用导数解参数问题
已知函数的单调性,求参变量的取值范围,实质上是含参不等式恒成立的一种重要题型。本文将举例说明此类问题的求解策略。 结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立
?
[]min
()()f x g a ≥(求解()f x 的最小值);不等
式()()f x g a ≤恒成立?
[]max
()()f x g a ≤(求
解()f x 的最大值).
结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解
?
[]max
()()f x g a ≥(求解()f x 的最大值);
不等式()()f x g a ≤存在解?[]min
()()f x g a ≤(即求解
()f x 的最小值).
一、(2008湖北卷)若
2
1()ln(2)2
f x x b x =-
++∞在(-1,+)上是减函数,
则b 的取值范围是( )
A. [1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. (,1)-∞- 二、若不等式()2
211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都
成立,求x 的取值范围。
解:设()()()2121f m m x x =---,对满足2m ≤的m ,()0f m <恒成立,
()()()()()()2
2
21210
2020
21210x x f f x x ?
----<-??∴∴??
<---???
解得:1122
x -++<<
三、(2009浙江)已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解析:(Ⅰ)略
(Ⅱ))2()1(23)(2+--+='a a x a x x f
函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于
导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有
0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2<-++a a a ,解得15-<<-a 四、(新课程卷 )若函数y =31
x 3-
2
1ax 2+(a -1)x +1在区间
(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a 的取值范围.
解:[])1()1()1()(2
---=-+-='a x x a ax x x f
令0)(='x f ,解得x=1或x=a-1,并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。
由题意,函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增,而已知f(x)在(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,可知函数f(x)在x=1处取得极大值,在x=a-1处取得极小值。
∴ 4≤a -1≤6 得5≤a≤7 所以a 的取值范围是[5,7]
五、(河北卷)已知f(x)=132
3+-+x x ax 在R 上是减函数,求实数a 的取值范围.
a ≤-3.
解: 163)(2-+='x ax x f . ∵f(x)在R 上是减函数,∴0)(≤'x f 恒成立,
∴1632-+x ax ≤0在x ∈R 上恒成立,即a a 12360+=?<且≤ 0, 因此 a ≤-3.
1 、已知在上单调递减,求实数a 的取值范围。
。
2 、已知函数 若在上是增函数,求a 的取值
范围;
。
3、 已知函数在区间(0,1)上是单调递增函数,求实数a 的取值
范围;即
。
4、(湖北理)已知向量a =(2
x ,1+x ),b =(x -1,t ),若b a x f ?=)(在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.
解析:由向量的数量积定义,)(x f =2
x (x -1)+(1+x )t =3x -+2
x +tx +t
∴)(x f '=2
3x -+x 2+t .
若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数,则有)(x f '≥0
?t ≥2
3x -x 2在 (-1,1)上恒成立.
若令)(x g =2
3x -x 2=-3(3
1-x )2
-
3
1
在区间[-1,1]上,max
)
(x g =)1(-g =5,故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立,
只需t ≥)1(-g 即可,即t ≥5.
即t 的取值范围是[5,∞).
5、使不等式4
x -2
2x >a -2对任意的实数x 都成立,求实数a 的取值范围. 解析:注意到不等式的次数较高,应想到构造函数,求导.
令)(x f =4
x -22x ,则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in
)
(x f >a -2.
又)(x f '=34x -x 4=42
x (1-x ),令)(x f '=0,解得,x =0或x =1.
)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下:
6、(天津理)若函数)(x f =)
(log 3
ax x a -(a >0,a ≠1)在区间(-2
1
,0)内单调递增,则a 的取
值范围是( )A[
4
1,1) B[4
3.1) C(4
9
,+∞) D(1,
4
9)
冬天的秘密
取暖回忆 回忆无香 有阳光 还感觉冷 我站在分隔岛上 没有方向 不想回家 你太善良 你太美丽 我讨厌这样想你的自己 此刻的我太甘心
解析:)(x f 是复合函数,须按01两种情况考虑.
令)(x g =ax x -3
,∵)(x f 在(-2
1
,0)上为增函数,
① 若0 2 1,0)上为减函数,即)(x g '=a x -2 3<0在(- 2 1,0)上恒成立, 即a >32 x 在(-2 1 ,0)上恒成立, ∴a ≥32 )2 1(- = 4 3,此时, 4 3≤a <1; ② 若a >1,则)(x g 在(-2 1 ,0)上为增函数,须使)(x g '=a x -2 3>0在(- 2 1,0)上恒成立, 即a <32 x 在(-2 1 ,0)上恒成立, 即a ≤0,不合题意. 综上,a ∈[ 4 3.1). 7、(湖南卷)设t ≠0,点)0,(t P 是函数ax x x f +=3 )(与)(x g =c bx +2 的图象的一个公 共点.两函数的图象在点P 处有相同的切线, (Ⅰ)用t 表示a ,b ,c ; (Ⅱ)若函数y =)()(x g x f -在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围. 解析:(Ⅰ) P 为切点,切线相同。 把P 点代入两函数解析式,有?? ?= =++002 3c bt at t ,又t ≠0,故???=-=ab c t a 2 , 又在点P 处切线相同,故)()(x g x f '=',即bt a t 232 =+, 将2 t a -=代入,得b =t ,从而,c =3 x - ,即?? ???-==-=32t c t b t a . (Ⅱ) 由(Ⅰ)x t x x f 23)(-=,)(x g =3 2 t tx -, ∴y =)()(x g x f -=3 2 2 3 t x t tx x +--, ∴y '=2 2 23t tx x --=))(3(t x t x -+, 函数y =)()(x g x f -单调递减,即y '<==0, 由y '=))(3(t x t x -+<0,当t >0时,3 t - <x <t ;t <0时,t <x <3 t - . 故函数y 的单调区间,当t >0时,为),3 (t t - ;当t <0时,为)3 ,(t t - . 故要使函数y 在(-1,3)上单调递减,须满足(-1,3) ?),3 (t t - 或(-1,3) ?)3 ,(t t - ,即 ?????≥-≤->3130 t t t 或???? ???≥--≤<3 3 10t t t ,解得,t ≥3或t ≤-9.故t 的范围是(-∞,-9]∪[3,+∞). 8、(2009福建卷)若曲线3 ()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________. 分析:)0(12)(>+='x x ax x f 依题意方程120ax x + =在()0,+∞内有解,即)0,()0(212 -∞∈?>- =a x x a 9、(2007全国卷一)设函数()e e x x f x -=-.(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥; (Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+.而22=?≥+--x x x x e e e e ,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-, 于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立. 则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-, 由(Ⅰ)可知a a e e x g x x ->-+='-2)(, 由202≤?≥-a a ∴当2≤a 时,()g x 在(0)+,∞上为增函数, 从而有0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥. 10、当1 ,33x ?? ∈ ??? 时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围。 解:1log 1a x -<< (1) 当1a >时,1 x a a <<,则问题转化为11,3,3a a ???? ? ? ????? 3 113 a a ≥??∴?≤ ?? 3a ∴≥ (2) 当01a <<时,1a x a <<,则问题转化为11,3,3a a ????? ? ?????13 1 3a a ?≤ ??∴? ?≥??103a ∴<≤ 综上所得:103 a <≤ 或3a ≥ 11、若不等式2 3log 0a x x -<在10,3x ?? ∈ ??? 内恒成立,求实数a 的取值范围。 解:由题意知:2 3log a x x <在10,3x ??∈ ?? ? 内恒成立, 在同一坐标系内,分别作出函数 2 3y x =和log a y x = 观察两函数图象,当10,3x ??∈ ?? ? 时,若 1a >函数log a y x =的图象显然在函 数2 3y x =图象的下方,所以不成立; 当01a <<时,由图可知,log a y x =的图象必须过点11,33?? ??? 或在这个点的上方,则,11log 33 a ≥ 127 a ∴≥ 1127 a ∴>≥ 综上得:1127 a >≥ 导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题, 也是高中数学非常重要的一个模块, 不管是小题,还 是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后, a f (x )恒成立,则有a f (X )max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的, (甚至我提出这样 一个观点,所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论, 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论,2%!观察法得到零点,零点通常是1,-,e 之类),所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知f (x ) ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ,求a 的取值围 思考:①引入定义域(非R ) ② 参数在二次项,就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次(3次,4次,—,I nx , e x 等等) x ④ 引入a 2, a 3等项(导致不能分离变量) f (x )恒成立,则有a f ( x) min (若是存在性问题,那么最大变最小, 最小变最大) 如:化简后我们分析得到, a,b , f (x) 0恒成立,那么只需 f ( x) min a,b ,使得 f(x) 0,那么只需f (X )max 0 如:化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b , f(xj g(X 2),那么只需 f (X)min g ( X) max 如:化简后我们分析得到, X i a,b , x 2 c, d 使f (xj gg ),那么只需 如:化简后我们分析得到, X i a,b ,X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了,这里不一一列举, 一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题, 成立问题(2014.03锡常镇一模那题特别典型) 总之一句话 (双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理 我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒 导数中的恒成立和存在性问题 技巧传播 1.恒成立问题的转化:()a f x >恒成立max ()a f x ?>;()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤; 2.能成立问题的转化:()a f x >能成立min ()a f x ?>;()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤; 3.恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ; 另一转化方法:若x D ∈,()f x A ≥在D 上恰成立,等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =, 若x D ∈,()f x B ≤在D 上恰成立,则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =; 4.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则min min ()()f x g x ≥; 5.设函数()f x 、()g x ,对任意的1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则max max ()()f x g x ≤; 6.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≥,则max min ()()f x g x ≥; 7.设函数()f x 、()g x ,存在1[,]x a b ∈,存在2[,]x c d ∈,使得12()()f x g x ≤,则min max ()()f x g x ≤; 8.若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方; 9.若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方; 《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》 达标检测 [A 组]—应知应会 1.已知函数f (x )=x +4 x ,g (x )=2x +a ,若?x 1∈????12,1,?x 2∈[2,3],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是( ) A .a ≤1 B .a ≥1 C .a ≤2 D .a ≥2 【解析】选A.由题意知f (x )min ??? ?x ∈????12,1≥g (x )min (x ∈[2,3]),因为f (x )min =5,g (x )min =4+a ,所以5≥4+a ,即a ≤1,故选A. 2.(2020·吉林白山联考)设函数f (x )=e x ????x +3x -3-a x ,若不等式f (x )≤0有正实数解,则实数a 的最小值为________. 【解析】原问题等价于存在x ∈(0,+∞),使得a ≥e x (x 2-3x +3),令g (x )=e x (x 2-3x +3),x ∈(0,+∞),则a ≥g (x )min ,而g ′(x )=e x (x 2-x ).由g ′(x )>0可得x ∈(1,+∞),由g ′(x )<0可得x ∈(0,1).据此可知,函数g (x )在区间(0,+∞)上的最小值为g (1)=e.综上可得,实数a 的最小值为e. 3.(2020·西安质检)已知函数f (x )=ln x ,g (x )=x -1. (1)求函数y =f (x )的图象在x =1处的切线方程; (2)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1,+∞)均成立,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)因为f ′(x )=1 x , 所以f ′(1)=1. 又f (1)=0,所以切线的方程为y -f (1)=f ′(1)(x -1), 即所求切线的方程为y =x -1. (2)易知对任意的x ∈(1,+∞),f (x )>0,g (x )>0. ①当a ≥1时,f (x )≤g (x )≤ag (x ); ②当a ≤0时,f (x )>0,ag (x )≤0,所以不满足不等式f (x )≤ag (x ); ③当0<a <1时,设φ(x )=f (x )-ag (x )=ln x -a (x -1),则φ′(x )=1 x -a , 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1.已知函数23()2ln x f x x x a = -+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值范围. 2.已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。 (1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值范围。 3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. (1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2 +-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <, 求实数a 的取值范围. 4.(2016届惠州二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点. ①求实数a 的值; ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数),不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立,求实数k 的取值范围. 5.已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈. (1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围; (2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,求实数a 的取值范围. 导数中恒成立问题(最值问题) 恒成立问题是高考函数题中的重点问题,也是高中数学非常重要的一个模块,不管是小题,还是大题,常常以压轴题的形式出现。 知识储备(我个人喜欢将参数放左边,函数放右边) 先来简单的(也是最本质的)如分离变量后,()a f x ≥恒成立,则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立,则有min ()a f x ≤ (若是存在性问题,那么最大变最小,最小变最大) 1.对于单变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[],x a b ?∈,()0f x ≥恒成立,那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈,使得()0f x ≥,那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如:化简后我们分析得到,对[]12,,x x a b ?∈,12()()f x g x ≥,那么只需min max ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,对[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥,那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如:化简后我们分析得到,[]1,x a b ?∈,[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥,那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了,这里不一一列举,总之一句话(双变量的存在性与恒成立问题,都是先处理一个变量,再处理另一个变量) 3.对于带绝对值的恒成立问题,我们往往先根据函数的单调性,去掉绝对值,再转变成恒成立问题(201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型) 今天呢,我会花很多时间来讲解一道二次函数,因为二次函数是最本质的,(甚至我提出这样一个观点,所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论,3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论,2%是观察法得到零点,零点通常是1 1,,e e 之类) ,所以如果我们真正弄清楚了二次函数,那么对于千变万化的导数题,我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴,根据图像求最值) 例题1.已知()f x =R ,求a 的取值范围 思考:① 引入定义域(非R ) ②参数在二次项,就需考虑是否为0 ③引入高次(3次,4次,1 x ,ln x ,x e 等等) ④引入2a ,3a 等项(导致不能分离变量) 应用导数研究函数的恒成立与存在性问题 例已知函数()()()21,ln 12 f x x x g x x a =+=+-. (1)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x =,求实数a 的取值范围; (2)若存在[]0,2x ∈,使得()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (3)若对任意[]0,2x ∈,恒有()()f x g x >,求实数a 的取值范围; (4)若对任意[]12,0,2x x ∈,恒有()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (5)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (6)若对任意[]20,2x ∈,存在[]10,2x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围; (7)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x >,求实数a 的取值范围; (8)若存在[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x g x =,求实数a 的取值范围; (1)恒成立问题 ①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A; ①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma xg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0; ①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0; (2)存在性问题 ①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A; ①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0; ①. ①x0①D,使得f(x0) 学习过程 一、复习预习 考纲要求: 1.理解导数和切线方程的概念。 2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。 3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数:0'=C (C 为常数);1 )'(-=n n nx x (Q n ∈); x x cos )'(sin =; x x sin )'(cos -=;1(ln )x x '= ; 1(log )log a a x e x '=, ()x x e e '= ; ()ln x x a a a '= 求导法则:法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'. 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3: ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数:设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'=',函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '=',则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法(高中范围内三种) (1) tan k α=(α为倾斜角); (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -,两点1122(,()),(,())x f x x f x ; (3)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); 3.求切线的方程的步骤:(三步走) (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)0()k f x '= (在0x x =处的切线的斜率); (3)点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-; 4.用导数求函数的单调性: (1)求函数()f x 的导函数()f x '; (2)()0f x '>,求单调递增区间; (3)()0f x '<,求单调递减区间; (4)()0f x '=,是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】:求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】:最大值为18,最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ,∴3,121==x x ,由函数的单调性,当11=x ,2=y , 取得极大值;当32=x ,2-=y ,取得极小值;当5=x ,18=y 。所以最大值为18,最小值为-2. 利用导数解决恒成立能成立问题 利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 1.若在x∈[1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是 ______ . 2.若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围 _________ . 3.设a >0,函数,若对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f (x 1)≥g(x 2)成立,则a 的取值范围为 _________ . 4.若不等式|ax 3 ﹣lnx|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a 取值范围是 _________ . 15.设函数f(x)的定义域为D,令M={k|f(x)≤k恒成立,x∈D},N={k|f(x)≥k恒成立,x∈D},已知 ,其中x∈[0,2],若4∈M,2∈N,则a 的范围是_________ . 6.f(x)=ax3﹣3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥﹣1成立,则a的范围为_________ . 7.三次函数f(x)=x3﹣3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是_________ . 8.不等式x3﹣3x2+2﹣a<0在区间x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是__ . 9.当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=e x的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k的取值范围是_________ .10.设函数f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若对于任意的 x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 _________ . 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结: 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想: 例题1: 讨论下列函数单调性: 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2:已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,求参数a 的取值范围. 解:要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈R恒成立,则只须满足: (1)???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 (2)?? ???<-=-=-040)2(202a a 解(1)得???<<-<2 22a a ,解(2)a =2 ∴参数a 的取值范围是-2<a ≤2. 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围。 三、分离法参数: 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即: (1) 对任意x 都成立()min x f m ≤ (2)对任意x 都成立。 例3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 利用导数解决恒成立能成立问题 一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式A x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上min f x A 若不等式B x f 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上max f x B 1.若在x ∈[1,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是______ . 2.若不等式x 4﹣4x 3>2﹣a 对任意实数x 都成立,则实数a 的取值范围_________ . 3.设a >0,函数,若对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f (x 1)≥g (x 2)成立,则a 的取值范围为_________ . 4.若不等式|ax 3﹣lnx|≥1对任意x ∈(0,1]都成立,则实数a 取值范围是_________ . 15.设函数f (x )的定义域为D ,令M={k|f (x )≤k恒成立,x ∈D},N={k|f (x )≥k恒成立,x ∈D},已知,其中x ∈[0,2],若4∈M ,2∈N ,则a 的范围是_________ . 6.f (x )=ax 3﹣3x (a >0)对于x ∈[0,1]总有f (x )≥﹣1成立,则a 的范围为_________ . 7.三次函数f (x )=x 3﹣3bx+3b 在[1,2]内恒为正值,则b 的取值范围是_________ . 8.不等式x 3﹣3x 2+2﹣a <0在区间x ∈[﹣1,1]上恒成立,则实数a 的取值范围是__ . 9.当x ∈(0,+∞)时,函数f (x )=e x 的图象始终在直线y=kx+1的上方,则实数k 的取值范围是_________ . 10.设函数f (x )=ax 3﹣3x+1(x ∈R ),若对于任意的x ∈[﹣1,1]都有f (x )≥0成立,则实数a 的值为_________ . 11.若关于x 的不等式x 2+1≥kx 在[1,2]上恒成立,则实数k 的取值范围是_________ . 12.已知f (x )=ln (x 2+1),g (x )=()x ﹣m ,若?x 1∈[0,3],?x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是() A .[,+∞) B .(﹣∞,] C .[,+∞) D .(﹣∞,﹣] 13.已知,,若对任意的x 1∈[﹣1,2],总存在x 2∈[﹣1,2],使得g (x 1)=f (x 2),则m 的取值范围是() A .[0,] B .[,0] C .[,] D .[,1] 二利用导数解决能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式A x f 成立,则等价于在区间D 上max f x A ;若在区间D 上存在实数x 使不等式 B x f 成立,则等价于在区间D 上的 min f x B.如14.已知集合A={x ∈R|≤2},集合B={a ∈R|已知函数f (x )=﹣1+lnx ,?x 0>0,使f (x 0)≤0成立},则A ∩B=() 1 第 讲 导数中的恒成立问题 时间: 年 月 日 刘满江老师 学生签名: 一、 兴趣导入 二、 学前测试 §1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 ,相应的切线 方程是 . §2.几种常见函数的导数 ①'C = ;②'()n x = ; ③'(sin )x = ; ④'(cos )x = ; ⑤'()x a = ; ⑥'()x e = ; ⑦'(log )a x = ;⑧'(ln )x = §3.导数的运算法则 (1)'()u v ±= . (2)'()uv = . (3)' ()u v = .(0)v ≠ §4.复合函数求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?,即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. §5.函数的极值 (1)极值定义: 极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极 值; 极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f >)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极 值. (2)判别方法: ①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极 值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极 值. 三、 方法培养 导数与不等式的恒成立问题 规范答题示专题 典例 (12分)设函数f (x )=e mx +x 2-mx . (1)证明:f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 审题路线图 (1)求导f ′(x )=m (e mx -1)+2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)-f (x 2)|)max ≤e -1 ―――――→结合(1)知 f (x )min =f (0) ? ?? ?? f (1)-f (0)≤e -1,f (-1)-f (0)≤e -1―→? ?? ?? e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1―→ 构造函数g (t )=e t -t -e +1―→研究g (t )的单调性―→寻求? ???? g (m )≤0, g (-m )≤0的条件―→ 对m 讨论得适合条件的范围导数中恒成立问题(最值问题)
导数中的恒成立和存在性问题
第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立问题备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
导数中恒成立问题(最值问题)
导数之恒成立问题
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
利用导数解决恒成立能成立问题备课讲稿
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
利用导数解决恒成立能成立问题
高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)
导数与不等式的恒成立问题