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【初中数学】河北省2018年中考数学总复习:精讲试题(91份) 人教版75

专题二规律探索与猜想

一、选择题

1.(2017长沙中考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为( C) A.24里B.12里

C.6里D.3里

2.(2017重庆中考B卷)下列图像都是由相同大小的按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有4颗

,第②个图形中一共有11颗,第③个图形中一共有21颗,…,按此规律排列下去,第⑨个图形中的颗数为( B)

A.116 B.144 C.145 D.150

3.(2017自贡中考)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律,根据这种规律可求出m的值为( C)

A.180 B.182

C.184 D.186

4.(2017武汉中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△A BC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( D)

A.4 B.5 C.6 D.7

5.(2017西宁中考)如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC—CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是( A)

,A) ,B)

,C) ,D)

6.(2017湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如,在4×4的正方形网格图形中(如图①),从点A 经过一次跳马变换可以到达点B,C,D,E等处.现有20×20的正方形网格图形(如图②),则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变换的次数是( B)

A.13 B.14 C.15 D.16

7.(2017连云港中考)如图所示,一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发,沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处,再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处;接着又从A2点出发,沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处,再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处;……按此规律运动到点A2 017处,则点A2 017与点A0间的距离是( A)

A.4 B.2 3 C.2 D.0

8.(2017宁波中考)一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形,在满足条件的所有分割中,若知道九个小矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面积,则n 的最小值是( A)

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题

9.(2017宁波中考)如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:

则第⑦个图案有__19__个黑色棋子.

10.(2017滨州中考)观察下列各式: 21×3=11-13; 22×4=12-14; 23×5=13-15; ……

请利用你所得结论,化简代数式:21×3+22×4+23×5+…+2n (n +2)

(n≥3且为整数),其结果为3n 2

+5n

2(n +1)(n +2)

__.

11.(2017安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l :y =x +2交x 轴于点A ,交y 轴于点A 1,点A 2,A 3,…在直线l 上,点B 1,B 2,B 3,…在x 轴的正半轴上,若△A 1OB 1,△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x 轴上,则第n 个等腰直角三角形A n B n -1B n 顶点B n 的横坐标为__2

n +1

-2__.

12.(2017衢州中考)如图,正△ABO 的边长为2,O 为坐标原点,A 在x 轴上,B 在第二象限.△ABO 沿x 轴

正方向作无滑动的翻滚,经第一次翻滚后得△A 1B 1O ,则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是;翻滚2 017次后AB 中点M 经过的路径长为__?

??

3+896π__,.)

三、解答题

13.(2017郴州中考)如图①,△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且OA =6 cm ,点D 从点O 出发,沿OM 的方向以1 cm /s 的速度运动,当D 不与点A 重合时,将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.

图①

(1)求证:△CDE 是等边三角形;

(2)如图②,当6<t <10时,△BDE 周长是否在最小值?若存在,求出△BDE 的最小周长;若不存在,请说明理由.

图②

(3)如图③,当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

图③

解:(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,

∴∠DCE=60°,DC=EC,

∴△CDE是等边三角形;

(2)存在,当6<t<10时,

由旋转的性质得,BE=AD,

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,

由(1)知,△CDE是等边三角形,

∴DE=CD,

∴C△DBE=CD+4,

由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,△BDE的周长最小,

此时,CD=2 3 cm,

∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4;

(3)存在,①∵当点D与点B重合时,D,B,E不能构成三角形,

∴当点D与点B重合时,不符合题意;

②当0≤t<6时,由旋转可知,∠CDA=∠CEB,

∠CDE=∠CDA+∠BDE=60°,

则∠BDE+∠CEB=60°,

又∠EDB+∠DEC+∠CEB+∠DBE=180°,

∴∠DBE=180°-60°-60°=60°,

即∠ABE=60°,∠BDE=60°,

∴∠DEB可能为直角,

由(1)可知,△CDE是等边三角形,

∠DBE=60°,∴∠CEB=30°,

则∠BED=90°.

∵∠CEB=∠CDA,∴∠CDA=30°,

∵∠CAB=60°,

∴∠ACD=∠ADC=30°.

∴DA=CA=4,

∴OD=OA-DA=6-4=2,

∴t=2÷1=2 s;

③当6<t<10 s时,由∠DBE=120°>90°,

∴此时不存在;

④当t>10 s时,由旋转的性质可知,∠DBE=60°,

又由(1)知∠CDE=60°,

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC,

而∠BDC>0°,

∴∠BDE>60°,

∴只能∠BDE=90°,

从而∠BCD=30°,

∴BD=BC=4,

∴OD=14 cm,

∴t=14÷1=14 s.

综上所述,当t=2或14 s时,以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形.

14.(2017临沂中考)数学课上,张老师出示了问题:如图①,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°,则线段BD,CD,AC三者之间有何等量关系?

经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图②,延长CB到E,使BE=CD,连接AE,证得△ABE≌△ADC,从而容易证明△AC E是等边三角形,故AC=CE,所以AC=BC+CD.

小亮展示了另一种正确的思路:如图③,将△ABC绕着点A逆时针旋转60°,使AB与AD重合,从而容易证明△ACF是等边三角形,故AC=CF,所以AC=BC+CD.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图④,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠AB D=∠ADB =45°”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明.

(2)小华提出:如图⑤,如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB =α”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.

解:(1)BC+CD=2AC.理由:如答图①,

延长CD至E,使DE=BC,连接AE.

∵∠ABD=∠ADB=45°,

∴AB =AD ,∠BAD =180°-∠ABD-∠ADB=90°, ∵∠ACB =∠ACD=45°, ∴∠ACB +∠ACD=90°, ∴∠BAD +∠BCD=180°, ∴∠ABC +∠ADC=180°, ∵∠ADC +∠ADE=180°, ∴∠ABC =∠ADE,

在△ABC 和△ADE 中,????

?AB =AD ,∠ABC =∠ADE,BC =DE ,

∴△A BC≌△ADE(SAS ),

∴∠ACB =∠AED=45°,AC =AE , ∴△ACE 是等腰直角三角形, ∴CE =2AC ,

∵CE =CD +DE =CD +BC , ∴BC +CD =2AC ;

(2)BC +CD =2AC·cos α. 理由:答如图②,

延长CD 至E ,使DE =BC ,连接AE , ∵∠ABD =∠ADB=α,

∴AB =AD ,∠BAD =180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α, ∵∠ACB =∠ACD=α, ∴∠ACB +∠ACD=2α, ∴∠BAD +∠BCD=180°, ∴∠ABC +∠ADC=180°, ∵∠ADC +∠ADE=180°, ∴∠ABC =∠ADE,

在△ABC 和△ADE 中,????

?AB =AD ,∠ABC =∠A DE ,BC =DE ,

∴△ABC ≌△ADE(SAS ), ∴∠ACB =∠AED=α,AC =AE , ∴∠AEC =α, 过点A 作AF⊥CE 于F ,

∴CE =2CF ,在Rt △ACF 中,∠ACD =α,CF =AC·cos ∠ACD =AC·cos α, ∴CE =2CF =2AC·cos α, ∵CE =CD +DE =CD +BC ,

∴BC+CD=2AC·cosα.

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