第2章 导数与极限 自测题1
一．选择题
1．
．
2．
3． ．
4．
． 5．设有两命题：
6．
7．
8．
（ ）
9.
处连续，
，在， ，设函数1141313)(=???
??=≠+-++=x x x x x b ax x f 表示为（ ），用数组，则常数)(b a b a )22()22()22()22(，． ，． ，． ，．D C B A ----处不连续的是（ ）下列函数在0=x ．，，
，．
；
， ，
，．；， ，
，．
；
， ，，．???<-+≥--=???<-≥+=???
??=≠=?????===-01)1(2012)(00)1ln()(0001sin )(000)(2
21
2x x x x x x f D x x x x x f C x x x
x x f B x x e x f A x
的值是（ ）
极限x x
x 3cos ln cos ln lim 0→61913131． ． ． ．D C B A -的值为（ ）
极限)
1ln(cos 1lim
0x x x
x +-→61413121． ． ． ．D C B A )())()((lim )(lim )(lim ""0)
()
(lim
0)()(lim 0)(lim ""0
0则必不存在。不存在。则存在，：若命题；则，存在，且，：若命题x g x f x g x f b x g x f x g x g x f a x x x x x x x x x x x x +=≠=→→→→→→都不正确。，．正确；不正确，．
不正确；
正确，．都正确；，．"""" """""""" """"b a D b a C b a B b a A 比较是（ ）与时，当2)cos 1(sin 20x x x x -→．低阶无穷小．．高阶无穷小；．等价无穷小；
；．同阶但不等价无穷小D C B A )
(sin lim
=-→ππx x
x 极限．．； ．； ．； ．∞-D C B A 101为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n
2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m ．，．； ，．； ，．； ，．)13()31()23()32(D C B A 型为（ ）
，则此函数间断点的题、的间断点为函数2123122=+--=x x x x y
二．证明与解答题
1． 1．
2． 2．
3． 3．
4． 4．
5． 5． ．
6． 6．
7． 7．
8． 8． 设，试直接利用导数定义求。 9． 9． 设在处可导，且，求极限
。
10． 10．
11．
11．
12．
12．
。
13．，
14．
第2章 导数与极限 自测试题2
一．选择题
1．
是第一类．
是第二类，．是第一类；是第二类，．都是第二类；，．都是第一类；，．21212121======x x D x x C x B x A ．
，求设 y b a e x b a y x x
x '>>-+=)0,0(arctan 23．求处处可导设)()),(cot(sin )(,)(x g x f x g x f '=，
，的可导函数，均为，其中设 0)(0)()(),(log )
()(>>=x v x u x x v x u y x v x u ．求)(,1)(x y x u '≠已知，， ，，求．f x x x
x x f x ()sin ()=≠=???
??'2
1000y e
y x y y x
y
x ''==+求所确定由方程设,)(.
0,.cos cos sin sin )(的值在求所确定由方程设=???+=+==t dx dy
kt t k y kt t k x x y y 处不连续，试判定
在处连续，在设00)()(x x g x x x f =处的连续性．
在0)()()(x x g x f x F +=x
e x
f 3)(=)(x f ')(x f 1=x 2)1(='f t f t f t 3sin )
1()21(lim
-+→点可微．在，
之值，使
求00,)1(0,)(,2
=???>-≤=t x x b x e x f b a ax 求极限．
lim
ln(sec tan )
sin x x x x →+0x e x x f f f x x f x x 20sin )
tan (lim
3)1(0)1(1)(2
+='==→，试求，可导，且在已知 x x b a x x x f 22sin )
sin (sin sin 1)(+-++=
设的值．，的可去间断点，求是若b a x f x )(0=。 ，求设 )(2)673ln(n y x x y -+=（ ）
处连续，则在 ，如果，，设函数==???≥+<=b x x f x b x x x x f 0)(020cos 3)(4321． ． ． ．
D C B A
2．
3．
（ ）
4． （ ）
5．
（ ）
6．
（ ）
7． （ ）
8． （ ）
9． （ ）
10． （ ）
的值是（ ）
处连续，则在 ，则，，设k x x f x x x x kx x f 0)(020tan )(=???
??≤+>=2121--． ． ． ．
D C B A 的值是
极限11)
3arcsin(lim
--→x x x 662323． ． ． ．D C B A --的值是
极限)
31ln()
21ln(lim 22
0x x x -+→94
32312．
． ． ．D C B A --处连续的极限式是在不能导出0)(x x f y =[][]存在
．．．．x x f x x f x y
D x x f x x f C x f x f B x f x x f A x x x x x x ??-?+=??=?--?+==-?+→?→?→?→→?)()(lim lim
)()(lim )
()(lim 0
)()(lim 000000
0000
．，若)0(0)
(lim 0)(lim 100>≠==+→→k c x x g x x f k x k x 的关系是与，无穷小则当)()(0x g x f x →比较无肯定结论．与．的同阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．的高阶无穷小；为．)()()()()()()()(x g x f D x g x f C x f x g B x g x f A 的值为
，则已知a x x x a x 21
sin cos lim 0=-→．．； ．； ．； ．1210-D C B A 的
是无穷小量－时，无穷小量当12111-+→x x x
x ．低阶无穷小量．
．高阶无穷小量；量；
．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；D C B A 的间断点是
函数x x x y 11111-+-
=．，，．有三点；，．只有两点；
，．只有两点； ，．只有两点110111010-=-=-==x D x C x B x A 是内存在零点的充分条件，在函数)()(b a x f
二．解答题
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9． 10．设，其中在处可导，且
试证：与x 为的同阶无穷小。
11．
12．
13．
第3章 微分学基本定理 自测试卷1
1．求下列极限
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）；（6）。
[][]．
上连续，且，在．；上连续，且，在．上连续；
，在．；
．0)()()(0)()()()()(0)()(<<
x
=->>'3400()．．求设 y b ax y ''+=)arctan(2
设 处处可导，且，求
f x f x d dx f x f x ()()()>???
?
??0．．求且可导均为对，其中设)(0)(,)()(,))(1(
)
(x y x f x x g x f x f y x g '>=．
并在可导处求的可导性试讨论， ，设 )(,)(,010
)(tan x f x f x x e x f x '???<≥=设 由方程所确定其中为可导函数求．
y y x x f y x f y dy
dx y ==+()(),(),处的切线方程。求此曲线在设曲线方程为2,sin sin 22
2=???+=++=x t t y t
t x 000)()()()()(x x g x x g x f x x x f 在处也连续，则能否得出在处连续，在若=?例说明）．如作否定性回答，请举
定回答，请给出证明，处也连续，（如何作肯求的间断点，并判定其类型．f x x
e x ()=+21
x x x x f 5tan )()(?=
?)(x ?0=x 1)0(,0)0(='=??)(x f 0→x 设 求．y x x x y n =
-+2
32()
求极限．
lim sin tan x x x
e e x →-03．并求点可导在点连续．证明在设)(,sin )()()(ππ?π?
f x x x x f x x '===x xe x x x sin lim 20-→x x x πcot )
1ln(lim 01--→)1ln(ln lim 01x x x -?-→??????+-+→x x x x 1)1ln(1lim 0 x
x x cot 0)4tan(lim ??????-→πx x x )(sin lim 0+→
2．
3．
4.
5．试证明
6．
7．
8．
9.
10．
11．
12．
第3章 微分学基本定理 自测试卷2
1．计算下列极限
（1）；（2）；（3）。
2.
3.
4.
5.
。
[][]，，，证明至少有一点上连续，且，在设a a f f a x f 0)2()0(20)(∈=ξ．使得)()(a f f +=ξξ,012)1(3,,,12
121=--++-
-n a a a a a a n n n 满足设实数.
)2,0(0)12cos(3cos cos :21内至少有一个实根在证明π
=-++x n a x a x a n ,
0)2(,)2,0(,]2,0[)(=π
ππf x f 且内可导在上连续在设.
0)()tan()(),2,0(='?+∈ξξξπ
ξf f 使证明存在一点,1)0()()( : ),()(=='+∞-∞f x f x f x f 及上可导并满足在若.)(x e x f =则用拉格朗日中值定理证明当时,,ln .
x e x x x >-<01
,2)1(,1)1()1()0(,]1,1[)(='==-=-f f f f x f 且上有三阶导数在设.6)(),11(='''<<-ξξξf 使试证明至少存在),1,0(,)1,0(,]1,0[)(∈ξ则存在内可导在上连续在如果函数x f )].0()1([2)(f f f -='ξξ使
.
21
)(02阶泰勒展开式的处的带拉格朗日型余项在求n x x x f ==.12cos )(2
克劳林展开式阶的带皮亚诺余项的麦的求+=n x x f 利用泰勒展开式计算极限lim
.x x e
x x →-+0
2
2
4
21，阶的导数且上有直至在设0)()()(4],[)(==+=-+-a f h a f h a f h a h a x f .12)()(2
)4(h M a f M x f ≤
''≤，试证明 30)1(sin lim x x x x e x
x +-→x
x x 112tan lim ??? ??+∞→π 111)12(lim --→-x x x x e []，至少有和，证明：对任意正数上连续，，在设q p b d c a b a x f <<<)([]．适合 ，一点)()()()(ξξf q p d qf c pf d c +=+∈验证罗尔定理对在上的正确性f x x x x ()[,].=+---32
581212设为偶数且试证方程仅有一个实根n a x a x a x n n n
,,.().≠+=+=00使证明存在上可导在设),,(,],[)(b a v b a x f ∈ξ[]
)()(3)()(123
3ξξξξf f b f a f a b a b '+=-
6.
7.
8.
9.
10.
。
11.
12.
第4章 导数的应用 自测试卷1
一．填充题：
1． 1． 函数
＿＿＿. 2． 2．
＿＿＿. 3． 3． 曲线
＿＿＿. 4． 4．设商品的需求函数为Q 与P 分别表示需求量和价格，若已知该商品的需求弹性的绝
对值大于1，则商品价格的取值范围为＿＿. 二．选择题：
1. 1. 已知
( )
(A)不一定可导; (B)一定可导,但;
(C) (D)
2. ( ) (A) (B) (C) (D)
3. 已知函数对一切满足，且
（），则 ( )
（A ）是的极大值； （B ） 是的极小值；
（C ）
是曲线的拐点；
（D ）
不是的极值；也不是曲线的拐点。
4.设 则 ( ) (A) (B)
(C); (D)
5. 设 ( ) 证明当时:,
arctan arctan .01122
<<-+<-<-+a x x a x x a x a
a 与且曲线内有二阶导数在连续在已知函数)(0)1()0(,)1,0(,]1,0[)(x f y f f x f ===.0)(,)1,0(,)1,0(,<ξ''ξ∈=f x x y 使内至少存在试证明在时有交点当直线:,0)0(,)(],,0[)(证明应用拉格朗日中值定理存在且单调减少定义在设='f x f c x f ).()()(0
b f a f b a f
c b a b a +≤+<+≤<≤恒有对于).(,)(带拉格朗日型余项阶麦克劳林展开式的求n xe x f x
=的五阶麦克劳林展开式求x x x y sin )1ln(2-++=)(表示式不要求写出余项的具体利用泰勒公式计算极限lim sin ().x x e x x x x →-+031,
0)()()(2)(0)12(000===''='-x f x f x f k x x f k 阶导数且的某邻域内有在设).
()( , , ,0)(000)
2(x f x f x x f
k <<在该领域内的一个去心邻域试证明：存在）上的最大值是，在（∞+-=0ln 8)(2
x x x f =?=x x y x
的极小点是2=?=k e x y x
的曲率在具有水平切线的点处()()()()处在则1,1011lim
7
1
==--→x x f x f x f x 0)1(≠'f 不是极值；但)1(,0)1(f f ='的极小值。是)()1(,0)1(x f f f ='()）内，则在（）内，
在（若0,0,00),(∞->''>'∞+--=f f x f x f ;0,0<''<'f f ;0,0>''<'f f ;0,0<''>'f f .0,0>''>'f f )(x f y =x x
e x
f x x f x --='+''1)]([3)(20)(0='x f 0
0≠x )
(0x f )(x f )(0x f )(x f ），（)(00x f x )
(0x f )(x f ），（)(00x f x )()(,,)(212121x f x f x x x x x f >>∞+∞-时，都有当）内可导，且对任意，
在（.0)(,>'x f x 对任意.0)(,≤-'x f x 对任意单调增加函数)(x f -单调增加。函数)(x f --处在）
（处取得极大值，则都在两函数a x x g x f x F a x x f ===)()()(
(A)必取得极大值 (B)必取得极小值
(C)不可能取得极大值 (D)是否取得极值不能确定.
三. 求函数 四. 求曲线
五. 设顶点在下的正圆堆形容器,高10米,容器口半径是5米,若在空的容器内以每分钟2立
方米的速率注入水,求当水面高度为4米时
(1) 水面上升的速率 (2)水的上表面面积的增长率. 六. 1. 证明:当
2.
七. 求曲线
八. 设火车每小时所耗燃料费用与火车速度的立方成正比.已知速度为20km/h 时,每小时的燃料费用为40元,其他费用为每小时200元,求最经济的行驶速度.
九. 已知市场对某种商品的需求量为,该商品的批发单价(即进货价)为每件10(千元).货源充足.问经销商在销售时,若不考虑其他销售成本,售价在什么范围内可通过涨价来使销售利润增加.在什么价位上,价格的任何变动都会使利润减少?
十. 十一.
试证明:
第4章 导数的应用 自测试卷2
一．填充题：
＿＿.
＿＿.
＿＿＿.
二. 选择题.
2.
(A) (B) (C) (D)
3.设
必有 ( )
.
)1(32
)(32
的极值--=x x x f .ln 2
的凹凸区间及拐点坐标x x y =1ln 0-≥>x x x x 时，有的大小。与试比较
设αβαβπ
βαtan tan ,2
0<
<<.
,)0(531
3）的最小值（）处曲率半径上点（x R y x x x y >=
p Q 2100-=证明：处二阶导数连续，且在设.0)0(,0)0(0)(≠'==???x x .0)()cos 1()(处必有拐点
在曲线=-==x x x x f y ?).
()(,,)()(x g x f a x x g x f '≤'≥时且当都是可微函数和).
()()()(,a g x g a f x f a x -≤-≥有时当[]=+=),(,0cos 2.1M m m M x x y 分别为和最小值上的最大值在函数π在拐点处的切线方程为曲线24
4.22
-+=
x x y =--=n x x x y 上拐点的个数为曲线35102.34
5
[]).(),(.0)()()()(,),(,,)(),(.1时有不等式则当且内可导上连续在设b a x x g x f x g x f b a b a x g x f ∈<'+';)()()()()(a g x g a f x f A >;
)()()()()(b g x g b f x f B >);()()()()(a g a f x g x f C >);()()()()(b g b f x g x f D >())
(,21
sin )0()(lim ,)0)(,()(20则必有且内有定义在设=->+-→x f x f x f x δδδ.)()0(的最大值是x f f .)()0(的最小值是x f f .)()0(的极大值是x f f .)()0(的极小值是x f f ，则连续，可导，且，在其中0)()()(,))(()(3
>'∞+-∞='x x x x f ???
(A) (B) (C) (D) 4. ( )
.
5. ( ) (A)； (B)； (C)； (D)。
.)(）上单调增，
在（∞+∞-x f .),()(上单调减在+∞-∞x f .),()(上是凸函数在+∞-∞x f .),()(上是凹函数在+∞-∞x f 的极大值点，则是内有定义在设函数)(0,),()(0x f x x f ≠+∞-∞;)()(0的驻点必是x f x A 的极小值点
必是)()(0x f x B ---的极小值点必是)()(0x f x C --)()()(0x f x f x D ≤都有对一切必有则对任意且是严格单调增加的
内可导在设,,,),()(x x f +∞-∞0)(>'x f 0)(≥-x f 0)(≤-'x f []0)(≥'
-x x f
三.
四．
五．设一球状雨滴在下落过程中蒸发速率（即体积减少的速率）正比于雨滴的表面积，试
证明：其半径的减少率为常数。 六．
七．曲线
八．
九.
十
．
。
第5章 积分 自测题1
一、选择题
(2)
（ ）
（3）
，则有 （ ）
（4）则下列函数中 ，必为偶函数的是 （ ）
.10)1()(定的自然数上的最大值，其中是给在求≤≤-=x x nx x f n
.
),2()0)(cos 1(处的曲率在点求极坐标曲线a a a r π
θ>+=.
20032002.2)
2
0(1cos 2.120022003之间的大小与利用导数比较证明不等式
π
π
≤
≤≥+x x x
轴交点分点处的切线及法线与在常数y A a x a y )0,1()0)(1(2
>-=.面积最小
使。求及别为ABC a C B ?.
),(222,24,).(3
2
10.,3并求此时的最大利润多大时有最大利润问每星期生产水平定在吨万元吨，则销售价可定为若每星期可销售万元每星期也须开支若不进行生产万元吨产品的成本为生产一个周期生产与销售以一星期为某厂生产某种商品Q Q Q Q Q --
.,11
,02的取值范围求有且仅有一解方程时设当k x kx x =+
≠(),
0)(,0)(,)0(),(0000=''='>+-'''x f x f x x x f 且内连续在设δδδ0)(0>'''x f .
)()1(:0的极值点不是函数试证明x f x ().
)(),)(2(00的拐点是曲线x f y x f x =(1)
?=b
a x x x
d arctan d d （ ） 0
)(arctan arctan )(11
)
(arctan )(2D a b C x B x A -+
=
=-==+-?
2
2
1
d d 0d )(2
t t
x u t x u e t t x x 所确定的，则
是由方程若2222()2 () ()()2A e B e C e D e -- ,
)cos (sin ,cos 1sin 2
2
22
4342??--+=+=π
ππ
πdx x x N xdx x x
M 设
?--=22
432)cos sin (π
πdx
x x x P N M P D P M N C N P M B M P N A <<<<<<<<
)()()()(是连续函数，设)(x f
二、
三、
四、
。
五、设 在上连续，在内可导，且 。求证：在内至少存在一点，使。
六、
。
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
????-+--x
x
x
x t
t f D t t f t f t C t t f t f t B t t f A 0
20
2
d )()( d )]()([)(d )]()([)( d )()(
．求 ，，设?-???????≥+<+=20)1( , 0
11011
)(dx x f x x x e x f x
的拐点．
的极值和它所表示曲线求函数?--=x
dt t t y 0
2)2)(1([]内
，试证明在，可微，且，在设)10()(2
)1(10)(2
1
12
?
-=dx x f e
f x f x )(2)( ξξξξf f ='，使至少存在一点)(x f ],[b a ),(b a )(d )(1
b f x x f a
b b
a
=-?)
,(b a ξ0)(='ξf ，
是连续函数，且 ，其中 ，，设1)0()(00)()(2 0
=?
????=≠=?f x f x a x x dt
t tf x F x =
=a x x F 处连续时，在则当0)(?
-→x
a
a x f dt t f a x x
)(lim
为连续函数．
，其中求极限．
求 ， ，，且为连续可导函数，又设)0( , 000)()()(0)()(00
F x x dt t f dt
t tf x F x f x f x x '????
???=≠=≠??．
计算极限 ?
?+++→10
2
2
)1ln()cos 1(sin lim
x x x dt
t t dt
t ．
， ，计算)00(4sin )(lim
30
>>-?
?
-→b a tdt dt
b a x
x
t t x ．
计算?
?
--+
→x
x x dt
t t t dt t t 0
)sin (tan )(tan lim 2．
计算?
?+→x
x
x dt
t dt t 3tan 0
sin 00
sin tan lim
十三、
十四、
十五、
第5章 积分 自测题2
一、选择题 （1）
（ ）
（2）
（ ）
（3）
（ ）
（4）
（ ）
二、 三、
。
．
计算??-→0
2
2
020
)sin (sin lim
2x x x dt
t t t
tdt
．
，求 连续，且，在设2
))((lim
2)0()()(x
dt
du u f f x f x
t
x ?
?→=∞+-∞的值．
，求已知a x
x dt
t a t x
x 3sin lim
20
=-+?
→='=
?-)(d )()()( x F t t f x F x f x
e x
，则是连续函数，且设)()()( )()()()
()()( )()()(x f e f e D x f e f e C x f e f e B x f e f e A x x x x x x x x +-+----------- =
+=?
)( , )(2)( )(1
x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设2)( 1)(2
2)( 2)(2
2+-+x D x C x B x A
为，则 又设，，已知
)()20( d )()(2111
0)(1
2x F x t t f x F x x x x f x ?≤≤=
???≤≤<≤=?????≤≤-<≤-?????≤≤-<≤?????≤≤<≤-?????≤≤<≤2111
03
1
31)(2111031)(21103
131)(211031)(3333x x x x D x x x x C x x x x B x x x x A ， ， ，， ， ， ，， =∑
=+∞→n
i n i n e n i 1
)
(22lim 2
2)()()
1(2
1)(1)(---e D e C e B e A ．
，求设?
--≤1
1
1dx e y x y x ?
++∞
→=+1
1
cos lim
x x
x t
t dt x 证明：
四、
五、
六、
七、
八、
九、
第6章 积分法 自测题1
一、填空题 （1）定积分
值的符号是 。
（2）设在[1,3]上连续,则 . （3） 。 （4） .
二、计算题 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
．
计算x
dt
t x x cos 1cos lim
2
20
-?→．
计算)
(sin 2sin )1ln(lim
320
2x udu u x x ?
+→．计算1)
1ln(lim
2
2sin 0
-+?
→x x
x e dt t t ．
，，
计算)0.0()1ln()(lim
20
00
>>+-??→b a dt t dt b a x x
t
t
x 已知：，求的值．
lim x x x
t a t
dt a →+=?
04
1
12
．
求1
)(arctan lim
2
2+?
+∞
→x dt t x
x ．
求1
)(arctan lim
2
2+?
+∞
→x dt t x
x 4520
(sin sin )x x dx
π
-?
()f x '3
2 1()
1()f x dx f x '=+??=
'x x f x x x
x f d )(,sin )(则的一个原函数为设?=x x x
d ln 2
3
?
+x x d )56(4
x
x x d sec tan 4??
x x x x
d )ln (ln 12?--.
d cos 2
3x x x ???
-x
x
x x d 1)(arccos 2
2
（6）
（7）
（8）
第6章 积分法 自测题2
一、填空题 （1）积分的大小关系是 。
（2）函数
为 。
（3） 。
（4）
。
二、计算题 （1）
（2）
（
3） （4）
（5）
（6）
（7）
（8）
三、
，
第7章 定积分的应用与广义积分 自测题1
一、填空题 1．
。
?
-e e
x x x dx )
ln 1(ln ?
++3
1
221)12(x x dx
?+4
022)tan 1(sec π
dx x x x 22
212 1
1
ln ln()I xdx I x dx
==??与[] 2 02()011x
t
f x dt t t =-+?
在，上的最小值
,ln )sin 1()(x x x f ?+的一个原函数是已知?
='x x f x d )(则12=
?
x x x x d )1
1(2?-
?x
x x d sec tan 3 x x x x
d cos sin tan ln ???
+++311d x x x
x x x x
d )1)(1(222?++?
+101
2dx
e
x dx
x x x ?
+1
3
1
)
1(arctan ?
-2
2
32
)
4(x dx [][]上至少存在闭区间上有连续导数，试证在在设a a x f ,0,0)(，使一点ξ2)
()()(2
0a f a af dx x f a
ξ'-=?
为正的常数．其中a ___
____________________0
2
=?+∞
-dx xe x 广义积分
2.
。
二、选择题
1曲线及所围成的平面图形的面积 ( )
2曲线和所围成的平面图形的公共部分的面积( )
3 由曲线和
所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积为
( )
4 星形线的全长为 ( )
5 一圆盘的半径为,而密度为,其中为圆盘上一点到圆心的距离,则其质量
( )
6 一火箭有燃料,发射升空后耗尽,设燃料消耗是均匀的,则运送燃料所做的功是 ( )
__________________1
n x dx
n 收敛，则自然数若广义积分?
+∞
,x x
y e y e -==x e =A =0
1()()()(ln ln )()()()()e e e e
e e x x
e e e
e
x x
x x
A e e dx
B y dy y
C e e dx
D e e dx
---------???? 3cos ρθ=1cos ρθ=+A =4
4342432322
022
022
022
011()(1cos )(3cos )22
11()(1cos )(3cos )22
11()2(1cos )(3cos )22
11()2(1cos )(2cos )22A d d B d d C d d D d d π
πππππππ
πππ
πθθθθθθθθθθθθθθθθ++++++?++?????????? ()32
1y x =-2
x =x 1() ()()()2344A B C D πππ
3
3cos sin x a t y a t ?=??
=??2
2
2
220
2()4sec 3cos (sin )()2sec 3cos (sin )()2sec 3cos (sin )()4sec 3cos (sin )A t a t t dt
B t a t t dt
C t a t t dt
D t a t t dt π
π
π
π
?-?-?-?-???
? R ()
r ρr M =0
()()()2()()2()()4()R
R
R
R
A r dr
B r dr
C r r dr
D r dr
ρπρπρρ???? M H W =20000()(1)()(1)()(1)()H
H H H h h
A M gh dh
B M ghdh H H
h C M gdh D M ghdh H -
--????
7 两个半径为的直交圆柱面所围立体的体积 ( )
8 设
是由抛物线与直线所围成平面图形, 是由抛物线
与直线所围成平面图形(),设,分别绕轴,轴旋转而得
到的旋转体的体积为
,
,则
+
为最大时的
值是 ( )
9 之值 （ ） 。
二．求解下列各题
1求心脏线和直线及围成的平面图形绕极轴旋转所成的旋转
体的体积.
2 设曲线
.过此曲线和轴交点及作曲线的两条法线,求曲线与这两条法线所围成的平面图形的面积最小时的值.
3 求由不等式
及所确定的平面区域的面积. 4 求由曲线
)及直线所围成的平面图形(图中阴
影部分) 绕轴旋转而成的立体的体积.
5 求由曲线及轴所围成的平面图形绕直线旋转而成的旋转
体的体积.
6 曲线
绕轴旋转得一旋转体,若把它在与之间的一个旋转体的体积记作,试问为多少时,可使.
7 甲车的速度米/秒,乙车的速度米/秒,沿相同方向作直线运动.开始
时甲车在乙车前3米.问两车能否相遇?何时相遇?相遇时甲车前进了多少距离? 乙车前进了多少距离?
8 行状为抛物线柱面的一水槽(见下图).其中槽宽米,槽长米,槽高米.问从槽内吸出满槽的水所需的功.
9 边长为的正方形板垂直插入水中,一个顶点保持在水面上.设此顶点所在的一边与水平面夹角为,求板所受的静压力,并求出最大静压力和最小静压力.
a V =2222
22220
()8()()16()()2()()4()a
a
a
a
A a x dx
B a x dx
C a x dx
D a x dx ----??
??
1
s 2
4y x =,1,0x a x y ===2s
24y x =,0x a y ==01a <<1s 2s x y 1V 2V 1V 2V a
111
()1()()()342A B C D
x x x 1
sin
lim ∞
→不存在但不是无穷大 )()(0)(1)(D C B A ∞===4(1cos )ρθ=+0θ=2π
θ=
2
(4)(0)y a x a =->x ()2,0-()2,0a 2
2cos 2,1ρθρ≥≤2cos ρθ≤sin ,cos ,(02y x y x x π
==≤≤
0,2x x π
==
x 1,2y x x ===x 2y =
-y =
x 0x =x ξ=()V ξa 1
()lim ()2V a V ξξ→+∞=2132v t t
=-241
v t =+0.75a = 1.2b =1H =a α
10 金字塔高140米,其底为230米230米的正方形.若石头的密度为1200千克/米.估计一下,将所有石头运上去所做的功是多少?
11
12
13 。
14
15
第7章 定积分的应用与广义积分 自测题2
一、填空题 1．
。
2．
。
二、选择题
1 曲线
所围成的平面图形的面积 ( )
2 椭圆与椭圆所围成的平面图形的公共部分的面积
( )
3 曲线点处的切线与曲线
所围成的平面图形的面积
( )
4 摆线
的一拱与
轴所围的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积
(
)
?3
．，计算：dx e x ?∞
+-0)21min(．证明：dx x x x dx ??∞+∞++=+0042
411?∞+++16
31x x x dx 求．求dx x x
?
∞
+12
arctan ．求dx x x
?
∞
++1
2
)1(__________________1
q x dx
q 发散，则必有若广义积分?
∞
+________________11
=-?
x dx
广义积分2
4cos 2ρθ=A =2()()()4()8A B C D ππ 22
13y x +=2
21
3x y +=A
=1()()()(3()(332A B C D ππ
- 224y x x =-+上()00,4M 0M T 22(1)y x =-A =214913
()()()()49412A B C D
(sin )(1cos )x a t t y a t =-??
=-?x
x V =
5 以一平面截半径为的球,设截得的部分球高为
,体积为,则
= ( )
6 曲线
所围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积
( )
7 曲线的长度
( )
8 一半径为的圆弧金属丝,线密度为.在圆心处有一质量为的质点,则金属丝与质点的引力 ( )
哪个算法是错误的?
二．求解下列各题 1. 求直线,它将两抛物线
所围成的平面图 形二等分.
2. 求证图中阴影部分的面积等于平行四边形面积的,其中直线与
抛物线相切.
[][]222
2220
2220
2220()(1cos )(sin )()(1cos )()(1cos )()(1cos )(sin )a
a A a t d a t t B a t dt
C a t dt
D a t d a t t ππ
ππππππ------???? r ()
02h h r < 343h h h A r h B h r h C r h D r h ππππ---- 222 333x y a +=x V =3333 816324()()()()1051051053A a B a C a D a ππππ ()1cos a ρθ=+s = ()8()4((A a B a C D R m F =2200()()()()sin R R R R Rm A R Rm B R C Rm D d R πρρρθθ --???? x a =22 25272y x x y x x =-+=-++和ABCD 2 3AD 2 y x = 3. 由原点引抛物线的两条切线,设切点分别为,求两切线 与此抛物线所围成的平面图形的面积. 4. 求笛卡儿叶形线所围成的平面图形的面积.(提示: 利 用极坐标.) 5. 设有一容器其中内壁是由曲线绕轴旋转一周所得的旋转抛物面,容 器原来盛有立方厘米的水,后又注入立方厘米的水,试问水面比原来升高多少厘米? 6. 求证: 双纽线所围的平面图形绕横轴旋转一周所得的 立体的体积为 7. 设由不等式确定一个平面区域,(1) 求此区域的面积;(2)求 此区域绕轴旋转一周而得的立体的体积;(3) 求区域绕旋转一周而得的立体的体 积. 8. 半径为的半球形容器中装满水,然后慢慢使容器倾斜,求流出的水量. 9. 一个号角在平面的投影是由曲线 所围成.用垂直 轴平面截得号角的横截面是圆面.试求此号角的体积. 10. 圆锥形容器高位,上底半径为,顶点在下方.若在其中充满某种液体,设液 体的密度随高度变化 其中为容器中某点所在水平面到顶点的距离.求圆锥形容器中的这种液体的质量. ) 9 , 3(-2 24y x x =++,A B ,OA OB 3 3 30,(0)x y axy a +-=>2 y x =y 8π64π22222 ()()x y a x y += -321).43a π? -??sin 2,02y x x π ≤≤≤ x 1y =-R 0 60 xoy 4y y x == =及x H R 0()(1)2E E H ρρ=- E 11. 把质量为的冰块沿地面匀速推行距离,速度为.设冰块质量每单位时间 减少,地面与冰块的摩擦系数为.问整个过程中克服摩擦力作了多少功? 12. 一抛物线弓形板底边为2米,顶点到底边距离为1米,将此板竖直沉入水中,顶 点在上方,底边与水面平行.问顶点下沉到距水面多少米时,板的一侧所受水压力为吨? 13． 。 14． 15． 16． 17．。 18．。 19． 。 第8章 数列与无穷级数 自测题1 一、选择题（每小题4分，共16分）： 1、 2、 3、 M L v m μ7 3 15?∞++122)1(x x dx 求． 计算：dx x x ? ∞ ++0 2 32 ) 1(arctan () ． ，，求)00(2>>-+? ∞ +b a b x a x dx b ． 求dx x x x ? ∞ +++1 222 )1(21? ∞ +∞-++522x x dx 求． 求?+∞ -0 sin xdx e x ) (!0 为正整数 证明：n n dx e x I x n n ?+∞-=={}无界是数列发散的 数列n a ） 答（ 件．．既非充分又非必要条 ．充分必要条件．充分条件 ．必要条件D C B A ;; ;{}，则满足设正项数列0lim 1 =+∞→n n n n a a a {} ） 答（ 的收敛性不能确定．． 不存在．． ．n n n n n n n a D a C C a B a A ;lim ; 0lim ;0lim ∞ →∞ →∞ →>== 4、 二、填空题（每小题4分，共12分） 1、 2、 3、 三、（6分） 四、（8分） 下列级数中，条件收敛的是 （A ）() -+-=∞ ∑124 1 31n n n n （B ）()-?? ? ?? -=∞ ∑12311 n n n （C ）() --=∞ ∑11 121 n n n （D ）() --=∞ ∑11 211 n n n n 答：（） 函数项级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域是 (A) [] 1,1-(B) [)1,1-(C) ()1,1-(D) (] 1,1- 答（ ） 设幂级数∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径是4，则 幂级数∑∞ =+012n n n x a 的收敛半径是 。 幂级数() ()n n n x n 321 21 10 1 ---∑∞ =-的收敛域是 。 幂级数()()∑∞ =----1 1 21 !121n n n n x 的收敛半径是 ，和函数是 。 ． 求数列的极限??????-+-+∞ →2)1 2()12(2 2lim e e e n n n n 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 期中高等数学测验 一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 2 2 x f x f y +=，则___________________=dx dy 2 已知x x x y )1( +=,则_________ __________=dx dy 。 3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6 π θ=处的切线方程____________. 4 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 5 已知 02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23( lim +-→ 的极限。 2 求函数??????? <<+≤≤-=21,2112 1,ln 2)(x x x x x f 的导数。 3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项） 4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2 2dx y d 。 5 222,1)1ln(dx y d arctgt y t x 求?? ?-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求?????>-≤=) 1|(||,1|); 1|(|,2 cos )(x x x x x f π的间断点，并判断其类型。 8 证明方程0132 =---x x e x 有且仅有三个实根。 三 （8分）设 ??? ??=≠-=-0,0;0,)()(x x x e x g x f x 其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。 （1）求)(' x f ; （2）讨论)(' x f 在),(+∞-∞上的连续性。 四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明 A n n m n n n a a a =++∞ → 21lim 。 五 （8分）设 n n x x x +-==+11 2,111（ 3,2,1=n ），证明数列}{n x 的极限存在，并求极限。 紫金学院期中高等数学测验 一 填空（共32分，每小题4分） 3 设???≤<≤≤=2 1,21 0,)(2x x x x x f ，则f(x +1) =_______________________- 4 已知)(cos )2(sin 2 x f x f y +=，则 ___________________=dx dy 5 当a=_____,b=_____时，点（1，3）为曲线y = a x 3 +b x 2 的拐点 6 已知x x x y 2)1( +=,则_________ __________=dx dy 。 7 已知曲线?? ?==θ θsin sin b y a x ，（θ为参数），则它在6π θ=处的切线方程____________. 8 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 9 已知02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 10 1 1 1lim 0--→x x e x ＝_______________-- 二 计算或证明 （每小题7分，共49分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23(lim +-→ 的极限。 武科院试题 一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、 已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？ 四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题 一、 填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________. 大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π . 3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则 . 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 高等数学试题 一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明： （1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。高等数学(下册)期末复习试题及答案
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