 关键词：系统辨识、最小二乘法 一、系统辨识的定义 系统辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的环节。1962年，L．A．zadeh给出“辨识”的定义为：系统辨识是在对输入和输出观测的基础上，在指定的一类系统中，确定一个与被识别的系统等价的系统。[1]最先提出了系统辨识的定义。 随着科技的发展，数学建模对科学研究及指导及生产都有非常重要的意义。给一个系统建立数学模型是一个比较复杂的工作，其中关键的一个环节是系统辨识。系统辨识就是研究如何利用系统的输入、输出信号建立系统的数学模型。[7]系统数学模型是系统输入、输出及其相关变量间的数学关系式，它描述系统输入、输出及相关变量之间相互影响、变化的规律性。换句话说，系统辨识就是从系统的运算和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)。系统辨识的三要素：数据、模型类和准则。系统辨识的基本原理：在输入输出的基础上，从一类系统中确定一个与所测系统等价的系统。[2] 二、最小二乘法的引出 最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的，它奠定了最小二乘估计理论的基础．到了20世纪60年代瑞典学者Austron把这个方法用于动态系统的辨识中，在这种辨识方法中，首先给出模型类型，在该类型下确定系统模型的最优参数。 我们可以将所研究的对象按照对其了解的程度分成白箱、灰箱和黑箱。于其内部结构、机制只了解一部分，对于其内部运行规律并不十分清楚，这样的研究对象通常称之为“灰箱”；如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制及运行规律均一无所知的话，则把这样的研究对象称之为“黑箱”。研究灰箱和黑箱时，将研究的对象看作是一个系统，通过建立该系统的模型，对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律。对于动态系统辨识的方法有很多，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义。[4]
系 统 辨 识 作 业 系统辨识作业： ?已知某系统为单输入/单输出系统，其测量噪声为有色噪声，分布未知。 现给出一个实验样本(如下表所示)，求该系统模型。 说明： 可采用GLS ，ELS ，IV 等，要定阶，要比较仅用RLS 的计算结果 一、问题分析 在估计模型参数时需要已知模型的阶数，但是由于本系统模型阶数也是未知的，所以本系统需要先由输入/输出数据通过辩识得出系统的阶数。然后根据辨识的系统阶数再分析求解系统模型。 二、模型阶数的辨识 按照品质指标“残差平方总和”定阶，如高阶系统模型相应的系数为零，则可退化成相应的低阶系统即低阶模型可视为高阶模型的特例。理论上高阶模型的精度不低于低阶模型，但是考虑到计算机的舍入误差的影响，过高的阶数亦能引起模型精度的下降。一般说低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高，但是代价亦大。根据逼近的观点，定阶往往是考虑多种因素的折衷。定阶一般是按照假设——检验的步骤进行的，检验过程中往往带有主观成分。 一般说来低阶模型描述粗糙，高阶模型精度高。残差平方总和J(n)是模型阶数的函数 在不同的模型阶数的假设下，参数估计得到的J(n)值亦不同。定阶的最简单办法是直接用J(n)。设模型阶数的“真值”为n 0 ,当n < n 0 时随着n 的增加，J(n)值将明显的下降；而当n ≥ n 0 时随着n 的增加，J(n)值变化将不显著。因此，由J(n)曲线随着n 的增加最后一次陡峭下降的n 值定做n 的估计值。用数理统计的检验方法，判断n 的增加使得J(n)值改善是否明显。 讨论如下 (1).当n=1时程序如下: clear u=zeros(100,1);%构造输入矩阵 z=zeros(100,1);%构造输出矩阵 u=[-0.93249 0.34935 0.76165 -0.9964 -0.38894 -0.12288 0.021565 -0.49555 -0.61624 -1.912 0.22207 -0.31231 -0.17866 -1.8356 -0.26472 1.7642 -1.0418 1.1146 -2.0856 0.8152 1.5094 -0.5822 0.61097 0.35521 2.5907 1.5843 -0.9603 -0.27341 0.39947 0.17493 -1.7451 0.8112 1.2645 1.5682 0.63959 -0.47757 0.99697 0.058774 -0.16174 -1.2928 -0.04722 0.73182 -0.19644 0.091783 -1.1908 -0.90716 0.85388 0.33836 0.74074 0.54181 0.15676 -0.50569 -0.17521 1.3255 -2.488 0.50261 -1.1533 0.36407 0.65283 -0.05983 ∑=-=N k T K k y n J 12 ) )(()(θ?
系统辨识大作业 最小二乘法及其相关估值方法应用 学院：自动化学院 学号： 姓名：日期：
基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究 一、实验原理 1.最小二乘法 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。 设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为 (5.1.1) 式中:为随机干扰；为理论上的输出值。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。的观测值可表示为 (5.1.2) 式中:为随机干扰。由式(5.1.2)得 (5.1.3) 将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得 (5.1.4) 我们可能不知道的统计特性，在这种情况下，往往把看做均值为0的白噪声。 设 (5.1.5) 则式(5.1.4)可写成 (5.1.6) 在观测时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。因此假定不仅包含了的测量误差，而且包含了的测量误差和系统内部噪声。假定是不相关随机序列(实际上是相关随机序列)。 现分别测出个随机输入值，则可写成个方程，即 上述个方程可写成向量-矩阵形式 (5.1.7) 设 则式(5.1.7)可写为
(5.1.8) 式中：为维输出向量；为维噪声向量；为维参数向量；为测量矩阵。因此式(5.1.8)是一个含有个未知参数，由个方程组成的联立方程组。如果，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。如果，方程组正好与未知数数目相等，当噪声时，就能准确地解出 (5.1.9) 如果噪声，则 (5.1.10) 从上式可以看出噪声对参数估计是有影响的，为了尽量较小噪声对估值的影响。在给定输出向量和测量矩阵的条件下求系统参数的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法来求的估值，以下讨论最小二乘法估计。 2.最小二乘法估计算法 设表示的最优估值，表示的最优估值，则有 (5.1.11) 写出式(5.1.11)的某一行，则有 (5.1.12) 设表示与之差，即 - (5.1.13)式中 成为残差。把分别代入式(5.1.13)可得残差。设 则有 (5.1.14) 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指数函数 (5.1.15) 为最小来确定估值。求对的偏导数并令其等于0可得 (5.1.16) (5.1.17)
系统辨识复习提纲 1． 什么是系统？什么是系统辨识？ 系统泛指由一群有关联的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元件不能单独完成的工作的群体,即一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。 2． 什么是宽平稳随机过程，其遍历定理内容是什么？ 网上的宽平稳随机过程概念：给定二阶矩过程{X(t),t ∈T}，如果对任意的t,t+h ∈T,有 （1）E[X(t)]=Cx （常数） （2）E[X(t)X(t+h)]=R(h) 则称{X(t),t ∈T}为宽平稳（随机）过程或广义平稳（随机）过程。 老师课件里的：平稳性概念、宽平稳概念 （1）随机过程的统计性质不随时间变化。（独立随机过程） （2）宽平稳涉及到的统计性质局限在均值函数和相关函数。 （均值不变，相关函数只和时间差有关） 各态遍历性（历经性）概念 集平均： ∑∑==≈ -=≈N k k k x x N k k x t x t x N t t R t t R t x N t 1 212121111)()(1 )(),() (1)(μ 时间平均： ?-∞→=T T T t d t x T t x )(21lim ?)( ?-∞→+=+T T T t d t X t x T t X t x )()(21lim ?)()(ττ 如果 {}1)}({)(===x t x E t x P μ 及 {} 1)(})()({)()(==+=+τττx R t x t x E t x t x P 则称平稳随机过程)(t x 是各态遍历（各态历经）的平稳随机过程。 浩维的答案：在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程，又称狭义平稳过程，是
系统辨识理论综述 郭金虎 【摘要】全面论述了系统辨识理论的提出背景以及理论成果，总结了系统辨识理论的基本原理、基本方法以及基本内容，并对其应用及发展做了全面的讨论。 【关键词】系统辨识；准则函数 1概述 系统辨识问题的提出是由于随着科学技术的发展，各门学科的研究方法进一步趋向定量化，人们在生产实践和科学实验中，对所研究的复杂对象通常要求通过观测和计算来定量的判明其内在规律，为此必须建立所研究对象的数学模型，从而进行分析、设计、预测、控制的决策。例如，在化工过程中，要求确定其化学动力学和有关参数，已决定工程的反应速度；在热工过程中，要求确定如热交换器这样的分布参数的系统及动态参数；在生物系统方面，通常希望获得其较精确的数学模型，一般描述在生物群体系统的动态参数；为了控制环境污染，希望得到大气污染扩散模型和水质模型；为进行人口预报，做出相应的决策，要求建立人口增长的动态模型；对产品需求量、新型工业的增长规律这类经济系统，已经建立并继续要求建立其定量的描述模型。其他如结构或机械的振动、地质分析、气象预报等等，都涉及系统辨识和系统参数估计，这类要求正在不断扩大。 2系统辨识的基本原理 2.1系统辨识的定义和基本要素 实验和观测是人类了解客观世界的最根本手段。在科学研究和工程实践中，利用通过实验和观测所得到的信息，或掌握所研究对象的特性，这种方式的含义即为“辨识”。关于系统辨识的定义，1962年，L.A.Zadeh 是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中，确定一个与所测系统等价的模型”。1978年，L.Ljung 也给出了一个定义：“辨识既是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型”。可用图2-1来说明辨识建模的思想。 0 G g G 等价准则系统原型 系统模型激励信号y g y e J u 图2-1 系统辨识的原理
1、系统辨识——连续系统传递函数——脉冲传递函数function h=Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) % N——系统阶数 % G——采样数据（个数大于等于2N+1） % G为一维行向量 % dt——采样间隔 if nargin<3 errordlg('not enough input varibles','error hint'); else g_NN=zeros(N,N); for i=1:N g_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1); end g_N=-G(1:N)'; a=inv(g_NN)*g_N; %% x的求解 syms x for i=1:N X(i)=x^i; end f=X*a+1; x=double(solve(f)); %%极点的求解 p=log(x)/dt; c_NN=zeros(N,N); for i=1:N c_NN(i,:)=x.^(i-1); end c_N=G(1:N)'; %%增益求解 k=inv(c_NN)*c_N; p k z=zeros(1,N); p=p'; k=k'; Continuous_TransferFcn=0; for i=1:N Continuous_TransferFcn=Continuous_TransferFcn+zpk(z(i),p(i),k(i)); end Continuous_TransferFcn end end
例题 3.1(P32) >>G=[0 0.1924 0.2122 0.1762]; >> N=2; >> dt=1; >> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p = -0.4934 -0.7085 k = 1.6280 -1.6280 Continuous_TransferFcn = 0.35024 s --------------------- (s+0.4934) (s+0.7085) Continuous-time zero/pole/gain model. 习题3.2(P34) >> G=[0 0.196 0.443 0.624 0.748 0.831]; >> N=3; >> dt=0.2; >> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p = -0.0633 -1.7846 -11.1860 k = 1.1249 -1.3399 0.2150 Continuous_TransferFcn = -0.08507 s (s-253.1) ------------------------------- (s+0.06329) (s+1.785) (s+11.19) Continuous-time zero/pole/gain model.
系统辨识研究综述 摘要：本文综述了系统辨识的发展与研究内容，对现有的系统辨识方法进行了介绍并分析其不足，进一步引出了把神经网络、遗传算法、模糊逻辑、小波网络知识应用于系统辨识得到的一些新型辨识方法。并对基于T-S模型的模糊系统辨识进行了介绍。文章最后对系统辨识未来的发展方向进行了介绍 关键词：系统辨识；建模；神经网络；遗传算法；模糊逻辑；小波网络；T-S 模型 1.系统辨识的发展和基本概念 1.1系统辨识发展 现代控制论是控制工程新的理论基础。辨识、状态估计和控制理论是现代控制论三个相互渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持；控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计。 而现代控制论的实际应用不能脱离被控对象的动态特性，且所用的数学模型需要选择一种使用方便的描述形式。但很多情况下建立被控对象的数学模型并非易事，尤其是实际的物理或工程对象，它们的机理复杂且含有各种噪声，使建立数学模型更加困难。系统辨识就是应此需要而形成的一门学科。 系统辨识和系统参数估计是六十年代开始迅速发展起来的。1960年，在莫斯科召开的国际自动控制联合会(IFCA)学术会议上，只有很少几篇文章涉及系统辨识和系统参数估计问题。然而，在此后，人们对这一学科给予了很大的注意，有关系统辨识的理论和应用的讨论日益增多。七十年代以来，随着计算机的开发和普及，系统辨识得到了迅速发展，成为了一门非常活跃的学科。 1.2系统辨识基本概念的概述 系统辨识是建模的一种方法。不同的学科领域,对应着不同的数学模型,从某种意义上讲,不同学科的发展过程就是建立它的数学模型的过程。建立数学模型有两种方法:即解析法和系统辨识。 L. A. Zadeh于1962年给辨识提出了这样的定义：“辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。”当然按照Zadeh的定义，寻找一个与实际过程完全等价的模型无疑是非常困难的。根据实用性观点，对模型的要求并非如此苛刻。1974年，P. E. ykhoff给出辨识的定义“辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统(或将要构造的系统) 本质为： 特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。而1978
欢迎阅读 系统辨识习题解答 1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二 乘格式。 提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1 ② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中 n ---11)(k z 其中2-3、设 解： 即 3－4解：由于M 序列是循环周期为t N P ?，12-=P P N ，t ?为M 序列移位脉冲周期，自相关函数近似 于δ函数，a 为M 序列的幅度。设数据的采样时间等于t ?，则离散Wiener-Hopf 方程为： 当M 序列的循环周期t N P ?大于过程的过渡过程时间时，即P N 充分大时，离散Wiener-Hopf 方程可写成： 由于M 序列的自相关函数为 ?? ? ??≠-== ,2,,0,,2,,0,)(22P P P P P M N N k N a N N k a k R ，
代入上式得 4－ 证明： （1）1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ (2) 1)]()()()(1)[()()()1(--=-k k k k k k k k Λh P h h P h P τ， (3) 1)]()()1()(1)[()1()()()()(--+-=k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, (4) 1)]()()()(1)[()()()()1()( --=-k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, 解： (1) 由于 所以 （2及 （3所以 （4所以 4－18解：令 及?????=--------=τ θ] ,,,,,,,,[)](,),1(),(,),1(),(,),1([)(111d b a n n n f d b f f a f f f d d b b a a n k v k v n k u k u n k z k z k h 则模型化成最小二乘格式：)()()(k v k h k z f f f +=θτ 令)()(1)(1k v z C k e -=，及?????=----=τ τ θ] ,,[)] (,),1([)(1c n e c e c c n k e k e k h 则噪声模型也化成最小二乘格式：)()()(k v k h k e e e +=θτ 数据向量h e (k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：