利用函数与不等式解方案设计与决策型问题
一、从一道例题的解答看方案设计与决策型问题
引例：恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台，从北京某厂购得挖机10台。现在决定运往重庆分公司8台，其余都运往汉口分公司；从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台，从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台。
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应多少台？
解:(1）设上海运往汉口应x台，则
400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400
解得:x=4因此，若总运费为8400元，上海运往汉口应4台。
（2）若总运费少于8400元，有哪几种调运方案？
解:（2）由题意知：
200x+7600＜8400
解得:x ＜ 4
∵x为非负整数∴x=0、1、2或3
∴若要求总运费不超过 8400元，共有4种调运方案。如下表：
设总运费为y元，由题意知：
y= 200x+7600
∵200＞0 ∴x=0时y最小，为7600元。调运方案如下: 北京到汉口6台，北京到重庆4台，上海到重庆4台.
二、方案设计与决策型问题的差不多解题方法
方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所出现的要求进行运算，论证，选择，判定，设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致。其类型有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。
利用函数与不等式解决的方案设计问题的差不多方法是：（1）依照题意建立一次函数关系式；（2）依照实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范畴；（3）依照函数自变量的取值范畴，确定符合条件的设计方案；（4）利用一次函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。
三、2009年全国中考中的利用函数与不等式解决的方案设计问题
类型一、利用不等式解决的方案设计问题：
【2009绵阳市中考题】李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍旧相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．
（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？
（2）李大爷目前预备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．假如要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那
么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？要求出最大获利．
解：（1）设李大爷一年前买A 、B 两种种兔各x 只，则由题意可列方程为
x + 20 = 2x －10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔．
（2）设李大爷卖A 种兔x 只，则卖B 种兔30－x 只，则由题意得
x ＜30－x ， ①
15x +（30－x ）×6≥280， ②
解 ①，得 x ＜15； 解 ②，得x ≥
9100， 即 9100≤x ＜15． ∵ x 是整数，9
100≈11.11， ∴ x = 12，13，14． 即李大爷有三种卖兔方案：
方案一 卖A 种种兔12只，B 种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）； 方案二 卖A 种种兔13只，B 种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）； 方案三 卖A 种种兔14只，B 种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）． 明显，方案三获利最大，最大利润为306元．
类型二、利用函数知识解决的方案设计问题：
【2009清远市中考题】某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表可使y 值最小，最小值是多少？
【答案】解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+
（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)
x x x x +-??+-?≤…………≤……… 解不等式（1）得：30x ≤
解不等式（2）得：28x ≥
∴不等式组的解集为2830x ≤≤
150y x =+，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤
∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，
成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）
类型三、利用不等式比较方案的优劣：
【2009潍坊市中考题】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y （元）关于x （个）的函数关系式；
（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．
【答案】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x =
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+．
（2）当1y ＜2y 时，2.4x +16000＜4x ，解得：10000x <，
当1y ＝2y 时，2.4x +16000＝4x ，解得：10000x =，
当1y ＞2y 时，2.4x +16000＝4x ，解得：10000x >，
因此，当10000x <时，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低；当10000x =时，两种方案都能够，两种方案所需的费用相同；当10000x >时，选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．
四、差不多训练
1．（2009威海）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．
已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．
(1)至少购进乙种电冰箱多少台？
(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
2．（2009年益阳市）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数许多于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.
3．(2009年内江市)我市部分地区近年出来连续洪涝现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的方法筹集资金爱护和新建一批储水池。该村共有243户村民，
已知可支配使用土地面积为106㎡，若新建储水池X 个，新建和爱护的总费用为y 万元。
（1）求y 与x 之间的函数关系；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
4．（2009仙桃）宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒)，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买)，书包和文具盒的单价分别是54元和12元．
(1)若有x 名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范畴)；
(2)若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？现在选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？
5．（2009襄樊市）为实现区域教育均衡进展，我市打算对某县A 、B 两类薄弱学校全部进行改造．依照预算，共需资金1575万元．改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所？
（3）我市打算今年对该县A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地点财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地点财政投入的改造资金许多于70万元，其中地点财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过运算求出有几种改造方案？
6． (2009年眉山市) “六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A 、B 、C 三种新型的电动玩具共50套，同时购进的三种玩具都许多于10套，设购进A 种玩具x 套，B 种玩具y 套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，
⑴用含x 、y 的代数式表示购进C 种玩具的套数；
⑵求y 与x 之间的函数关系式； ⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。
①求出利润P(元)与x (套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出现在三种玩具各多少套。
7．（2009年十堰市）为执行中央“节能减排，美化环境，建设漂亮新农村”的国策，我市某村打算建筑A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号
(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．
(2)通过运算判定，哪种建筑方案最省钱．
8．（2009年哈尔滨）跃壮五金商店预备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过运算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂型 号 Ａ Ｂ C 进价(元／套) 40 55 50 售价(元／套) 50 80 65
购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
9．（2009年齐齐哈尔市）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机阻碍，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，假如卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司估量用不多于5万元且许多于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）假如乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？现在，哪种方案对公司更有利？
10．(2009年鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按打算20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，依照下表提供的信息，
解答以下问题
(1)设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式．
(2)假如装运每种土特产的车辆都许多于3辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。
(3)若要使此次销售获利最大，应采纳(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。
【答案】
1．（2009年威海市）威海解：（1）设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台， 丙种电冰箱(803)x -台，依照题意，列不等式：
120021600(803)2000132000x x x ?++-?≤．
解那个不等式，得14x ≥．
∴至少购进乙种电冰箱14台．
（2）依照题意，得2803x x -≤．
解那个不等式，得16x ≤．
由（1）知14x ≥．
1416x ∴≤≤．
又x 为正整数，
141516x ∴=，，．
因此，有三种购买方案：
方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；
方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；
方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．
2．（2009年益阳市）解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元
依题意得：???=+=+3152183y x y x ，解得：???==5
3y x 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元
(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本
依题意得：?
??≥-≤-+a a a a 48200)48(53 ，解得：2420≤≤a 因此，一共有５种方案．即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24．
3．(2009年内江市)解：（1）由题意得y=4x+3(20-x)，即y=x+60
（2）由题意得5x+18(20-x)≥243,4x+6(20-x)≤106，即x ≤9，x ≥7，∴7≤x ≤9
故满足要求的方案有三种：
新建7个修理13个；新建8个修理12个，新建9个爱护11个
（3）由y=x+60知y 随x 的增大而增大
∴当x=7时，y 最小=67（万），当x=9时，y 最大=69（万）
而居民捐款共243×0.2=48.6（万）
∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万
4．（2009仙桃）解：（1）设有x 名同学参加购买书包，则有()300x -名同学购买文具盒，因此可购买书包6x 个，购买文具盒3002
x -个. 因此购买学习用品的总件数y 与x 的关系式为：30062x x y -=
+，即11503y x =-+. （2）设有x 名同学参加购买书包，依照题意得
30054122300,621150903
x x x -??+?>????-+≥?? 解那个不等式组，得21661803
x <≤. 又因为6人合买一个书包，故购书包的人数应为6的倍数，
因此购买书包的人数应为：168，或174，或180
相应购买文具盒的人数为：132，或126，或120.
∵总件数y 与x 的关系式为：11503
y x =-+，y 随x 的增大而减小 ∴当168x =时，总件数最多.
5．（2009襄樊市）解：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：22302205a b a b +=??+=?，解之得6085
a b =??=? 答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．
（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n +=
173151212
m n =-+ ∵A 类学校不超过5所 ，∴1731551215n -
+≤，∴15n ≥ 即：B 类学校至少有15所．
（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：
()()507064*********x x x x +-???+-??≤≥，
解之得14x ≤≤，∵x 取整数，∴1234x =，，， 即：共有4种方案．
6．（2009眉山）解：（1）购进C 种玩具套数为：50－x －y （或47－
54x －10
11y ） （2）由题意得405550()2350x y x y ++-=
整理得230y x =-
（3）①利润＝销售收入－
进价－其它费用(5040)(8055)(6550)(50)200p x y x y =-+-+----
又∵230y x =- ∴整理得15250p x =+ ②购进C 种电动玩具的套数为：5050(230)803x y x x x --=---=-
据题意列不等式组102301080310x x x ≥??-≥??-≥?，解得70203x ≤≤ ∴x 的范畴为70203x ≤≤，且x 为整数 x 的最大值是23
∵在15250p x =+中，15k =＞0 ∴P 随x 的增大而增大
∴当x 取最大值23时，P 有最大值，最大值为595元．现在购进A 、B 、C 种玩具分别为23套、16套、11套．
7．（2009年十堰市）解: (1) 设建筑A 型沼气池 x 个，则建筑B 型沼气池(20－x )个
依题意得: ()()?
??≥-+≤-+492203018365202015x x x x 解得：7≤ x ≤ 9
∵ x 为整数 ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．
(2)设建筑A 型沼气池 x 个时，总费用为y 万元，则：
y = 2x + 3( 20－x ) = －x+ 60
∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小，
当x =9 时，y 的值最小，现在y = 51( 万元 )
∴现在方案为：建筑A 型沼气池9个，建筑B 型沼气池11个．
8．（2009年哈尔滨）解：（1）可列分式方程求解，但要注意检验，否则扣分；（2）依据题意列出不等式组，注意不等号中是否有等于，依照未知数都为整数，再结合不等式组的解集，确定未知数的具体数值，有几个值，即有几种方案.
解：（1）设每个乙种零件进价为x 元，则每个甲种零件进价为(2)x -元．由题意得
801002x x
=-， 解得10x =．
检验：当10x =时，(2)0x x -≠，∴10x =是原分式方程的解．
1028-=（元）
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设购进乙种零件y 个，则购进甲种零件(35)y -个
由题意得3595(128)(35)(1510)371
y y y y -+??--+->?≤， 解得2325y <≤． y 为整数，24y ∴=或25．∴共有2种方案．
分别是：
方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；
方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．
9．（2009年齐齐哈尔市）解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价x 元
100000800001000x x
=+，解得：4000x = 经检验：4000x =是原方程的根，因此甲种电脑今年每台售价4000元．
（2）设购进甲种电脑x 台，4800035003000(15)50000x x +-≤≤
解得610x ≤≤，因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，因此共有5种进货方案
（3）设总获利为W 元，
(40003500)(38003000)(15)(300)1200015W x a x a x a
=-+---=-+- 当300a =时，（2）中所有方案获利相同．
现在，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．
10.(2009年鄂州)解：（1）8x+6y+5(20―x ―y)=120
∴y=20―3x ∴y 与x 之间的函数关系式为y=20―3x
（2）由x ≥3，y=20－3x ≥3， 20―x ―(20―3x)≥3可得3
25
3≤≤x 又∵x 为正整数 ∴ x=3，4，5
故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆
方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆
方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆
（3）设此次销售利润为W元，
W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920
∵W随x的增大而减小又x=3，4，5
∴当x=3时，W最大=1644（百元）=16.44万元
答：要使此次销售获利最大，应采纳（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。