15．1 分 式
15．1.1 从分数到分式
1．了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值．(重点)
2．理解当分母不为零时分式才有意义；在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所
含字母的取值范围；会确定分式的值为零的条件．(难点)
一、情境导入
多媒体展示，学生欣赏一组图片(长江三峡)． 长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地．
早在1500多年前的魏晋时期，地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述：“有时朝发白帝城，暮至江陵，期间千二里，虽乘龙御风，不以疾也．”
多媒体出示以下问题：
(1)如果客船早6时从白帝城启航，顺水而下，傍晚6时到达江陵，航程600千米，客船航行的平均速度约为多少千米/小时？
(2)如果客船8小时航行了s 千米，该船航行的平均速度是多少？
(3)如果客船在静水中的航行速度为v 千米/小时，江水流动的平均速度为20千米/小时．那么客船顺水而下，航行600千米需多少时间？如果客船逆水航行s 千米，需要多少时间？
你能解答情境导入中的问题吗？与同学交流．
二、合作探究
探究点一：分式的概念
【类型一】 判断代数式是否为分式
在式子1a 、2xy π、3a 2b 3
c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10
y 中，分式的个数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：1a 、56＋x 、9x ＋10
y
这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中
均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.
方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数． 【类型二】 探究分式的规律
观察下面一列分式：x 3
y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9
y
4，…(其中x ≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n (n 为正整数)个分式，并简单说明理由．
解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．
解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－x 13
y 6；(2)由已知可得：第n (n 为正整数)
个分式为(－1)n ＋1
×x 2n ＋1
y
n ，理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，
次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n (n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1
×x 2n ＋1
y
n .
方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
【类型三】 根据实际问题列分式
每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后
的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.nx ＋my x ＋y 元
B.mx ＋ny
x ＋y 元 C.
m ＋n x ＋y 元 D.12(x m ＋y n
)元 解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为
mx ＋ny x ＋y
元．故选B.
方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．
探究点二：分式有意义或无意义的条件
【类型一】 分式有意义的条件
分式x －1
（x －1）（x －2）
有意义，则x 应满足的条件是( )
A ．x ≠1
B ．x ≠2
C ．x ≠1且x ≠2
D ．以上结果都不对
解析：∵分式有意义，∴(x －1)(x －2)≠0，∴x －1≠0且x －2≠0，∴x ≠1且x ≠2.故选C.
方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零． 【类型二】 分式无意义的条件
使分式x
3x －1无意义的x 的值是( )
A ．x ＝0
B ．x ≠0
C ．x ＝13
D ．x ≠1
3
解析：由分式有意义的条件得3x －1≠0，解得x ≠13.则分式无意义的条件是x ＝1
3，故
选C.
方法总结：分式无意义的条件是分母等于0. 探究点三：分式的值为零、为正或为负的条件
若使分式x 2－1
x ＋1
的值为零，则x 的值为( )
A ．－1
B ．1或－1
C ．1
D ．以上都不对
解析：由题意得x 2
－1＝0且x ＋1≠0，解得x ＝1，故选C.
方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可． 三、板书设计
从分数到分式
1．分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B
叫做分式．
2．分式A B 有无意义的条件：当B ≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义． 3．分式A B
值为0的条件：当A ＝0，B ≠0时，分式的值为0.
本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成．
15．1.2 分式的基本性质
1．通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示．(重点) 2．理解并掌握分式的基本性质和符号法则．(难点)
3．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分、通分的理论依据．(重点)
4．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点)
一、情境导入
中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质．
二、合作探究
探究点一：分式的基本性质
【类型一】 利用分式的基本性质对分式进行变形
下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A.
a ＋3
b ＋3＝a b B.a b ＝ac
bc
C.3a 3b ＝a b
D.a b ＝a 2
b
2 解析：A 中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A 错误；B 中当c ＝0时不成立，故B 错误；C 中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C 正确；D 中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D 错误；故选C.
方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数
不改变分式0.2x ＋1
2＋0.5x
的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正
确的为( )
A.2x ＋12＋5x
B.x ＋5
4＋x C.
2x ＋1020＋5x D.2x ＋1
2＋x
解析：利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘以10得2x ＋1020＋5x .故选C.
方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据
分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．
【类型三】 分式的符号法则
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)－3b 2a ；(2)5y －7x 2；(3)
－a －2b 2a ＋b
.
解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．
解：(1)原式＝－3b 2a ；(2)原式＝－5y 7x 2；(3)原式＝－a ＋2b
2a ＋b
.
方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
探究点二：最简分式、分式的约分和通分 【类型一】 判定分式是否是最简分式
下列分式是最简分式的是( )
A.2a 2
＋a ab B.6xy 3a
C.x 2－1x ＋1
D.x 2＋1x ＋1
解析：A 中该分式的分子、分母含有公因式a ，则它不是最简分式．错误；B 中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C 中分子为(x ＋1)(x －1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x ＋1)，则它不是最简分式．错误；D 中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.
方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分
解因式，并且观察有无公因式．
【类型二】 分式的约分
约分：(1)－5a 5
bc 3
25a 3bc 4；(2)x 2
－2xy
x 3
－4x 2y ＋4xy 2
. 解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去． 解：(1)－5a 5
bc 3
25a 3bc 4＝5a 3
bc 3
（－a 2
）5a 3bc 3
·5c ＝－a
2
5c
； (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x （x －2y ）x （x －2y ）2＝
1
x －2y
. 方法总结：约分的步骤：(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．
【类型三】 分式的通分
通分：
(1)b 3a 2c 2，c －2ab ，a
5cb 3； (2)
1a 2
－2a ，a a ＋2，1
a 2－4
. 解析：确定最简公分母再通分．
解：(1)最简公分母为30a 2b 2c 2
，b 3a 2c 2＝10b 430a 2b 3c 2，c －2ab ＝－15ab 3c 330a 2b 3c 2，a 5cb 3＝6a 3
c
30a 2b 3c
2；
(2)最简公分母为a (a ＋2)(a －2)，1a 2－2a ＝a 2
＋2a a （a ＋2）（a －2），a
a ＋2
＝
a 3－2a 2a （a ＋2）（a －2），1a 2－4＝a
a （a ＋2）（a －2）
.
方法总结：通分的一般步骤：(1)确定分母的最简公分母．(2)用最简公分母分别除以各分母求商．(3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同分母的分式．
三、板书设计
分式的基本性质
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．
2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个的符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．
本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效．
15．2 分式的运算
15．2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除
1．经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联想能力和推理能力．(重点)
2．熟练地进行分式的乘除运算，并能利用它解决实际问题．(难点)
一、情境导入 观察下列运算： 23×45＝2×43×5 57×29＝5×27×9
，
23÷45＝23×54＝2×53×4 57÷29＝57×92＝5×97×2
. 以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？ 今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除． 二、合作探究 探究点一：分式的乘法
计算：
(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2
.
解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．
解：(1)ab 22c 2·4cd －3a 2b 2＝－ab 2·4cd 2c 2·3a 2b 2＝－4ab 2
cd 6a 2b 2c 2＝－
2d
3ac
； (2)x 2＋3x x 2－9·3－x x ＋2＝x （x ＋3）（x ＋3）（x －3）·3－x x ＋2＝x x －3·－（x －3）x ＋2＝－x
x ＋2
.
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”
进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．
探究点二：分式的除法
【类型一】 利用分式的除法法则进行计算
计算：(1)－3xy ÷2y
2
3x ；
(2)(xy －x 2
)÷
x －y
xy
. 解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．
解：(1)－3xy ÷2y 2
3x ＝－3xy ·3x 2y 2＝－9x
2
2y ；
(2)(xy －x 2
)÷
x －y xy ＝(xy －x 2)·xy x －y ＝－x (x －y )·xy x －y
＝－x 2
y . 方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．
【类型二】 分式的化简求值
先化简，再求值： (1)3x ＋3y 2x 2y ·4xy 2
x 2－y 2，其中x ＝12，y ＝13
；
(2)x 2－x x ＋1÷x x ＋1
，其中x ＝3＋1.
解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．
解：(1)原式＝3（x ＋y ）2xy ·x ·2xy ·2y （x ＋y ）（x －y ）＝6y x （x －y ），当x ＝12，y ＝1
3时，原式＝
24；
(2)原式＝x 2－x x ＋1·x ＋1x ＝x （x －1）x ＋1·x ＋1
x
＝x －1，当x ＝3＋1时，原式＝ 3.
方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．
【类型三】 根据分式的除法，判断分式中字母的取值范围
若式子
x ＋1
x ＋2÷x ＋3
x ＋4
有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠－2，x ≠－4 B ．x ≠－2
C ．x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4
D ．x ≠－2，x ≠－3 解析：∵
x ＋3x ＋4
≠0，x ＋2≠0，∴x ＋3≠0且x ＋4≠0，解得x ≠－2，x ≠－3，x ≠－4，故
选C.
方法总结：在分式的除法中，求字母的取值范围时要使被除式的分母不为0，同时还要使除式的分子、分母不为0.
【类型四】 分式乘除法的应用
老王家种植两块正方形土地，边长分别为a 米和b 米(a ≠b )，老李家种植一块长
方形土地，长为2a 米，宽为b 米．他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的多少倍？
解析：不妨设花生的总产量是1，老王家种植的总面积为(a 2
＋b 2
)平方米，老李家种植
的总面积为2ab 平方米，分别求出单位面积产量，再相除即可．
解：设花生的总产量是1，
1a 2
＋b 2÷
12ab ＝2ab
a 2＋
b 2
(倍)． 答：老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的单位面积产量的
2ab
a 2
＋b 2
倍． 方法总结：此题考查分式乘除运算的运用，注意理清题意，正确列式计算即可． 三、板书设计
分式的乘除
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除．
本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法
则．这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力．为了进一步加深学生对基本法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通．
第2课时 分式的乘方
1．理解并记住分式乘方的法则．(重点)
2．能运用乘方法则熟练地进行分式乘方运算．(重点)
3．能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算．(难点)
一、情境导入
复习乘方的意义：a m
＝a ×a ×a ×a ×…×a,\s \do 4(m 个)) (m 为正整数)，指出底数a 可以代表一个数，一个整式或代数式，也可以是一个分式，当底数为分式，m 为正整数时，(b a
)m
表示分式的乘方．
那么，分式的乘方怎么计算呢？ 二、合作探究
探究点一：分式的乘除混合运算
计算：a －1a ＋2·a 2－4a 2－2a ＋1÷1
a 2－1
.
解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算． 解：原式＝
a －1a ＋2·（a ＋2）（a －2）（a －1）2
·（a ＋1）（a －1）1
＝(a －2)(a ＋1)＝a 2
－a －2. 方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；
(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．
探究点二：分式的乘方
【类型一】 分式的乘方运算
下列运算结果不正确的是( )
A ．(8a 2
bx 2
6ab 2x )2＝(4ax 3b )2＝16a 2x 2
9b
2
B ．[－(x 32y )2]3＝－(x 32y )6＝－x 18
64y 6
C ．[y －x （x －y ）2]3
＝(1y －x )3＝1（y －x ）3
D ．(－x n y 2n )n ＝x 2n
y
3n
解析：A、B、C计算都正确；D中(－x n
y2n )n＝(－1)n
xn2
y2n2
，原题计算错误．故选D.
方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．【类型二】分式的乘除、乘方混合运算
计算：
(1)(－
x2
y
)2·(－
y2
x
)3·(－
1
x
)4；
(2)
（2－x）（4－x）
x2－16
÷(
x－2
4－3x
)2·
x2＋2x－8
（x－3）（3x－4）
.
解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．
解：(1)原式＝
x4
y2
·(－
y6
x3
)·
1
x4
＝－
y4
x3
；
(2)原式＝
（x－2）（x－4）
（x＋4）（x－4）
·
（3x－4）2
（x－2）2
·
（x－2）（x＋4）
（x－3）（3x－4）
＝
3x－4
x－3
.
方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．
【类型三】
分式乘方的应用
通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V＝
4
3
πR3(其中R为球的半径)，求：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
解析：(1)根据体积公式求出即可；(2)根据(1)中的结果得出即可；(3)求出两体积的比即可．
解：(1)西瓜瓤的体积是
4
3
π(R－d)3；整个西瓜的体积是
4
3
πR3；
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是
4
3
π（R－d）3
4
3
πR3
＝
（R－d）3
R3
.
方法总结：本题能够根据球的体积，得到两个物体的体积比即为它们的半径的立方比是解此题的关键．
【类型四】
分式的化简求值
化简求值：(
2xy2
x＋y
)3÷(
xy3
x2－y2
)2·[
1
2（x－y）
]2，其中x＝－
1
2
，y＝
2
3
.
解析：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．
解：原式＝8x 3y 6
（x ＋y ）3·（x ＋y ）2
（x －y ）2
x 2y 6·14（x －y ）2＝
2x x ＋y .将x ＝－12，y ＝2
3代入，得原式＝－6.
方法总结：先算乘方再算乘除，将原式化为最简形式，是解决此类问题的常用方法． 三、板书设计
分式的乘方
1．分式乘方的法则：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方． 2．分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．
在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法则进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的理解和应用．本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基本法则的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强．
15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减
1．理解并掌握分式加减法法则．(重点)
2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点)
一、情境导入 1．请同学们说出12x 2y
3
，
13x 4y
2
，
19xy
2
的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定
方法吗？
2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？
(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy
.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？ 今天我们就学习分式加减法． 二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减法
计算：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －1
1－x
.
解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．
解：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ＝a 2＋1－（b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2a ＋b ＝（a ＋b ）（a －b ）
a ＋
b ＝
a －
b ；
(2)
2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1x －1＝2－（x －1）x －1＝3－x x －1
. 方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运
算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．
探究点二：异分母分式的加减 【类型一】 异分母分式的加减运算
计算：
(1)x 2
x －1
－x －1；
(2)
x ＋2x 2－2x －x －1
x 2－4x ＋4
. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2
x －1－x 2－1x －1＝1
x －1
；
(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）2－x （x －1）x （x －2）2＝x 2－4－x 2
＋x x （x －2）2＝x －4x 3
－4x 2＋4x
. 方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化
为同分母分式，然后再相加减．
【类型二】 分式的化简求值
先化简，再求值：
3
x －3－18
x 2－9
，其中x ＝2016. 解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值． 解：原式＝
3x －3－18（x ＋3）（x －3）＝3（x ＋3）－18（x ＋3）（x －3）＝3（x －3）（x ＋3）（x －3）＝3x ＋3
，当x ＝2016时，原式＝3
2019
.
方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简． 【类型三】 分式的简便运算
已知下面一列等式： 1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－1
5
；… (1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立；
(3)利用等式计算：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1
（x ＋2）（x ＋3）
＋
1
（x ＋3）（x ＋4）
.
解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．
解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1
n ＋1
；
(2)∵1n －1n ＋1＝n ＋1n （n ＋1）－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；
(3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1x ＋2)＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －1x ＋4＝
4
x 2
＋4x
. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
【类型四】
关于分式的实际应用
在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50
欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1
R 2
，试用含有R 1的式子表
示总电阻R .
解析：由题意知R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1
R 2，然后整理成用R 1表示R 的形式．
解：由题意得R 2＝R 1＋50，代入1R
＝1R 1
＋1R 2得1R ＝1
R 1
＋
1
R 1＋50，则R ＝1
1
R 1＋
1
R 1＋50
＝
12R 1＋50R 1（R 1＋50）
＝R 1（R 1＋50）
2R 1＋50.
方法总结：此题属于物理知识与数学知识的综合，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．
三、板书设计
分式的加法与减法
1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝
a ±b
c
.
2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为a b ±c d ＝ad
bd
±bc bd ＝
ad ±bc
bd
.
从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运
用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．
第2课时 分式的混合运算
1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算．(重点) 2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)
一、情境导入 提出问题：
1．说出有理数混合运算的顺序．
2．类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？ 今天我们共同探究分式的混合运算． 二、合作探究
探究点：分式的混合运算 【类型一】 分式的化简
计算： (1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2
－9a ；
(2)(x ＋
x
x 2
－1)÷(2＋1x －1－1
x ＋1
)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：(1)原式＝3a 2
＋9a －a 2
＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）
a
＝2a ＋12；
(2)原式＝x 3
（x ＋1）（x －1）÷2x 2
－2＋x ＋1－x ＋1
（x ＋1）（x －1）＝
x 3
（x ＋1）（x －1）
·
（x ＋1）（x －1）2x 2
＝x
2
. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【类型二】 分式的化简求值
先化简代数式x 2－2x ＋1
x 2－1÷(1－3
x ＋1
)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整
数x 代入求值．
解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．
解：原式＝（x －1）2
（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2
（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1
x －2，令x
＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝1
2
.
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
【类型三】 利用公式变形对分式进行化简
已知a ＋1
a
＝5，求
a 2
a 4＋a 2＋1
的值．
解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2
a 4＋a 2＋1的
分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1
a 2
的值，再利用公式变形求值就简单多了．
解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2
＋1a 2＝23，所以a 4
＋a 2
＋1a 2
＝a 2＋1＋1a
2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124
.
方法总结：利用x 和1
x
互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以
使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
【类型四】 分式混合运算的应用
甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，
乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．
(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？ (2)谁的购买方式更合算？请说明理由．
解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均
价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．
解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋
20b
＝2ab
a ＋b
；
(2)甲的平均价格－乙的平均价格为a ＋b
2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）
2
2（a ＋b ），
∵a ≠b ，∴（a －b ）
2
2（a ＋b ）
＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．
方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算． 三、板书设计 分式的混合运算
分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号内的．
在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率．
15．2.3 整数指数幂
1．理解负整数指数幂．(重点)
2．掌握整数指数幂的运算性质．(难点)
3．会用科学记数法表示小于1的正数．(重点)
一、情境导入
同底数幂的除法公式为a m ÷a n ＝a m －n
，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＜n 时，情况怎样呢？
二、合作探究
探究点一：负整数指数幂的计算
下列式子中正确的是( ) A ．3－2＝－6 B ．3－2
＝0.03 C ．3－2＝－19 D ．3－2
＝19
解析：根据负整数指数幂的运算法则可知3－2
＝132＝19.故选D.
方法总结：负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数．
探究点二：整数指数幂的运算 【类型一】 整数指数幂的化简
计算：
(1)(x 3y －2)2
；
(2)x 2y －2·(x －2y )3
； (3)(3x 2y －2)2
÷(x －2
y )3
；
(4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2
.
解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂．
解：(1)原式＝x 6y －4
＝x 6
y
4；
(2)原式＝x 2y －2·x －6y 3＝x －4
y ＝y x
4；
(3)原式＝9x 4y －4
÷x －6y 3
＝9x 4y －4
·x 6y －3
＝9x 10y －7
＝9x
10
y
7；
(4)原式＝(27×10
－15
)÷(9×10
－12
)＝3×10－3
＝31000
.
方法总结：正整数指数幂的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幂．
【类型二】 比较数的大小
若a ＝(－2
3)－2，b ＝(－1)－1
，c ＝(－32)0，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＝c
B ．a ＞c ＞b
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
解析：∵a ＝(－23)－2＝(－32)2＝94，b ＝(－1)－1
＝－1，c ＝(－32)0＝1，∴a ＞c ＞b ，故选
B.
方法总结：关键是熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，只要把分
子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
【类型三】 0指数幂与负整指数幂中底数的取值范围
若(x －3)－2(3x －6)有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x ＞3
B ．x ≠3且x ≠2
C ．x ≠3或x ≠2
D ．x ＜2
解析：根据题意，若(x －3)0
有意义，则x －3≠0，即x ≠3.(3x －6)－2
有意义，则3x －
6≠0，即x ≠2，所以x ≠3且x ≠2.故选B.
方法总结：任意非0数的0指数幂为1，底数不能为0. 【类型四】 含整数指数幂、0指数幂与绝对值的混合运算
计算：－22＋(－12
)－2＋(2016－π)0
－|2－3|.
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，
再根据实数的运算法则进行计算．
解：－22＋(－12
)－2＋(2016－π)0
－|2－3|＝－4＋4＋1－2＋3＝3－1.
方法总结：熟练掌握有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质是解答此题的关键．
探究点三：科学记数法
【类型一】 用负整数指数幂表示科学记数法
某一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全
球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为( )
A ．1.06×10－4
B ．1.06×10－5
C ．10.6×10－5
D ．106×10－6
解析：0.000106＝1.06×10－4
，故选A.
方法总结：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10－n
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【类型二】 将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7
；(2)3.14×10－5
；
(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1
. 解析：小数点向左移动相应的位数即可． 解：(1)2×10－7
＝0.0000002；
(2)3.14×10－5
＝0.0000314；
(3)7.08×10－3
＝0.00708；
(4)2.17×10－1＝0.217.
方法总结：将科学记数法表示的数a ×10－n
“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向左移动n 位所得到的数．
三、板书设计
整数指数幂
1．负整数指数幂的意义． 2．整数指数幂的运算性质． 3．会用科学记数法表示小于1的数．
整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，在复习幂的有关运算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负整数又表示什么意义呢？”通过提问让学生寻找规律，猜想出零指数幂和负整数幂的意义，不但调动了学生学习的积极性，而且印象更深，当然也达到了课堂的预期效果．
15．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
1．了解分式方程的概念．(重点)
2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点)
3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)
一、情境导入
1．什么是方程？
2．什么是一元一次方程？
3．解一元一次方程的一般步骤是什么？
我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究
探究点一：分式方程的概念
下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )
A.3＋x 2＝2＋x 5
B.2x －17＝x
2 C.
x
π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x
解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D.
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法
【类型一】 解分式方程
解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x
－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－
5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．
方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．
【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围
关于x 的方程2x ＋a
x －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．
解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a
x －1＝1的解是正数，
∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
探究点三：分式方程的增根
【类型一】 求分式方程的增根
若方程
3
x －2＝a x ＋4x （x －2）
有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1
解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0，故选A.
方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
【类型二】 分式方程有增根，求字母的值
如果关于x 的分式方程2x －3＝1－m x －3
有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．3
解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B.
方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【类型三】 分式方程无解，求字母的值
八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形 教学容 本节课主要介绍全等三角形的概念和性质． 教学目标 1．知识与技能 领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法 经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观 培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备 四大小一样的纸片、直尺、剪刀． 教学方法 采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程 一、动手操作，导入课题
1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论． 【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形． 学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心． 【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示． 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？ 【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等． 【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边． 【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？ 【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置． 【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
八年级2016—2017学年度第一学期 数 学 教 案 第十三章：轴对称 2016年10月-11月 教师：李治民 第11章三角形
教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和 等于1800 ，了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800 的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1) C B A
人教版八年级上册数学第一章知识点 为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇八年级上册数学第一章知识点，希望可以帮助到大家! 一、全等形 1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。 2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。 二、全等多边形 1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、性质： (1)全等多边形的对应边相等，对应角相等。 (2)全等多边形的面积相等。 三、全等三角形 1、全等符号："≌"。如图，不是为：△ABC≌△A′B′C′。读作：三角形ABC全等于三角形A′B′C′。 2、全等三角形的判定定理： (1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS，
"边角边"); (2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA，"角边角") (3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS，"角角边") (4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS，"边边边") (5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL，"斜边直角边") 3、全等三角形的性质： (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等; (2)全等三角形的周长相等、面积相等; (3)全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。 4、全等三角形的作用： (1)用于直接证明线段相等，角相等。 (2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。 (3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。 (4)用于间接证明特殊的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。 (5)用于解决有关等积等问题。 小编为大家提供的八年级上册数学第一章知识点就到这里
人教版八年级数学上册教案全套 第十一章 三角形 11．1 与三角形有关的线段 11．1.1 三角形的边 【出示目标】 1．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和表达能力． 2．通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素． 3．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类． 4．掌握三角形三条边之间的关系． 【预习导学】 自学指导：阅读教材P2—4，完成下列各题． 【自学反馈】 一、三角形 1．定义：由不在__同一条直线上__的三条线段首尾__顺次相接__所组成的图形叫做三角形． 2．有关概念 如图，线段AB ，BC ，CA 是三角形的__边__，点A ，B ，C 是三角形的__顶点__，∠A ，∠B ，∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的__内角__，简称三角形的角． 3．表示方法：顶点是A ，B ，C 的三角形，记作“__△ABC __”，读作“__三角形ABC __”． 二、三角形的分类 1．等边三角形：三条边都__相等__的三角形． 2．等腰三角形：有两边__相等__的三角形，其中相等的两条边叫做__腰__，另一边叫做__底边__，两腰的夹角叫做__顶角__，腰和底边的夹角叫做__底角__． 3．不等边三角形：三条边都__不相等__的三角形． 4．三角形按边的相等关系分类 三角形???? ?不等边三角形等腰三角形?????底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 【合作探究】 活动1 自主学习三角形的相关概念 (1)什么是三角形：
如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)三角形的有关概念： ①边：组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边． ②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (3)三角形的表示： 如图，以A 、B 、C 为顶点的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”． 【教师点拨】(1)三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即△ABC ，△ACB ，△BAC ，△BCA ，△CAB ，△CBA 为同一个三角形． (2)角的两边为射线，三角形的三条边为线段． (3)由于在三角形内一个角对着一条边，那么这条边就叫这个角的对边，同理，这个角也叫做这个边的对角．如图，∠A 的对边是BC (经常也用a 表示)，∠B 的对边是AC (经常也用b 表示)，∠C 的对边为AB (经常也用c 表示)；AB 的对角为∠C ，AC 的对角为∠B ，BC 的对角为∠A . 活动2 跟踪训练 1．小强用三根木棒组成下列图形，其中符合三角形概念是( C ) 2．找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来． 解：图中有5个三角形．分别是：△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC . 活动3 三角形的分类 三角形按角分类如下：三角形???? ?锐角三角形直角三角形纯角三角形 三角形按边分类如下：三角形?????等腰三角形??? ??腰和底边不相等的等腰三角形等边三角形不等边三角形
第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21
最新人教版八年级数学上册全册教案全集 （表格版） 11．1与三角形有关的线段 11．1.1三角形的边 1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．(重点) 2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．(重点) 3．三角形在实际生活中的应用．(难点) 一、情境导入 出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学．教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察． 问：你能不能给三角形下一个完整的定义？ 二、合作探究 探究点一：三角形的概念 图中的锐角三角形有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：(1)以A 为顶点的锐角三角形有△ABC 、△ADC 共2个；(2)以E 为顶点的锐角三角形有△EDC 共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．故选B. 方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n 个点，那么就有 n （n －1） 2 条线段，也可以与线段外的一点组成 n （n －1） 2 个三角形． 探究点二：三角形的三边关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B. 方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可． 【类型二】 判断三角形边的取值范围 一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( ) A ．3＜x ＜11 B ．4＜x ＜7 C ．－3＜x ＜11 D ．x ＞3 解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A. 方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决． 【类型三】 等腰三角形的三边关系 已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长． 解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解． 解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22. 方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形． 【类型四】 三角形三边关系与绝对值的综合 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |. 解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可． 解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c ＋a －b ＞0.∴|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |＝b ＋c －a ＋c ＋a －b ＋c ＋a －b ＝3c ＋a －b . 方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的
第十一章：全等三角形 第1课时：全等三角形 教学目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点 全等三角形的性质． 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程 一．提出问题，创设情境 1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ 1 1C A B A 1 这两个三角形是完全重合的． 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下
来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号． 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 要是把两个图形放在一起，能够完全重合，?就可以说明这两个图形的形 状、大小相同． 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求． 二．导入新课 将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 不难得出：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等． [例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． C B O D 问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？ 将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，?所以C和B重合，A和D重合． ∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB． 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
人教版八年级数学（上册） 第一章：三角形 （一）、三角形相关概念 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段． （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线． ②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点． ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可． （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高． 注意：①三角形的三条高是线段 ②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （四）三角形的内角 结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° （1）构造平角 ①可过A点作MN∥BC(如图) ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示： 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）
com 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 ：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
六、课堂小结 1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。作业： 课本69面3、4；70面8、9题。 11.1.3三角形的稳定性 [教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 [重点难点] 三角形稳定性及应用。[教学过程]一、情景导入 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 二、三角形的稳定性https://www.doczj.com/doc/998837770.html, 〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会改变。 2 、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会改变。 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它， 它的形状会改变吗？ 不会改变。 从上面的实验中，你能得出什么结论？ 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用 三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如： （2）
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？四、课堂练习3、课本68面练习。作业：69面5；70面10题。 11.2.1三角形的内角 [教学目标]掌握三角形内角和定理。 [重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。[教学过程] 一、导入新课 我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？ 二、三角形内角和的证明 回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？ 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1] 图1想一想，还可以怎样拼？ ①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 图2 ②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 B ∠ C ∠
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
此文档下载后即可编辑 初二上册数学第一章习题 1．填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是( )＝( )；还需要一个条件( )＝( )(这个条件可以证得吗？)． (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：( )＝( )，( )＝( )；还需要一个条件（）=（）(这个条件可以证得吗？)． 2、已知：AD∥BC，AD＝CB(如图3)．求证：△ADC≌△CBA． 3、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE ＝DF．求证：△ADF≌△CBE． 4、如图19.2.4，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．
图19.2.4 5、如图所示, 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF； （2）BC＝BD，∠ABC＝∠ABD． 6、小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？ D E F H
7、点M 是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点，求证DM=CM ，∠ADM ＝∠BCM ． 8、如图,已知AC 和BD 相交于O,且BO ＝DO,AO ＝CO,下列判断正确的是（ ） A ．只能证明△AO B ≌△COD B ．只能证明△AOD ≌△COB C ．只能证明△AOB ≌△COB D ．能证明△AOB ≌△COD 和△AOD ≌△COB 9、如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 （ ） A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙 10．如图,已知MB ＝ND,∠MBA ＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ） A ．∠M ＝∠N B ．AB ＝CD C ．AM ＝CN D ．AM ∥CN 11、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块, 现在要到玻璃店去 O C B A D
湘教版八年级上册数学全册教案
八年级上学期数学教学计划 一、指导思想： 以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 二、学生的基本情况： 上学期学生学习了一元一次方程及其应用，二元一次方程组及其应用，整式的乘法，相交线与平行线以及统计的一些简单知识，学生数学上的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养，对图形及图形间数量关系有初步认识，逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养，学生从形象思维到抽象思维的过渡阶段，抽象思维得到了较好的发展。绝大部分学生能够认真对等每次作业，及时纠正作业中的错误，课堂上能专心致至的进行学习和思考问题，学生学习数学的兴趣得到了激发与进一步的发展，但学习习惯上，学生的课前预习、课堂上记笔记的习惯培养得很不理想，应该在课堂上充分发挥学生的想象与思考，敢于大胆思考，课堂上就把时间有在思考问题上。本学期要思考如何克服课前预习、课堂上记笔记的弊端，发挥其有利的一面，学生对思考规律的小结，及时复习、总结上的习惯，还需要加强，课堂上专心致至的听讲，想在老师和同学的前面，及时纠正作业和试卷中的错误的习惯还需要加强，表扬和鼓励阅读与数学有关的课外读物，引导学生自主拓展和加深自己的知识的广度与深度；在学习方法上，一题多解，多题一解，从不同的角度看问题，从对称的角度思考问题，用不同的方法检验答案，需要加强训练与培养。 三、教材分析： 本学期的教学内容共计五章：
直角三角形 与三角形有关的定理 1. 三角形内角和 ____________ 2. 三角形的一个外角等于_____________ 3. 三角形的一个外角大于_________________________ 4. 根据已学的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理： （1）___________________ 对应相等的两个三角形全等（AAS （2）等腰三角形__________________________________ 互相重合。（简称“三线合一”）（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于______________ 。 （4）有一个角等于60°的____________ 是等边三角形。 （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于 ____________ （6 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 （7）三个角都相等的三角形是___________ 三角形。 （8）等腰三角形的__________ 相等（简称为“等边对等角”） （9）有__________ 相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） （10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的______________ 。 （11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________ （12） ____________________ 对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”） 例题1.已知△ ABC中，/ ABC=90 , CD± AB于D点，AD=?AC,且AD=2 厘米，求AB的长. 例题2.如图，D为直角三角形ABC斜边上一点，DE I BC于E点, 1 BE=AC若BD=±厘米，DE+ BC=1厘米，试求/ B的大小. 2
11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕 体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 a b c (1) C B A
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x
初二数学上册总复习训练 复习内容：第15章《整式的乘除和因式分解》 本章要掌握的知识： 1.会推导整式乘除法的一些法则，会熟练的进行整式的乘除法。 2.会将多项式进行添括号和去括号。 3.会将多项式熟练的进行因式分解。 本章知识结构： 1. 整式的乘法幂的运算性质: 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 乘法公式 2.整式的除法幂的运算性质：同底数幂的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 3.因式分解提公因式法公式法 十字相乘法分组分解法
【练习1】口答： (1) x3x2 = (103)5= (-3x)3= (2) 105.103.10= (a m)2 = (-5ab)2= (3) -y3y4 = -(x4)3 = (xy2)2 = (4) X m+2.x3m= (a4)4= (-2xy3z2)4= 【练习2】计算 （1）5x2y2(-3x2y) （2）(-2ax2)2.(-3a2x)3 （3）5b2c.(3ab-2b3) （4) (4x2-3x+6).2x (5) 先化简，再求值：x2(x-1)-x(x2+2x-6), 其中x=2 【练习3】计算 1. x(4x-y)-(2x+y)(2x-y) 2. (a+2b)2+(a-2b)2 3. (a-b)2-(a+b)(a-b) 4. (x+y+z)(x-y-z) 5. (x-y-z)2 【练习4】计算
643522332322122132121(1)()24 1(2)6()[()]3 (3)(546)613(4))(0.5)34 m n m m m a b c a c a b a b x y x y x x x y x y x y x y -+--÷-÷--+÷-+÷- 【练习5】因式分解 1. a 2-ab 2. 3a 3+12ab 2-9a 4b 3 3. -8x 4y+6x 3y-2x 2y 4. m(4x+y)-2mn(4x+y) 5. 3a(a-2b)2-18b(2b-a)2 6. x 2-81 7. x 3-4x 8. 25m 2-10mn+n 2 9. 4(x-y)2+12(y-x)+9 10. x 2-4x-5