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第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用
5万元。如果它们前十年每年底存
款1000元，后十年每年底存款 1000+X 元，年利率 7%。计算 X 。
解：
S = 1000s ?
+ Xs ?
p 7% 10 p 7%
20
X = 50000 - 1000s 20
?p
7% = 651 72
s ? p7%
.
10
2．价值 10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还 250元，期限 4年。
月结算名利率 18%。计算首次付款金额。
解： 设首次付款为 X ，则有
10000 = X + 250a 48
?p1.5%
解得
X = 1489.36
3．设有 n 年期期末年金，其中年金金额为
n ，实利率 i = 1。试计算该年金的现值。
n
解：
P V =
na?n
pi
=
1 - v n
n 1
n
= (n + 1)n n 2- n n +2
(n + 1) n
4．已知： a?
n
p
= X ， a ?
n
p
= Y 。
2
试用 X 和Y 表示 d 。
解： a 2
? n
p
= a? n
p
n
p
(1 - d) n
则
1
+ a?
Y - X ) n
d = 1 - (
X
5．已知： a? 7
p = 5.58238, a ? p
= 7.88687, a ? = 10.82760。计算 i 。
11
18 p
解：
a 18
?p = a?7
p + a 11
?p v 7
解得
i = 6.0%
6.证明： 1
s
10?
p +a ∞? p 。
= s 10? p
1-v 10
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证明：
s ? + a ?
(1+i) 10 - 1+1
1
10
p ∞ p
=i
i
=
10 p
10
1 - v 10
(1+i) - 1
s ?
i
7．已知：半年结算名利率 6%，计算下面 10年期末年金的现值：开始
4年每
半
年200元，然后减为每次 100
元。
解：
P V = 100a?8
p3% + 100a 20
?p
3% = 2189.716
8．某人现年 40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入 1000元，共计 25年。然
后，从 65岁开始每年初领取一定的退休金，共计 15年。设前 25年的年利率为 8%，
后15年的年利率 7%。计算每年的退休金。
解： 设每年退休金为 X ，选择 65岁年初为比较日
1000¨?X ¨ ?
p7%
25
p8%=
15
解得
X = 8101.65
9．已知贴现率为 10%，计算 ¨?8
p
。
解： d = 10%，则 i 1-d - 1 =1
9
=1
1 - v 8
= 5.6953
¨?8
p = (1 + i)
i
10.求证：
n
p
n p
+ 1 -
(1) ?¨ = a?
v n ；
(2) ?¨n
p = s? - n
p 1 + (1 + i) n
并给出两等式的实际解释。
证明： (1) ¨?n p =1
- d v n
=1
- i v n
=1
- v n
i
+ 1
- v n
1+i
所以
¨?n
p = a?n
p + 1 - v n
(1+ n
n
n
n - 1
n
p
(1+i ) - 1=(1+i) - 1 i) - 1
(2) ?¨ =
= i
+ (1 + i)
d 1+i
i
所以n p
= s? -n
p
1 + (1 + i)
n
¨?
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12.从 1980年 6月7日开始，每季度年金100元，直至 1991年 12月 7日，季结算名利
率6%，计算： 1）该年金在 1979年 9月 7日的现值； 2）该年金在 1992年 6月 7日的终值。
解：
P V = 100a49?p1.5%- 100a?2p1.5%= 3256.88
AV = 100s 49?p1.5% - 100s?2p1.5% = 6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金 A 和 B。年金 A 在第 1－10年和第 21－ 30年中每
年1元，在第 11－ 20年中每年 2元；年金 B在第 1－ 10年和第 21－30年中每年付款金
额为 Y ，在第 11－ 20年中没有。已知： v10=1，计算 Y。
2
解：因两种年金价值相等，则有
a30 ?p i+a10?p i v10=Y a30 ? - p i Y a10?pi v10
所以Y = 3- v10- 2v30
=1
1+v10- 2v30.8
14.已知年金满足： 2元的 2n期期末年金与 3元的 n期期末年金的现值之和为 36；另外，递延 n年的 2元 n 期期末年金的现值为 6。计算 i。
解：由题意知，
2a?
n pi + 3
a?= 36
2n
pi
2a?n pi v n= 6
解得
a?7p 15.已
a11?p 知
i = 8.33%
a?3p + s X ?p
=
a Y ?p + s Z?p
。求
X
，Y和Z。
解：由题意得
1 - v
1 - v 解得
7
11
=(1 + i) X - v3
(1 + i) Z - v Y
X=4,Y =7,Z=4
16.化简 a15?p(1 + v15 + v30)。
解：
15p153045p
a ?(1 + v+ v) = a ?
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17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一
次2000元，半年结算名利率9%。
解：年金在4月1日的价值为P
4.5%
×2000 = 46444.44，则
=1+4 .
5%
P V =
P
= 41300.657 (1 + i)2+23
18.某递延永久年金的买价为P ，实利率 i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为 t，有
1
P = i v t
解得
ln
t = - ln(1+ iP i)
19.从现在开始每年初存入 1000元，一直进行 20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额 X ，直至永远。计算 X 。
解：设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有
X
1000¨20?pi=v29
i
解得X = 1000((1 + i) 30- (1 + i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代 A 、B、C、和 D ：前 n年， A 、 B和C三人平分每年的年金， n年后所有年金由 D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算 (1 + i) n。
解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么 A,B,C 得到的遗产的现值为 i，而D得到遗产的现值为v n。由题意得
3a?
n pi
1 - v n= v n
3
所以(1 + i) n= 4
21.永久期末年金有 A 、 B、C、和 D四人分摊， A 接受第一个 n年， B接受第二
个n年， C接受第三个 n 年， D接受所有剩余的。已知： C与A 的份额之比为 0.49，
求B与D 的份额之比。
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解： 由题意知
PV C =
a?n
p
= 0.49
P V
v n
A
2
那么
a?n
p
PV B
=
a?n
p = 0.61
v n
13
n
P V v
D
i
22.1000元年利率 4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷 100元，直至还清，如果最后一次的还款大于 100元。计算最后一次还款的数量和时间。
100a?
<1000
n p4.5%v 4
解得 n = 17
解：
n
+1? p4.5%v
4
>1000
100a
列价值方程
100a ?
p4.5%+
Xv 1 = 1000
16
2
解得
X = 146.07
23.36年的期末年金每次 4元，另有 18年的期末年金每次 5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在 n 年内将增加一倍，计算 n 。 解： 两年金现值相等，则
4 ×a
36 p
i = 5 × ，可知
? 18
18
= 0.25
v
由题意， (1 + i) n
= 2
解得 n = 9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还 100元， 5年还清； k 个月后一
次还 6000元。已知月结算名利率为 12%，计算 k 。
解： 由题意可得方程
100a 60
?p1% = 6000(1 + i) - k
解得
k = 29
25.已知 a?2
pi = 1.75，求 i 。 解： 由题意得
1 - v 2= 1.75i
解得
i = 9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买 10年期末年金可以每年得到 1538元， 20
年
的期末年金为每年 1072元。计算年利率。
解：
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27.某人在银行中存入一万元 10年定期存款，年利率 4%，如果前 5年半内提前支
取，银行将扣留提款的 5% 作为惩罚。已知：在第 4、 5、 6和7年底分别取出 K
元， 且第十年底的余额为一万元，计算 K 。
解： 由题意可得价值方程
10000 = 105Ka?2
p4%v3+Ka? 2
p4% + 10000v 10
则 K = 10000-10000v
10
= 979.94
105a?
+a?
5
2p4%v 3
2 p4%v
28.贷款 P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为 i ，后面的利率为 j 。计算首次付款金额 X 的表达式。
解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1
P (1 + i) 2
= X + 2Xa? 4pi + 2Xa? 5
pj (1 + i) - 4
所以
P (1 + i) 1
2
X =
1 + 2a?4
pi + 2a?5
pj (1 + i) - 4
29.已知半年名利率为 7%，计算下面年金在首次付款 8年后的终值：每两年付款2000元，共计 8次。
解：
30.计算下面十年年金的现值：前 5年每季度初支付 400元，然后增为 600元。已知年利率为 12%。（缺命令）
解：
P V = 4 ×400 + 4 600v ×5= 11466.14
31.已知半年结算的名贴现率为 9%，计算每半年付款 600元的十年期初年金的现值表达式。
解：
32.给出下面年金的现值：在第 7、 11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：
1
(1 +i ) 24
= a 28
? - p
a?4
p
P V =
24
p i
v
3 =
- 1 4 s?
a ?
27
- 1] s? p
p
(1 + i) [(1 + i) + s?
i
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33.750元的永久年金和每 20年付款 750元的永久年金可以用每次 R 元的 30年期末年金代替，半年换算名利率 4%，求 R 的表达式。
解： 设年实利率为 i ，则 (1 + 2%) 2
= 1 + i 。有题意得
750
+
750
i
20
pii =Ra
30? pi
s ?
解得
R = 1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为 125/91，计算年利率。
解： 由题意知
1 = 125
is?3pi 91
解得
i = 20%
35.已知： 1元永久期初年金的现值为 20，它等价于每两年付款 R 元的永久期初年 金，计算 R 。
解： 由题意得
20= 1
=
R
d
a?2pi
i
解得
R = 1.95
36.已知每半年付款 500元的递延期初年金价格为 10000元。试用贴现率表示递延时间。
(2)
1
解： 设贴现率为 d ，则 1 =
i
2
(1 - d)
+
1
2
设递延时间为 t ，由题意 得
10000 = 2
t (2)
?
×500v ¨
∞ p
1
解得
t = ln 20 + ln(1 - (1 - d) 2
)
ln(1 - d)
37. 计算： 3a?(2) np = 2a (2) 2? np =
45s?(2) 1p
，计算 i 。
i
a?
= 45 × s?
解：
n pi
1 pi
i
i
a
3 ×?n pi
= 2
×
n
= 1
1 i (2)
i 2
i 2
解得： v , i = 。
2 30
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38.已 知 i (4) = 16%。计 算款1元， 共12年。（问题）
解：
39.已知： δ t =1+
1t
。求 ˉ?n
p
解：
以下期初年金的现值：现
在开始每4个月付
的表达式。
∫n
ˉ?n
p =
e
- R 0
t
δs
ds
dt = ln(1 + n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数 1，计算时刻 t ，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解： 第一种年金的现值为
∫1
v t
dt = 1 - e - δ
δ
第二种年金的现值为 e - δt ，则
ln
所以
t = 1 +1 δ δi
1 - e - δ δ
= e - δt
41.已知： δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入 100元的 20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）
解： 设季度实利率为 i 。因 a(t) = e ，则 e
= (1 + i) 所以
δt
1
4 δ
1 - v 80
= 4030.53
80 pi
i
P V = 100 ¨? = 100(1 + i)
42.现有金额为 40,000元的基金以 4%的速度连续累积。同时每年以 2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？
解： 设年实利率为 i ，则 i = e δ- 1
设基金可维持 t 年，由两现值相等得
40000 = 2400a?t
pi
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43.已知某永久期末年金的金额为： 1，3， 5， . . . 。另外，第 6次和第 7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。
解： 由题意：
11 13
(1+i) 6
=(1+i) 7
?
i = 11
2 P V = v + 3v 2+ ···+ (2n - 1)v n + ···
2
+ ··· = v[1 + P V + 2(v + v )]
= v(1 + P V +
1-v
)
2v
解得:P V = 66
44.给出现值表达式 Aa? n
p + B (Da) n
|所代表的年金序列。用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值：首次 100元，然后每次减少 3元。
解： 年金序列： A + nB, A + (n - 1) B, . . . , A + 2B, A + B
所求为 25a 25
?p
+ 3(Da) 25
|
45. 某期末年金（半年一次）为： 800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率
为16％。若记： A = a 10
?p
8% ，试用 A 表示这个年金的现值。
解： 考虑把此年金分割成 300元的固定年金和 500元的递减，故有：
2 × (10-A)
10
p8%
+ 500(Da) 10 |8%
= 300A + i (2) = 6250 - 325A
300a ?
46. 年利率 8％的十年储蓄：前 5年每年初存入 1000元，然后每年递增 5％。计算第十年底的余额。
解： 由题意：
AV =1000s? 5
p8%
(1 + 8%)6+ (1000 ×1.05 ×1.085 +
2
4
···
5
×1.08)
1000 ×1.05 ×1.08 +
+ 1000 ×1.05 =100
(1 + 8%)
5 - 1
6
+ 1000 ×1.05
5
8% 1.08
×1.08
1(
1.05
1.08)5
11.05
1.08
=16606.72
47. 已知永久年金的方式为：第 5、 6年底各 100元；第 7、 8年底各 200元，第 9、10年底各 300元，依此类推。证明其现值为 :
v 4
100
北京大学数学科学
学院
金融数学系i - vd
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解： 把年金分解成：从第 5年开始的 100元永久年金，从第 7年开始的 100元永
久
年金 . . .。从而
P V =v 4
100
1 1
= 100v 4
1
1 = 100
v
4
i a?2pi i
i 1 - v 2 i - vd
48. 十年期年金：每年的 1月1日 100元； 4月1日200元； 7月 1日 300元； 10月 1日 400元。证明其现值为：
1600¨10
p
(4) (4) 1| 元 ? (I ¨)
证： 首先把一年四次的付款折到年初：
m = 4, n = 1, R = 100m 2
= 1600
从而每年初当年的年金现值：
1600(I (4)
(4)
¨) 元
1| 再贴现到开始时：
10?
p
(I (4)
(4)
1|
元
1600¨
¨)
49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加 3％，年利
率8％，计算现值。
解： 半年的实利率： j = (1 + 8%) 1 2
- 1 = 3.923%
PV =1+
1.03 + 1.032
+ ···
1 + j (1 + j) 2
1.03
= (1 - 1 + j
)- 1
= 112.59
50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前 9个月每月初 500元，共计 4年。
证明当前的准备金为：
6000¨?4 p (12) /12|
¨ 9
证： 首先把 9个月的支付贴现到年初：
m = 12, n = 9/12, R = 500m = 6000 从而
每年初当年的年金现值：
(12)
6000¨
9/12| 贴现到当前：
4
p (12) 9/12|
6000¨
? ¨
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系
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51.现有如下的永久年金：第一个 k 年每年底还；第二个 k 年每年底还 2R ；第三个k 年每年底还 3R；依此类推。给出现值表达式。
解：把此年金看成从第nk年开始的每年为 R的永久年金 (n = 0, 1, 2, ···):每个年金的值为
Ra∞?p
在分散在每个 k年的区段里：
Ra∞|
a k|
再按标准永久年金求现值：
R(a∞|)2
a k|
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金：1, 2, 3, ···的现值。计算贴现率。
解：由题意：
1
X=1
i 1+i
20X = (1
11
解得： i = 0.05即： d =i1+i= 0.04762i
+
i 2
)
(1+i) 2
53.四年一次的永久年金：首次 1元，每次增加 5元， v4 = 0.75，计算现值。与原答
案有出入
解： (期初年金 )
∑∞5-4= 64 P V = 1 + 6v4+ 11v9+=(4n-4) =
···
(5n - 4)v(1 - v 4)2 1 -v4
i=1
(期末年金 )
P V¨= v + 6v5+ 11v10 +····P V=
= v
59.5587
54.永久连续年金的年金函数为 :(1 + k) t，年利率 i ，如果： 0 < k < i ，计算该年金
现值。与原答案有出入
解：由于 0 < k < i ，故下列广义积分收敛：
P V =∫∞
∫
∞ 1 + k
t- δt
)t dt=
(1 + k) e =
0dt0
1
ln(1 + i) - ln(1 + k)
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∑
i
t=1
1∑n1∑
¨? t-p 55. 递延一年的 13年连续年金的年金函数为 t2 - 1 ，利息力为 (1 + t) - 1，计算该年金
现值。与原答案有出入
解：
∫1∫14t- 1
P V = exp(-
1(t2
- 1) exp(-
∫
1
1 + t
dt)
10
1 + s ds)dt = 47.43
56. 给出下列符号的表达式 :
n n
∑∑
(Ia)t|和(Da) t|
t=1t=1
解：由 (Ia)t|表达式有：
∑n
(Ia)t|=
t=1
=ntv t
n
¨tp? -tv t
i t=1i t=1
1
=
1 ∑n
[(1 + i) - v t- 1]-i(Ia)n|展开求和即得
i2
=
1 t=1
2¨n p+ nv n]
i2[n(1 + i) -?
由(Da) t|表达式有：
n∑t
p
∑
n t - a?
t=1
(Da)t| =
t=1
i
∑
=
1 ∑n
t -n1 - v t
i t=1t=1i
= 1 n(n + 1) - 1(n - a? n p)
i2i2
i
=n2(n + 1) - n + a? n p
i2
57. 现有两种永久年金： A －金额为 p的固定期末年金； B－金额为 q, 2q, 3q,的
···
0和得到极大两种情况计算年
率。
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解： 年金现值分别为：
P V A
= pa ∞?pi =
p
i q q
P V =
q(Ia)
∞|
= i + 2
B
(1)当P V A
= P V B
时有：
ip = iq + q
i =q p-q ,
p > q
解得：
i 不存在 ,
p ≤ q
(2)令 f(i) = p i - q i - i
q 2
p
+ q + 2 q
= 0 f 0
(i) = -
i 2 i 2 i 3
解得： i
p-q
p > q
= 2q
58. 某零件的使用寿命为 9年，单位售价为 2元；另一种产品，使用寿命 15年，单价
增加 X 。如果某人需要 35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年
增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的 X 为多少？ (缺少利率 ?下面的计算年利率i = 5%)( 与原答案有出入 )
解： 用 9年一周期的产品，则有支付的现值为：
1.04 ) 1.04
)
1.04
1 = 2
×[1 + ( 1.0
1.0
)
P V
9+ (
18+ ( 1.0
27]
5
5 5
用15年一周期的产品，则有支付的现值为：
PV 2
=(2+X)
1. 04
1.04
15+ ( 1.0 30]
[1×+ ( 1.0 )
)
由P
V 1
2
5
5
= PV 有：X=0.6992
59. 计算 m + n 年的标准期末年金的终值。已知：前 m 年年利率 7%，后 n 年年利 率11%，s m
p 7% n p11%
。 ? = 34, s? = 128
解： 由 s?n
p 的表达式有： (1 + 0.11) n
= 0.11s?n p11%+ 1
AV
= s ?
(1 + 0.11) + s?
n p11%
m
p 7%×
n
=
s m
?p7%×(0.11s?n
p11% + 1) + s?n
p11%