正态分布推导
正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
距离后方交会计算(CASIO fx-5800P计算器)程序 距离后方交会计算(CASIO fx-5800P计算器)程序 一、程序功能 本程序适用于在一个未知点上设测站，观测两到个已知点的距离后，解算该未知坐标。注意：这种观测两到个已知点的距离后解算该未知坐标的方法，缺少多余观测值，也就缺少检核条件。 二、程序清单 Lbl 1："XA"?A: "YA"?B: "XB"?C: "YB"?D:"D1"?E: "D2"?F: "Q"?Q Pol(C-A, D-B)→G J+QCos-1((GG+EE-FF)÷2÷G÷E)→H A+ECosH→X B+ESinH→Y "XP="：X◢ "YP="：Y◢ Goto 1←┘ 三、使用说明 1、规定 (1) 未知点为P点，已知点分别为A点、B点； (2) P点至A点的距离为D1，P点至B点的距离为D2； (3) 当A、B、P三点逆时针排列时，Q=-1；当A、B、P三点顺时针排列时，Q=1。 2、输入与显示说明 输入部分： XA ? 输入A点的X坐标 YA ？输入A点的Y坐标 XB ? 输入B点的X坐标 YB ？输入B点的Y坐标 D1 ？输入P点至A点的距离为D1 D2 ？输入P点至B点的距离为D2 Q ？输入A、B、P三点排列方式（逆时针时，Q=-1；顺时针时，Q=1）显示部分： XP=×××所求点P的X坐标 YP=×××所求点P的Y坐标 四、算例 已知XA=539.3551，YB=602.9159，XB=433.0034，YB=1087.4213，D1=380.7996，D2=245.8664，A、B、P三点排列方式为逆时针（Q=-1），求P点的坐标。 输入数据后，经计算得 XP=647.8773101 YP=967.9244825
韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：ThispaperconjecturesanewsearchofStirlingformulabasedontheresearchofProfesso
rCaiCongming,anditalsoimprovestheprovingmethods.Byusingtheexperimentalda tageneratedbycomputer,weguessoutthereform-typeofStirlingformulaaudacity,wh ichhasprovedtobemoreaccurateeconomicalythanthatofusingthetraditionalmathem aticalmethods.Bydeterminingitserrorlimitandrelativeerrorrange,itsolvestheproble mwhichtheauthorofrefs[2]CaiYongyuleft. Keywords:Stirlingformula;improved;error;relativeerror
表6-5 角度前方交会点坐标计算表 略图 αⅡⅠ 北 αβ1 2 2 β1 公式 α βαβctg ctg y y ctg x ctg x x A B B A P +-++=)( α βαβctg ctg x x ctg y ctg y y A B B A P +--+= ) ( 已知 数据 x A =4807.86m y A =6936.06 m x B =3552.77m y B =7417.68m x C =3729.17m y C =8684.70 m Ⅰ 组 α1=60°17′16″ ctg 0.570673 β1=53°34′38″ ctg 0.727877 Ⅱ 组 α2=49°29′32″ ctg 0.854315 β2=65°07′57″ ctg 0.463495 (1) βαctg ctg + Ⅰ组 1.308550 Ⅱ组 1.317810 (2) βctg x A Ⅰ组 3547.609 (3) βctg y A Ⅰ组 5117.959 Ⅱ组 1646.691 Ⅱ组 3438.058 (4) αctg x B Ⅰ组 2027.470 (5) αctg y B Ⅰ组 4233.070 Ⅱ组 3185.886 Ⅱ组 7419.469 (6) A B y y - Ⅰ组 481.62 (7) )(A B x x -- Ⅰ组 +1255.09 Ⅱ组 1267.02 Ⅱ组 -176.40 (8) (2)+(4)+(6) Ⅰ组 6056.699 (9) (3)+(5)+(7) Ⅰ组 10606.119 Ⅱ组 6099.597 Ⅱ组 10681.127 (10) ) 1()8(= P x Ⅰ组 4628.558 (11) ) 1()9(= P y Ⅰ组 8105.245 Ⅱ组 4628.586 Ⅱ组 8105.210 )(1.022 2mm M e e y x ??=≤+=容δδ 式中 x =x P ′- x P ″， y =y P ′- y P ″，M 为测图比例尺分母。 表6-5实例中：x =4628.558-4628.586=-0.028m y =8105.245-8105.210=+0.035m e =0.045m e 容=2×0.1×1000=200mm 观测结果计算得e ≦e 容，说明观测结果达到精度要求，最后取平均值作为P 点坐标，即 x P =4628.572m y P =8105.228m
全站仪后方交会法步骤和 高程测量步骤 Revised final draft November 26, 2020
1、角度测量（angleobservation） （1）功能：可进行水平角、竖直角的测量。 （2）方法：与经纬仪相同，若要测出水平角∠AOB，则： 1）当精度要求不高时： 瞄准A点——置零（0SET）——瞄准B点，记下水平度盘HR的大小。 2）当精度要求高时：——可用测回法（methodofobservationset）。 操作步骤同用经纬仪操作一样，只是配置度盘时，按“置盘”（HSET）。 2、距离测量（distancemeasurement） PSM、PPM的设置——测距、测坐标、放样前。 1）棱镜常数（PSM）的设置。 一般：PRISM=0（原配棱镜），-30mm（国产棱镜） 2）大气改正数（PPM）（乘常数）的设置。 输入测量时的气温（TEMP）、气压（PRESS），或经计算后，输入PPM的值。 （1）功能：可测量平距HD、高差VD和斜距SD（全站仪镜点至棱镜镜点间高差及斜距） （2）方法：照准棱镜点，按“测量”（MEAS）。 3、坐标测量（coordinatemeasurement） （1）功能：可测量目标点的三维坐标（X，Y，H）。 （2）测量原理任意架仪器，先设置仪器高为0，棱镜高是多少就是多少，棱镜拿去直接放在已知点上测高差，测得的高差为棱镜头到仪器视线的高差，当然，有正有负了，然后拿出计算器用已
知点加上棱镜高，再加上或减去（因为有正有负）测得的高差就是仪器的视线高啊，因为仪器高为0，所以这个数字就是你的测站点高程，进测站点把它改成这个数字就行了，改完测站点了一般情况下都要打一下已知点复核一下。。。 若输入：方位角，测站坐标（，）；测得：水平角和平距。则有： 方位角： 坐标： 若输入：测站S高程，测得：仪器高i，棱镜高v，平距，竖直角，则有： 高程： （3）方法： 输入测站S（X，Y，H），仪器高i，棱镜高v——瞄准后视点B，将水平度盘读数设置为——瞄准目标棱镜点T，按“测量”，即可显示点T的三维坐标。 4、点位放样(Layout) （1）功能：根据设计的待放样点P的坐标，在实地标出P点的平面位置及填挖高度。 （2）放样原理 1）在大致位置立棱镜，测出当前位置的坐标。 2）将当前坐标与待放样点的坐标相比较，得距离差值dD和角度差dHR或纵向差值ΔX和横向差值ΔY。 3）根据显示的dD、dHR或ΔX、ΔY，逐渐找到放样点的位置。
极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01 lim =∞→n n 证：要使ε<-01n ，只须ε 1 >n ，故 0>?ε，11 +?? ? ???=?εN ，N n >?，有ε<-01 n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限 例、证明：0! lim =∞→n a n n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤ ()ε 1!,01+???? ????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0! n a n 3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()() n n n n 264212531lim ??-??∞ → 解： ()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n n n n n n 41 125312642211253264?-????=?-??> ∴ ()()n n n 41 2642125312 >??? ? ????-??
两边开n 2次方： ()()121 21412642125311222→?=>??-??>n n n n n n n n 由两边夹：()() 1264212531lim =??-??∞ →n n n n 4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p p n l S →()∞→n 证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n 再记n n l S α+=()n n l l l βα+=??? ? ? ?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p p n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1 1.求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法： 复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。 其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。 所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即 (z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。 两边令z＝1，并取模，则： |1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*) 因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2× sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得： 2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1)) ＝2n＋1。 所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n. 证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1) 则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n) 2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜ (1) 又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1) (2) |1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )| =|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )| =√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) ) =√(4sin^2(kπ/(2n+1)) =2sin(kπ/(2n+1) 故 2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方,得 sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下. 3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 从身边实例探究概率的起源与发展 ——感悟数学之美，体验智慧飞扬 摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。 关键词：抽签；概率；起源；发展 生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。① 很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。 概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。 第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段 说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？ 赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。 德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中 ①引自《谁获利？》，论文网，2000年 ②引自《概率发展简史》 全站仪放样，作为施工过程中一项重要环节，对技术员已上升为必须擅长的仪器操作内容。全站仪建站一般有两种方法，即极坐标法建站和后方交会法建站。现以尼康全站仪为例，讲述全站仪后方交会法建站、放样全过程。（其他品牌全站仪可参考进行） 一、建站 1.将仪器架于两已知点均可通视，且可完全看到放样目标点位置的高处。尽量保证视线夹角在60度左右，仪器架设高度适中，三脚架腿踩实，不可出现放样过程中架腿松动现象。（注意：整个放样过程中仪器附近不应有人来回走动，且放样人员应尽量站在一点不动，减少因人员走动导致仪器震动偏移。） 2.固定仪器，上下松动架腿大致调整圆水准器气泡基本居中，按下电源键开机，上下左右转动一下，按下“0”键，进入精平模式。 将水准管放于平行于两螺旋连线方向，关注屏幕上数值，“”过大，便同时向内或向外转动平行方向两螺旋至数值符合要求（一般数值处于5＂以内即可）；“”过大，便左转或右转垂直方向螺旋至数值符合要求。旋转60度，检查，若仍有些许偏差，再按上述调整。再旋转60度继续检查至完成。 3.按下“确定”键记录，按“建站”键进入建站模式，选择“后方交会法”按“确定”。①若全站仪内已有建站点坐标，可在“PT”栏输入点名（“MODE”键可切换数字与字母），按“确定”键自动跳出坐标，再输入棱镜高（本项目为1.35m和1.2m两种）；②若全站仪内无建站点坐标，于“PT”处按“确定”键进入坐标输入界面，XYZ 输完后，按“确定”回到界面，再输入仪器高。 CD数值暂时不输，按“确定”跳过进而记录，进入瞄准后视点1界面，视线内横竖丝卡住棱镜头“横竖尖头”（一般要求：竖向从镜杆底部瞄起，再翻转上去；横向以卡住两边尖为准），瞄准后，点击“测量1”（一般仪器内部设置“测量1”为棱镜模式且双频，“测量2”为免棱镜模式且单频，具体设置可内部调节变动）测量，待响两声后，在不转动仪器前按“确定”键记录，重复“PT”输入点坐标和棱镜高进行后视点2的瞄准，按“测量1”测量（若发现测量时后视瞄准有移动，再瞄准再按“测量1”测量）。 4.确定无误后，按“确定”键记录，自动开始计算建站误差，一般要求建站误差在5mm以内。（考虑仪器自身状态和其他情况，计算出结果有几种不正常情况：①建站误差过大，处理办法为按一次“ESC 键”返回测量后视点2，再次瞄准，测量，再计算，若还是很大，重新建站；②出现“输入第三个点”，处理办法为检查输入点坐标是否输入有误，确定无误，再次测量，若不行，重新建站） 建站误差符合要求后，按“确定”键记录，重新输入点名，其他可按“确定”或“”键跳过，最后“确定”键完成建站。 二、放样 点击“放样”键，按“确定”或“”键跳过界面，至下一个坐标输入界面，输入坐标，瞄准，“测量1”测量，按指示告知架镜人员左右前后移动至定点位置，通知定点。 一次“ESC”键返回，再按“确定”或“”键跳过界面，进入下 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 斯特林公式及其精确化形式 (总16页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left. Key words:Stirling formula;improved;error;relative error 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x 两个重要的极限 1．证明：0sin lim 1x x x →= 证明：如图（a ）作单位圆。当0 全站仪后方交会法的具体操作步骤 开机后先按S.O 键，输入文件名（也可跳过），确定，再按S.O 键下翻，F2 键选择新点，再按F2 选择后方交会法，再选择一个文件，确定，自定义点名(可跳过)，再F1 距离后方交会，输入仪高，确定，在No1#界面里面选择坐标，输入第一个已知点的坐标，在已知点上架好凌镜，测量，再用同样的方法进行第二个点的操作。然后再看残差大不大，不大可以进行计算，后面的就进行定位放线。 以南方全站仪为例: 放样---新点----后方交会法----输入点号---回车----输入仪高---回车---输入A 点已知坐标-----输入棱镜高---测量距离---自动保存-----输入B 点坐标---输入棱高----测量距离----自动保存----计算----记录---(完成) 说的挺多,其实挺简单的,你可以上网下一本说明书,说明书里说的很祥细.网上有很多的.希望对你有帮助. 全站仪后方交会的操作方法请告诉我全站仪后方交会法跟极坐标法的原理是一样的，都要有两个已知条件。极坐标法有两个已知坐标或者一个坐标一个方向就可以了，后方交汇要有两个坐标。步骤：在仪器里面找到后方交汇，有的叫交会测量，有的叫新点。每个仪器不同都不一样。有的一起要输入两个坐标后在测距，有的是输一个测一个。反正就是输入坐标，然后测距，然后按计算，定向就可以了，后交有条件限制的。交会角度不能小于15 度和大于165 度、 更不能再一条直线上。要不然仪器就不能计算出结果。无法交会。对交会距离也有一定限制，得慢慢摸索，总之比极坐标法好用但是精度差点，可以交会2 个坐标，也可以交会很多坐标。坐标都精度高。 重要极限的证明 重要极限的证明极限是ea0在n比较大时，(1 (1-a)/n)^n=原式=(1 1/n)^n取极限后，e》=原式的上极限》=原式的下极限》=e^(1-a)由a的任意性，得极限为e利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7重要极限的证明
极限计算方法总结
两个重要极限的证明
从身边实例探究概率的起源与发展
全站仪后方交会操作过程
极限计算方法总结(简洁版)
斯特林公式及其精确化形式
数学分析求极限的方法
两个重要极限的证明
全站仪后方交会法的具体操作步骤+++
重要极限的证明_1
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