山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．2B．﹣2 C．2i D．﹣2i
2．（5分）已知集合A={x|y=ln（x2﹣x）}，B={x|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）
A．∪B．∪（1，3]C．（0，1）D．
3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，∠B=2∠A，则cosA的值为（）
A．B．C．D．
4．（5分）设a＞0且a≠1．则“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）?a x”是R上的减函数的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）
A．16B．C．D．
6．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f的大小关系是（）
A．B．
C．
D．
8．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知抛物线C1：y2=2x的焦点F是双曲线C2：的一
个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x﹣1）|+b与g（x）=x3﹣3x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）
A．4B．5C．6D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为．
12．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，则圆C的方程为．
13．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为．
14．（5分）已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，则数列是等差数列．由此类
比：数列{b n}是各项为正数的等比数列，T n是它的前n项积，则数列{}为等比数列（写出一个正确的结论）．
15．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图，茎叶图记录了某校甲班3名同学在一学年中去社会实践基地A实践的次数和乙班4名同学在同一学年中去社会实践基地B实践的次数．乙班记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．
（Ⅰ）如果x=7，求乙班4名同学实践基地B实践次数的中位数和方差；
（Ⅱ）如果x=9，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，求选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率．
17．（12分）已知函数f（x）=2sinωx的图象的一条对称轴为x=π，其中ω为常数，且．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求a的最小值．
18．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，点E，F分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BE=1，∠A1AB=60°．
（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BE；
（Ⅱ）求证：BF⊥平面A1B1C1．
19．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足：a1+a2+a3+…+a n=log2b n（n∈N*）．若{a n}为等差数列，且a1=2，b3=64b2．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n═（a n+n+1）?2，求数列{c n}的前n项和T n．
20．（13分）已知椭圆C：的离心率为，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）定义：以原点O为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”．若直线
l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．
证明：|PQ|为定值．
21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2，g（x）=alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）记F（x）=f（x+1）﹣g（x），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅲ）设函数G（x）=f（x）+g（x）两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，求证：G（x2）＞ln2．
山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，复数=（）
A．2B．﹣2 C．2i D．﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：复数===﹣2i．
故选：D．
点评：本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知集合A={x|y=ln（x2﹣x）}，B={x|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）
A．∪B．∪（1，3]C．（0，1）D．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．
解答：解：由A中y=ln（x2﹣x），得到x2﹣x＞0，即x＜0，或x＞1，
∴A=（﹣∞，0）∪（1，+∞），
由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+3）≤0，
解得：﹣3≤x≤3，即B=，
则A∩B=．
故选：A
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，∠B=2∠A，则cosA的值为（）
A．B．C．D．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，∠B=2∠A代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理即可求出cosA的值即可．
解答：解：∵a=3，b=2，∠B=2∠A，
∴由正弦定理=，即===，
整理得：cosA=，
故选：A．
点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4．（5分）设a＞0且a≠1．则“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）?a x”是R上的减函数的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可．
解答：解：函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数，则a＞1，
若“函数g（x）=（1﹣a）?a x”是R上的减函数，则或，即a＞1或0＜a
＜1，
故“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）?a x”是R上的减函数的充分不必要条件，
故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的单调性求出等价条件是解决本题的关键．
5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）
A．16B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的三棱锥，画出直观图，根据数据求出体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是侧面PAC⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；
过点P作PM⊥AC，交AC与点M，连接BM，
则PM⊥平面ABC，且PM=2，
∴BM⊥AC，且BM=2，
∴AC=2AM=2=4；
∴三棱锥的体积为
V三棱锥P﹣ABC=××4×2×2=．
故选：D．
点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
6．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，
并输出满足循环的条件．
∵S=2+22+…+26+27=254，
故①中应填n≤7．
故选C．
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
7．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f的大小关系是（）
A．B．
C．
D．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：由f（x）=x2﹣cosx为偶函数，知f（﹣）=f（），由f（x）在（0，1）为增函数，
由此能比较大小关系．
解答：解：∵f（x）=x2﹣cosx为偶函数，
∴f（﹣）=f（），
∵f′（x）=2x+sinx，
由x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
知f（x）在（0，1）为增函数，
∴f（）＜f（）＜f（），
∴f（﹣）＜f（）＜f（），
故选：B．
点评：本题考查函数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的单调性和导数的灵活运用．
8．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）
A．B．C．D．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象；指数函数综合题；导数的乘法与除法法则．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．
解答：解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，
∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．
设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，
∴f'（x）=（x2﹣2）e x，
由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜．
由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，
即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．
故选B．
点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．
9．（5分）已知抛物线C1：y2=2x的焦点F是双曲线C2：的一
个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：通过题意可知F（，0）、不妨记M（1，），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．
解答：解：由题意可知F（，0），
由抛物线的定义可知：x M=﹣=1，
∴y M=±，不妨记M（1，），
∵F（，0）是双曲线的一个顶点，
∴，即a2=，
又点M在双曲线上，∴，即b2=，
∴e===，
故选：D．
点评：本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x﹣1）|+b与g（x）=x3﹣3x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）
A．4B．5C．6D．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：新定义；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：由对数函数的性质可得f（x）的值域，再由导数求得g（x）的值域，根据新定义，可得b=4，即可得到所求的最大值．
解答：解：f（x）=|log2（x﹣1）|+b在区间上的值域为，
g（x）=x3﹣3x2+8的导数为g′（x）=3x2﹣6x，g′（x）=0解得x=2，
由g（2）=4，g（）=，g（3）=8，即有g（x）的值域为，
由“相似函数”可得f（2）=g（2），即b=4，
则函数f（x）在区间上的最大值为b+2=6，
故选：C．
点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查对数函数的性质和导数的运用：求最值，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得．
解答：解：由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，使得≥0成立的x的范围为（﹣1，3]，区间长度为4，
由几何概型公式可得使得≥0成立的概率为：=．
故答案为：．
点评：本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确所求是区间长度的比．
12．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．
考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆的标准方程；圆的切线方程．
专题：直线与圆．
分析：求出圆心坐标，利用两圆相切，即可得到圆的半径，然后求解圆C的方程．
解答：解：圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，
可得圆心坐标（﹣1，0），设圆的半径为r，
所求圆与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，
可得：==2，r=．
所求圆的方程为：（x+1）2+y2=2．
故答案为：（x+1）2+y2=2．
点评：本题考查直线与的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力．
13．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为1．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．
解答：解：由z=x+my得y=x，
若m＞0，
则目标函数的斜率k=＜0，
作出不等式组对应的平面区域如图：
若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，
由平移可知当直线y=x与AC平行时，满足条件，
此时=﹣1，解得m=1，
若m＜0，则k=＞0，
若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，
则直线y=x，经过点C时，目标函数取得最大值，此时最大值只有一个，不满足条件．故答案为：1
点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．
14．（5分）已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，则数列是等差数列．由此类比：数列{b n}是各项为正数的等比数列，T n是它的前n项积，则数列{}为等比数列（写出一个正确的结论）．
考点：类比推理．
专题：计算题；推理和证明．
分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为=a1+（n﹣1）?的特点，类比可写出对应数列{}为等比数列，
解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了=a1+（n﹣1）?．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．
类比可得=．其公比为
故答案为：．
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．
15．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是．
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：由题意可判断函数数f（x）的周期T=2，从而作f（x）与g（x）=a|x|的图象，结合图象可知a≥0；且当在（1，3）上相切时取得另一个临界值，利用导数求出此时的a，即可得到实数a的取值范围．
解答：解：由题意知，函数f（x）的周期T=2，
且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1；
作f（x）与g（x）=a|x|的图象如下，
结合图象可知，a≥0；
当在（1，3）上相切时，
f（x）=﹣（x﹣2）2+1，f′（x）=﹣2（x﹣2），
故﹣2（x﹣2）=，
解得，x=；
故a=f′（）=﹣2（﹣2）=4﹣2；
故实数a的取值范围是．
故答案为：．
点评：本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（12分）如图，茎叶图记录了某校甲班3名同学在一学年中去社会实践基地A实践的次数和乙班4名同学在同一学年中去社会实践基地B实践的次数．乙班记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．
（Ⅰ）如果x=7，求乙班4名同学实践基地B实践次数的中位数和方差；
（Ⅱ）如果x=9，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，求选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：7，8，9，10，11，求得中位数，平均数，再根据方差公式求得s2的值．
（Ⅱ）记甲班3名同学为a9，a11，a12，乙班4名同学即为b8，b9，B9，b12，列举出从实践次数大于8的同学中任选两名同学的基本事件，再找到满足两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的基本事件，根据概率公式计算即可．
解答：解：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：7，8，9，12，
所以已组的中位数为=8.5，
所以平均数为（7+8+9+12）=9，）
方差为s2==3.5；
（Ⅱ）记甲班3名同学为a9，a11，a12，乙班4名同学即为b8，b9，B9，b12，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，基本事件有a9a11，a9a12，a9b9，a9B9，a9b12，
a11a12，a11b9，a11B9，a11b12，a12b9，a12B9，a12b12，b9B9，b9b12，B9b12，共15个，
选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的基本事件有a9b12，a11b12，a12b9，a12B9，a12b12，共5个，
故选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率p==．
点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题
17．（12分）已知函数f（x）=2sinωx的图象的一条对称轴为x=π，其中ω为常数，且．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求a的
最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，结合正弦函数的对称轴，可得ω，再由周期公式，可得所求周期；
（Ⅱ）由条件f（A）=3，化简计算可得A，再由余弦定理，结合配方和基本不等式，即可
得到a的最小值．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx
=（2sinωxcosωx）+2sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx+1
=1+2sin（2ωx﹣），
图象的一条对称轴为x=π，则2ωπ﹣=kπ+，即ω=+．k∈Z，
由，可得ω==，
则函数f（x）的最小正周期T==；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（x﹣）+1，
f（A）=2sin（×A﹣）+1=3，则有sin（2A﹣）=1，
A∈（0，π），即有2A﹣∈（﹣，）．
则2A﹣=，可得A=，
在△ABC中，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc
≥（b+c）2﹣3（）2==，
当且仅当b=c=时，a的最小值为．
点评：本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查正弦函数的周期公式和三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，点E，F分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BE=1，∠A1AB=60°．
（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BE；
（Ⅱ）求证：BF⊥平面A1B1C1．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于G，连结EG，先证明出GE∥AC1，进而利用线面平行的判定定理证明出AC1∥平面A1BE．
（Ⅱ）连结EF．判断出△ABA1为等边三角形，求得BA1=1，判断出F是A1B1的中点，求得EF，然后利用勾股定理判断出△BEF为直角三角形，推断出BF⊥EF．最后利用线面垂直的判定定理证明出BF⊥EF．
解答：
证明：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于G，连结EG，
∵△B1AC1中，B1G=GA，B1E=EC1，
∴GE∥AC1，
∵GE?面A1BE，AC1?面A1BE，
∴AC1∥平面A1BE．
（Ⅱ）连结EF．
∵AA1=AB=1，∠A1AB=60°，
∴△ABA1为等边三角形，
∴BA1=1，又BB1=AA1=1，
∴F是A1B1的中点，
∴EF=A1C1=A1B1=AB=，
又知△A1BB1中，BF=，
∴在△BEF中，EF2+BF2=BE2=1．
∴△BEF为直角三角形，且∠BEF=90°，
∴BF⊥EF．
∵EF?面A1B1C1，A1B1?面A1B1C1，EF∩A1B1=F，
∴BF⊥面A1B1C1．
点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生对基础定理和公式的熟练运用程度，和一定的空间的观察能力．
19．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足：a1+a2+a3+…+a n=log2b n（n∈N*）．若{a n}为等差数列，且a1=2，b3=64b2．
（Ⅰ）求a n与b n；
（Ⅱ）设c n═（a n+n+1）?2，求数列{c n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）通过a3=及a1=2可得d=2，进而可得a n=2n，利用a1+a2+a3+…+a n=log2b n 可得b n=2n（n+1）；
（Ⅱ）通过（I）及c n═（a n+n+1）?2可得T n、4T n的表达式，利用错位相减法计算即
得结论．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得：a1+a2+a3=log2b3，a1+a2=log2b2，
两式相减可得：a3==log264=6，
∵a1=2，∴d=2，∴a n=2n，
∵a1+a2+a3+…+a n==n（n+1）=log2b n，
∴b n=2n（n+1）；
（Ⅱ）由题意c n═（a n+n+1）?2=（3n+1）4n﹣1，
∴T n=4+7?4+10?42+…+（3n+1）?4n﹣1，
4T n=4?4+7?42+10?43+…+（3n+1）?4n，
两式相减得：﹣3T n=4+3?4+3?42+…+3?4n﹣1﹣（3n+1）?4n
=4+3（4+42+…+4n﹣1）﹣（3n+1）?4n
=4+3?﹣（3n+1）?4n，
整理得：T n=n?4n（n∈N*）．
点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13分）已知椭圆C：的离心率为，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）定义：以原点O为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”．若直线
l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．
证明：|PQ|为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）因为，所以，得，即可求得椭圆方程．
（Ⅱ）由“半椭圆”的方程与直线联立，由得x1x2+y1y2=0，代入即可解得．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以，得
联立得，，故A（），B（）
由得（），解得b2=1，a2=3
所以椭圆方程为
（Ⅱ）由题意可得“半椭圆”方程x2+y2=4
当直线l斜率不存在时，设l：x=n，代入椭圆方程得M（n，），N（n，﹣）
由，得，代入x2+y2=4得y=，所以|PQ|=．
当直线l斜率存在时，设l为方程为y=kx+m（k，m∈R）且与椭圆得交点M（x1，y1）N（x2，y2）
联立方程组整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0
△=36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，即m2＜3k2+1
∵x1+x2=
可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
由得x1x2+y1y2=0，即
所以，代入验证△＞0，
即原点O到直线l的距离d=
∵“半椭圆”的半径为2，∴
综上，|PQ|为定值
点评：本题主要考查了圆锥曲线的方程求法和新定义下的圆锥曲线与直线综合题的应用，属于中档题型．
21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2，g（x）=alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）记F（x）=f（x+1）﹣g（x），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅲ）设函数G（x）=f（x）+g（x）两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，求证：G（x2）＞ln2．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）根据两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，利用导数研究曲线上某点切线的斜率求出a值；
（Ⅱ）求出函数的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围；由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）的表达式最小值与
比较即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意：g′（x）=，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=，又f′（x）=2（x﹣1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，
由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：=﹣，∴a=﹣1；
（Ⅱ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=x2﹣alnx，（x＞0）
∴F′（x）=2x﹣=（x＞0），
当a≤0时，F′（x）＞0，即有F（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，F′（x）＞0，可得x＞，F′（x）＜0，可得0＜x＜，
综上可得，当a≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，函数F（x）在（0，）上为减函数；函数F（x）在（，+∞）上为增函数；（Ⅲ）证明：由题意，G（x）=x2﹣2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），
∴G′（x）=2x﹣2+=；
∵G（x）有两个极值点x1，x2，
∴G′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，
∵2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，解得a＜；
方程的两根为x1=，x2=；
∴x1+x2=1，x1?x2=＞0，
∴a＞0；
综上，a的取值范围为（0，）．
∵0＜x1＜x2，且x1+x2=1，
∴＜x2＜1，a=2x2﹣2x22，
∴G（x2）=x22﹣2x2+1+（2x2﹣2x22）lnx2．
令g（t）=t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，其中＜t＜1，
则g′（t）=2（1﹣2t）lnt．
当t∈（，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（，1）上是增函数．
∴g（t）＞g（）=．
故G（x2）=g（x2）＞．
点评：本题考查了导数的运用：求切线方程和单调区间，利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．