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《新编基础物理学》第14章习题解答和分析

《新编基础物理学》第14章习题解答和分析
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第14章 波动光学

14-1.在双缝干涉实验中,两缝的间距为0.6mm,照亮狭缝S 的光源是汞弧灯加上绿色滤光片.在2.5m 远处的屏幕上出现干涉条纹,测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm .试计算入射光的波长,如果所用仪器只能测量5mm x ?≥的距离,则对此双缝的间距d 有何要求?

分析:由杨氏双缝干涉明纹位置公式求解。

解:在屏幕上取坐标轴Ox ,坐标原点位于关于双缝的对称中心。屏幕上第k 级明纹中心的距坐标原点距离:

λd

D k

x ±= 可知

d

D d D k d D k x x x k k λ

λλ=

-+=-=?+)

1(1 代入已知数据,得

545nm x

d D

λ?=

= 对于所用仪器只能测量5mm x ?≥的距离时

0.27mm D d x λ≤=?

14-2.在杨氏双缝实验中,设两缝之间的距离为0.2mm .在距双缝1m 远的屏上观察干涉条纹,若入射光是波长为400nm 至760nm 的白光,问屏上离零级明纹20mm 处,哪些波长的光最大限度地加强?(9

1nm=10m -)

分析:由双缝干涉屏上明纹位置公式,求k 取整数时对应的可见光的波长。

解:已知:d =0.2mm ,D =1m ,x =20mm 依公式

λk d D x =

∴ 4000n m dx

k D

λ== 故

k =10 λ1=400nm

k =9 λ2=444.4nm k =8 λ3=500nm k =7 λ4=571.4nm k =6 λ5=666.7nm

这五种波长的光在所给的观察点最大限度地加强.

14-3.如题图14-3所示,在杨氏双缝干涉实验中,若3/1212λ=-=-r r P S P S ,求P 点的强度I 与干涉加强时最大强度I

max 的比值.

分析:已知光程差,求出相位差.利用频率相同、振动方向相同的两列波叠加的合振幅公式求出P 点合振幅。杨氏双缝干涉最大合振幅为2A 。

解:设S 1、S 2分别在P 点引起振动的振幅为A ,干涉加强时,合振幅为2A ,所以2max 4A I ∝ , 因为

λ3

1

12=-r r

所以S 2到P 点的光束比S 1到P 点的光束相位落后

题图14-3

()3

π23π2π

212=?=-=?λλλ?r r P 点合振动振幅的平方为:

22223

π

2cos

2A A A A =++ 因为2I A ∝ 所以

22m a x 1==

44

I

A I A

14-4. 在双缝干涉实验中,波长550nm λ=的单色平行光, 垂直入射到缝间距4

210m d -=?的双缝上,屏到双缝的距离2m D =.求:

(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距; (2) 用一厚度为6

6.610m e -=?、折射率为 1.58n =的玻璃片覆盖一缝后,零级明纹将移到原来的第几级明纹处?

分析:(1)双缝干涉相邻两条纹的间距为 ?x =D λ / d ,中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距为20?x .

(2)不加介质片之前,两相干光均在空气中传播,它们到达屏上任一点P 的光程差由其几何路程差决定,中央明纹对于O 点的光程差0δ=,其余条纹相对O 点对称分布.

插入介质片后,两相干光在两介质薄片中的几何路程相等,但光程不等。对于O 点,光程差0δ≠,故O 点不再是中央明纹,整个条纹发生平移.干涉条纹空间分布的变化取决于光程差的变化.对于屏上某点P (明纹或暗纹位置),只要计算出插入介质片前后光程差的变化,即可知道其干涉条纹的变化情况.

插入介质前的光程差δ1 =r 1 -r 2 =k 1 λ(对应k 1 级明纹),

插入介质后的光程差δ2 =(ne +r 1-e )-r 2= (n -1)e +r 1-r 2=k 2 λ(对应k 2 级明纹). 光程差的变化量为

δ2 -δ1 =(n -1)e =(k 2 -k 1 )λ=k ?λ

式中k ?即为移过P 点 的条纹个数.

求解这类问题,光程差的变化量是解题的关键.

解:(1) ?x 、

=20?x =20 D λ / d =0.11(m)

(2) 覆盖云玻璃后,零级明纹应满足

(n -1)e +r 1=r 2 设不盖玻璃片时,此点为第k 级明纹,则应有

r 2-r 1=k λ 所以

(n -1)e = k λ k =

λ

-e

)1n (=6.96≈7 零级明纹移到原第7级明纹处

14-5. 在题图14-5 所示劳埃德镜实验装置中,距平面镜垂距为1mm 的狭缝光源0S 发出波长为680nm 的红光.求平面反射镜在右边缘M 到观察屏上第一条明条纹中心的距离.已知30cm MN =,光源至平面镜一端N 的距离为20cm .

分析:洛埃德镜可看作双缝干涉,光源0S 和虚光源0S '是相干光源

(如解图14-5所示)

.但是洛埃德镜的反射光有半波损失,故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补,即屏

题图14-5

上的明暗位置互换.

解: 2mm,50cm d D ==

由明纹条件 λλ

λ

θδk D x d d =+=+=2

2s i n 代入1=k ,得

218.510m m 2D x d

λ

-=

=?

14-6. 如题图14-6 所示,在双缝干涉实验中,单色光源S 0到两缝S 1

和S 2的距离分别为1l 和2l ,并且λ321=-l l ,λ为入射光的波长,双缝之间的距离为d ,双缝到屏幕的距离为D (D >>d ),求:

(1) 零级明纹到屏幕中央O 点的距离; (2) 相邻明条纹间的距离.

分析 考虑在双缝前,两束光就已经有光程差了,所以两束光的总光程差为光源到双缝及双缝到屏幕的光程差之和。零级明纹总光程差为零。

解:(1) 如解图14-6所示,设P 为屏幕上的一点,距O 点为x ,则S 1和S 2到P 点的光程差为 21x r r d

D

-≈ 从光源S 0发出的两束光的光程差为

21()3x x

d

l l d D D

δλ≈+-=- 零级明纹

30x

d D

δλ=-= 所以零级明纹到屏幕中央O 点的距离

3D

x d

λ=

(2) 明条纹条件

λδk ±= (k =0,1,2,....)

(3)

k D

x k d

λ=±+ (k =0,1,2,....)

在此处令k =0,即为(1)的结果.相邻明条纹间距1k k D x x d

λ

+-=

14-7 在折射率3 1.52n = 的照相机镜头表面涂有一层折射率2 1.38n =的MgF 2 增透膜,若此膜仅适用于波长550nm λ=的光,则此膜的最小厚度为多少?

分析 照相机镜头镀膜后,放在空气中,空气的折射率取11n =,因为 123n n n <<,光在膜上下表面反射都有半波损失,所以膜上下表面两反射光之间没有由半波损失引起的附加相位差,设膜的最小厚度为e , 两反射光的光程差为22n e δ=.

本题所述的增透膜,就是希望波长λ=550nm 的光在透射中得到加强,因干涉的互补性,波长为550nm 的光在透射中得到加强,则在反射中一定减弱,具体求解时应注意在e >0的前提下,k 取最小的允许值.

题图14-6

解:两反射光的光程差δ=2n 2e ,由干涉相消条件()

212

k λ

δ=+ ,得

()

22212

n e k λ

=+

()

2

214e k n λ

=+

取k =0,则

min =99.6nm e

14-8. 如题图14-8所示在折射率n =1.50的玻璃上,镀上n '=1.35的透明介质薄膜.入射光波垂直于介质表面,然后观察反射光的干涉,发现对1600nm λ=的光波干涉相消,对2700nm λ=的光波干涉相长.且在600nm 到700nm 之间没有别的波长的光是最大限度相消或相长的情况.求所镀介质膜的厚度.

分析:上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质,故不计附加光程差.光程差为ne 2=δ.

解:当光垂直入射时, 0i = 对λ1(干涉相消)

()1122

1

2λ+=

'k e n ①

对λ2(干涉相长)

22λk e n =' ②

由① ②解得

()

32121

=-=

λλλk

将k 、λ2、n '代入②式得

42

7.7810mm 2k e n λ-=

=?'

14-9.白光垂直照射在空气中厚度为0.40μm 的玻璃片上,玻璃的折射率为1.50.试问在可见光范围内,哪些波长的光在反射中增强?哪些波长的光在透射中增强?

分析:当光垂直入射到玻璃片时,由于玻璃的折射率大于空气的折射率.因此,反射光在玻璃表面上存在半波损失.所以,反射光干涉时光程差2

δ+

=ne ,透射光干涉时光程差ne 2=δ.

解:玻璃片上下表面的反射光加强时,应满足

3,2,1,2

2==+k k en λλ

1

24-=

k ne

λ 在可见光范围内,只能取3=k (其它值均在可见光范围外),代入上式,得

480n m λ=

玻璃片上下表面的透射光加强时,应满足

3,2,1,0,

2==k k en λ 或,反射光应满足干涉减弱条件(与透射光互补)即

题图14-8

3,2,1,0,2

)12(22=+=+

k k en λ

λ

k

ne 2=

λ 在可见光范围内,k 只能取2或3 2k =时

12600nm 2

ne

λ=

= 3=k 时

22400nm 3

ne

λ=

=

14-10. 波长为λ 的单色光垂直照射到折射率为2n 的劈形膜上,如题图14-10所示,图中123n n n <<,观察反射光形成的干涉条纹.

(1) 从劈形膜顶部O 开始向右数起,第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度5e 是多

少?

(2) 相邻的两明纹所对应的薄膜厚度之差是多少?

分析:因为 123n n n <<,劈形膜上下表面都有半波损失,所以两反射光之间没有附加相位差,光程差为22n e .

解:(1)第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为5e

252(21)

2

n e k λ

=+ k = 4

52

2

9(241)

44e n n λ

λ

=?+=

(2)明纹的条件是

22k n e k λ= 相邻两明纹所对应的膜厚度之差

12

2k k e e n λ

+-=

14-11.如题图14-11所示,1G 是用来检验加工件质量的标准件.2G 是待测的加工件。它们的端面都经过磨平抛光处理.将1G 和2G 放置在平台上,用一光学平板玻璃T 盖住.设垂直入射的波长589.3nm λ=,1G 与2G 相隔5cm d =,T 与1G 以及T 与2G 间的干涉条纹的间隔都是0.5mm.求1G 与2G 的高度差h ?.

分析:出现干涉条纹,说明两物体不等高;干涉条纹间隔相等,说明两物体的端面平行,此干涉为劈尖干涉.

解:设劈尖角为α,相邻两干涉条纹间隔为l ,空气劈尖相邻两明(暗)干涉条纹的间距为

2

sin λ

α=

l

两物体端面的高度差为

ααsin tan d d h ≈=?

题图14-10

题图

14-11

5

2.9510m 2d h l

λ-?==?

14-12.用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时,测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为1l ,而用未知单色光垂直照射时,测得第1和第4暗环半径之差为2l ,求未知单色光的波长λ2.

分析:用牛顿环暗环半径公式λkR r k =计算. 解:根据题意可得

11114λλλR R R l =-=

22224λλλR R R l =-=

212

212//l l =λλ

2112

22/l l λλ=

*14-13. 如题图14-13所示,曲率半径为1R 和2R 的两个平凸透镜对靠在一起,中间形成一个空气薄层.用波长为λ的单色平行光垂直照射此空气层,测得反射光中第k 级的暗环直径为D .

(1)说明此暗环的空气层厚度e 应满足:

)11(81212R R D e += (2)已知124.1m,589nm,20, 2.48cm.R k D λ====求2R .

分析:本题是等厚干涉问题,关键是要确定各处空气膜的厚度e .对于上面是平凸透镜,下面是平板

玻璃的一般牛顿环装置,在某处空气厚度为12

12R r e =;现用平凸透镜代替平板玻璃,该处空气膜的厚度要

增加2

2

22R r e =。

解:(1) 用r 表示此暗环半径,某处空气膜的厚度为

????

??+=+=+=21

2221221118122R R D R r R r e e e (2)暗环条件

2

)

12(2

λ

+=+

k e

=102

k e λ

λ=

代入数据,有

0351.01

.2411048.21058980181429122=-???=-=--R D e R 得

228.5m R =

14-14.用迈克耳孙干涉仪可测量单色光的波长。当2M 移动距离0.3220mm d =时,测得某单色的干涉条纹移过1204=N 条,求该单色光的波长.

分析:迈克耳孙干涉仪的一条臂上的反射镜2M 移动2

λ

,则在该臂上的光程将改变一个波长λ,由此将引起一条条纹的移动。

题图

14-13

解:由2

λN d =得

2534.9nm d

N

λ=

= 14-15.某种单色平行光垂直入射在单缝上,单缝宽a =0.15mm .缝后放一个焦距f = 400 mm 的凸透镜,在透镜的焦平面上,测得中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为8.0mm ,求入射光的波长. 分析:由单缝衍射暗纹条件及暗纹到中心的距离可求出波长。 解:设第三级暗纹在3?方向上,则有

3sin 3a ?λ=

此暗纹到中心的距离为

33tg x f ?=

因为3?很小,可认为33tg sin ??≈ ,所以

33f x a λ

=

两侧第三级暗纹的距离是

362f x a

λ

=

所以

3=(2)

500nm 6a

x f

λ= 14-16.在单缝夫琅禾费衍射实验中,如果缝宽a 与入射光波长λ的比值分别为(1)1,(2)10,(3)100,试分别计算中央明条纹边缘的衍射角.再讨论计算结果说明了什么问题.

分析:用单缝衍射中央主极大的半角宽度sin ?=λ/a 讨论。

解: (1) 1a λ=, s i n 1a λ?==, o

90?=

(2) 10a λ=, s i n 0.

1a λ?==, o

544?'= (3) 100a λ=, s i n 0.01a

λ?==, 34?'= 这说明,比值

a

λ 越小的时候,衍射角越小,中央明纹越窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点),衍射效应越来越不明显.0a

λ→的极限情形即几何光学的情形:光沿直线传播. 14-17.在复色光照射下的单缝衍射图样中,其中某一波长的第3级明纹位置恰与波长600nm λ=的单色光的第2级明纹位置重合,求这光波的波长.

分析:夫琅禾费衍射的明纹公式为sin (21)2

a k λ?=+,由题意未知波长0λ的第三级明纹与波长600nm λ=的单色光的第二级明纹应有相同的衍射角?。

解:设未知波长为0λ,由单缝衍射明纹条件:sin (21)2

a k λ

?=+

得 0sin (231)2

a λ?=?+

sin (221)

2

a λ?=?+

解得

05428.6nm 7

λλ==

14-18.汽车的两盏前灯相距1.2m ,试问汽车离人多远的地方,眼睛才可能分辩这两盏灯?假设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm ,车灯发光波长为550.0nm λ=.

分析:两个物体能否分辨,取决于仪器的最小分辨角d

λθ22.1=

解:设l 为两灯距离,s 为人车之间距离,恰可分辨时,两车灯对瞳孔的最小分辨角为

s

l

≈θ

由瑞利判据

s

l d R ===λ

θθ22

.1 得

38.9410m 1.22ld

s λ

=

=? 14-19.已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为6

4.8410rad -?,由它们发出的光波波长

550.0nm λ=。望远镜物镜的口径至少要多大,才能分辨出这两颗星?

分析:物镜的口径对两颗星的张角等于分辨极限角时,则能分辨出这两颗星。 解:由

d

R λ

θ22.1=

1.2213.9cm R

d λθ==

14-20.一束平行光垂直入射到某个光栅上,该光束有两种波长的光,1440nm λ=,2660nm λ=.实验发现,两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角o 60?=的方向上.求此光栅的光栅常数d .

分析:光栅方程λ?k d =sin ,两种波长的谱线重叠时,具有相同的衍射角?。 解:由光栅衍射主极大公式得

111sin λ?k d = 222sin λ?k d =

2

1

2122112132660440sin sin k k k k k k =??==λλ??

当两谱线重合时有?1=?2,即

6

9462321===k k 两谱线第二次重合即是

4

6

21=k k , 16k = , 24k = 由光栅公式可知

1sin 606d λ=

-3

16=3.0510mm sin 60d λ=?

14-21.波长600nm 的单色光垂直入射在一光栅上,第2级主极大在sin 0.20?=处,第4级缺级,试问: (1)光栅上相邻两缝的间距a b +有多大? (2)光栅上狭缝可能的最小宽度a 有多大?

(3)按上述选定的a 、b 值,试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少? 分析:(1)将已知条件代入光栅方程()sin a b k ?λ+=,可求出光栅常数即光栅上相邻两缝的间距;(2)用缺级公式

'

k k a b a =+,1'=k ,可求出光栅上狭缝可能的最小宽度a ;(3)以o

90为限先确定干涉条

纹的级数,等于o

90时对应的级次看不见,最后算出条纹数。

解:(1)由光栅方程 ()sin a b k ?λ+= (k =2) 得光栅上相邻两缝的间距

4()610cm sin k a b λ?

-+==? (2)根据缺级条件,有

'

k k

a b a =+ 取1'=k ,得狭缝的最小宽度

41.510cm 4

a b

a -+=

=? (3)由光栅方程

()sin ,

0,1,2,a b k k ?λ+==±±

令sin 1?=,解得:

10=+=

λ

b

a k

即9,7,6,5,3,2,1,0±±±±±±±=k 时出现主极大,8,4±±缺级,10±级主极大在o 90?=处,实际不可见,光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条.

14-22 用一个每毫米有500 条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱(λ=589nm ),设透镜焦距f =1.00 m .问:

(1) 光线垂直入射时,最多能看到第几级光谱;

*

(2) 光线以入射角30°入射时,最多能看到第几级光谱; (3) 若用白光垂直照射光栅,求第一级光谱的线宽度.

分析 (1)光栅常数d 为刻痕数N 的倒数,光线垂直照射光栅时的衍射条件,sin d k ?λ=±,令sin 1?=,可得看k ,取整数m k .

(2)光线倾斜入,此时光栅衍射的明纹条件改变为()λ?k i d ±=±sin sin ,由于两侧条纹不再对称,令

1sin =?,可求得m1k 和m2k 两个值,其中一个比垂直入射时的m k 值小,另一个比m k 值大,因而,在其

他条件不变的情况下,倾斜入射时可以观察到较高级次的条纹.

(3) 用白光垂直照射光栅,除中央明纹仍为白色外,其余出现一系列彩色光谱带,称为光栅光谱.每个光谱带是由同一级次不同波长的明纹依次排列而成.第一级光谱的线宽度是指入射光中最小波长(取

nm 400min =λ)和最大波长(取nm 760max =λ)的第一级明纹在屏上的间距,其余波长的第一级明纹均

出现在此范围内.需要指出的是,对于较高级次的光谱会出现相邻光谱间的交错重叠的现象.

解 (1)光栅常数

33

61010210(m)500

d N ---===? 光波垂直入射时, 光栅衍射明纹的条件为 λ?k d ±=sin ,令1sin =?,可得

393m .±=±

d

k

取整数m 3k =,即最多能看到第3级光谱.

(2)光波倾斜入射时,光栅明纹的条件为

()λ?k i d ±=±sin sin

令1sin =?,可求得位于中央主极大两侧,能观察到条纹的最大m k 值分别为m15k =和m21k =(已取整数值).故在法线两侧能观察到的最大级次分别为5级和1级.

(3) 白光的波长范围为400 nm ~760 nm ,用白光垂直照射时,由λ?k d =sin 可得第一级(k =1)光谱在屏上的位置.对应于λ1 =400 nm 和λ2 =760 nm 的明纹的衍射角为

1

2

12arcsin

;arcsin

d

d

λλ??==,利用f

x

=

?tan 可得明纹的位置为 1122tan 0.2m ,tan 0.41m

x f x f ??====

则第一级光谱的线宽度为

m 21012.=-=?x x x

14-23 以波长为0.11 nm 的X 射线照射岩盐晶体,实验测得X 射线与晶面夹角为11.5°时获得第一级反射极大.

(1)岩盐晶体原子平面之间的间距d 为多大?

(2) 如以另一束待测X 射线照射,测得X 射线与晶面夹角为17.5°时获得第一级反射光极大,求该X 射线的波长.

分析 X 射线入射到晶体上,干涉加强条件为2sin d k ?λ=(k =0,1,2,…)式中d 为晶格常数,即晶体内原子平面之间的间距.

解 (1) 如解图14-23所示,根据布拉格公式

()2sin 0,1,2,...d k k ?λ

==

第一级反射极大,即k =1.因此,得

11/2sin 0.276nm d λ?==

(2)由 222sin d k ?λ= ,取k =1,得

22sin 0.166nm d λ?==

解图14-23

?

14-24. 将三个偏振片叠放在一起,第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45?和90?角.

(1) 强度为I 0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上,试求经每一个偏振片后的光强和偏振状态. (2) 如果将第二个偏振片抽走,情况又如何?

分析:强度为1I 的自然光通过偏振片后,变为光强为

2

I 的线偏振光,线偏振光通过偏振片的强度取决于偏振片的偏振化方向与线偏振光的振动方向的夹角,根据马吕斯定律可进行求解。

解:(1) 自然光通过第一偏振片后,其强度

12

I I =

通过第二偏振片后

2021cos 454I I I =?=

通过第三偏振片后

2032cos 458

I I I =?=

通过每一偏振片后的光皆为线偏振光,其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行.

(2) 若抽去第2片,因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直,所以此时30I =, 1I 仍不变.

14-25.如果起偏振器和检偏器的偏振化方向之间的夹角为?30. (1)假定偏振器是理想的,则非偏振光通过起偏振器和检偏器后,其出射光强与原来光强之比是多少? (2)如果起偏振器和检偏器分别吸收了10%的可通过光线,则出射光强与原来光强之比是多少? 分析:与题14-24相同。

解:非偏振光即自然光,设光强为0I

(1) 通过理想的起偏振器的光强为

012

1I I =

通过理想的检偏器后的透射光强为

a I a I I 2021cos 2

1cos ==

所以

375.0cos 2

120

==a I I

(2)0I 通过可吸收光的起偏振器后,光强为

0'1101121I I ??

?

??-=

通过有吸收的检偏器后,光强为

211'(1)cos 10

I I a =-a I 220cos )10

11(21-=

304.0cos )10

11(21220=-=a I I

14-26.一光束由强度相同的自然光和线偏振光混合而成.此光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上. 问

(1) 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向,并且入射光中两种成分的光的出射光强相等,至少需要几个偏振片?它们的偏振化方向应如何放置?

(2) 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少?

分析:强度为0I 的自然光通过偏振片后,变为强度为0/2I 的线偏振光,线偏振光通过偏振片的强度可由马吕斯定律求出,最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏振光的振动方向,最后通过的那块偏振片的偏振化方向必须垂直于入射线偏振光的振动方向。

解:设入射光中两种成分的强度都是0I ,总强度为02I .

(1) 通过第一个偏振片后,原自然光变为线偏振光,强度为0/2I ,原线偏振光部分强度变为20cos I α,其中α为入射线偏振光振动方向与偏振片偏振化方向P 1的夹角.以上两部分透射光的振动方向都与P 1一致.如果二者相等,则以后不论再穿过几个偏振片,都维持强度相等(如果二者强度不相等,则以后出射强度也不相等).因此,必须有

20

0cos 2

I I α=,得α=45?. 为了满足线偏振部分振动方向在出射后“转过”90?,只要最后一个偏振片偏振化方向与入射线偏振光方向夹角为90?就行了.

综上所述,只要两个偏振片就行了(只有一个偏振片不可能将振动方向“转过”90?).

如解图14-26所示,E

表示入射光中线偏振部分的振动方向.

P 1、P 2分别是第一、第二偏振片的偏振化方向

(2) 出射强度

24200011

cos 45cos 4522

I I I I =

?+?= 比值

20124

I I =

14-27 如题图14-27所示,测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光,求此时太阳处在地平线的多大仰角处? (水的折射率为1.33.)

分析 反射太阳光是线偏振光,说明太阳光(自然光)以入射角布儒斯特角i B 入射到水面,根据布儒斯定律,有2

B 1

arctan n i i n ==(其中n 1 为空气的折射率,n 2 为水的折射率).所求仰角B π

2

i θ=

- . 解 根据以上分析,有

2

B 1

arctan

n i n = 则

o 2

B 1

=

arctan

36.92

2

n i n π

π

θ=

--= 14-28.测得不透明釉质(珐琅)的起偏振角为B 58.0i =?,它的折射率为多少? 分析:由布儒斯特定律求解。 解:由布儒斯特定律得

B tan 1.60i n ==

题图14-27

14-29.如题图14-29安排的三种透明介质Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的折射率分别为1 1.00n =,2 1.43n =和3n 。Ⅰ、Ⅱ和Ⅱ、Ⅲ的界面互相平行.一束自然光由介质Ⅰ入射,若在两个交界面上的反射光都是线偏振光,则:

(1)入射角i 是多大? (2)折射率n 3是多大?

分析:由布儒斯特定律可知:自然光只有以布儒斯特角入射时,反射光才是线偏振光。

解: (1) 由布儒斯特定律

43.1tan 1

2

==

n n i 所以

?=03.55i

(2) 令在介质Ⅱ中的折射角为r ,则

i r -=

2

π

此r 在数值上等于介质Ⅱ、Ⅲ界面上的入射角, 由布儒斯特定律

2

3

tan n n r =

00.1cot tan 12

1

2

223=====n n n n i n r n n 14-30.一束平行的自然光从空气中垂直入射到石英上,石英(正晶体)的光轴在纸面内,方向如题图14-30所示,试用惠更斯作图法示意地画出折射线的方向,并标明o 光和e 光及其光矢量振动方向.

分析:正晶体沿光轴方向o 光e 光传播速度相等,其它方向o e >v v 。 解:用惠更斯作图法作图:

14-31.用方解石制作钠黄光(波长9

589.310m λ-=?)适用的1/4波片. (1)请指出应如何选取该波片的光轴方向;

(2)对于钠黄光,方解石的o =1.658n ,e =1.486n ,求此1/4波片的最小厚度d..

分析:波晶片的的光轴应与晶体表面平行,经

4

λ片后,o 光e 光光程差为()()o e 214n n d k λ

δ=-=+。

解:(1)制作方解石晶片时,应使晶体光轴与晶片表面平行.

(2) o e /4[()]d n n λ=-= 7

10565.8-?m

解图14-30 题图14-30

题图14-29

电路分析基础习题集与答案解析

电路分析基础练习题 @ 复刻回忆 1-1 在图题1-1 所示电路中。元件 A 吸收功率30W ,元件 B 吸收功率15W ,元件 C 产生功率30W ,分别求出三个元件中的电流I 1、I 2、I 3。 5V A I 15V B I 2 5V C I 3 图题1-1 解I 1 6 A,I 2 3 A ,I 3 6 A 1-5 在图题1-5 所示电路中,求电流I 和电压U AB 。 解I 4 1 2 1 A,U AB 3 10 2 4 4 39 V 1-6 在图题1-6 所示电路中,求电压U。 30V 5 U 2A 50V 1 I 2 5V 3 I 1 2 4V 图题1-6 图题1-7解50 30 5 2 U ,即有U30V 1-8 在图题1-8 所示电路中,求各元件的功率。 解电阻功率:P 3 P22 2 3 42 / 2 12 W, 3 8 W 2A 电流源功率:P2A 2(10 4 6) 0 ,2 P1 A 4 1 4 W 10V 4V 1A

电压源功率:P 10V 10 2 20 W, P 4V 4(1 2 2) 4 W 2-7 电路如图题2-7 所示。求电路中的未知量。 解U S 2 6 I 12 4 A 2 9 3 12 V I 0 2A I 2 I 3 I 3 P3/ U S12 / 12 1 A U S R eq 6 9 R3 I 0 2 R 4 / 3 1 12 12 13 / 3 A P312W 1 U S R eq I 12 36 13/ 3 13 图题2-7 2-9 电路如图题2-9 所示。求电路中的电流解从图中可知, 2 与3 并联,I 1 。 1 2 由分流公式,得 I 2 I 33 5 I1 5 1 1 A 1 3I 1 I 3 I 2 1V I 1 5I 1 3 所以,有 I 1 I 2I 3 3I 1 1 图题2-9 解得I 1 0.5 A 2-8 电路如图题2-8 所示。已知I1 3I 2 ,求电路中的电阻R 。 解KCL :I 1 I 2 60 I1 3I 260mA I 1 2.2k 解得I 1 R 为45 mA, I 215 mA. I 2R R 2.2 45 15 6.6 k图题2-8 解(a) 由于有短路线, (b) 等效电阻为 R AB 6 , R AB 1// 1 (1 1// 1) // 1 0.5 1.5 2.5 1.1 2-12 电路如图题2-12 所示。求电路AB 间的等效电阻R AB 。 3

《应用泛函分析》前四章重点复习大纲

1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~(定义1.1)1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域(定义1.4)1.2.2确界与确界原理 上确界sup E(定义1.5) 下确界inf E 确界原理(定理1.7) 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性(定义1.10)1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛(定义1.11) 一致收敛(定义1.12) Weierstrass M-判别法(定理1.15)1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集(定义1.16) 1.4.2可测函数 简单函数(定义1.18) 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理(性质1.9) R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间(定义1.28) Holder不等式 Minkowski不等式(性质1.16)

2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间(X,ρ) 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射(定义2.7) 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集(定义2.9) 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列(定义2.11) 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理(定理2.9) 闭球套半径趋于零,则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集(定义2.13) 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理(定理2.16)2.4.1应用 隐函数存在性定理(例2.31) 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间(定义2.17) 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函(定义2.18) 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间(定义2.20) 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间

(精品)精品1电路分析基础试题答案

练习一、1.分别计算图示电路中各电源的端电压和它们的功率。 (5分) 解:(a ) …………2分 (b ) 电流源: ……….1.5分 电压源: …………1.5分 2.利用电源等效变换化简各二端网络。 (6分) 解: (a) 3 .计算图示电路在开关S 打开和闭合时a 点的电位?=a U (5分) 解:开关S 打开:mA I 25.11 121 6=++-= ……..1分 V U a 25.225.111=?+= …………………1.5分 开关S 闭合:V U 8.22 141212 131=+++ = ….1分 V U U a 9.11 11 111=+-? += ….1.5分 4.求图示电路中的电流1I 和电压ab U 。 (5分) 解:A I 25 10 9.01== A A I 222.29 20 1== ……….2.5分 (a ) (b ) W U P V U 5051052=?==?=发W U P V U 1052=?==发 W P A I V U 6323252=?==-==吸,方向向下 a b a b b b b a U b

A A I I U ab 889.09 8 4)9.0(11== ?-= ……..2.5分 5.电路如图所示,求X I 。(5分) 解: 电压源单独作用:4)42(-='+X I A I X 3 2 - ='? ……..1.5分 电流源单独作用:A I X 3 2 2422=?+= '' ……..1.5分 故原图中的03 2 32=+- =''+'=X X X I I I ………..2分 6、计算图四(4)所示二端网络吸收的有功功率、无功功率,并计算其视在功率和功率因数。其中,())(2sin 25V t t u =, R 1=1Ω, R 2=2Ω。 解:端口电压为?∠=05U & . 对于2=ω, X C = - 2j , X L =1j . 端口阻抗为 ()()()()() Ω-=-++-+= j j j j j Z 34221221 (2分) 端口电流: ?-∠=-=4.18953.3345 j I & A (2分) 有功功率:()W P 75.18]4.180cos[953.35=?--??= (2分) 无功功率:VA Q 24.64.18sin 953.35=??= (2分) 视在功率:VA Q P S 764.1922=+=(1分) 功率因数:95.0cos == S P ?(1分) Ω4X I '- V 4 +Ω 2Ω 4A 2X I ''Ω 2Ω 4A 2X I - V 4 +Ω 2

(完整word版)泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上,()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗? 答:不能,因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=,(),1z x ρ= 2、 试证明:(1)()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证:(1)仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- (2)仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的, 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-

4.试证明在[]b a C ,1 上,)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证:(1)0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ(因为x,y 是连续函数) 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证:∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证:仅证三角不等式。(1)略。 (2) 设12(,)x x x =,12(,)y y y =12R R ∈?,则

电路分析基础习题及参考答案

电路分析基础练习题 @复刻回忆 1-1在图题1-1所示电路中。元件A 吸收功率30W ,元件B 吸收功率15W ,元件C 产生功率30W ,分别求出三个元件中的电流I 1、I 2、I 3。 解61=I A ,32-=I A ,63=I A 1-5在图题1-5所示电路中,求电流I 和电压U AB 。 解1214=--=I A ,39442103=?+?+=AB U V 1-6在图题1-6所示电路中,求电压U 。 解U +?-=253050 V 1-8在图题1-8所示电路中,求各元件的功率。 解电阻功率:123223=?=ΩP W , 82/422= =Ω P W 电流源功率: 电压源功率: 1(44=V P W 2-7电路如图题2-7所示。求电路中的未知量。 解1262=?=S U V 2-9电路如图题2-9 3 I 解得2-8电路如图题2-8所示。已知213I I =解KCL :6021=+I I 解得451=I mA,152=I mA. R 为 6.615452.2=?=R k ? 解(a)由于有短路线,R (b)等效电阻为 2-12电路如图题2-12所示。求电路AB 间的等效电阻AB R 。 A 3R U 3W 123=P Ω

解(a)Ω=+=++=75210//10)8//82//(6//6AB R (b)Ω=+=++=612//62)104//4//(64//4AB R 3-4用电源变换的方法求如图题3-4所示电路中的电流I 。 、(c) 解ab U 3-144-2用网孔电流法求如图题4-2?????=-++=-+-+=-+0)(31580 0)(4 )(32100)(4823312322211I I I I I I I I I I I 解得: 26.91=I A ,79.22=I A , 98.33-=I A 所以79.22==I I x A 4-3用网孔电流法求如图题4-3所示电路中的功率损耗。 解显然,有一个超网孔,应用KVL 即11015521=+I I 电流源与网孔电流的关系 解得:101=I A ,42=I A 电路中各元件的功率为 200102020-=?-=V P W ,36049090-=?-=V P 1806)10520(6-=??-=A P W ,5102+?=电阻P W 显然,功率平衡。电路中的损耗功率为740W 。 4-10用节点电压法求如图题4-10所示电路中的电压0U 。 解只需列两个节点方程 解得 501=U V ,802=U V 所以 1040500=-=U V 4-13电路如图题4-13解由弥尔曼定理求解 开关S 打开时: 20/140/120/30040/300-=+-=U 1Ω4I 6I 12I 2I 0V

电路分析基础试题大全及答案

训练一 “电路分析基础”试题(120分钟)—III 一、单项选择题(在每个小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答 案的号码填入提干的括号内。每小题2分,共40分) 1、图示电路中电流i等于() 1)1A 2)2A 3)3A 4)4A 2、图示单口网络的短路电流sc i等于()1)1A 2)1.5A 3)3A 4)-1A 3、图示电路中电压u等于() 1)4V 2)-4V 3)6V 4)-6V 4、图示单口网络的开路电压oc u等于()1)3V 2)4V 3)5V 4)9V 7AΩ 2Ω 1 Ω 4 i 6V Ω 2 Ω 4 sc i Ω 2 Ω 4 + _ Ω 2 Ω 2 - 2V + - 10V + u - + Ω 1Ω 2 6V + _ 3V + _ + - oc u

5、图示电路中电阻R 吸收的功率P 等于( ) 1)3W 2)4W 3)9W 4)12W 6、图示电路中负载电阻 L R 吸收的最大功率等于( ) 1)0W 2)6W 3)3W 4)12W 7、图示单口网络的等效电阻等于( ) 1)2Ω 2)4Ω 3)6Ω 4)-2Ω 8、图示电路中开关断开时的电容电压)0(+c u 等于( ) 1)2V 2)3V 3)4V 4)0V 3V Ω 2+_ R Ω 1A 3Ω 3+ _ 6V 5:1 L R Ω 4- + i 2a b 4V Ω 2+ _ Ω 2+ - c u +_ 2V =t F 1

9、图示电路开关闭合后的电压)(∞c u 等于( ) 1)2V 2)4V 3)6V 4)8V 10、图示电路在开关断开后电路的时间常数等于( ) 1)2S 2)3S 3)4S 4)7S 11、图示电路的开关闭合后,电感电流)(t i 等于() 1)t e 25- A 2)t e 5.05- A 3))1(52t e -- A 4) )1(55.0t e -- A 12、图示正弦电流电路中电压)(t u 的振幅等于() 1)1V 2)4V 3)10V 4)20V Ω46V Ω 2+ _ Ω 2+ - c u 0=t F 1- +1u 1 2u + - Ω 2+ _ Ω2+ - =t F 1F 25A Ω 20=t i 1H s 10+ _ + _ u 1H s u F 25.0V t t u s )2cos()(=

泛函分析习题解答

第一章 练习题 1. 记([,])C a b 是闭区间[,]a b 上连续函数全体构成的集合, 在([,])C a b 上定义距离如下: (,)|()()|,,([,])b a f g f x g x dx f g C a b ρ=-?∈?, (1)([,])C a b 按ρ是否完备? (2)(([,]),)C a b ρ的完备化空间是什么? 答:(1) 不完备, 例如对于[,][0,2]a b =以及1,2, n =,定义 ,01, ():1,1 2. n n x x f x x ?≤<=? ≤≤? 则{()}([0,2])n f x C ?在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为 1 11 (,)|()()|110,(,).11 n m n m n m f f f x f x dx x dx x dx m n n m ρ=-≤+= +→→∞++??? 另一方面, 点列{()}n f x 并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到([0,2])C 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有 0,[0,1) ()()1,[1,2].n x f x g x x ∈?→=? ∈? 因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到 1 1 1 00(,)|()()|1 |0|0.1 n n n n f g f x g x dx x dx x dx n ρ=-=-==→+??? 但()([0,2])g x C ?. (2) ([,])C a b 的完备化空间是1 ([,])L a b . 因为 (i) 在距离ρ的意义下, ([,])C a b 是1 ([,])L a b 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个 1()([,])f x L a b ∈, 需要证明: 对于任意的0ε>, 存在()[,]g x C a b ∈, 使得 [,] (,)|()()|a b f g f x g x dx ρε=-, 使得当[,]E a b ?, 只要mE δ<, 就有

电路分析基础_期末考试试题与答案

命题人: 审批人: 试卷分类(A 卷或B 卷) A 大学 试 卷 学期: 2006 至 2007 学年度 第 1 学期 课程: 电路分析基础I 专业: 信息学院05级 班级: 姓名: 学号: (本小题5分) 求图示电路中a 、b 端的等效电阻R ab 。 1 R R ab =R 2 (本小题6分) 图示电路原已处于稳态,在t =0时开关打开, 求则()i 0+。 Ω

i(0+)=20/13=1.54A ( 本 大 题6分 ) 求图示二端网络的戴维南等效电路。 1A a b u ab =10v, R 0=3Ω (本小题5分) 图示电路中, 电流I =0,求U S 。 Us=6v

(本小题5分) 已知某二阶电路的微分方程为 d d d d 22 81210u t u t u ++= 则该电路的固有频率(特征根)为____-2________和___-6______。该电路处于___过_____阻 尼工作状态。 (本小题5分) 电路如图示, 求a 、b 点对地的电压U a 、U b 及电流I 。 U a =U b =2v, I=0A. ( 本 大 题10分 ) 试用网孔分析法求解图示电路的电流I 1、I 2、I 3。 I 1=4A, I 2=6A, I 3=I 1-I 2=-2A (本小题10分) 用节点分析法求电压U 。

U U=4.8V ( 本 大 题12分 ) 试用叠加定理求解图示电路中电流源的电压。 3V 4A 单独作用时,u ’=8/3V; 3V 单独作用时,u ’’=-2V; 共同作用时,u=u ’+u ’’=2/3V 。 十、 ( 本 大 题12分 ) 试求图示电路中L R 为何值时能获得最大功率,并计算此时该电路效率

应用泛函分析相关习题.doc

泛函分析练习题 一?名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部: 7.线性算子、线性范函: 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间: 11.弱有界集: 12.紧算子: 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题: 1.若(x,p)是度量空间,则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明:Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,),)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一, (/>0)关于,单调递增,得 1+,1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)

' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q(x,)') | Q()',z) 一1 + Q(3)1+ /?(),, z) = d(x,y) + d(y,z) 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间,天则当尤〃—尤,乂T y时"(七,月)t (寻),),即内积关于两变元连续。 证明:| (% X,)一(x, y) I2 =| (x/t - x, >; - y)\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ,以)一(x, y)『—。 即Cw〃)T(x,y)。 5.设7x(r) = 若T是从心[0,1]-匕[0,1]的算子,计算||T||;若T是从 ZJ0,1]T ZJ0,1]的算子再求1171。 解:(1)当T是从ZJ0,l]—匕[0,1]的算子。 取x&)=同,贝j]||x()||2=1>||片)川=[后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? (2)当T是从ZJ0,1]T ZJ0,1]的算子时 ||八||2=(。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--

习题 第九章 领导

一、填空题 1.通过精神或物质上的威胁来强迫服从的一种权力是。 2.领导行为二元四分图的纵轴与横轴分别代表与。 3.领导集体的结构包括年龄结构、、与性格结构。 4.领导者的权力来源有法定权力、、、专家权力与五种。 5.管理方格图的纵坐标和横坐标分别是和。 6.通过描述最难与之共事的人来测定领导风格的方法是。 7.双因素理论把影响人的行为与动机的因素分为两类与。 8. 理论认为通过奖励等手段对员工的某一行为进行鼓励和肯定,可使该行为重复出现和加强。 9.、增加报酬以增强所希望的行为的强化方式为,按周给付薪金的强化方式属于,对销售员每做成一笔交易就给予一定奖励属于。 10.路径——目标理论区分了四种基本的领导风格类型,分别、参与型 和。 11.麦克利兰把人的需要分为、友谊需要和三种。 12.菲德勒区分的三种领导情景因素分别是、和。 二、单项选择题 1.通过组织中等级制度所赋予的权力是() A.专家权力B.感召权力C.表率权力D.法定权力 2.领导者和非领导者的差异在于领导者具有一些可以被确认的基本特质,持有这种观点的理论被称为() A.领导特质理论B.管理方格理论C.领导权变理论D.领导行为理论 3.以信息或知识为基础的权力是() A.法定权力B.奖励权力C.专家权力D.强制权力 4.假设领导者不能改变领导风格来适应情景的理论是() A.路径——目标理论B.期望理论 C.领导生命周期理论D.双因素理论 5.根据领导生命周期理论,领导风格随着下属成熟程度不同而不同,对于高度成熟的下属,领导者应当采取以下哪种领导同风格() A.高工作,高关系B.低工作,低关系 C.高工作,低关系D.低工作,低关系 6.强调下属的领导理论是() A.路径——目标理论B.菲德勒权变理论 C.领导生命周期理论D.领导特质理论 7.任务导向型的领导行为在下述因素中最关心的是() A.下属的意见、感情B.下属的满意程度

电路分析基础ch6习题解答(周围修改)

1211 di di u L M dt dt =-122 2 di di u M L dt dt =-+习题: 6-1:试确定题图6-1所示耦合线圈的同名端。 解: 6-2:写出题图6-2所示各耦合电感的伏安特性。 解: 6-3:电路如题图6-3所示,试求电压2u 。 1211di di u L M dt dt =+1222di di u M L dt dt =+12 11di di u L M dt dt =+1222 di di u M L dt dt =--(a) (c) (b)

解:dt di M u 12- =)1(32t e dt d M ---=)2(32t e M -?-==t e 212--V 由向量模型得:ο&&0105511∠=+m m I j I m m U I j 213&&= οοο &45245 250101-∠=∠∠=m I οο&452345232∠=-∠=j U m ,()()ο45cos 232+=t t u 6-4:题图6-4所示是初始状态为零的互感电路,电源在t =0是施加于电路。试求电流 )(1t i 和)(2t i 。 解: dt di L dt di M u 2212+= dt di M dt di L u 2111+==0 dt di L dt di 1 11M -= ()A i L t i +M -=211 舍去直流影响产生的A ,则()()t i L t i 21 1M - = ()1211 1???+=dt di M dt di L u ()22212???+=dt di L dt di M u 由()()212?M -?L 得: dt di dt di L L u u L 1 2121212M -=M - (V)

电路分析基础试题库汇编及答案

《电路》试题六及参考答案 问题1、叠加定理、置换定理结合应用的典型例。 在图示电路中,若要求输出电压)(t u o 不受电压源2s u 的影响,问受控源的控制系数α应为何值? 解:据叠加定理作出)(2t u s 单独作用时的分解电路图 (注意要将受控源保留),解出)(t u o '并令)(t u o '=0即解得满足不受)(2t u s 影响的α的值。这样的思路求解虽然概念正确,方法也无问题,但因α,L R 是字符表示均未 给出具体数值,中间过程不便合并只能代数式表示,又加之电路中含有受控源, 致使这种思路的求解过程非常繁琐。 根据基本概念再做进一步分析可找到比较简单的方法。因求出的α值应使 0)(='t u o ,那么根据欧姆定律知L R 上的电流为0,应用置换定理将之断开,如解1图所示。(这是能简化运算的关键步骤!) 电流 22 1.06 26//3s s u u i =++=' 电压 21 2.02s u i u -='-=' 由KVL 得 2 22221)2.04.0(1.062.06s s s s s o u u u u i u u u ααα-=?-+-='-+'=' 令上式系数等于零解得 2=α 点评:倘若该题不是首先想到应用叠加定理作分解图,再用置换定理并考虑欧姆定律将L R 作断开置换处理,而是选用网孔法或节点法或等效电源定理求解出 o u 表达式,这时再令表达式中与2s u 有关的分量部分等于零解得α的值,其解算 过程更是麻烦。灵活运用基本概念对问题做透彻分析,寻求解决该问题最简便的方法,这是“能力”训练的重要环节。 1 s u Ω 3Ω 6Ω21u 1 u αo u 2 s u Ω 6s i L R 图1Ω3Ω 6Ω 22 s u Ω 61 u '1u 'α解1图 i ' o u '

电子科技大学 泛函分析(江泽坚) 作业题答案

P46: 第一章习题: 1.验证(),()d m 满足距离定义。 解:设{}i x ξ=,{}i y η=属于X ,α是数,()1 ,sup .j j j d x y ξη≥=- (1)对j ?,有0j j ξη-≥,所以1 sup j j j ξη≥-,(),0d x y ≥, 且1 sup 00j j j j j j j ξηξηξη≥-=? -=?=,即(),0d x y =当且仅当.x y = (2) ()()1 1 ,sup sup ,j j j j j j d x y d y x ξηηξ≥≥=-=-=; (3)设{}i z ζ= ()()1 1 1 1 ,sup sup ()()sup sup ,(,) j j j j j j j j j j j j j j d x z d x y d y z ξζηξξζηξξζ≥≥≥≥=-≤-+-≤-+-=+综上(1),(2),(3),(),d 满足距离定义。 3.试证明:在空间()s 中的收敛等价于坐标收敛。 证:设{}()(),1,2, n n j x s n ξ= ∈=,{}()(0)0j x s ξ= ∈, ()?若0n x x →,则必有()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞ ==, 否则,j N + ?∈,00ε>,与正整数列的子序列{}1k k n ∞ =,使()(0) 0,1,2, k n j j k ξξε-≥=, 因为()1t f t t = +是单调递增, 所以() ()(0)0 0()(0)011,,1,2,2211k k k n j j n j j n j j d x x k ξξεεξξ-≥?≥?=++-, 这与() 0,0k n d x x →矛盾, 故()s 中的收敛可推出坐标收敛。 ()?若()(0)lim ,1,2,n j j n j ξξ→∞==,则对j ?,0ε?>,0N N + ?∈,0n N ?>, ()(0)2 n j j ε ξξ-<, ()() (0) 0()(0) 1111,,1,2,22 11n j j n j j n j j j j d x x k ξξε εξξ∞ ∞==-=?

数学专业参考材料书汇总整编推荐

学数学要多看书,但是初学者很难知道那些书好,我从网上收集并结合自己的经验进行了整理: 从数学分析开始讲起: 数学分析是数学系最重要的一门课,经常一个点就会引申出今后的一门课,并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课,这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应,其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》,或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点: 1,对于数学分析的学习,勤奋永远比天分重要。 2,学数学分析不难,难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3,别指望第一遍就能记住和掌握什么,请看第二遍,第三遍,…,第阿列夫遍。 4,看得懂的仔细看,看不懂的硬着头皮看。 5,课本一个字一个字的看完,至少再看一本参考书,尽量做一本习题集。 6,开始前三遍,一本书看三遍效果好于三本书看一遍;第四遍开始相反。 7,经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书: 初学从中选一本教材,一本参考书就基本够了。我强烈推荐11,推荐1,2,7,8。另外建议看一下当不了教材的16,20。 中国人自己写的:

1《数学分析》陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中著(新版作者顺序颠倒) 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》,是数学系用的时间最长,用的最多的书,大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版,现在出了第三版,但是里面仍有一些印刷错误,不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案,不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂,而且比其他书少了一俩个知识点,比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理,实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书,课后习题编排的不错,也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书,难度比上一本有一些降低,不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章,黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册,这套教材里的各本都经常被用到,总体还是不错的,是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书,不过我没有看,最近应该出了新版,貌似是第五?版,最初是一本函授教材,写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起,事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了,总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材,偏重于物理的实现,会打一个很好的基础,不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。

电路分析基础试题库(答案)

试题库 一、填空题(建议较易填空每空0.5分,较难填空每空1分) 1、电流所经过的路径叫做电路,通常由电源、负载和中间环节三部分组成。 2、实际电路按功能可分为电力系统的电路和电子技术的电路两大类,其中电力系统的电路其主要功能是对发电厂发出的电能进行传输、分配和转换;电子技术的电路主要功能则是对电信号进行传递、变换、存储和处理。 3、实际电路元件的电特性单一而确切,理想电路元件的电特性则多元和复杂。无源二端理想电路元件包括电阻元件、电感元件和电容元件。 4、由理想电路元件构成的、与实际电路相对应的电路称为电路模型,这类电路只适用集总参数元件构成的低、中频电路的分析。 5、大小和方向均不随时间变化的电压和电流称为稳恒直流电,大小和方向均随时间变化的电压和电流称为交流电,大小和方向均随时间按照正弦规律变化的电压和电流被称为正弦交流电。 6、电压是电路中产生电流的根本原因,数值上等于电路中两

点电位的差值。 7、电位具有相对性,其大小正负相对于电路参考点而言。 8、衡量电源力作功本领的物理量称为电动势,它只存在于电源内部,其参考方向规定由电源正极高电位指向电源负极低电位,与电源端电压的参考方向相反。 9、电流所做的功称为电功,其单位有焦耳和度;单位时间内电流所做的功称为电功率,其单位有瓦特和千瓦。10、通常我们把负载上的电压、电流方向称作关联方向;而把电源上的电压和电流方向称为非关联方向。 11、欧姆定律体现了线性电路元件上电压、电流的约束关系,与电路的连接方式无关;基尔霍夫定律则是反映了电路的整体规律,其中KCL定律体现了电路中任意结点上汇集的所有支路电流的约束关系,KVL定律体现了电路中任意回路上所有元件上电压的约束关系,具有普遍性。 12、理想电压源输出的电压值恒定,输出的电流值由它本身和外电路共同决定;理想电流源输出的电流值恒定,输出的电压由它本身和外电路共同决定。 13、电阻均为9Ω的Δ形电阻网络,若等效为Y形网络,各电阻的阻值应为3Ω。

泛函分析习题解答

第七章 习题解答 1.设(X ,d )为一度量空间,令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ? 解 不一定。例如离散空间(X ,d )。)1,(0x U ={0x },而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时,)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体,定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 (1)若),(g f d =0,则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0,即f=g (2))()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d (f ,g )+d (g ,h ) 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3. 设B 是度量空间X 中的闭集,证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ,而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集:设n o x ∈0,则存在B x ∈1,使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ,这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ,有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ,因此

泛函分析第4章 内积空间

第四章 内积空间 在第三章中,我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去,得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道,n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的,因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =,123(,,)y s s s R =∈,设x 与y 夹角为?,由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中, 13 2 2 1 ()k k x t ==∑,13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑,称为x 与y 的内积,不难证明它有如下性质: (1)3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 (2)3,,,,;x y y x x y R =?∈ (3)3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ (4)3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注:由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间,若对任两个元素(向量)x ,y X ∈,有惟一F 中数与之对应,记为,x y ,并且满足如下性质: (1),0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 (2),,,,;x y y x x y X =?∈

泛函分析答案2:

泛函分析期末复习题(2005-2006年度) (1)所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么? (2)什么是线性空间的子空间?子空间是否一定包含零元素?为什么? (3)什么是线性流形? (4)什么是线性空间中的凸集? (5)如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离,那么这个度量必须满足什么条件?试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 (6)距离空间上的收敛是如何定义的? (7)线性空间上定义的范数必须满足哪些条件? (8)什么是巴拿赫空间?赋范空间中的基本列一定收敛吗? (9)有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗? (10)什么是希尔伯特空间? (11)空间是如何构成的?在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间?(12)什么是算子?为什么要求算子的定义域是一个子空间? (13)算子的范数是如何定义的?从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 (14)线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗? (15)什么是有界算子?举一个无界算子的例子。 (16)算子的强收敛是如何定义的? (17)设为一个线性赋范空间,而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间? (18)什么是压缩映像原理?它在力学中有什么重要应用? (19)什么是泛函?什么是泛函的范数? (20)什么是线性赋泛空间的共轭空间?线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的?(21)什么是弱收敛?弱收敛与强收敛之间是什么关系? (22)什么是的Gateaux微分? (23)什么是泛函的(一阶)变分?它是如何定义的? (24)形如的泛函,其对应的Euler-Lagrange方程是什么? (25)什么是结构的应变能密度?什么是余能密度?二者关系如何?试画图说明。(26)有限元方法的本质是什么?瑞兹+具有局部紧支集的分片插值函数 (27)什么是最小势能原理?最小势能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。(28)什么是最小余能原理?最小余能原理中的基本未知函数是什么?对这些基本未知函数有什么要求?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。(29)什么是Hellinger-Reissner混合变分原理?推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。

应用泛函分析相关习题

泛函分析练习题 一名词解释: 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共轭算子 6. 内点、内部: 7. 线性算子、线性范函: 8. 自然嵌入算子 9. 共轭算子 10. 内积与内积空间: 11. 弱有界集: 12. 紧算子: 13. 凸集 14. 有界集 15. 距离 16. 可分 17. Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、 压缩映射原理 2. 共鸣定理 3.逆算子定理 4. 闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach 延拓定理 6、Baire 纲定理 7、开映射定理 8、Riesz 表现定理 三证明题: 1.若(,)x ρ是度量空间,则1d ρρ= +也使X 成为度量空间。 证明:,,x y z X ?∈ 显然有 (1)(,)0d x y ≥,(,)0d x y =当且仅当x y =。 (2)(,)(,)d x y d y x = (3)由1()111t f t t t = =-++,(0)t >关于t 单调递增,得 (,)(,)(,)(,)1(,)1(,)(,) x z x y y z d x z x z x y y z ρρρρρρ+=≤+++

(,)(,)1(,)1(,) x y y z x y y z ρρρρ≤+++ (,)(,)d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。 2, 设H 是内积空间,,,,n n x x y y H ∈,则当,n n x x y y →→时,(,)(,)n n x y x y →,即内积关于两变元连续。 证明:22|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-?- 已知 ,n n x x y y →→,即||||0,||||0n n x x y y -→-→。 故有 2|(,)(,)|0n n x y x y -→ 即 (,)(,)n n x y x y →。 5.设2()(),Tx t t x t =若T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子,计算||||;T 若T 是从 22[0,1][0,1]L L →的算子再求||||T 。 解:(1)当T 是从21[0,1][0,1]L L →的算子。 1 2 10|||||()|Tx t x t dt =?≤? 所以 |||| T ≤。 取2 0()x t =,则02|||| 1.x = 4010||||Tx dt ==? 所以 |||| T ≥。 故有 |||. T = (2)当T 是从22[0,1][0,1]L L →的算子时 11 421/221/22200||||(())(())||||Tx t x t dt x t dt x =≤=?? 所以 |||| 1.T ≤

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