保险精算（第二版）
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1
(5)25 1.8
0.8
,1
25300*100(5)300
180300*100300*100(8)(64)508
180180a b a a b a b a a a b ===+=?=
==?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
(2)假设()()100 1.1n
A n =?，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)
0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)
A A A A A A i i i A A A ---=
=====
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5
年后的积累值。
1113
2153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120
500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97
a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+=
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1
A A i i i A ==+++?=
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12
3
4
1()410000(3)10000(1)11956.18
4
10000(3)10000111750.08
14i a i a =+=?? ?
=+= ? ???
6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()
()m m d d
i i δ<<<<。
7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、
12
00.7210000(12)100001000020544.33t dt a e e δ?===
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
(4)(2)4
1
42
12(1)(1)(1)(1)(1)
42
1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.3332658580.74556336
i i i i d i -+=+-++==?=
9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6
t t
δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
()()
20212112
21212
() 1.01()1.01, 1.432847643
t
t t
t dt
t t
a t a t e e
e t δ=?==?==
10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。
()()()
2
2
10.010.12
20.01*200.1*2020
4
2
3
()1()11 1.8221
t
t t
t t dt
a t i a t e e
i e
e i δ++=+?==?+==+=
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。
A. 7.19
B. 4.04
C. 3.31
D. 5.21
(3)3*5
153(1)3*1.02 4.03763
i +==
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225
B.7 213
C.7 136
D.6 987
(2)2*2
4(1) 1.03 1.12552
i +==
第二章：年金
练习题
1．证明()
n m
m n v v i a a -=-。
()11()m n
n m m n v v i a a i v v i i
---=-=-
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付
10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。
120
12011000100079962.96(8.7%/12)
16000079962.9680037.04
v a i i
-===∴-= 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。
7
18711110.08299
a a a i i ??
=+ ?+??
∴=
4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
10
101015000112968.7123
a x a i x ??= ?+??∴= 5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10
1
2
v
=
，计算K 。 10
20
101010
20
1010
1110002000100011111800
A a a a i i
B Ka K a i A B K ????
=++ ? ?++??????
=+ ?+??
=∴=
6． 化简()
1020
101a v v ++ ，并解释该式意义。
()102010301a v v a ++=
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
510
55111000200017000113.355%
a a i i i ????
+= ? ?
++?????=
8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k 年的实际利率为
1
8k
+，计算V(2)。 112119111(2)11(1)(1)(1)(1)
9991101128
V i i i i i =+++++++++=+
++
9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
A. 113n
??
???
B. 1
3n C.
13n
?? ?
??
D.3n
1
211
213
n n n n n a v a v v i i v ∞=-==
11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t 时的年付款率为()2
1t +,t 时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52
B.54
C.56
D.58
011
2
5|651125|65()(1)111()()11
(1)54
1t t dt a v t t dt
v t a t t e a t dt t δ=+=
==+??=+=+??
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数()22500
x s x e
-=，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)
(70)(70)
70(50)
P X s s s s q s P X s s p s <<=--=
>==
2. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求60q 。
()()
()5|605606565(66)650.1895,0.92094
(60)(60)65(66)
0.2058
(65)
s s s q p s s s s q s -=
===-∴=
=
3. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
808081
808080
0.07d l l q l l -=
== 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。
120121122
000
(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l ++++++=
=====
5. 如果22
1100x x x
μ=
++-,0≤x ≤100, 求0l =10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。
A.2073.92
B.2081.61
C.2356.74
D.2107.56
00
2
22
11000100()1((1)(4))2081.61
x
x
x dx dx
x x x s x e e x l s s μ-
+-
+--????=== ?
+??-=
6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|201q 为
（ ）。
A. 0.008
B. 0.007
C. 0.006
D. 0.005
2221
1|2020
0.006l l q l -=
= 第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
1. 设生存函数为()1100
x
s x =- (0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10
ā的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
10
10130:10
10
10
2
112
22
230:10
30:10
()1()1100()10011
0.0921.170
11
()()0.0920.0920.0551.2170
t x x t t
t
t x x t t
t t
x x t x s x t s x p s x x
A v p dt dt Var Z A
A
v
p dt dt μμμ+++'+=-
?=-=-??=== ?
????=-=-=-= ?
??????
2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4
1135
36373839234535:5
3511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：
4
1135
36373839234535:5
03511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06
k k x x k k d d d d d A
v p q l ++===
++++=∑ 法二：1
3540
35:535
10001000
M M A D -=
查换算表1
354035:53513590.2212857.61
10001000
1000 5.747127469.03
M M A D --===
（2）
1
353535:1351363636:1361373737:1371383838:1
38143.58
100010001000
1000 1.126127469.03144.47
100010001000
1000 1.203120110.22
145.94
100010001000
1000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D =============== 1
393939:1393536373839148.050 1.389
106615.43
150.55
100010001000
1000 1.499100432.54
1000() 6.457
C p A
D p p p p p =====++++=
（3）
1112131413523533543535:535:136:137:138:139:1
1
3536373839
35:5
A A vp A v p A v p A v p A A
p p p p p =++++∴<++++
3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1） 1:20
x A 。 （2） 1:10x A 。改为求1:20x A 1 120:20:201 1:20:20:20
1 1
:20:201 1
:20:20
1:20 1
:200.250.40.550.050.5
x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +?=+??=+???=+???=+???=???=?? 4． 试证在UDD 假设条件下： (1) 1
1::x n
x n i
δ
=
A
A 。
(2) 1
1:::x x n n x n
i
δ
=+
āA A 。 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，()0.5,0,0.1771x q i Var z === ，试求1x q +。 6． 已知，767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时
所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：1
1
30:2030:20
5000
5000RA R A =?= 其中
19
11
11
303030303030:20
30
3030303132492320303050
30
111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞
∞+++++++===+====++++-=
∑∑∑ 查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据3030313249,,,l d d d d 带入计算即可，或者i=0.06以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表305030,,M M D 带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
1
2320
30:2011111
(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06)
0.017785596
281126.3727
A R =
++++== 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1
m
年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整
1
m
年的时段数。 (1) 求该保险的趸缴纯保费 ()m x A 。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()
()
m x
x m i i =
A A 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000A A + 其中
9
9
11
11
353535353535:10
35
353535363744231035354535111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06)13590.2212077.31
0.01187
127469.03
k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++--=
==∑∑∑ 70
70
70
11
11
353510|35
35353510
1010
35
3535
454647105111213713545351
11111 ()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)12077.31
0.09475127469.03
k k k k
k k k k
k k k k l
d A v
p q v
v
d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++=
==∑∑∑ 所以趸交纯保费为1
1
10|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R 元。试求R 值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：1
1
50:2050:2030001500A A + 其中
19
19
1911
11
505050505050:20
50
50505051526923200505070
50
111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A
v
p q v
v d l l l d d d d l M M D +++++++===+====++++-=
∑∑∑ 17070
70
705050:2050
7050
l A v p v l D D ===
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：
303030303030
40001000()40001000M R
A IA D D +=+ 其中
75
75
75
1
11
3030303030300
30
3030
3031321052376303030
111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d A v
p q v
v
d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++=∑∑∑ 75
75
75
1
11
303030
3030300
30
3030
3031321052376303030
1
()
(1)(1)(1)112376 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k
k k
k k
k k k k l
d IA k v
p q k v
k v
d l l l d d d d l R D +++++++===+=+=+=+=++++=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
解：保单1)精算式为11 1
::::100075017501000750x n x n x n x n A A A A +=+= 保单2)精算式为 1
1
1 1:::::1000800100018002000800
x n x n x n
x n x n
A A A A A ++
=+=
求解得1
1::7/17,1/34x n x n A A ==，即
1 1
:::170017001700750x n x n x n
A A A =+= 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定110x l x =-,0≤x ≤110。利息力δ=0.05。Z 表示保险人给付额的现值，则密度()0.8x f 等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
ln ln T
Z
Z v t v
=?=
()1
()70()11/12()(())()70ln 707(0.8)0.36
x t T t x x t x
Z T Z l S x t f t p S x l z f z f g z g z v z z
f μδ++'--+==
==
'==-===
16. 已知在每一年龄年UDD 假设成立，表示式
()()x
x
I A I A A
-=( )
A.
2
i δ
δ- B.
()
2
1i δ
+
C. 11d δ-
D. 1i i δδ??
- ???
解：
[]1
1
(1)()()()((1))
()
()()
(1)((1))
11 ()
T T
K S x x T K S x s S
S s E T v E Tv IA IA E S v T K S A E v E v s v ds
E S v E v d v ds
δ
+++---===+--=
=
=
-?
?
17. 在x 岁投保的一年期两全保险，在个体（x ）死亡的保单年度末给付b 元，生存保险金为e 元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. ()2
2x x p q v b e + B. ()2
2
x x p q v b e - C. (
)22
2
x x p q v b e
- D. ()2
2
2x
x v b q
e p +
解：
()()222222222222
2
2222222
(),()(),()()()()()()()x x
x x x x x x
x x x x x x P Z bv q P Z ev p P Z b v q P Z e v p E Z bvq evp E Z b v q e v p Var Z E Z E Z b v q e v p bvq evp v q p b e =========+=+=-=+-+=-
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t
f t e -=?(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算
精算现值 x a 。
0.050.0150
11()0.01515.380.05
t
t
t x T v e a f t dt e dt δ
-+∞
+∞
---==?=?
?
2．设 10x a =, 2
7.375x a =, ()50T Var a =。试求：
（1）δ；（2）x
ā 。
()
22
222
22222
111012114.7511(())50(())0.0350.650.48375
x x x
x x
x T x x x x x x a A A a A A Var a A A A A A A δδδδδδδ??
=+??=+??=+?=+??????=-=-??
=??
?=??=?
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
解：23:3637|2323:3637|23
20002000a
a
R a
R a =?= 其中
3535
3523232323:3600
0232323242526582335232359
23
3737|
232337236037
236023:37111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l a
v p v v l l l l l l l l l N N D a
a a v p a E a
++=======+++++-=
=-==∑∑∑ 82
82
82
232323373737
2323606062631052355236023
1 11111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l v p v v l
l l l l l l l l N D ++======
=+++++=
∑∑∑
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
(12)35351000*1212000[(12)(12)]a a
αβ=- 其中
12
(12)(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====
7171
713535352300
03523353637381052370353535
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++=
∑∑∑ 若查90-93年生命表换算表则
3535351985692
15.695458126513.8
N a
D ===
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。
解：(12)(12)
55555511250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212
a a
a
αβ=-=-- 其中
12
(12)
(12)12
(12)(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====7171
713555552300
03523353637381052370353535
111111
()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k
k
k
k k k
k k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++=
∑∑∑
6． 在UDD 假设下，试证： (1)
()()|
|()m x x n x n n a
m a m E αβ=- 。 (2) ()()
::()(1)m n x x n x n a
m a m E αβ=-- 。 （3）()()
::1
(1)m m n x x n x n a a
E m
=-- 。
7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：31
3030
1200N a D =
（2）(2)(2)
3030351110001000()1000[(2)(2)]2
2
a a
a αβ=-=-- 其中
2
(2)(2)2
(2)(12)
(2)(2)(2)
(2)(2)0.0566037741110.059126028
2110.0574282762(2) 1.000212217
(2)0.257390809
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?==-==
30
3030
N a
D =
（3）(4)(4)
3030301110001000()1000[(4)(4)]44
a a
a αβ=-=-- 其中
4
(4)(4)4
(4)(4)
(4)(4)(4)
(4)(4)0.0566037741110.058695385
4110.0578465544(4) 1.000265271
(4)0.384238536
i
d i
i i i d d d id
i d i i i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?==-==
30
3030
N a
D = （4）(12)(12)
3030301110001000()1000[(12)(12)]1212
a a
a
αβ=-=-- 其中
12
(12)(12)12
(12)
(12)
(12)
(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.058410606
12110.058127667
12(12) 1.000281033,(12)0.46811975
i
d i
i i i d d d id i i i d i d
αβ=
=+??+=+?= ??
???-=-?= ??
?-====
303030
N a
D =
8． 试证：
(1) ()
()
m x x m a
a i
δ
=
(2) ()
:()
:m x n m x n a
a i δ
= 。
(3) ()
lim m x x m a
a →∞
= 。 (4) 1
2
x x a a
≈- 。 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64
岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R 。
10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a
= ， 2
6x a
= ，1
24
i = ，求Y 的方差。 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。
13. 给定 (4)
17.287a ∞= ，0.1025x A =。已知在每一年龄年UDD 假设成立， 则(4)x a 是（ ）
A. 15．48
B. 15.51
C. 15.75
D. 15.82
14. 给定()100
()9
T Var a x t k μ=
+=及, 0t >, 利息强度4k δ=，则k =（ ） A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
()()2
804022221
91516
1100
225()()169
0.02
kt
t x x t kt kt x kt kt x x x T x t k p ke A e ke dt A e ke dt Var a A A k k μμδ-++∞
--+∞--+=?===
==
?=-==
?=??
15. 对于个体（x ）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定：
()50.01,0.04, 4.524x x t i a
μ=+=== , 年金给付总额为S 元（不计利息），则 P （51x
S a
>
）值为（ ） A. 0.82 B. 0.81 C. 0.80 D. 0.83
第六章：期缴纯保费与营业保费
练 习 题
1. 设()0x t t μμ+=>，利息强度为常数δ，求 ()
x P A 与Var(L)。
2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于
死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P 的值。
3． 已知 1
40:20604040:20
0.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ==== 求 。 4． 已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求。
5． 已知L 为(x)购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，2
::0.1774,
0.5850x n x n P A d
==，计算Var(L)。
6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105
x
s x -=
(0≤x ≤105)，年利率为6％。对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L ≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
7. 已知 20.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====，其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收
取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr （Ｚ≤1.645）=0.95，Z 为标准正态随机变量。]
8. 2020:40
20:4010007.00,16.72,15.72,1000x P a a P === 计算 。 9． (
)10|
201020201.5,0.04,P
a
P == 计算P 。 10． 已知
1(12)(12):201:20:20
:20
1.03,0.04,x x x x P P P ==计算P 。 11． 已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，
2
0.06,0.4,
0.2
x x d A A ==
=，L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。 (1)计算E ［L ］。
(2)计算Var(L)。
(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。
12． (x)购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 1:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x n A A A i +====，保额b 以万元为单位，求保险费率函数R(b)。 13. 设 ()
50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076 14. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）
。 A. 0.0189 B. 0.0203 C. 0.0211 D. 0.0245 15. 设1
15456045:1545150.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则=( ) A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008
第七章：准备金
练 习 题
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t 时保险人的未来亏损随机变量为：
,0,a U n t
U a U n t t
n t
L ≤≤-≥--?=?? 计算()t E L 和()t Var L 。 2． 当::2:2::1
,,2,26k k x n x n
x k n k x k n k x k n k n k V a
a a V +-+-+-<
=+= 时计算。
3． 已知
()
()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ
===计算t x V(A )。
4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000x q ()
::k k x n x n
i
V A V δ
=
（2） ()
k x k x
i
V A V δ
=
（3） (
)
1
1::k k x n x n
i
V A V δ
=
5.
假
设
在每
一
年
龄
内
的
死
亡
服
从
均
匀
分
布
，
且
()()
41101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β====== ，求 ()
4101035:2035:20V V - 。
6． 已知()()()120:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()10
40.11430x V = 计算2010
x V 。 7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，0.1 1.1k x k q +=? （k=0，1）。计算年缴均衡纯保费P 。
8． 已知1154545:2045:15
0.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====，求1545:20V 。 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A 。
10． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===， 计算()
t x V A 。 11． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -。
12． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a
V V P ++++==== ，求d 的值。 13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L 为保单签发时的保险人亏损随机变量，且
()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===，计算()2030V A 。
14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：75x l x =-(０≤x ≤75)，利率0i =，且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。
15． 已知3132:130.002,9,5%q a
i === ，求 230:15FPT
V 。 16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知21x x v p q α+=??，求β。
17. 个体（x ）的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单，保额为1 000元，已知90.06,0.01262x i q +==,
年均衡净保费为32.88元，第9年底的净准备金为322.87元，则101000x P +=( ) A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32
18. 已知()
1000100,1000()10.50,0.03t x x V A P A δ===,则 x t a += ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
第八章：保单现金价值与红利
练 习 题
1. 证明式（8.1.7）和式（8.1.8）。
2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。
3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况，计算第1年的费用补贴1E 。
4. (x)的单位保额完全连续终身寿险在k 年末转为不丧失现金价值。
设 ()
k k x CV V A =，分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k 的未来损失方差之比。
5. 已知::0.3208,12,0.5472,8,x x x n x n A a A a ==== 用1941年规则计算:a x n
P 。 6. 向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险，在第10年年末中止，并且那时还有一笔以10CV 为抵押的贷款额L 尚未清偿，用趸缴纯保费表达：
(1)在保额为1-L 的展期保险可展延到原期满时的情况下，期满时的生存给付金额E 。 (2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。
7． 考虑(x)投保的缴费期为n 的n 年期两全保险，保险金为1单位，支付基础为完全离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择： (1)减额缴清终身寿险。
(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n 岁时支付的减额生存保险。在时间t 的解约金为 :t x n V ，它可用来购买金额为b 的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n 岁时的生存支付f 。设:2x t x t n t A A ++-=，用b ，1
:x t n t A +-及n t x t E -+表示f 。 8． 设()k t k t
x CV V A ++=
。
证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中
()11x x k x i H t a GS a a ++=+-。
9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为
()()k x h x CV h G G a
k +=- ， 1,2,k = 式中，G 为相应年龄的毛保费； ()a k 为始于x+k 岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值，h 在实际中取
2
3
。如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费，并且x P 与x t P +都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的
解约金为
()0.909
1.125 1.125)()
k x
k x x k
x C V P V P P +=++- 10. 生存年金递推关系为
()()11x h x h x h a
i p a +++++= , 0,1,2,h = (1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h ，则年金的递推关系为
()()
111??11()x h h x h x h h a
i p a ++++++-+=+? 式中，1h +?为生存者份额的变化。证明并解释
()111??()1()?h x h x h x h x h h x h i a p p a p
++++++++-+-?=
(2)如果年末的年金收入调整为年初的1h r +倍，其中
()()
111??11x h h x h h x h a
i p r a ++++++-+=?? 用 ?,,x h i i
p +及 ?x h p +表示1h r +。 11. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。
12. 在1941年法则中，若22
0.04,0.04x
P P >> ,则 1E =（ ） A. 0.036 B. 0.046 C. 0.051 D. 0.053
13. (30)投保20年期生死两全保险，若30:20
0.08,0.01P d == ,利用1941年法则求得 2300.01P =时的调整保费为（ ）
A. 0.0620
B. 0.0626
C. 0.0638
D. 0.0715
第九章：现代寿险的负债评估
练 习 题
1. 在例9.
2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%，求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。 2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ，3年以后为4% ，重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10。
3. 在例9.2.5中，若保证利率：第1年到第5年为9.5%，以后为4%，求0到第5保单年度的准备金。
4. 考虑固定保费变额寿险，其设计是公平设计且具有下列性质:
男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值(即保额)：10 000元；在第5保单年度的实际现
金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元。且已知391000 2.79q =，相关资料如下表。
习题 第一章人寿保险 一、n 年定期寿险 【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。 I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I 表4–1 死亡赔付现值计算表 年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4) 1 1 1000 103.1- 970.87 2 2 2000 203.1- 1885.19 3 3 3000 303.1- 2745.43 4 4 4000 403.1- 3553.9 5 5 5 5000 503.1- 4313.04 合计 --- 15000 --- 13468.48 根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为： 48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=?+?+?+?+??-----（元） 则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II 表4–2 死亡赔付现值计算表 年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4) 1 1000*40q =1.650 1650 103.1- 1601.94 2 1000*40|1q =1.809 1809 203.1- 1705.16 3 1000*40|2q =1.986 1986 303.1- 1817.47 4 1000*40 | 3q =2.181 2181 403.1- 1937.79
保险精算习题及答案 第一章:利息的基本概念 练习题 21(已知，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，atatb,，，， 在时刻8的积累值。 2((1)假设A(t)=100+10t, 试确定。 iii,,135 n(2)假设，试确定。 An,，1001.1iii,,，，，，135 3(已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 4(已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为，第2年的利率为，i,10%i,8%12第3年的利率为，求该笔投资的原始金额。 i,6%3 5(确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 2226(设m,1，按从大到小的次序排列与δ。 vbqep，，，xx 7(如果，求10 000元在第12年年末的积累值。 ,,0.01tt 8(已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 t9(基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度积累，在时刻t (t=0)，两笔,,t6 基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X中的投资以利息强度(0?t?20), 基金Y中的投资以年实际利率积累;现分别,,，0.010.1tit 投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基 金Y的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为( )万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为( )元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章:年金 练习题 nmvviaa,,,1(证明。，，mn 1 2(某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首 期付款额A。 3. 已知 , , , 计算。 a,5.153a,7.036a,9.180i71118 4(某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其 每年生活费用。 5(年金A的给付情况是:1,10年，每年年末给付1000元;11,20年，每年年末 给付2000元;21,30年，每年年末给付1000元。年金B在1,10年，每年给付额为K元;11,20年给付额为0;21,30年，每年
共 4 页 第 1 页 保险精算复习自测题（90分钟） 选择题（20分） 1.（20）购买了一种终身生存年金，该年金规定第一年初给付500元，以后只要生存每年初增加100元，该生存年金的精算现值为（ ）。 A... .. 2020400100()a I a + B.2020400100()a I a + C... .. 2020500100()a I a + D.2020500100()a I a + 2. UDD 假设 若q 50=0.004,在UDD 假设下0.5p 50等于（ ）。 3. 每次期初支付10000元,一年支付m 次,共支付n 年的生存年金的精算现值表示为（ ）。 A.() ..:10000m x n m a B.() :10000m x n ma C.() ..:10000m x n nm a D.() :10000m x n nm a 4.关于（x ）的一份2年定期保险，有如下条件：（1）0.02(1)x k q k +=+ 0,1k =（2）0.06i =（3）在死亡年末支付额如下： k 1k b + b1 1 b2 若 z 是死亡给付现值的随机变量则()E Z 等于（ ）。
共 4 页 第 2 页 填空题（20分） 1.按缴费方式和保险金的给付方式，把寿险分为 、 、 。 2.若一个人在x 岁时死亡，此时随机变量T （30）= ，K(50)= 。 3. = ，35:]1000n n V 。 4.日本采用的计算最低现金价值的方法是 。 5.专业英语：Nominal interest 中文意思是 。 6.生存年金精算现值的计算方法 和 。 7.假设i=5%,现向银行存入1万元，在以后的每年末可取出 元。 8.假设40l =A ，50l =B ，则1040q = 。 9.责任准备金的两种计算方法为 、 。 1 20:] 1000t t V
保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8 ,1 25300*100 (5)300180300*100300*100(8)(64)508 180180 a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5 年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1 A A i i i A ==+++?= 5．确定10000元在第3年年末的积累值:
第一章 生命表 1．给出生存函数()22500 x s x e -=，求： (1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。 ()()()10502050(5060)50(60) 50(60) (50) (70)(70) 70(50) P X s s s s q s P X s s p s <<=--= >== 2.已知生存函数S(x)=1000-x 3/2 ,0≤x ≤100，求（1）F （x ）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x) 3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求q 65。 ()() ()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66) 0.2058 (65) s s s q p s s s s q s -= ===-∴= = 4. 已知Pr ［T(30)＞40］=0.70740，Pr ［T(30)≤30］=0.13214，求10p 60 Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）=0.7074 S （70）=0.70740×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60） =0.70740/0.86786=0.81511
5.给出45岁人的取整余命分布如下表： 求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。 (1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧 7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11 （3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 808081 8080800.07d l l q l l -= == 808081 808080 0.07d l l q l l -= == 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．
保险精算第二版习题及 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d d i i δ<<<<。 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。、
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6 t t δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。 10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. D. 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。 225 213 C.7 136 987 第二章：年金 练习题 1．证明()n m m n v v i a a -=-。
第1章 习题答案 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 解： 100)0(100)0(.k )0(2=+?==b a a A 或者由1)0(=a 得1=b 180)15(100)5(100)5(2=+?=?=a a A 得032.0=a 以第5期为初始期，则第8期相当于第三期，则对应的积累值为： 4.386)13032.0(300)3(2=+??=A 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 解：（1）A(0)=100；A(1)=100+10×1=110；A(2)=120；A(3)=130；A(4)=140；A(5)=150 ； ； 。 （2）A(0)=100；；；；； 。 ； ； 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 解：单利条件下： 得； 则投资800元在5年后的积累值：； 在复利条件下： 得 则投资800元在5年后的积累值：。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率
为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 解： 得元。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 解：（1） 元 （2） 得 10000元在第3年年末的积累值为： 元 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列，，，与。 解：，所以，。 ，在的条件下可得。 ，在的条件下可得 。 对其求一阶导数得得 对其求一阶导数，同理得。 由于，所以，同理可得。 综上得： 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。 解：元 8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 解：注意利用如下关系：则 则根据上述关系可得：
保险精算例题
第二章 【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算： （1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？ （2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？ （3）借款多长时间后需要还款1200元。 解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。 在单利下，还款总额为： A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元） 在复利下，还款总额为： A(2)=A(0)(1+i)2=1000×(1+5%)2=1102.5（元） （2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。 在单利下，还款总额为： 1000×（1+ 139 365×5%）=1019.04（元） 在复利下，还款总额为： 1000×139365 % （1+5）=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。 在单利下，有 1200=1000×（1+0.05t） 可得：
t=4（年） 在复利下，有 1200=1000×（1+0.05）t 可得： t≈3.74（年） 【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解：在单利下，有 A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元) 在复利下，有 A(5)+1000×(1+5%)2 ×(1+6%)3=13130.95(元) 【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。 解：（1）1995年1月1日的现值为： 1000×（1-0.05）3=857.38（元） （2）年利率为： i=d 1-d =0.050.95 =0.053 【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算： （1） 在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1 日的现值。 （2） 在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。 解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值
保险精算试卷 1． A．104 B.105 C.106 D.107 E.108 2. (A) 77,100 (B) 80,700 (C) 82,700 (D) 85,900 (E) 88,000 3．Lucky Tom finds coins on his way to work at a Poisson rate of 0.5 coins per minute. The denominations are randomly distributed: (i) 60% of the coins are worth 1; (ii) 20% of the coins are worth 5; (iii) 20% of the coins are worth 10. Calculate the variance of the value of the coins Tom finds during his one-hour walk to work. (A) 379 (B) 487 (C) 566 (D) 670 (E) 768 game. If 4．A coach can give two ty pes of training, “ light” or “heavy,” to his sports team before a the team wins the prior game, the next training is equally likely to be light or heavy. But, if the team loses the prior game, the next training is always heavy. The probability that the team will win the game is 0.4 after light training and 0.8 after heavy training. Calculate the long run proportion of time that the coach will give heavy training to the team.
1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元） 4.33=7556.8（元） 5000×（1+10%）（2） 2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 55=12385（元）×（1+11%解：5000（1+8%）） 3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 -4=5934.51（元）1+11%）（1）10000×（解：4=6274.22（元）） 2）10000×（1-11%（ 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 (2)(3)id。⑴ i, ⑶，⑵(2)i(2)1000?(1?)?12004.??i0；所以解：⑴ 2(2)i2)1?i?(1?44?0.i⑵；所以2(n)(m)di?1?mn(1?)?1?i?(1?d)?(1?) ⑶；mn(3)d3?1(1?)?(1?i))(3?0.34335d；所以，3 (n)(n)???id?id?。时，证明：5．当1?n(n)dd?证明：①，为因 (n)(n)(n)(n)dddd012n323))(C)C1CC(1d(1????????????? d1?? nnnn nnnn(n)
)(n dd?所以得到，；(n)??d②?????????423423 ?)??1C?1??C?()?C?()??(e m?)(n)e(1?d?m m； ??i③ nnn mmmmm?)n(??)](1?d?m[1?所以，m(n) (n)i)(n i n[1?]?1?i??)1?iln(1?)?ln(n?即，，n n? ????? (n)i?n?(e?1)n所以，? 434232?1??)C?e?1?C?()??()?C?(n? nnn mmmmm ?(n)??])?1?n[(i1?n(n)?ii④ (n)(n)(n)iii)(n i)n22(n01[1?]?C?1?C??C?()???1?i n[1?]?1?i nnn，nnn n )(n ii?所以， 6．证明下列等式成立，并进行直观解释：m aav?a? ⑴；nnm?m m v?1n?nmm v1?vv?n?m v1?a?mm?va?v a? i m ii n，，解： i n?m n?mmm v?1?v?v m a?ava?? i mnnm?所以， m sva?a?nm?nm⑵；m v1?n?m v?1nmm?v?v?a a?m??vs i m i n?m，解：， i n nmm?m vv??1?v m a??a?vs i mnm?n所以， m as?s?(1?i)nmm?n⑶；
第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8 ,1 25300*100(5)300 180300*100300*100(8)(64)508 180180 a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+=Q 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1 A A i i i A ==+++?= 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 800元在28%i =，第3为 t (t=0)，i 积累； 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章：年金 练习题 1．证明() n m m n v v i a a -=-。
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A ，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A 。 3. 已知7 5.153a = , 117.036a =, 189.180a =, 计算 i 。 4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。 5．年金A 的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B 在1～10年，每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K 元，若A 与B 的现值相等，已知10 1 2 v = ，计算K 。 6． 化简() 1020101a v v ++ ，并解释该式意义。 5 。 n 年每年,那么v=( 2. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr ［T(60)＞5］=0.92094，求60q 。 3. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 5. 如果221100x x x μ= ++-,0≤x ≤100, 求0l =10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56
第一章生命表 1．给出生存函数() 2 2500 x s x e- =，求： (1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。 2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x) 3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q 65 。 4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求 10p 60 Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30) Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴ 10p 60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.81511 5.给出45岁人的取整余命分布如下表： 求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧 7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11 （3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ． 612 P =（1-q 61）(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P ．q 62=0.01937 10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。 18. 19.
保险精算练习题
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4．假设1000元在半年后成为12０0元,求 ⑴ )2(i ,⑵ ｉ, ⑶ )3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ;所以4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+;所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ;34335.0)3(=d 5．当1>n 时,证明: i i d d n n <<<<) () (δ。 证明:①) (n d d < 因为, +?-?+?-?=-=-3)(3 2)(2) (10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d ->所以得 到,) (n d d <; ② δ<)(n d )1() (m n e m d δ - -=;m m C m C m C m e n n n m δ δ δ δ δ δ - >-?+?-?+- =- 1)()()(14 43 32 2 所以, δ δ =- -<)]1(1[) (m m d n ③ )(n i <δ i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+?)1ln()1ln()(i n i n n 所以， )1()(-?=n n e n i δ m m C m C m C m e n n n n δ δ δ δ δ δ + >+?+?+?++ =1)( )( )( 144 33 22 δ δ =-+>]1)1[()(n n i n ④ i i n <)( i n i n n +=+1]1[) (,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+
保险精算(第二版) 第一章:利息的基本概念 练 习 题 1.已知()2a t at b =+,如果在0时投资100元,能在时刻5积累到180元,试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8,125 300*100(5)300180 300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=?= ==?=+=Q 2.(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== (2)假设()()100 1.1n A n =?,试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== 3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08 800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363 800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4.已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为 110%i =,第2年的利率为28%i =,第3年的利率为 36%i =,求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1) (0)794.1A A i i i A ==+++?= 5.确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以 4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明： i i d d n n <<<<) () (δ。 证明：①) (n d d < 因为，Λ+?-?+?-?=-=-3)(3 2)(2) (10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d ->所以得到， )(n d d <； ② δ<) (n d )1() (m n e m d δ - -=；m m C m C m C m e n n n m δ δ δ δ δ δ - >-?+?-?+- =- 1)()()(14 43 32 2 Λ 所以， δ δ =- -<)]1(1[) (m m d n ③) (n i <δ i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+?)1ln()1ln()(i n i n n 所以， )1()(-?=n n e n i δ m m C m C m C m e n n n n δ δ δ δ δ δ + >+?+?+?++ =1)( )( )( 144 33 22 Λ
δ δ =-+>]1)1[() (n n i n ④ i i n <)( i n i n n +=+1]1[) (，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+Λ 所以， i i n <) ( 6．证明下列等式成立，并进行直观解释： ⑴n m m n m a v a a +=+； 解：i v a n m n m ++-= 1， i v a m m -= 1，i v v i v v a v n m m n m n m +-=-=1 所以，n m n m m m n m m a i v v v a v a ++=-+-=+1 ⑵n m m n m s v a a -=-； 解： i v a n m n m ---= 1，i v a m m -= 1，i v v s v n m m n m --= - 所以，n m n m m m n m m a i v v v s v a --=-+-=-1 ⑶ n m m n m a i s s )1(++=+； 解： i i s m m 1)1(-+=，i i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1() 1()1(+-+=-++=++ 所以，n m m n m m n m m s i i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1( ⑷ n m m n m a i s s )1(+-=-。
1 假设某人群的生存函数为()1,0100100 x S x x =-≤≤ 求： 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2 已知给出生存函数()20S x = ,0100x ≤≤，计算(75),(75)F f ,()75μ 3、已知 10000(1)100 x x l =- 计算下面各值： （1）30203030303010,,,d p q q （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。 4、设 ()1 , 0100100 0.1x S x x i =- ≤≤= 求：第一问： 130:101 (2)()t A Var z （） 第二问： 30:101 (2)()t A Var z （） 5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 1 , 060(t)60 0 , T t f ?<≤?=???其它 计算 0.90.91(2)() (3)Pr()0.9. x t A Var z z ξξ≤=（）的 6、假设（x ）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知0.040.06(),0x S x e x δ-==≥， 求：10t (1) (2)Var(z )x A ,
7、90岁的人生存情况如下表。求 1、死亡年末给付1000元的趸缴浄保费 8、现年30岁的人购买了一份递减的5年定期寿险保单。保险金于死亡年末给付，第一个保单年度内死亡，则给付5万元；第二个保单年度内死亡，则给付4万元——；第5个保单年度内死亡，则给付1万元，设年利率为6%，用中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表计算其趸缴纯保费。 9、假设有100个相互独立的年龄为x 岁的被保险人都投保了保险金额10元的终身寿险,随机变量T 的概率密度是()()0.04,0t T f t e t μμμ-==≥.保险金于被保险人死亡时给付,保险金给付是从某项基金中按利息强度0.06δ=计息支付.试计算这项基金在最初()0t =时的数额至少为多少时,才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95% 10、 假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且0.05δ=，计算（30）所购买的终身连续生存年金。用三种方法计算。 11、有一种终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的基础上增加死亡即刻给付X 万元。 假定利息力为5％，求：当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值的方差最小？ 12、 在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 （1）x a （2）T a 的标准差 （3） T a 超过x a 的概率。 13、 8x a =，25x a =，0.05δ= 14、 设一现值变量为,0(),()n T a T x n Y a T x n ≤≤??=?>?? 计算()x n E Y a - 15—20题 课本45页课后习题。
中国精算师考试：中国精算师风险与精算习题解答 1．风险的含义包括哪两个基本方面?请举例说明。 答：风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性、人的主观行为及两者结合所蕴涵的潜在后果。形象地说，从潘多拉魔盒中飞出去的各种天灾人祸与被留在魔盒中的不可预知或不确定性结合在一起便构成了形成风险的两个方面。例如，股票的涨跌与炒股者的买卖或不买或不买不卖行为便构成了形成风险的两个方面。 2．何谓风险态度?如何能够定量地刻画风险态度? 答：从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度，或者说是比较一群人各自的风险态度之间的差异程度。假如有n个决策者DM1，DM2，...，DMn为了达到某个决策目标O而提出一系列备选方案．f，g，...，h，要在其中选择一个或最满意的方案，在这个问题框架下，可以研究相对于某项或某些方案的潜在后果来考察某个决策者的风险态度或者比较决策者之间风险态度的差别。 3．简要四个保险精算问题。 答：(1)厘订费率：根据大数法则，保险人必须聚合足够多的同质性风险，把承保风险的保费大量地汇集，用以抵消少数小概率事件发生所造成的较大额度的赔付。但进行这项工作的一个基本前提是要对标的的损失分布包括损失的频度和每次损失的额度大小进行正确的预测；而在实务上要汇集大量同质风险这一条件是较为苛刻的，保险人承保多种从属于不同类别的风险，因而，对于风险非同质性的衡量，也同样是费率厘订所要解决的问题。 (2)准备金及其分配：保险人收取保险费以后，就要随时准备履行其承担的保险责任，及时地赔付可能发生的损失。为此，保险人必须从所收的保险费中提留部分资金作为准备金，并将该准备金分配至各险种业务，尤其是需要对所承保的巨灾风险提留恰当的准备金。这些工作都建立在对潜在风险的正确评估基础之上。 (3)再保险与自留额：保险人承保被保险人的风险，保险人为保证自己的财务稳定，可以将承保风险的一部分转移给再保险人。再保险决策不仅包括选择再保险的种类，更重要的是要根据公司的偿付能力决定公司的自留额以及相应的再保险额。这一决策对于不同的风险也不同，对风险评估的要求更高。 (4)资产负债配比与偿付能力：保险公司作为承担被保险人风险和保障被保险人经济利益的专门机构，必须有能力来保证对被保险人作出的承诺，这就是保险公司的偿付能力。按我国保险法的定义，它是"保险公司的实际资产减去实际负债的差额"；但偿付能力是一个动态的、具有相当不确定性的变数，它不仅与保险运营的诸多环节有关，更是与保险公司的基本精算问题如风险评估、费率厘订、准备金提留、投资策略、动态偿付测试等直接相关。这是个更具综合性的、更核心的保险决策问题之一。