最新九年级数学圆的性质及习题
集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内?d r
2、点在圆上?d r
=?点B在圆上;
3、点在圆外?d r
>?点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离?d r
>?无交点;
2、直线与圆相切?d r
=?有一个交点;
3、直线与圆相交?d r
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)?无交点?d R r
>+;
外切(图2)?有一个交点?d R r
=+;
相交(图3)?有两个交点?R r d R r
-<<+;
内切(图4)?有一个交点?d R r
=-;
A
内含(图5)? 无交点 ? d R r <-;
图1
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论.
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
顶点到圆心的角,叫圆心角.
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;
③OC OF =;④ 弧BA =弧BD
图2
图4
图5
B
D
七、圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.
即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角
所对的弧是等弧;
即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所
对的弧是半
圆,所对的弦是直径.
即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直
角三角形.
即:在△ABC 中,∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角. 即:在⊙O 中,
∵四边形ABCD 是内接四边形 180B D ∠+∠=?
∴
180C BAD ∠+∠=?
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
B
A
B
A O
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端
∴MN 是⊙O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切
点. 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心.
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
十、切线长定理 切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘
积相等.
即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=?
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两
条线段的比例中项.
即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2
CE AE BE =?
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =?
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
D
B
A
相等(如上图).
即:在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=?
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共
弦.
如图:12O O 垂直平分AB .
即:∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:12Rt O O C ?
中,2
2
1
AB CO ==
(2)外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之
和 .
十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ?中进
行
:
:
1:3:
O D B D
O
B
=
;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在
Rt OAE ?中进行,
::OE AE OA =
(3)正六边形
同理,
六边形的有关计算在Rt OAB ?中进
行,
:
:3
:2A B O B O =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:(1)弧长公式:180
n R
l π=
; (2)扇形面积公式: 21
3602
n R S lR π=
= n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积
2、圆柱:
(1)A 圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
B 圆柱的体积:2
V r h π= (2)A 圆锥侧面展开图
S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
B 圆锥的体积:21
3
V r h π=
一、圆的定义.
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形.
2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形. 二、圆的各元素.
1、半径:圆上一点与圆心的连线段.
2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段.
3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦).
4、弧:圆上两点之间的曲线部分.半圆周也是弧. (1)劣弧:小于半圆周的弧. (2)优弧:大于半圆周的弧.
5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边.
6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦.
7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长. 三、圆的基本性质. 1、圆的对称性.
(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线. (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心. (3)圆是旋转对称图形. 2、垂径定理.
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧. (2)推论:
平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧. 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦.
C 1
D 1
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆周角的度数等于它所对弧度数的一半. (1)同弧所对的圆周角相等.
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径.
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有
一对量相等,其余四对量也分别相等. 5、夹在平行线间的两条弧相等. 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d.
7、(1. (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等. (直角三角形的外心就是斜边的中点.)
8、直线与圆的位置关系.d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径.
直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; 直线与圆没有交点,直线与圆相离. 2
9A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2). 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定.
(1)d=r 时,直线是圆的切线. 切点不明确:画垂直,证半径.
(2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线. 切点明确:连半径,证垂直. 11、圆的切线的性质(补充).
(1)经过切点的直径一定垂直于切线.
(2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心. 12、切线长定理.
(1)切线长:从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长. (2)切线长定理. ∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB ,∠1=∠2. 13、内切圆及有关计算. (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等.
(2)如图,△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F. 求:AD 、BE 、CF 的长.
分析:设AD=x ,则AD=AF=x ,BD=BE=5-x ,CE=CF=7-x. 可得方程:5-x +7-x=6,解得x=3 (3)△ABC 中,∠C=90°,AC=b ,BC=a ,AB=c. 求内切圆的半径r. 分析:先证得正方形ODCE , 得CD=CE=r d = r 直线与圆相切. d < r (r > d 直线与圆相交. d > r (r 13(2)图 6 AD=AF=b -r ,BE=BF=a -r b -r +a -r=c 得r=2 c b a -+ (4)S △ABC =)(2 1 c b a r ++ 14、(补充) (1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦. 如图,BC 切⊙O 于点B ,AB 为弦,∠ABC 叫弦切角,∠ABC=∠D. (2)相交弦定理. 圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ,则PA ·PB=PC ·PD. (3)切割线定理. 如图,PA 切⊙O 于点A ,PBC 是⊙O 的割线,则PA 2=PB ·PC. (4)推论:如图,PAB 、PCD 是⊙O 的割线,则PA ·PB=PC ·PD. 15、圆与圆的位置关系. (1)外离:d >r 1+r 2, 交点有0个; 外切:d=r 1+r 2, 交点有1个; 相交:r 1-r 2 (2)性质. 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 相切两圆的连心线必经过切点. 16、圆中有关量的计算. (1)弧长有L 表示,圆心角用n 表示,圆的半径用R 表示. L== ?R n π2360180 R n π (2)扇形的面积用S 表示. S=36036022 R n R n ππ=? S=lR R R n 2 12180=?π (3)圆锥的侧面展开图是扇形. r 为底面圆的半径,a 为母线长. 扇形的圆心角α=0360?a r S 侧=πar S 全=πar +πr 2 1、圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 . 2.圆是 轴 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ;圆又是 中心 对称图形, 圆心 是它的对称中心. (1)图 (2)图 (3)图 (4)图 相切 相离 3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ,并且平分 弦所对的弧 ;平分弦(不是直径)的 直径 垂直于弦,并且平分 弦所对的弧 . 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 . 5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ,都等于它所对的圆心角的 一半 . 6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是 直径 . 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫 外 心,是三角形 三边垂直平分线 的交点. 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ,内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点,叫做三角形的 内心 . 9.圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. 10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角 2、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种:① 点在圆外 ,② 点在圆上 ,③ 点在圆内 ;对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为: ①d > r ,②d = r ,③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种:① 相交 ,② 相切 ,③ 相离 ; 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为: ①d < r ,②d = r ,③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种: ① 内含 ,② 相内切 ,③ 相交 ,④ 相外切 ,⑤ 外离 ; 两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r (R ≥r )之间的数量关系分别为: ①d < R-r ,②d = R-r ,③ R-r < d < R+ r ,④d = R+r ,⑤d > R+r. 4.圆的切线 垂直于 过切点的半径;经过 直径 的一端,并且 垂直于 这条 直径 的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长 相等,这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角. 3、与圆有关的计算 1.圆的周长为 2πr ,1°的圆心角所对的弧长为 180r π ,n °的圆心角所对的弧长 为 180r n π ,弧长公式为180r n l π=n 为圆心角的度数上为圆半径) . 2. 圆的面积为 πr 2 ,1°的圆心角所在的扇形面积为 3602 r π ,n °的圆心角所在的扇形面积为S= 360n 2R π? = rl 21(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径). 3.圆柱的侧面积公式:S= 2 πr l (其中r 为 底面圆 的半径 ,l 为 圆柱 的高.) 4. 圆锥的侧面积公式:S=πr l (其中r 为 底面 的半径 ,l 为 母线 的长.) 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 测试题 一、选择题(每小题3分,共45分) 1.在△ABC中,∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是(). A.C在⊙A 上B.C在⊙A 外 C.C在⊙A 内D.C在⊙A 位置不能确定. 2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为(). A.16cm或6cm B.3cm或8cm C.3cm D.8cm 3.AB是⊙O的弦,∠AOB=80°则弦AB所对的圆周角是(). A.40°B.140°或40° C.20°D.20°或160° 4.O是△ABC的内心,∠BOC为130°,则∠A的度数为(). A.130°B.60° C.70°D.80° 5.如图1,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D、E、F,已知∠A = 100°,∠C = 30°,则∠DFE的度数是(). A.55°B.60° C.65°D.70° 6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树,且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其 中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在( ). A . A 处 B . B 处 C .C 处 D .D 处 图1 图2 7.已知两圆的半径分别是2和4,圆心距是3,那么这两圆的位置是( ). A .内含 B.内切 C .相交 D. 外切 8.已知半径为R 和r 的两个圆相外切.则它的外公切线长为( ). A .R +r B.,R2+r2 C .,R+r D.2,Rr 9.已知圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥的侧面积为( ). A.10π B .12π C.15π D.20π 10.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( ). A .3 B .4 C .5 D .6 11.下列语句中不正确的有( ). ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A .3个 B.2个 C .1个 D.4个 12.先作半径为 2 3 的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正六边形,…,则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为( ). A .7)332( B.8)332( C .7)23( D.8)2 3( 13.如图3,⊿ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,⊙O 内切于⊿ABC ,则阴影部分面积为( ) A .12-π B.12-2π C .14-4π D.6-π 14.如图4,在△ABC 中,BC =4,以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ,交AB 于E ,交 AC 于F , 点P 是⊙A 上的一点,且∠EPF =40°,则图中阴影部分的面积是( ). A .4- 94π B .4-98π C .8-94π D .8-9 8π 15.如图5,圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ,AC 、BD 交于E ,则图中相似三角形有( ). A .2对 B.3对 C .4对 D.5对 图3 图4 图5 二、填空题(每小题3分,共30分) 1.两圆相切,圆心距为9 cm ,已知其中一圆半径为5 cm ,另一圆半径为_____. 2.两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为_________. 3.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________. 4.同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________. 5.矩形ABCD中,对角线AC=4,∠ACB=30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________. 6.扇形的圆心角度数60°,面积6π,则扇形的周长为_________. 7.圆的半径为4cm,弓形弧的度数为60°,则弓形的面积为_________. 8.在半径为5cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6cm,另一条弦长为8cm,则两条平行弦之间的距离为_________. 9.如图6,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BOC=100°,MN是过B点而垂直于OB的直线,则∠ABM=________,∠CBN=________; 10.如图7,在矩形ABCD中,已知AB=8 cm,将矩形绕点A旋转90°,到达A′B′C′D′的位置,则在转过程中,边CD扫过的(阴影部分)面积S=_________. 图6 图7 三、解答下列各题(第9题11分,其余每小题8分,共75分) 1.如图,P是⊙O外一点,PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D. (1)PO平分∠BPD; (2)AB=CD;(3)OE⊥CD,OF⊥AB;(4)OE=OF. 从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明 . 2.如图,⊙O1的圆心在⊙O的圆周上,⊙O和⊙O1交于A,B,AC切⊙O于A,连结CB,BD是⊙O的直径,∠D =40°求:∠A O1B、∠ACB和∠CAD的度数. 3.已知:如图20,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,BC=43,以A为圆心,2为半径作⊙A,试问:直线BC与⊙A的关系如何?并证明你的结论. A B C 4.如图,ABCD是⊙O的内接四边形,DP∥AC,交BA的延长线于P,求证:AD·DC=PA·BC. C B M P P E E D D B C B C A A N M P E D C A 5.如图⊿ABC 中∠A =90°,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ,E 为AC 边中点,求证:DE 是⊙O 的切线. 6.如图,已知扇形OACB 中,∠AOB =120°,弧AB 长为L =4π,⊙O ′和弧AB 、OA 、OB 分别相切于点C 、D 、E ,求⊙O 的周长. 7.如图,半径为2的正三角形ABC 的中心为O ,过O 与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积. 8.如图,ΔABC 的∠C =Rt ∠,BC =4,AC =3,两个外切的等圆⊙O 1,⊙O 2各与AB ,AC ,BC 相切于F ,H ,E ,G ,求两圆的半径. 9.如图①、②、③中,点E 、D 分别是正△ABC 、正四边形ABCM 、正五 边形ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点,且BE = CD ,DB 交AE 于P 点. ⑴求图①中,∠APD 的度数; ⑵图②中,∠APD 的度数为___________,图③中,∠APD 的度数为___________; ⑶根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n 边形情况.若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由. 参考答案 一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D 9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C 二、1、4 cm 或 14cm ; 2、9π; 3、32π,34π; 4、4:3; 5、)3824(+π; 6、12+2π; 7、(38π-34)cm 2 ;8、7cm 或1cm ; 9、65°,50°;10、16πcm 2 . 三、 1、命题1,条件③④结论①②, 命题2,条件②③结论①④. 证明:命题1∵OE ⊥CD , OF ⊥AB , OE=OF , ∴AB=CD , PO 平分∠BPD. 2、∠A O 1B=140°,∠ACB=70°,∠CAD=130°. 3、作AD ⊥BC 垂足为D , ∵AB=AC ,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵BC=43, ∴BD=21 BC=23. 可得AD=2.又∵⊙A 半径为2, ∴⊙A 与BC 相切. 4、连接BD ,证△PAD ∽△DCB. 5、连接OD 、OE ,证△OEA ≌△OED. 6、12π. 7、4π-36. 【解析】解:三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面 积之和.每个弓形的半径等于△ABC 外接园的半径R=(2/sin60°)/2 =2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3. ∴一个弓形的面积S=(1/2)R^2(θ-sinθ) =(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)] =(2/3)(π/3-√3/2) 于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3. 8、75 .提示:将两圆圆心与已知的点连接,用面积列方程求. 9、(1)∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ,∠ABE=∠BCD=60° ∵BE=CD ∴△ABE ≌△BCD ∴∠BAE=∠CBD ∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60° (2)90°,108° (3)能.如图,点E 、D 分别是正n 边形ABCM …中以C 点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD ,BD 与AE 交于点P ,则∠APD 的度数为n n ?-180)2( . 一、选择题(每小题5分,共25分) 人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (3)等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB, A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M, CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。 2016最新版初三下册数学知识点总结 第一天 第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切: 正切.. 即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan ; 正弦,即斜边 的对边A A ∠=sin ; 余弦,即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ①)90cos(sin A A ∠-?=; )90sin(cos A A ∠-?= sin 2 A+cos 2 A=1 (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ※ 如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角.. (或叫做坡比..)。用字母i 表示,即A l h i tan == (第二天)第三章 圆 1. 点与圆的位置关系及其数量特征: 如果圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ,则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d 一、圆的相关概念 1. 圆的定义 (1) 描述性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转 所形成的图形叫做圆,其中固定端点O 叫做圆心,OA 叫做半径. (2) 集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径. (3) 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O 为圆心,OA 为半径的圆记作”O ⊙“,读作” 圆O “. (4) 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同 心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:注意:同圆或等圆的半径相等. 2. 弦和弧 (1) 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. (2) 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. (3) 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. (4) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B 、为端点的圆弧记作AB ,读作弧AB . (5) 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. (6) 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (7) 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. (8) 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3. 圆心角和圆周角 (1) 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我 们也称这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. (2) 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 二、圆的对称性 1. 旋转对称性 中考要求 知识点睛 圆的概念及性质 初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题(本大题共9小题,共54分) 1. 如图,圆锥的底面半径为2,母线长为6,则侧面积为( ) A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ,面积是60πcm 2,则此扇形的圆心角的度数是( ) A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD 互余的角是( ) A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图,在⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,连接OC ,若∠ACO =30°,则∠BOC 的度数是( ) A. 30° B. 45° C. 55° D. 60° 6.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12, OM:MD=5:8,则⊙O的周长为() A. 26π B. 13π C. D. 7.如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的 对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是() A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图,在半径为4的⊙O中,CD是直径,AB是弦,且CD⊥AB,垂足为点E,∠AOB=90°, 则阴影部分的面积是() A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π 一、基础知识 (一)圆的有关概念: 圆:在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合。其中,定点为圆心,定长为半径。弦:连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。 弧:圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧,每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧,小于半圆的弧叫劣弧。 (二)圆的性质: 1.同圆或等圆中:半径、直径都相等。 2.圆有无数条弦,其中最长的弦为直径。 3.圆是轴对称图形,对称轴为直径所在的直线,有无数条。圆是中心对称图形,并且无论绕圆心旋转多少度,都可以和原图形重合。 二、重难点分析 本课教学重点:弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系. 本课教学难点:点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。 三、典例精析: 例1:(2014?长春二模)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且点C、D在AB的异侧,连结AD、OD、OC.若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为() A.70°B.60°C.50°D.40° ∴∠DAO=∠AOC=70° 例2.如图,以AB为直径的半圆O上有两点D、E,ED与BA的延长线交于点C,且有DC=OE,若∠C=20°,则∠EOB的度数是。 四、感悟中考 1、(2013?温州)在△ABC 中,∠C 为锐角,分别以AB ,AC 为直径作半圆,过点B ,A ,C 作 BAC ,如图所示.若AB =4,AC =2,S 1-S 2=4 π,则S 3-S 4的值是( ) A.429π B.423π C.411π D.4 5π 2、如图,已知同心圆O ,大圆的半径AO 、BO 分别交小圆于C 、D ,试判断四边形ABDC 的形状.并说明理由. 人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 一、选择题(本大题共10道小题) 1. 如图所示的圆规,点A 是铁尖的端点,点B 是铅笔芯尖的端点,已知点A 与点B 的距离是2 cm ,若铁尖的端点A 固定,将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周,则作出的圆的直径是( ) A .1 cm B .2 cm C .4 cm D .π cm 2. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,则下列结论正确的是( ) A .OE =BE B.BC ︵=BD ︵ C .△BOC 是等边三角形 D .四边形ODBC 是菱形 3. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC ︵=CD ︵=DE ︵ ,∠COD =34°,则∠AEO 的度数是 ( ) A .51° B .56° C .68° D .78° 4. 如图,OA 是⊙O 的半径,B 为OA 上一点(不与点O ,A 重合),过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C .以OB ,BC 为边作矩形OBCD ,连接BD .若BD =10,BC =8,则AB 的长为( ) A .8 B .6 C .4 D .2 5. 在⊙O 中,圆心角∠AOB =3∠COD (∠COD <60°),则劣弧 AB ,劣弧CD 的大 小关系是( ) A.AB ︵=3CD ︵ B.AB ︵>3CD ︵ C.AB ︵<3CD ︵ D .3AB ︵ 九年级数学第二十四章圆测试题(A) 时间:45分钟分数:100分 一、选择题(每小题3分,共33分) 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心,若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为( 3,则弦AB 的长是 D . 8 ,则/ BOC的度数为( D. 120° 若/ A=40 °,则/ OBC的度数为( O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具, 垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上, A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径,点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点, 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起, 读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( D . 15个单位 ,则/ A等于() 并使它们保持 ) PA 、 C、D,若PA=5,则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上,若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为 毡,则这块油毡的面积是() 4m,母线长为3m,为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中, 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过) D. 81 n BC=10,那么△ ABC的内切圆的半径为( 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行,直到行走2006 n cm后才停下来, A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题(每小题3分,共30分) 12 .如图24—A —8,在O O中,弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为( .G点 O的半径,0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ) 、圆的概念 集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3 轨迹形式的概念: 、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 1、圆:至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:至U角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 四、圆与圆的位置关系 外离(图1) —无交点— d R r ; 外切(图2) —有一个交点— d = R r ; 相交(图3) —有两个交点—R - r :: d :: R r ; 内切(图4) —有一个交点— d = R _ r ; 点在圆内= d : : r = 点C在圆内; 点在圆上 = d=r―点B在圆上; 点在圆外=■d r―点A在圆外; 直线与圆的位置关系 直线与圆相离—d r=■ 无交点; 直线与圆相切―d=r=有一个交点; 直线与圆相交—d : :r -■有两个交点; 、点与圆的位置关系 1 、 2 、 3 、 1 、 2 、 3 、 =d :::R _ r ; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB是直径②AB_CD ③CE=DE 中任意2个 条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在O O 中,T AB // CD ???弧AC 二弧BD ④弧BC二弧BD⑤弧AC二弧AD 六、圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角。 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:① AOB =/DoE :② AB=DE ; ③OC=OF :④弧BA =弧BD A B D 中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆;能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性,了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系;知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数, 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系;了解切线的 概念,理解切线与过 切点的半径之间的 关系;会过圆上一点 画圆的切线;了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系;会根据切 线长的知识解决简 单的问题;能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质 弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11,20 20,25 8,20,25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用; 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明,计 算(圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形);直线与圆的 位置关系 圆的基本性质,圆 的切线证明,圆同 相似和三角函数的 结合;直线与圆的 位置关系 中考考点分析 一、圆的概念 集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r?点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r>?无交点; 2、直线与圆相切?d r=?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r 四、圆与圆的位置关系 外离(图1)?无交点?d R r >+; 外切(图2)?有一个交点?d R r =+; 相交(图3)?有两个交点?R r d R r -<<+; 内切(图4)?有一个交点?d R r =-; 内含(图5)?无交点?d R r <-; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3 个结论,即: 图4 图5 《圆》 圆是常见的几何图形, 是平面几何中基本的图形之一,它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上,系统研究圆的概念和性质,点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系,以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课,主要是研究圆的概念及其相关概念,本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体,结合小学学过的有关圆的知识,通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种,一种是描述性定义,一种是集合性定义。圆的描述性定义,要让学生用自己的语言尝试表述,教师可以引导学生通过观察画加深理解;圆的集合定义,应通过观察、体会画圆的过程,引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后,接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆,只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可,进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念; 2.了解等圆、等弧的概念。 【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中,让学生体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在,感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境,引入新课 问题1 观察下列图形,你能从中找出它们的共同特征吗? 追问:你能再举出一些生活中类似的实例吗? 设计意图:让学生观察图形,感受圆和实际生活的密切联系,为学习圆的相关概念打下基础,同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知,形成概念 问题2 观察下列画圆的过程,你能由此说出圆的形成过程吗? 九年级上册 初三数学圆测试题一附参考答案 一、填空题(每题3分,共30分) 1.如图1所示AB 是⊙O 的弦,OC ⊥AB 于C ,若OA=2cm ,OC=1cm ,则AB 长为______. ? 图1 图2 图3 2.如图2所示,⊙O 的直径CD 过弦EF 中点G ,∠EOD=40°,则∠DCF=______. 3.如图3所示,点M ,N 分别是正八边形相邻两边AB ,BC 上的点,且AM=BN,则 ∠MON=_________________度. 4.如果半径分别为2和3的两个圆外切,那么这两个圆的圆心距是_______. 5.如图4所示,宽为2cm 的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm )?则该圆的半径为______cm . 图4 图5 图6 6.如图5所示,⊙A 的圆心坐标为(0,4),若⊙A 的半径为3,则直线y=x 与⊙A?的位置关系是________. 7.如图6所示,O 是△ABC 的内心,∠BOC=100°,则∠A=______. 8.圆锥底面圆的半径为5cm ,母线长为8cm ,则它的侧面积为________.(用含 的式子表示) 9.已知圆锥的底面半径为40cm ,?母线长为90cm ,?则它的侧面展开图的圆心角为_______. 10.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A ,C 为圆心的两圆相切,点D 在⊙C 内,点B 在⊙C 外,那么⊙A 的半径r 的取值范围为________. 二、选择题(每题4分,共40分) 11.如图7所示,AB 是直径,点E 是半圆 AB 中点,弦CD ∥AB 且平分OE ,连AD ,∠BAD 度数为( ) A .45° B .30° C .15° D .10° 图7 图8 图9 12.下列命题中,真命题是( ) A .圆周角等于圆心角的一半 B .等弧所对的圆周角相等 C .垂直于半径的直线是圆的切线 D .过弦的中点的直线必经过圆心 13.半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ,若3 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心,线段 OA 叫作半径。第二种:圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。(3) 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为 CD,AB 是弦,且CD⊥AB, C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M, CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 中考数学50个知识点专练26 圆的基本性质 一、选择题 1.(2011·上海)矩形ABCD中,AB=8,BC=3 5,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是( ) A. 点B、C均在圆P外 B. 点B在圆P外、点C在圆P内 C. 点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内 2.(2011·凉山)如图,∠AOB=100°,点C在⊙O上,且点C不与A、B重合,则∠ACB 的度数为( ) A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3.(2011·重庆)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度数等于( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 4.(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是( ) A.16 B.10 C.8 D.6 5.(2011·嘉兴)如图,半径为10的⊙O中,弦AB的长为16,则这条弦的弦心距为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 6.(2011·扬州)如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则∠ACD=__________度. 7.(2011·安徽)如图,⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直,垂足为E ,且AB =CD ,已知CE =1,ED =3,则⊙O 的半径是________________. 8.(2011·杭州)如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,CD 的度数等于84°,CA 是∠OCD 的平分线,则∠ABD +∠CAO =________. 9.(2011·威海)如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ,若AE =5,BE =1,CD =4 2,则∠AED =___________. 三、解答题 11.(2011·上海)如图,点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上,且OA =3,AC =2,CD 平行于AB ,并与A B 相交于点M 、N. (1)求线段OD 的长; (2)若tan ∠C =1 2 ,求弦MN 的长. 12.(2011·江西)如图,已知⊙O 的半径为2,弦BC 的长为2 3,点A 为弦BC 所对优 人教版数学九年级上册圆知识点总结 人教版数学九年级上册圆知识点总结 24.1 圆 定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。 圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心 (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。 (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。 (4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注:圆心一般用字母O表示 直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr,用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=cπ 圆的有关概念与性质 圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图形,圆心是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是 90°,90°所对的弦是直径。 7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。 9.圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. 10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种:①点在圆外,②点在圆上,③点在圆内;对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为: ①d > r,②d = r,③d < r. 2.直线与圆的位置关系共有三种:①相交,②相切,③相离; 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为: ①d < r,②d = r,③d > r. 3.圆与圆的位置关系共有五种: ①内含,②相内切,③相交,④相外切,⑤外离; 两圆的圆心距d和两圆的半径R、r(R≥r)之间的数量关系分别为: ①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r. 4.圆的切线垂直于过切点的半径;经过直径的一端,并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。 人教版九年级数学上册 圆 几何综合(篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.已知圆O 的半径长为2,点A 、B 、C 为圆O 上三点,弦BC=AO ,点D 为BC 的中点, (1)如图,连接AC 、OD ,设∠OAC=α,请用α表示∠AOD ; (2)如图,当点B 为AC 的中点时,求点A 、D 之间的距离: (3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ,以O 为圆心,AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切,求弦AE 的长. 【答案】(1)1502AOD α∠=?-;(2)7AD =3) 331331 22 or 【解析】 【分析】 (1)连接OB 、OC ,可证△OBC 是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOC 等于30°,OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α,利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. (2)连接OB 、OC ,可证△OBC 是等边三角形,根据垂径定理可得∠DOB 等于30°,因为点D 为BC 的中点,则∠AOB=∠BOC=60°,所以∠AOD 等于90°,根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长. (3)分两种情况讨论:两圆外切,两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系,求出AD 的长,再过O 点作AE 的垂线,利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】 (1)如图1:连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC ∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1 302 BOC ∠=? ∵OA=OC ∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α 第30课圆的有关性质 〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1.正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系; 2.熟练地掌握确定一个圆的条件,即圆心、半径;直径;不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置,而半径也只能确定圆的大小,两个条件确定一条直线,三个条件确定一个圆,过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一; 3.熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质:同(等)圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍;直径是最大的弦;圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线都是对称轴;圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆具有旋转不变性;垂径定理及其推论;圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系; 4.掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角的定义及其度量;圆心角等于同(等)弧上的圆周角的2倍;同(等)弧上的圆周角相等;直径(半圆)上的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 5.掌握圆内接四边形的性质定理:它沟通了圆内外图形的关系,并能应用它解决有关问题; 6.注意:(1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制),条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用,垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据;(2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形;见到直径要想到它所对的圆周角是直角,想垂径定理;想到过它的端点若有切线,则与它垂直,反之,若有垂线则是切线,想到它被圆心所平分;(3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角,要想到应用圆内接四边形的性质。〖考查重点与常见题型〗 1.判断基本概念、基本定理等的正误,在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解,如:下列语句中,正确的有() (A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦 (C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 2.论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定,垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质,弦切角等有关圆的基础知识,常以解答题形式出现。 考点训练: 1.在⊿ABC中,∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C 和⊙A的位置关系是() (A)C在⊙A 上 (B)C在⊙A 外 (C)C在⊙A 内 (D)C在⊙A 位置不能确定。 2.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm (D)8cm 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质: (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合; 圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任 意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心, 在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐 角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示. (3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是 到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 九年级数学第二十四章圆测试题(A ) 时间:45分钟 分数:100分 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为10,最小距离为4则此圆的半径为( ) A .14 B .6 C .14 或6 D .7 或3 2.如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 5.如图24—A —3, 小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .2 6m B .2 6m π C .2 12m D .2 12m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π 10.已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC 的内切圆的半径为( ) A . 310 B .5 12 C .2 D .3 11.如图24—A —7,两个半径都是4cm 的圆外切于点C ,一只蚂蚁由点A 开始依A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、C 、 G 、A 的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这8段路径上不断爬行,直到行走2006πcm 后才停下来,则蚂蚁停的那一个点为( ) A .D 点 B .E 点 C .F 点 D .G 点 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A — 4 图24—A —7人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版
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