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全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)

一九九八年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、填空题

1.设15+=m ,那么m

m 1+

的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于厘米. 3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .

4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .

5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.

6.满足19982+2m =19972+2n )1998

0(<<

8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ?⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米.

9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且ABF ?的面积为5平方厘米,BCE ?的面积为14平方厘米,那么四

边形BEGF 的面积是____________平方厘米.

10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.

11.设),(b a 为实数,那么b a b ab a 222--++的最小值是__________.

12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.

13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是____________.

14.直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为厘米.

15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S =10A +9B +8C +7D +6E +5F +4G +3H +2I ,

r 是S 除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r .(若r =0,则规定J =0;若r =1,规定J 用x 表示)

现有一本书的书号是962y 707015,那么y = .

第二试

1.求所有正实数a ,使得方程043=+-a ax x 仅有整数根.

2.已知P 为?ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M 、N 分别为PB,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证:

(1)P ,Q,O 三点在一条直线上;

(2)PQ =2OQ .

3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一九九八年

第一试

1．3

15+=m ，4151

511-=+=m ， ∴ 435451+=+

m m ，31=??????+m m . 2．

322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ?=∠45BAD ，

1==AB AE ，2=EB ，又C D A ?∽CBE ?，3

2==CE AC EB AD ，∴

2232==EB AD . 3．2

2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x

22)1()1(22=+--+--=x x x x x .

4．3

因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.

得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .

5．3

16 由原图 AE

FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF

AE FG -=2

163352=-=(厘米). 6．16

47175399522??==-m n ,

47175))((??=+-m n m n .

显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=???(个).

7．11

11个相继整数的平方和为

22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x

22)10(11y x =+=,

则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .

8．39

∵ MBP ?∽CBA ?，

3:1:=??CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,

∴ 32=BA ，13=AC . 39133221

=??=?ABC S .

9．2720

∵ 72==??ABC ABF S S BC BF ，同理5

4=BA BE

由原图，连BG .

记a S AGE =?，b S EGB =?，c S BGF =?，d S EGc =?.

又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，

解之得 2728=b ， 27100

=c .

∴ )(2720

427128

平方厘米==+=c b S BEGF .

10．13

由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2)

1(321+=++++n n n ≤100,

∴ n ≤13，所以至多有13人.

11．-1

b a b ab a 222--++

b b a b a 2)1(22-+-+= 4

12343)21(22--+-+

=b b b a 1)1(4

3)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 02

1=-+b a ，01=-b ，即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.

12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=

(1≤m

因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.

13．15

设算式

∴ A ≤6.

35876543219)(2=++++++=++B A .

∴ 8=+B A .

欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.

14．62

如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,

NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-?∠=∠-?=∠180180，

QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，

∴ MPQ ?∽QPN ?，

a c f

B b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+B

b +e =9+A

PQ PQ MP =， 62=?=NP MP PQ (厘米).

15．7

213047506778296109?+?+?+?+?+?+?+?+?=y S

∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为

6-1=5, ∴y =7

第二试

一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，

则???>=>=+0

4,0a xy a y x

2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 4

-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；

7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .

于是25=a 或18或16均为所求.

说明没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.

二、证明如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ?中，∵OC AO =，NC PN =，

∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =

在PDB ?中，∵BO DO =，MP BM =，

∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =

这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.

三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）

以上5个数可用以下步骤找出：

第一步：2,3,4为满足要求的三个数.

第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.

第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.

1998年全国高中数学联赛试题及解答

一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1 (C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数 2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) ? 3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A ) 150 (B ) - 200 (C ) 150或 - 200 (D ) - 50或400 4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0的解集相同；命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1 c 2 ．则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件 (B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 2 2 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( ) (A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 1 1000 ，则f (9819)，f (10117)，f (10415 )由小到大排列是． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种. 4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项. 5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是． 6．?ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 的中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________. 三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π 2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一一试（考试时间：80分钟满分100分）一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数是。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最小值为。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。（1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值；（2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二试（考试时间：150分钟总分：200分）一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。求证：直线PA 与BC 垂直。二、（本题50分）正实数z y x ,,，满足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。。 O 2

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲含参数的一元二次方程的整数根问题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根．解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是

这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .