A.x --2
B.x +2
C.x
D.x -
★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________
★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）
A.负数
B.非负数
C.正数
D.非正数
★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）
A.x ＞2
B.x ＜2
C.x ≥ 2
D.x ≤2
8.已知0)3(254
=++-y x ，求2010)2(y x +的值.
9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b
的值为？
★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.
专题三：绝对值表示距离的应用
解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）
若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.
例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）
B A
【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.
试化简：a b a c b c c +--++-.
例题4 绝对值表距离的应用
（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .
（3）421-+-++x x x 的最小值是 .
（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.
（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.
（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.
【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.
c b 0 a
专题四：乘方中的计算公式——n n n b a b a ?=?)(
例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.
专题五：整数的分解
例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=???d c b a ，求 d c b a +的值.
【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=???d c b a ，求
d c b a +++的值.
专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元
例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)
xy x y x y +++++++……的 值.
【活学活用】
1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)
xy x y x y +++++++……的值.
2.201220091141111181851521?++?+?+?+? 计算
.
3.计算1
111131517192153042567290110-+-+-+
例题8 计算：1＋
211+＋3211++＋…＋100993211+++++
例题9 计算
8989889988999889999833333++++
【活学活用】
1.计算2005×0.5-2006×
2.5-2007÷12.5．
2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）
A.-818181810
B.-81818189
C.81818189
D.818181810
三、家庭作业
★1.已知ab 2c 3d 4e 5
<0,下列判断正确的是 （ ）
A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<0
2.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）
A.-22003
B.22003
C.-22004
D.2
2004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.
4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .
5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .
6.计算：
2010
120071200712008120081200912009120101---+-+-.
7.11(23++…11)(120102+?++…11)(120092+-++…111)(201023+?++…1).2009
+
8.求)2009
120101()2008120091(
)4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.
9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 3
12-++的值.
10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.
11.有理数综合运算
020********)1()2(}375.0)16
1(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-?----÷+--?--?-----π
有理数巧算
有理数运算中的几个技巧 有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧． 一、 归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等． 例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)． 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－44 1=－2 ． 解法二：－(0.5)－(－3 41) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． 二、 凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。 在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案． 三、 裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例： 解：应用关系式 来进行“拆项”。 原式
四、 逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88． 解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44 = 17.48×(37＋19＋44) = 1748． 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率． 五、 巧拆项 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：111125434236 -+-+。 解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ?? ? 3642212121212??=+- +-+ ??? 11221212 =+=。 例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。 解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决． 六、 分组搭配 观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69． 解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0． 评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题． 七、 倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
有理数的简便计算练习题
小专题一) 有理数的混合运算 1．计算： (1)(－8)－(＋3)＋(－6)－(－17)； 解：原式＝－8－3－6＋17 ＝0. (2)－1.3＋4.5－5.7＋3.5； 解：原式＝(－1.3－5.7)＋(4.5＋3.5) ＝1. (3)－9＋6－(＋11)－(－15)； 解：原式＝－9＋6－11＋15 ＝(－9－11)＋(6＋15) ＝－20＋21 ＝1. (4)34－72＋(－16)－(－23 )－1； 解：原式＝34－72－16＋23 －1 ＝－134 . (5)113＋(－25)＋415＋(－43)＋(－15 )． 解：原式＝[113＋(－43)]＋[(－25)＋(－15)]＋415 ＝0＋(－35)＋415 ＝－13 . 2．计算：
(1)23÷12×4； 解：原式＝23×2×4 ＝184. (2)(－12)3×82； 解：原式＝－18×64 ＝－8. (3)(－3)×(－56)÷(－114)； 解：原式＝－3×56÷54 ＝－3×56×45 ＝－2. (4)18－6÷(－2)×(－13); 解：原式＝18－6×(－12)×??? ?－13 ＝18－1 ＝17. (5)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)． 解：原式＝2＋4－4－3 ＝－1. 3．计算： (1)－14－2×(－3)2÷(－16)； 解：原式＝－1＋2×9×6 ＝－1＋108
＝107. (2)(－2)2×7－(－3)×6－|－5|； 解：原式＝4×7＋18－5 ＝28＋18－5 ＝41. (3)8－23÷(－4)×(－7＋5)； 解：原式＝8－8÷4×2 ＝8－4 ＝4. (4)－32＋5×(－85 )－(－4)2÷(－8)； 解：原式＝－9－8＋2 ＝－17＋2 ＝－15. (5)(－43)÷29 －16÷[(－2)3＋4]； 解：原式＝－43×92 －16÷(－4) ＝－6＋4 ＝－2. (6)(－1)3×(－12)÷[(－4)2＋2×(－5)]． 解：原式＝12÷(16－10) ＝12÷6 ＝2. 4．计算： (1)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]；
七年级数学上册有理数的巧算专项训练
七年级数学上册有理数的巧算专项训练 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445． 例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________，于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫――平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算3001×2999的值． 练习1 计算103×97×10009的值． 练习2 计算： 练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
练习4 计算： ． 3．观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算： 练习一：
1．计算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； (3)1991×1999-1990×2000； (4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；
浙教版初一奥赛培训第01讲 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式＝(211×555+211×445)+(445×789+555×789) ＝211×(555+445)+(445+555)×789 ＝211×1000+1000×789 ＝1000×(211+789) ＝1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S＝1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S＝(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n＝n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案 基础夯实： 一、填空题 1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______ 2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____ 3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号） 4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____ 5、25.2-减去85-与8 3 -的差，所得的结果 ＝______-2____ 2 1 2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____ 6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则ab ab ＝_____-1______. 7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 1 2 的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1 4的正方形 等分成两个面积为1 8 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算 11111111 248163264128256 +++++++ ＝____256255 ______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与 原点O 的距离的和为___0______； 9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____. 10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．． 11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11 101.5?_______ 米． 12．．、测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是在．．．．．．． 1.665h 1.655<≤ ．． 二、选择题 1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ） A ． 1 B ．0 C ．－1 D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ） A ．－a B ．0 C ．2a D ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ） A ．两数一定都是正数 B ．两数都不为0
初一奥数数学竞赛第一讲_有理数的巧算
初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
七年级上册奥数提高班讲义 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 【学习导航】 有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； 例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3计算3001×2999的值．
试一试 （1）103×97×10009 （2） （3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4） 3．观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 例7 计算：
第一节巧算有理数(含解答)-
实数 在初中阶段，我们从有理数开始逐步对实数有了认识，知识有理数和无理数统称实数，并掌握了有关有理数、无理数的运算．我们关于数学问题的讨论范围，也慢慢地从有理数到了实数．关于实数其数系如下表所示： 实数??? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ? ??? ??? ??? ? 正整数 整数0 负整数 有理数有限小数或无限循环数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 在本章中，我们主要讨论有理数的重要概念（相反数和绝对值）的应用，以及有理数运算中的一些技巧，并对有理数中的整数，从知识拓展的角度，研究整数的性质，如整除性、质数与合数、完全平方数等．然后对实数的另一部分无理数的一些运算，进行适当强化，应对升入高一级学校继续学习的需求． 第一节巧算有理数 内容讲解 当负数引进后，数的范围扩大到有理数，我们学习了有理数及其运算．在实际进行有理数运算时，常常根据算式的特点，分析参加运算的各数的特征和排序规律．试一试用运算律，或者改变一下排序，以及采取有条件地先算一部分，后再算另一部分等不同方法．巧妙地简化运算过程，机智地获得解答，达到提高观察和分析能力的目的．例题剖析 例1 计算135295 37373737 ++++．
分析：容易看出，分母相同，分子是1，3，5，…，295都是奇数．而1+295?恰好是37的8倍．如果把这个式子“倒过来写”，两式处于相同位置的项相加其和均为8．?注意到这样的和有74个，问题容易得解． 解：原式= 13529537373737++++ =（12953737+）+（32933737+）+…（1471493737 +） =74×29637 =592． 评注：本例求和可用公式S=1()2 n n a a +．其中a 1表示首项，a n 表示末项，n 表示项数．上式中的两项和（12953737+），…，（1471493737+），共有74个，即项数的一半2n ． 例2 计算（12+13+…+12006）（1+12+…+12005）-（1+12+…＋12006）（12＋13 ＋…＋12005）． 分析：观察上式括号内的各项，把两式各加上1就与另外两式相同．根据这一特点，可用字母代换而化简． 解：设x=1+12＋…＋12005，y=1+12＋…＋12006，则y-x=12006 ． 原式=（y-1）x-y （x-1） =xy-x-xy+y=y-x ． ∴原式=12006 ． 评注：观察问题中各算式的特点，巧妙地用字母进行代换，使问题大大简化，变得易解． 例3 计算1200500001个×2006999个9-12006999个9． 分析：我们采取“同形缩数”的办法，先解决计算101×99-199的问题，容易得知，这个问题可仿照（100+1）×99-199=9900+99-199=9900-100=9800来做，然后类比，原式易解．
6、有理数巧算
老师 姓名 学生姓名教材版本________版 学科 名称 年级七上课时间月日 _ : -- _ : 课题 名称 第六讲有理数巧算 教学 目标 及重 难点 巧算练习 教学过程复习检查 知识梳理 裂项法 零点分段法 1.零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．绝对值的几何意义的拓展 1.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． 2.a b 的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离． 典型例题 1．利用裂项技巧计算（）×33时，最恰当的方案可以是（）
A．（100﹣）×33 B．（﹣100﹣）×33 C．﹣（99+）×33 D．﹣（100﹣）×33 2．在计算＝﹣×（﹣24）…．①＝12+6+4＝22中①运用了（） A．加法结合律B．加法交换律C．乘法分配律D．加法分配律 3．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空． 解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣）， ∴+++…+ ＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） ＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝（﹣） ＝． 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1）+＝； （2）当+++…+x＝时，最后一项x＝． 4．计算：++…+（提示：裂项法） 5．阅读下面文字： 对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3） 可以如下计算： 原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999） 6．请你观察： ＝﹣，＝﹣；＝﹣；… +＝﹣+﹣＝1﹣＝； ++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： （1）+++＝； （2）++++…+＝． （3）计算：++++的值． 7．阅读下列计算方法，再用这种方法计算下面一题． 计算：（﹣9）+17+（﹣3）． 解：原式＝[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）++（﹣）]＝5+0＝5． 上面这种解题方法叫做拆项法，根据拆项法计算：（﹣1999）+4000+（﹣1）
第1讲-绝对值、有理数的巧算专题精选.
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题 一、知识梳理 1.非负数 一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥ 2.裂项常用到的关系式 （1）b a a b b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2 )1(321n n n ?+=++++Λ. 3.绝对值表示距离的应用 n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）. （1）当n 为偶数时，若1 22+≤≤n n a x a ，则原式有最小值； （2）当n 为奇数时，若2 1+=n a x ，则原式有最小值. 4.乘方中的计算公式 （1）n n n b a b a ?=?)(； （2）?????-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n )( 二、典例剖析 专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——a a 例题1 用a 、 b 、 c 表示任意三个非零的有理数，求c c b b a a ++的值. 【活学活用】 1.设02.若0≠ab ，则b b a a +的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-2 3.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则ab ab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1 ★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++有理数计算(巧算)培优
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 七年级数学培优（2）——有理数的巧算 班级：________ 姓名：_________ 知识点精析： “算对与算巧” 求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。 有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。 例题精讲： 一. 巧用运算律 例1. 计算12345678201220132014S 变式题：计算 1121231279()()()23344 4808080 二. 巧添辅助数 例2. 计算： 三. 巧用倒序相加法 例3、计算： 123 4027 2014201420142014 四. 巧用拆项法 例4计算 1 1 1 112233420132014 变式：. 111 1 1447710 20112014 五、巧用错位相加减法 例5、计算22013201412222 变式：22013201415555 六、巧用整体换元法 例6、 111 111111111 1123 2015 23 2014 23 2015 23 2014 七、巧用倒数法 例7、计算：
常见有理数巧算的技巧
初中部 年级 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 审核： 审批： 印数： 教师评价： 课题： 常见有理数巧算的技巧 〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。 1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算 2.凑整法计算 3.恰当分组计算 4.裂相想消巧算 5.分解相约计算 6.错位相减计算 〖学习流程〗 1.利用运算律巧算 例1.()()[]5413431618387 ÷-?-+- 小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序 2.凑整法计算 例1. 89+899+8999+89999+899999 小结：找到一定规律，使数凑成整数 3.恰当分组计算 例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010) 小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单
4.裂相想消巧算 例4. 211?+321?+431?+ (200019991) 小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。常用的拆项方法：①()111 11 ++?-=n n n n ②d n n d n n d ++?-=11)(③()()211+?+?n n n =()()()[]21111 21 +?++?-?n n n n 5.分解相约计算 例5.2006?20082008—2008?20062006 小结：分解的目的是为了找到相同项 6.错位相减计算 例6. S=1+2+22+32+........+20112 小结：n 2=122-?n ，常见与错位相减得计算中
初一上数学-有理数-培优讲义
有理数培优 能力提升1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算，对于相同的有理数相乘，我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算，除了要熟悉四则运算的法则之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的结果是封闭的（仍是有理数）。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如（-3）-7= （-3）+（-7）。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比如（-5）÷7=（-5）7 1?。 能力提升2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． （一）括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 1 计算： （2）4 11)54()1()21(12)1()2(219983?-÷-??????--÷---?- 2. 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 3. 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n ． 4. 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ （二）用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22． 这是一个对具体数的运算，若用字母a 代换100，用字母b 代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2． 于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ① 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 5 计算 3001×2999的值． 6 计算 103×97×10 009的值． 7 计算： 8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
有理数运算的几种特殊方法
有理数运算的几种特殊方法 王尧兴 有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 一、倒序相加法 例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。 分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。 解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② \ 将①，②两式左右分别相加，得 从而有 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。 另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数 用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式： 来计算。 二、错位相减法 例2 计算的值。 分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。 解：设，① 所以②
【 ②－①，得，所以。 说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。 三、裂项相减法 例3 计算 分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋……＋100想到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。 解：原式 说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。 … 四、换元法 在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。 例4 计算： 分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。
福建省泉州市泉港三川中学九年级数学奥数提高班 第一讲 有理数的巧算 华东师大版
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过 程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明 过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算 3001×2999的值． 练习1 计算 103×97×10 009的值．练习2 计算：
练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 练习4 计算： ． 3．观察算式找规律 例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 例7 计算：
有理数简便运算与技巧
有理数简便运算与技巧 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
有理数简便运算与技巧 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? 3=-。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 40=。 三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。 解：原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 9=。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186 ---+。 解：原式555111252106 24918????=-+-- ? ????? 13524 =-。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形 式。 例5 计算：111125434236 -+-+。 解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ??? 11221212 =+=。 例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。 解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。 六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例7 计算：()23420.2534?????-+-÷- ? ????? 。 解：原式312844????=-+-÷- ? ????? 25=-。 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ???
七上有理数计算题专项练习
有理数专项训练题 答题规范示例：-17+(-4)×5+(-4) 解：原式＝-17+(-4)×(5+1) ＝-17-24 ＝-41 专训1：有理数的加减法 （1）(-3)-4+(-4)-(-18) （2）(-27)+(-3)-5+(-3)+7 （3）3+(-3)+11-16 （4）5-18-5+(-16) （5）9-(-20)+13-5 （6）11-(-17)-6-18 （7）3+13+18+19 （8）(-8)+9-(-11)-1 （9）(-14)-3+13+(-4) （10）（252）23+1 4 +（ 1 - 2 ）+（-23）（11）（- 2 3 ）+ 1 4 +(- 1 2 )+（- 1 8 3 ） （12）（-37）+（-1）+40+（-2）（13）（-7）+（-1.66）+（-113）+（-2.34）
（14）（-6）+8+（-4）+12 （15）-4.2+5.7-8.4+10 （16）（—81 2 ）+（ 2 9 3 -） （17） 4131 12 7373 ?? +-++ ? ?? （18） 101157 + 34612 ???? -++- ? ? ???? （19) 919 0.59.75 22 ???? -++-+ ? ? ???? (20) 12411 + 23523 ?????? -++-+- ? ? ? ?????? (21)211 +1 353 ?? --+ ? ?? (22) 6.1-3.7-4.9+1.8 (23)23－17－(－7)+(－16) (24) -216-157+348+512-678 (25) (－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4 (26) －31+25+(－69) （27）0+1－［(－1)－(－3 7 )－(+5)－(－ 4 7 )］+｜－4｜（28）(－4 7 8 )－(－5 1 2 )+(－4 1 4 )－3 1 8
有理数简便运算技巧(十五法)
有理数简便运算技巧（十五法） 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? ()69=+- 3=-。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。 原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 009=++ 9=。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例4 计算：。 解：原式55511125210624918? ???=-+-- ? ????? 517 1386=- 13 524 =-。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：1111 2 5434236 -+-+。 原式()111125434236?? =-+-++-+-+ ??? 3642212121212??=+-+-+ ??? 11 221212 =+ =
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 6：计算：例 8 计算： ()()()412.5310.15?? -?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 13131=-?=-。 11221212 =+ = 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 。 。 13131=-?=- 八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式88815 59158??=---? ?? ? 8158158155898158?? =-? -?-? ??? 5313??=--- ?? ? 13 =-。 九、逆用 正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算： 2283210.2555214???? ÷--?-- ? ????? 。 解：原式258715122144 ????= ?--?-- ? ????? 2181134344 =-?+?- 1281433??= ?-+- ??? 14 = 。
第十一讲有理数的巧算有理数加减的若干技巧
第十一讲：有理数的巧算------(有理数加减的若干技巧) 有理数运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 【典型例题】 一、分类相加及分组相加 【例1】计算 1、361617472351+-++-- 2、1-3+5-7+9-11＋…＋97-99 3、（＋1）＋（－2）＋（＋3）＋（－4）＋…＋（＋2011）＋（－2012） 二、凑零相加 1、 2、2013201220112010987654321+--+++--++--+ 3、在数1，2，3，……，2009,2010前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？（连续四个整数n ，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”， n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0） 9813522533132451137+-+---
三、凑整相加 1、 2、5116( 2.39)( 1.57)3(5)(2)(7.61)(32) 1.576767 -+-++-+-+-+-+ 3、 四、变形相加 1、19991994199319921991--+-+- 2、??? ??+++++++??? ??+++??? ??++2011201020112009201132011220111434241323121 203183532413625.5+-++-? ? ? ??++??? ??++??? ??++??? ??++??? ??++??? ??+1019891878176716561545143
