一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,山坡上有一棵树AB ,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高,点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米,从E 处测得树顶部A 的仰角为45°,树底部B 的仰角为20°,求树AB 的高度.(参考数
值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
【答案】6.4米 【解析】
解:∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3
6392
==米, ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF 中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长,然后求得DF 的长,进而求得GF 的长,然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长,从而求得树高
2.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是
E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :
①当1
an 7
t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求
BG
CF
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ??
???
,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;
(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ??,得1
2
BG CF ≤,从而得解. 【详解】
(1)证明:连接DE ,则:
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即:EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
(2)①如图1,当F 位于AB 上时: ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=-
∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:10
31x = ∴150
531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ??
???
如图2,当F 位于BA 的延长线上时: ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =,则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得:25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图,作GM BC ⊥于点M , ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ??
∴
8BG MG MG
CF BC == ∵MG ≤半径4=
∴
41
882BG MG CF =≤= ∴BG CF
的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
3.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO '后,电脑转到AO 'B '位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm ,
O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,
∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,
∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.
4.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4
cos 5
AOC ∠=
.设OP x =,CPF ?的面积为y .
(1)求证:AP OQ =;
(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当OPE ?是直角三角形时,求线段OP 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)236030050
(10)13
x x y x x -+=<<;(3)8OP =
【解析】 【分析】
(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结
OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻
找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;
(2)根据PFC ?∽PAO ?,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4
cos 5
AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去.
【详解】
(1)联结OD ,∵OC OD =, ∴OCD ODC ∠=∠, ∵//CD AB , ∴OCD COA ∠=∠, ∴POA QDO ∠=∠. 在AOP ?和ODQ ?中,
{OP DQ
POA QDO OA DO
=∠=∠=, ∴AOP ?≌ODQ ?, ∴AP OQ =;
(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5
AOC ∠=, ∴4455OH OP x =
=,3
5PH x =, ∴1
32
AOP S AO PH x ?=
?=. ∵//CD AB , ∴PFC ?∽PAO ?, ∴
22
10(
)()AOP
y CP x S OP x
?-==, ∴2360300
x x y x
-+=,当F 与点D 重合时,
∵4
2cos 210165
CD OC OCD =?∠=??=, ∴
101016x x =-,解得50
13
x =, ∴2360300x x y x
-+=
50
(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=时,90OPA ∠=, ∴4
cos 1085
OP OA AOC =?∠=?
=; ②当90POE ∠=时,
101025
4cos cos 25
OC CQ QCO AOC =
===
∠∠,
∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622
=-=, ∵
50
1013
OP <<, ∴7
2
OP =
(舍去); ③当90PEO ∠=时,∵//CD AB , ∴AOQ DQO ∠=∠, ∵AOP ?≌ODQ ?, ∴DQO APO ∠=∠, ∴AOQ APO ∠=∠,
∴90AEO AOP ∠=∠=,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.
5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=30°,AC=3,动点D 从点A 出发,在AB 边上以每秒1个单位的速度向点B 运动,连结CD ,作点A 关于直线CD 的对称点E ,设点D 运动时间为t (s ).
(1)若△BDE 是以BE 为底的等腰三角形,求t 的值; (2)若△BDE 为直角三角形,求t 的值; (3)当S △BCE ≤
9
2
时,所有满足条件的t 的取值范围 (所有数据请保留准确值,参考数据:tan15°=23 【答案】(133
;(23秒或3秒;(3)6﹣3 【解析】 【分析】
(1)如图1,先由勾股定理求得AB 的长,根据点A 、E 关于直线CD 的对称,得CD 垂直平分AE ,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE ,所以AD=DE=BD ,由3,可得t 的值;
(2)分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE ,根据3t 的值;
②当∠EDB=90°时,如图3,根据△AGC ≌△EGD ,得AC=DE ,由AC ∥ED ,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,
②当△BCE在BC的上方时,
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论.
【详解】
解:(1)如图1,连接AE,
由题意得:AD=t,
∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,
∴BC=2AC=6,
∴
∵点A、E关于直线CD的对称,
∴CD垂直平分AE,
∴AD=DE,
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形,
∴DE=BD,
∴AD=BD,
∴;
(2)△BDE为直角三角形时,分两种情况:
①当∠DEB=90°时,如图2,连接AE,
∵CD垂直平分AE,
∴AD=DE=t,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2t,
∴
∴
②当∠EDB=90°时,如图3,
连接CE,
∵CD垂直平分AE,
∴CE=CA=3,
∵∠CAD=∠EDB=90°,
∴AC∥ED,
∴∠CAG=∠GED,
∵AG=EG,∠CGA=∠EGD,
∴△AGC≌△EGD,
∴AC=DE,
∵AC∥ED,
∴四边形CAED是平行四边形,
∴AD=CE=3,即t=3;
综上所述,△BDE为直角三角形时,t的值为3秒或3秒;
(3)△BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,
①当△BCE在BC的下方时,过B作BH⊥CE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,
此时S△BCE=1
2
AE?BH=
1
2
×3×3=
9
2
,
易得△ACG≌△HBG,
∴CG=BG,
∴∠ABC=∠BCG=30°,
∴∠ACE=60°﹣30°=30°,
∵AC=CE,AD=DE,DC=DC,∴△ACD≌△ECD,
∴∠ACD=∠DCE=15°,
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3,
∴t=6﹣33,
由图形可知:0<t<6﹣33时,△BCE的BH越来越小,则面积越来越小,②当△BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CE⊥ED,
此时S△BCE=1
2
CE?DE=
1
2
×3×3=
9
2
,此时t=3,
综上所述,当S△BCE≤9
2
时,t的取值范围是6﹣33≤t≤3.
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.
6.如图,在矩形ABCD 中,AB =6cm ,AD =8cm ,连接BD ,将△ABD 绕B 点作顺时针方向旋转得到△A ′B ′D ′(B ′与B 重合),且点D ′刚好落在BC 的延长上,A ′D ′与CD 相交于点E . (1)求矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分(如图1中阴影部分A ′B ′CE )的面积;
(2)将△A ′B ′D ′以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与△A ′B ′D ′重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得△AA ′B ′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.
【答案】(1)45
2
;(2)详见解析;(3)使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32 669-. 【解析】 【分析】
(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′=
'''''
=A B CE A D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤
115时和当11
5
<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】
解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm , ∴BD =10cm ,
根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm , ∵tan ∠B ′D ′A ′='''''
=A B CE A D CD ∴
682
=CE
∴CE =
3
2
cm , ∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=86345
22222
?-?÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =3
2
(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32
, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当
115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =4
3
(8﹣2x ) ∴()2
14y 8223x =
?-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒;
②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245
, ∵AN 2+A ′N 2=36, ∴(6﹣
245)2+(2x +18
5
)2=36, 解得:x =
669-,x =669
--(舍去); ③如图2,当AB ′=AA ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =24
5
, ∵AB 2+BB ′2=AN 2+A ′N 2 ∴36+4x 2=(6﹣245)2+(2x +18
5
)2 解得:x =
32
. 综上所述,使得△AA ′B ′成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32秒、669-.
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.
7.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G . (1)求证:△PAC ∽△PDF ; (2)若AB =5,
AP BP =,求PD 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2310
【解析】 【分析】
(1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到AD AC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;
(2)连接OP ,由AP BP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =
BC
AC
,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP
GE ED =,然后根据勾股定理即可得到结果. 【详解】
(1)证明:连接AD ,
∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,
∴AD AC =,
∴∠ACD=∠B=∠ADC,∵∠FPC=∠B,
∴∠ACD=∠FPC,
∴∠APC=∠ACF,
∵∠FAC=∠CAF,
∴△PAC∽△CAF;
(2)连接OP,则OA=OB=OP=15 22 AB=,
∵AP BP
=,
∴OP⊥AB,∠OPG=∠PDC,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=2BC,
∴tan∠CAB=tan∠DCB=BC
AC
,
∴
1
2 CE BE
AE CE
==,
∴AE=4BE,
∵AE+BE=AB=5,
∴AE=4,BE=1,CE=2,
∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,
∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,
∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED
=,
∴
2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==,
∴GE=2
3,OG=
5
6
,
∴PG
5 6 =,
GD
2
3 =,
∴PD=PG+GD
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得
△OPG∽△EDG是解题的关键.
8.超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速,如图,观测点设在到万丰路(直线AO)的距离为120米的点P处.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO=60°,∠BPO=45°.
(1)求A、B之间的路程;
(2)请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度?请说明理由.(参考数≈≈).
据:2 1.414,3 1.73
【答案】
【小题1】73.2
【小题2】超过限制速度.
【解析】
AB=-73.2 (米).…6分
解:(1)100(31)
(2) 此车制速度v==18.3米/秒
9.如图,建筑物上有一旗杆,从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为,观测旗杆底部的仰角为,求旗杆的高度.(参考数据:
,,)
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中,根据tan∠BDC=求出BC,接着在Rt△ADC中,根据
tan∠ADC==即可求出AB的长度
【详解】
解:∵在Rt△BDC中,tan∠BDC==1,∴BC=CD= 40m
在Rt△ADC中,tan∠ADC==
∴tan50°= =1.19
∴AB7.6m
答:旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
10.已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.
(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3
5
时,求
BF
CF
的值;
(2)如图2,当tan∠ABC=1
2
时,过D作DH⊥AE于H,求EH EA
?的值;
(3)如图3,连AD交BC于G,当2
FG BF CG
=?时,求矩形BCDE的面积
【答案】(1)1
7
;(2)80;(3)100. 【解析】 【分析】
(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=
35得出
3
5
FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,可求得BF =a ,故1
7
BF CF =;(2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ,得△EGA ∽△EHD ,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ,故可求出矩形的面积. 【详解】
解:(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF =35,sin ∠FAK =35
, ∴
35
FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,
∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a , ∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴
1
7
BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED , ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴
EH ED
EG EA
=, ∴·EH EA EG ED ?=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC =
12
, cos ∠ABC
∴BA =BC · cos ∠ABC
BK= BA·cos ∠ABC 8
= ∴EG =8,
另一方面:ED =BC =10,
∴EH ·EA =80
(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG
KE AE ED
==, ∴
BF KE FG DE =,同理:FG ED
CG DT
= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG
FG CG =, ∴ED 2= KE ·DT ∴
KE ED
DE DT
= , 又∵△KEB ∽△CDT ,∴
KE CD
BE DT
=, ∴KE ·DT =BE 2, ∴BE 2=ED 2 ∴ BE =ED
∴1010100BCDE S =?=矩形
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.